4.1 成比例线段同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.1 成比例线段-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2025九上·金华月考）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解： 故A不符合题意； 故B符合题意； 故C不符合题意； 故D不符合题意； 故答案为：B . 【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答. 2．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是(　　) A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d= C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d= 【答案】B 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意； C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意． 故答案为：B． 【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案. 3．（2024九上·肃南期末）已知，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 【分析】先设，（），再根据比例的性质计算求解即可。 4．已知，那么下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D．． 【答案】C 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3， ∴3a=2b， A：由以上解释易知A不符题意； B：，即，不符题意； C： ，即，符合题意； D：，即3a=4b，不符题意； 故答案为：C． 【分析】根据比例的基本性质即可得出答案。 5．（2024九上·上海市月考）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：A、 ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B、若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C、已知线段m，且m≠0，所以m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即故C选项错误； D、若满足此时，故D选项错误. 故答案为： A. 【分析】根据比例线段的定义及性质逐一判断可得答案. 6．（2024九上·洞口开学考）已知，并且，则函数图像一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【知识点】一次函数的图象；比例的性质 【解析】【解答】解：因为， 所以 所以， ①当a+b+c不等于0时，， 所以3=p+1，解得：则， 直线经过一、二、三象限（如图）． ②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1， 则y=-x-1， 直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图）， 综上：的图像一定经过二、三象限； 故答案为：B 【分析】将等式加1可得，分情况讨论：①当a+b+c不等于0时，，可得3=p+1，解方程可得p，即，根据一次函数图象性质即可求出答案；②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，则y=-x-1，根据一次函数图象性质即可求出答案. 7．（2024九上·沙坪坝开学考）若且，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴b=3a，d=3c，f=3e， 又， ∴ 故选：D． 【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解. 8．（2024九上·六安月考）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；比例的性质 【解析】【解答】解：， ， ， 解得，，舍去， 故答案为：C 【分析】先根据题意得到，进而解一元二次方程即可求解。 二、填空题 9．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为　 　. 【答案】 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ ∵x+y+z≠0 ∴ 故答案为：. 【分析】根据已知，由等比性质可得：，整理，得，根据x+y+z≠0，即可得出答案. 10．（2024九上·龙华期中）若，则　 　． 【答案】 【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：， 设， ， 故答案为：． 【分析】 根据比例的性质；设，代入计算即可解答． 11．（2025九上·杭州开学考）已知，则　 　． 【答案】 【知识点】分式的值；比例的性质 【解析】【解答】解：由得，， 整理得， ． 故答案为：． 【分析】利用两内项之积等于两外项之积可将方程化为，解该二元一次方程，用含y的式子表示出x，从而代入待求式子约分化简即可. 12．（2025九上·海曙期末）已知abc≠0，且，则k的值为　 　. 【答案】1或 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：由已知得， ∴当 时，得 当 时，则 ∴k的值为1或 故答案为：1或 【分析】根据已知条件得出( 再把三式相加得出 然后分两种情况讨论， 即可得出k的值. 13．（2024九上·青羊期中）已知实数a、b、c满足，则的值为　 　． 【答案】6 【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：设，则， ． 故答案为：6. 【分析】由等比性质，可设，然后将a、b、c都用字母k的式子表示出来，进而将a、b、c代表的式子代入待求式子，根据整式加减法法则计算可得答案. 三、解答题 14．（2024九上·济南高新技术产业开发月考）已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 【知识点】比例的性质；比例线段；开平方（求平方根） 【解析】【分析】 （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值，解答即可； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长，解答即可． （1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 15．（2023九上·杭州期中）已知， （1）求； （2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值． 【答案】（1）解：设， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴3； （2）解：由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵2a+b+2c=-30， ∴2×2k+3k+2×4k=-30， 解得：k=-2， ∴a=-4，b=-6，c=-8． 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】（1）设，把a，b，c用k表示，再代入约分约掉k即可； （2）由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入2a+b+2c=-30，得关于k的一元一次方程，解之得k的值，再代入a＝2k，b＝3k，c＝4k，即可求得 a，b，c的值． 16．（2024九上·临江期末）已知，，，是的三边，且，，求的面积. 【答案】解：设， ∴，，， 又∵，∴， ∴，∴，， 又∵， ∴，、为两条直角边 ∴，即的面积为6. 【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质 【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。 17．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？ 【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为． 由题可知．设下部，则， ， 去分母得，， ， 解得，（舍）， 检验，方程解为， 答：它的下部应设计为高． 【知识点】分式方程的实际应用；比例线段 【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。 18．（2023九上·渠县期中）已知，且． （1）求的值． （2）若，是方程的两根，求的值． 【答案】（1），∴，，， ∴； （2）∵， ∴一元二次方程为， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根式， ∵，是方程的两根， ∴，， ∴． 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；比例的性质 【解析】【分析】本题考查比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式.（1）根据，利用比例线段的性质可得：，，，再代入k的进行式进行化简，可求出k的值； （2）根据方程先找出a，b，c的值，再根据方程有两个实数根，利用根的判别式进行计算可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式变形可得：，将，代入式子进行计算可求出答案. 19．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形． （1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽； （2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由． 【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)， 可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm （2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ， 由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0. ∵a>b， ∴a－b≠0， ∴x＝0， 又∵x>0， ∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段． 【知识点】比例线段 【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。 （2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。 20．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则 【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF. （1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积. （2）求证： （3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF=　 　. 【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得 ∵D，E 分别为BC，AD的中点， ∵△ABC 的面积为45， （2）证明：由“共边三角形”的性质，得 由(1)，知 （3）2：5 【知识点】三角形的面积；比例线段 【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5. 故答案为：2：5. 【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解； (2)由(1)及题意可进行求解； (3)由题意易得进而问题.可进行求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 成比例线段-北师大版数学九年级上册 一、选择题 1．（2025九上·金华月考）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是(　　) A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d= C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d= 3．（2024九上·肃南期末）已知，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 4．已知，那么下列等式中成立的是（　　） A． B． C． D．． 5．（2024九上·上海市月考）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（　　） A． B． C． D． 6．（2024九上·洞口开学考）已知，并且，则函数图像一定经过（　　） A．第一、二、三象限 B．第二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、四象限 7．（2024九上·沙坪坝开学考）若且，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2024九上·六安月考）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为　 　. 10．（2024九上·龙华期中）若，则　 　． 11．（2025九上·杭州开学考）已知，则　 　． 12．（2025九上·海曙期末）已知abc≠0，且，则k的值为　 　. 13．（2024九上·青羊期中）已知实数a、b、c满足，则的值为　 　． 三、解答题 14．（2024九上·济南高新技术产业开发月考）已知线段a，b，c满足，且． （1）求线段a，b，c的长； （2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 15．（2023九上·杭州期中）已知， （1）求； （2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值． 16．（2024九上·临江期末）已知，，，是的三边，且，，求的面积. 17．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？ 18．（2023九上·渠县期中）已知，且． （1）求的值． （2）若，是方程的两根，求的值． 19．如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形． （1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽； （2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由． 20．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则 【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF. （1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积. （2）求证： （3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF=　 　. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解： 故A不符合题意； 故B符合题意； 故C不符合题意； 故D不符合题意； 故答案为：B . 【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答. 2．【答案】B 【知识点】比例线段 【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意； C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意． 故答案为：B． 【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案. 3．【答案】C 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴设，（）， ∴， 故答案为：． 【分析】先设，（），再根据比例的性质计算求解即可。 4．【答案】C 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3， ∴3a=2b， A：由以上解释易知A不符题意； B：，即，不符题意； C： ，即，符合题意； D：，即3a=4b，不符题意； 故答案为：C． 【分析】根据比例的基本性质即可得出答案。 5．【答案】A 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：A、 ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B、若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C、已知线段m，且m≠0，所以m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即故C选项错误； D、若满足此时，故D选项错误. 故答案为： A. 【分析】根据比例线段的定义及性质逐一判断可得答案. 6．【答案】B 【知识点】一次函数的图象；比例的性质 【解析】【解答】解：因为， 所以 所以， ①当a+b+c不等于0时，， 所以3=p+1，解得：则， 直线经过一、二、三象限（如图）． ②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1， 则y=-x-1， 直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图）， 综上：的图像一定经过二、三象限； 故答案为：B 【分析】将等式加1可得，分情况讨论：①当a+b+c不等于0时，，可得3=p+1，解方程可得p，即，根据一次函数图象性质即可求出答案；②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，则y=-x-1，根据一次函数图象性质即可求出答案. 7．【答案】D 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴b=3a，d=3c，f=3e， 又， ∴ 故选：D． 【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解. 8．【答案】C 【知识点】一元二次方程的根；比例的性质 【解析】【解答】解：， ， ， 解得，，舍去， 故答案为：C 【分析】先根据题意得到，进而解一元二次方程即可求解。 9．【答案】 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：∵ ∴ ∴ ∵x+y+z≠0 ∴ 故答案为：. 【分析】根据已知，由等比性质可得：，整理，得，根据x+y+z≠0，即可得出答案. 10．【答案】 【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：， 设， ， 故答案为：． 【分析】 根据比例的性质；设，代入计算即可解答． 11．【答案】 【知识点】分式的值；比例的性质 【解析】【解答】解：由得，， 整理得， ． 故答案为：． 【分析】利用两内项之积等于两外项之积可将方程化为，解该二元一次方程，用含y的式子表示出x，从而代入待求式子约分化简即可. 12．【答案】1或 【知识点】比例的性质 【解析】【解答】解：由已知得， ∴当 时，得 当 时，则 ∴k的值为1或 故答案为：1或 【分析】根据已知条件得出( 再把三式相加得出 然后分两种情况讨论， 即可得出k的值. 13．【答案】6 【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：设，则， ． 故答案为：6. 【分析】由等比性质，可设，然后将a、b、c都用字母k的式子表示出来，进而将a、b、c代表的式子代入待求式子，根据整式加减法法则计算可得答案. 14．【答案】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 【知识点】比例的性质；比例线段；开平方（求平方根） 【解析】【分析】 （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值，解答即可； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长，解答即可． （1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 15．【答案】（1）解：设， 则a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∴3； （2）解：由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k， ∵2a+b+2c=-30， ∴2×2k+3k+2×4k=-30， 解得：k=-2， ∴a=-4，b=-6，c=-8． 【知识点】比例的性质 【解析】【分析】（1）设，把a，b，c用k表示，再代入约分约掉k即可； （2）由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入2a+b+2c=-30，得关于k的一元一次方程，解之得k的值，再代入a＝2k，b＝3k，c＝4k，即可求得 a，b，c的值． 16．【答案】解：设， ∴，，， 又∵，∴， ∴，∴，， 又∵， ∴，、为两条直角边 ∴，即的面积为6. 【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质 【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。 17．【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为． 由题可知．设下部，则， ， 去分母得，， ， 解得，（舍）， 检验，方程解为， 答：它的下部应设计为高． 【知识点】分式方程的实际应用；比例线段 【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。 18．【答案】（1），∴，，， ∴； （2）∵， ∴一元二次方程为， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根式， ∵，是方程的两根， ∴，， ∴． 【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；比例的性质 【解析】【分析】本题考查比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式.（1）根据，利用比例线段的性质可得：，，，再代入k的进行式进行化简，可求出k的值； （2）根据方程先找出a，b，c的值，再根据方程有两个实数根，利用根的判别式进行计算可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式变形可得：，将，代入式子进行计算可求出答案. 19．【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)， 可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm （2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ， 由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0. ∵a>b， ∴a－b≠0， ∴x＝0， 又∵x>0， ∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段． 【知识点】比例线段 【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。 （2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。 20．【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得 ∵D，E 分别为BC，AD的中点， ∵△ABC 的面积为45， （2）证明：由“共边三角形”的性质，得 由(1)，知 （3）2：5 【知识点】三角形的面积；比例线段 【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5. 故答案为：2：5. 【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解； (2)由(1)及题意可进行求解； (3)由题意易得进而问题.可进行求解. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $