精品解析：新疆疏附县2025-2026学年高二上学期期中考试数学测试卷

2025-2026学年第一学期高二期中测试卷 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（ ） A. B. C D. 4. 已知是椭圆两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线和直线，则是两直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 8. 过定点直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（ ） A. 点坐标为 B. 右焦点坐标为 C. D. 椭圆的方程为 10. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 11. 已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线在轴上的截距为_______． 13. 已知向量，若，则___________. 14. 如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 _______． 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 已知的三个顶点，分别是的中点． （1）求直线一般式方程； （2）求边的垂直平分线的斜截式方程． 16. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程. 17. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 18. 已知圆经过、两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 19. 四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求二面角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角为时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二期中测试卷 数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若，，，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示求的值. 【详解】由题设，则. 故选：A 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的一般方程得到斜截式方程，求得直线的斜率，从而求得直线的倾斜角. 详解】由，得. 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则. 因为，所以. 故选：D. 3. 圆心为，半径为的圆关于原点对称的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得点关于原点的对称点，进而求得圆的标准方程， 【详解】因为点关于原点的对称点的坐标为， 所以圆心为，半径为的圆的标准方程为. 故选：D. 4. 已知是椭圆的两个焦点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义直接求解即可. 【详解】 由椭圆方程知：椭圆长轴长； 由椭圆定义知：， 的周长为. 故选：C. 5. 如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，则. 所以，又 所以 故选：C. 6. 已知直线和直线，则是两直线平行的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线和直线平行， 则，解得或， 因此，是两直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（ ） A 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】已知直线，变形为， 由，即直线恒过定点， 代入圆的方程的左端有，即点在圆内， 所以直线与圆相交， 故选：A 8. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知为椭圆的左右焦点，过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点为，若，，则（ ） A. 点坐标为 B. 右焦点坐标为 C. D. 椭圆的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可求得，进而确定点坐标和焦点坐标，知AB正误；利用焦点三角形面积和椭圆定义可求得，由椭圆关系可得，知CD正误. 【详解】 对于A，，为中点，， ，，且符号相同， ，解得：， ，，又符号相同，或，A错误； 对于B，，，则右焦点为，B正确； 对于C，设，， ，， 由椭圆定义知：，又，，， ，，即，解得：， ，C错误； 对于D，，，椭圆的方程为，D正确. 故选：BD. 10. 已知椭圆：的左､右焦点分别为，，点在上，若是直角三角形，则的面积可能为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据对称性只需考虑或，当时，求出的长，再由面积公式即可求面积，当时，结合，求出，再由面积公式即可求面积. 【详解】由可得，，所以， 根据对称性只需考虑或， 当时，将代入可得， 如图：，，所以的面积为， 当时，由椭圆的定义可知：， 由勾股定理可得， 因为， 所以，解得：， 此时的面积为， 综上所述：的面积为或. 故选：BC. 11. 已知圆和圆相交于A、两点，下列说法正确的是（ ） A. 公共弦所在直线方程为 B. 圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1 C. 取圆上点，则的最大值为 D. 直线被圆所截得弦长最短为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：根据两圆相交弦方程的求解，结合已知条件，求解即可；对B：求得到直线的距离，结合圆的半径，即可判断；对C：求得的参数表达形式，结合三角函数的最值，即可求得结果；对D：利用勾股定理可判断正误. 【详解】对A：圆和圆相交于两点， 故直线的方程为：，即，故A正确； 对B：到直线的距离，又圆的半径， 所以直线与圆相交且不过圆心，即圆上存在3个点到直线的距离为，B正确； 对C：圆，即， 因为在圆上，故可设， 则， 又的最大值为， 故的最大值为，C错误； 对D：将直线方程变形为， 由，解得，所以，直线过定点， 所以，圆心到直线的距离为最大值为， 因此，直线被圆所截得弦长最短为，D正确. 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 直线在轴上的截距为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据截距的知识求得正确答案. 【详解】由，令，解得， 所以直线在轴上的截距为. 故答案为： 13. 已知向量，若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可得， 则，解得. 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，若，，则二面角的余弦值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量法可求二面角的余弦值. 【详解】以坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以， 又因为，，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分） 15. 已知的三个顶点，分别是的中点． （1）求直线的一般式方程； （2）求边的垂直平分线的斜截式方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得的坐标，进而求得直线的方程并转化为一般式方程. （2）求得垂直平分线的斜率，进而求得其斜截式方程. 【小问1详解】 由于分别是的中点，所以， 所以，直线的方程为，即. 【小问2详解】 ，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线的斜截式方程为. 16. 已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点. （1）求该椭圆的标准方程； （2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得且，从而，得到椭圆的标准方程； （2）设点，，线段的中点为，根据中点坐标公式将、表示成关于、的式子，将，关于、的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段的中点的轨迹方程． 【详解】解：（1）由题意知椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程是 椭圆经过点，左焦点为， ，，可得 因此，椭圆的标准方程为． （2）设点的坐标是，，线段的中点为， 由根据中点坐标公式，可得，整理得， 点，在椭圆上， 可得，化简整理得， 由此可得线段中点的轨迹方程是． 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常见方法有： （1）直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； （2）定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； （3）参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可； （4）相关点法，将代入. 17. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点； （I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值； （II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值． 【答案】（I）（II） 【解析】 【详解】试题分析:（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案． 解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz， 则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0）， ∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4）， ∴cos＜，＞== ∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：； （II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0）， 设平面C1AD的法向量为=（x，y，z）， 则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，）， 设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|= ∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为： 考点：异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角． 18. 已知圆经过、两点，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线与圆相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的标准式方程，代入计算，即可得到结果； （2）由向量数量积的定义可得，从而可得圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 小问1详解】 设圆的标准方程为，可知其圆心为， 由题意可得，解得， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，过点的直线与圆相交于、两点， 且，则， 所以，所以， 所以圆心到直线的距离， 由题意直线的斜率存在，设直线为，即， 所以，化简得， 解得或，所以直线的方程为或. 19. 四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，点是棱上一点. （1）求证：平面平面； （2）当为中点时，求二面角的余弦值； （3）若直线与平面所成的角为时，求. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）1或2. 【解析】 【分析】（1）证明平面即可得出平面平面； （2）建立空间坐标系，求出平面和平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小； （3）由可知，在中利用余弦定理计算． 【详解】证明：（1）因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，所以. 因为平面，所以. 又因为，所以平面. 所以平面平面. （2）在平面内，过点作，则，因为平面， 平面，所以.如图建立空间直角坐标系，则 ，，，，. 当为中点时，. 所以，，，. 设平面的方向量为，则 令，得，，所以. 设平面的方向量为，则 则，令，则. 所以，. 因为二面角为锐二面角，得二面角的余弦值为. （3）设，则 . 由（1）得，平面.所以，平面的一个方向量为， 由题意：，故，即. 所以，，即. 解得，. 所以或. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $