第2章 简单事件的概率（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年浙教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 简单事件的概率 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南南阳·三模）人类性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体，用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等，则一对夫妇的第一个孩子是男孩的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨； ③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1； ④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则． 属于确定事件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）某校组织九年级学生前往江滩公园春游，各班分别从“黄埔门“永清门“五福门”三个门中随机选择一个步行进入江滩，则1班和2班选择同一个门的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·福建福州·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为 ． 12．（2020·四川巴中·模拟预测）有5张卡片的正面分别写有数字， ， 2， 3， 4，它们除了数字不同外其余完全相同．现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的数字能使一次函数的图象不经过第三象限的概率为 ． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）从这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 14．（21-22九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在不透明的盒子里有4个分别写有数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点的横坐标，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字作为点的纵坐标，则点在第二象限内的概率是 ． 15．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 16．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 18．（20-21九年级上·四川成都·阶段练习）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·河北邯郸·期中）将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； (2)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东清远·期中）某校组织学生参加“亲子共劳”的主题实践活动，为了解学生参与本次活动的情况，随机抽取本校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，“洗衣服”对应扇形的圆心角度数为______； (3)现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁名学生中，随机抽取名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率． 21．（本题8分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）概率与应用： 【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）． 【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则： 将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片． 【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签． 【任务】 (1)求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率． (2)用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率． 22．（本题8分）（24-25九年级上·广东清远·期中）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 23．（本题8分）（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）年月日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：A．毛细效应实验；B．水球变“懒”实验；C．太空趣味饮水；D．会调头的扳手．某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： (1)本次被调查的学生有_____人；扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为_____； (2)请补全条形统计图； (3)李老师准备从四个实验中选取两个作为本学期实验体验项目，请用列表法或树状图法求出含有“C．太空趣味饮水”实验的概率． 24．（本题8分）（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数： ①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位； ②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位； ③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位． (1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率； (2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数； (3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值． 25．（本题10分）（21-22九年级下·安徽淮北·阶段练习）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． (1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度； (2)补全条形统计图； (3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 26．（本题10分）（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． 完成下列问题： （1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为 ，当满足 时，此抛物线没有“抛物线三角形”； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积； （3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第2章 简单事件的概率 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知A，B两个口袋中都有6个分别标有数字0，1，2，3，4，5的彩球，所有彩球除标示的数字外没有区别．甲、乙两位同学分别从A，B两个口袋中随意摸出一个球．记甲摸出的球上数字为x，乙摸出的球上数字为y，数对对应平面直角坐标系内的点Q，则点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据已知列表得出所有结果，进而得出满足条件的点的个数为8个，即可求出点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率． 【规范解答】解：根据题意列表得出： 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 ∵数对对应平面直角坐标系内的点Q，点Q落在以原点为圆心， 半径为的圆上或圆内的横坐标、纵坐标的平方和小于或等于5， ∴满足横、纵坐标的平方和小于或等于5的点有、、、、、、、， ∴满足条件的点的个数为：8个，且所有的点由表可得共计36个， ∴点Q落在以原点为圆心，半径为的圆上或圆内的概率为：． 故选：A． 2．（2025·河南南阳·三模）人类性别由一对染色体决定，称为性染色体．女性的性染色体是一对同型的染色体，用表示，男性的性染色体是一对异型的染色体，用表示，每个人的成对染色体只有一个能遗传给后代，且可能性相等，则一对夫妇的第一个孩子是男孩的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查列表法与树状图法，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．画出树状图，根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：画树状图如下： 由图知一对夫妇的第一个孩子有种等可能结果，其中是男孩的只有种结果， 第一个孩子是男孩的概率是， 故选：A． 3．（25-26七年级上·广西南宁·开学考试）学校“爱昆虫”社团买回一些盲袋，每个盲袋里装一个琥珀昆虫吊坠．如图，这些琥珀昆虫吊坠中，蝴蝶10个，蝎子1个，瓢虫5个．菲菲随机领取一个盲袋，里面是什么昆虫呢？下面说法正确的是（   ） A．三种昆虫的可能性一样大 B．不可能是蝎子 C．瓢虫的可能性最小 D．蝴蝶的可能性最大 【答案】D 【思路引导】本题考查了可能性的大小，明确可能性的大小与数量的多少有关，数量多的可能性大一点，数量少的可能性小一点，据此即可解答． 【规范解答】解：，蝴蝶琥珀昆虫吊坠最多，蝎子琥珀昆虫吊坠最少， 菲菲随机领取一个盲袋，领取蝴蝶的可能性最大，蝎子的可能性最小， 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如表：下列说法正确的是（　　） 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次 B．若抛掷图钉100次，则一定有64次“钉尖不着地” C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，则“钉尖不着地”概率为0.8 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 利用频率估计概率逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A．若抛掷图钉10000次“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； B．若抛掷图钉100次，则可能有64次“钉尖不着地”，错误，不符合题意； C．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”可能性不相等，错误，不符合题意； D．若抛掷图钉10次，“钉尖不着地”8次，次数较少，不能用来估计“钉尖不着地”概率，错误，不符合题意； 故选：A． 5．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）下列事件：①打开电视机，正在播放动画片；②下个星期天会下雨； ③抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1； ④一个有理数的平方是非负数；⑤若异号，则． 属于确定事件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了随机事件，必然事件，有理数的加法及乘方，熟练掌握相关定义是解题的关键．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；据此进行判断即可． 【规范解答】解：打开电视机，正在播放动画片是随机事件，则①不是确定事件， 下个星期天会下雨是随机事件，则②不是确定事件， 抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和是1为不可能事件，则③是确定事件， 一个有理数的平方是非负数为必然事件，则④是确定事件， 若异号，则是随机事件，则⑤不是确定事件， 综上，属于确定事件的有2个， 故选：B． 6．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）某校组织九年级学生前往江滩公园春游，各班分别从“黄埔门“永清门“五福门”三个门中随机选择一个步行进入江滩，则1班和2班选择同一个门的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了用列表法或树状图法求概率，注意概率为所求情况数与总情况数之比是解题的关键． 将“黄埔门”“永清门”“五福门”三个门分别记作A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：将“黄埔门”“永清门”“五福门”三个门分别记作A、B、C， 列表如下： 由表知，共有9种等可能结果，其中1班和2班选择同一个门的有3种结果， 所以1班和2班选择同一个门的概率为． 故选：A ． 7．（25-26九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，将一枚棋子依次沿正方形的四个顶点，，，，，，，…移动．开始时，棋子位于点处，然后，根据掷骰子掷得的点数移动棋子（如掷得1点就移动1步到点处，掷得3点就移动3步到点处……）；接着，以移动后棋子所在的位置为新的起点，再进行同样的操作．在第二次掷子后，棋子回到点处的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了树状图或者列表法求概率．要使棋子回到点A处，前两次掷得的点数之和必须为4，8或12．因此，所求事件中可能出现的结果数应该等于两次掷得的点数之和为4的结果数+两次掷得的点数之和为8的结果数+两次掷得的点数之和为12的结果数． 【规范解答】解：随机地掷一枚质地均匀的骰子两次，所有可能出现的结果如下：       第二次 第一次 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 总共有36种可能的结果，每种结果出现的可能性相同． 要使棋子回到点A处，两次掷得的点数之和必须为4，8或12． 两次掷得的点数之和4的结果有3种：，，； 两次掷得的点数之和为8的结果有5种：，，，，； 两次掷得的点数之和为12的结果有1种：， 所以，使棋子回到点A处的可能结果总共有（种）． 因此，棋子回到点A处的概率为． 故选：C． 8．（2025·福建莆田·二模）甲、乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字，，，乙的卡片分别标有数字，，，两人进行轮比赛．每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得分，数字小的人得分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则三轮比赛后，甲能得分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了列举法求概率，根据题意一一列举即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：三轮比赛结果 甲 乙 甲得分 三轮比赛后，甲能得分的概率是， 故选：． 9．（24-25九年级上·河南安阳·期末）在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了列表法与树状图法、二次根式的性质等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． 由二次函数不经过第四象限，，或，再列表得到m、n的所有可能的值以及图象不经过第四象限的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【规范解答】解：∵二次函数不经过第四象限， ∴，或顶点纵坐标，即：，或， 列表： nm 0 0 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5， ∴二次函数不经过第四象限的概率为． 故选：A． 10．（2024·北京·模拟预测）中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【规范解答】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·福建福州·模拟预测）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，如果在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了几何概率，设“东方魔板”的边长为，则“东方魔板”的面积为，根据七巧板中各图形的关系求出阴影部分的面积，点落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积除以正方形的面积. 【规范解答】解：设“东方魔板”的边长为，则“东方魔板”的面积为， ， ， 在中，， ， ， 如下图所示，过点作， 则， ， 又， ， ， ， ， 在此正方形中随机取一点，那么此点取自阴影部分的概率为． 故答案为： 12．（2020·四川巴中·模拟预测）有5张卡片的正面分别写有数字， ， 2， 3， 4，它们除了数字不同外其余完全相同．现 将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的数字能使一次函数的图象不经过第三象限的概率为 ． 【答案】 【思路引导】根据一次函数的图象不经过第三象限，判定，根据简单地概率公式解答即可． 本题考查了一次函数的图象分布，简单地概率公式应用，熟练掌握图象分布，概率计算是解题的关键． 【规范解答】解：根据一次函数的图象不经过第三象限，得， a是负数的可能性有， 两种，一共有， ， 2， 3， 4，共5种可能性， 故图象不经过第三象限的概率为， 故答案为：． 13．（2025九年级上·全国·专题练习）从这7个数中任意选一个数作为m的值，则使关于x的分式方程：的解是负数，且关于x的一次函数的图象不经过第一象限的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解分式方程，概率公式，一次函数的性质，正确求出分式方程的解是解题的关键． 直接利用分式方程有解的意义以及一次函数图象的性质得出m可能的取值，进而得出答案． 【规范解答】解：解分式方程得：， ∵方程的解为负数， ∴且， 解得：且， 又∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴， ∴， 则且， 在这7个数中符合且的有，0，1，2这4个数， ∴使分式方程的解为负数且一次函数图象不过第一象限的概率为， 故答案为：． 14．（21-22九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）在不透明的盒子里有4个分别写有数字的小球，它们除数字不同外其余全部相同，现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为点的横坐标，然后在剩下的小球中随机再取出一个，将小球上的数字作为点的纵坐标，则点在第二象限内的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了概率的运算，熟悉掌握概率的运算方法是解题的关键．列出坐标，进而根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：点的坐标可为：，，，，，，，，，，，共种； 其中在第二象限的有：，，，4种， ∴点在第二象限内的概率， 故答案为：． 15．（2025·重庆·模拟预测）如图，已知开关已损坏无法闭合，现随机闭合3个开关，，中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了列举法求概率．根据题意列举出所有等可能的结果是解题的关键． 由题意知，随机闭合3个开关，，中的两个开关，共有（，）（， ），（，）三种等可能的结果，其中能够使小灯泡L发光的共有（，）（， ），两种等可能的结果，然后求概率即可． 【规范解答】解：由题意知，随机闭合3个开关，，中的两个开关， 共有（，）（， ），（，）三种等可能的结果， 其中能够使小灯泡L发光的共有（，）（， ），两种等可能的结果， ∴使小灯泡L发光的概率是． 故答案为：． 16．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）有四张正面分别标有数字，，，的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中任取两张，将两张卡片上的数字之和记为，则使关于的分式方程无解的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了列表法或树状图法求解概率，分式方程的无解问题，先求出分式方程无解时的取值，再利用树状图法表示出洗匀后从中任取两张时出现的所有情况，然后利用概率公式即可求解． 【规范解答】解： 方程两边同乘得， 整理，得， 当，即时，整式方程无解，则分式方程也无解； 当，即时， ∵原分式方程无解， ∴原分式方程有增根， ∴当或当时原分式方程无解， ∴当或时，原分式方程无解； 若，那么，解得， 若，那么，解得； 综上所述，当或或时，分式方程无解； 画树状图如图所示： 由树状图可知，共有个等可能的结果，使关于的分式方程无解的结果有个， 使关于的分式方程无解的概率为； 故答案为：． 17．（24-25八年级下·四川成都·期末）从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了解一元一次不等式，分式方程的解、概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．解不等式得，则可得解不等式的负整数解为：，，，．解分式方程得出，根据分式方程有正整数解得出，且，然后可得m的值，最后利用概率公式即可得出答案． 【规范解答】解：解不等式， 得， ∴不等式的负整数解为：，，，， 解方程， 得， ． ∵分式方程的解是正整数， ∴，且， ∴，且， 解得且， ∴使分式方程的解为正整数的m的值只有一个， ∴关于的分式方程的解是正整数的概率为． 故答案为：． 18．（20-21九年级上·四川成都·阶段练习）有五张正面分别写有数字-4，-3，0，2，3的卡片，五张卡片除了数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为，则抽取的既能使关于的方程有实数根，又能使以为自变量的二次函数，当时，随的增大而减小的概率为 ． 【答案】 【思路引导】根据方程有实数根列出关于n的不等式，再根据二次函数的图象列出关于n的不等式，从而求出n的取值范围，找出符合条件的整数解，最后根据概率公式进行计算即可． 【规范解答】有实数根， ， ∴， ， 又， 对称轴为：， 时，随增大而减小， ， 综上， 可取0，2， ∴， 故答案为：． 【考点剖析】此题考查二次函数的性质及概率公式，得到满足条件的n的情况数是解决本题的关键． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·河北邯郸·期中）将如图所示的牌面数字分别是2，3，4，5的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是________； (2)先随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽出一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可． 【规范解答】（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字所有可能出现的结果有4种，且它们出现的可能性相等，其中出现偶数的情况有2种， ∴P（牌面是偶数）＝=； 故答案为：； （2）根据题意，画树状图： 可知，共有种等可能的结果，其中恰好是的倍数的为：24,32,44,52，共有种， 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东清远·期中）某校组织学生参加“亲子共劳”的主题实践活动，为了解学生参与本次活动的情况，随机抽取本校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如下不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题： (1)本次共调查了______名学生，并补全条形统计图． (2)在扇形统计图中，“洗衣服”对应扇形的圆心角度数为______； (3)现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁名学生中，随机抽取名学生谈一谈劳动感受，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率． 【答案】(1)名，补图见解析 (2) (3) 【思路引导】（）用做饭的人数除以其百分比可求出共调查的学生人数，进而求出扫地的学生人数，再补全条形统计图即可； （）用乘以“洗衣服”的人数占比即可求解； （）根据题意画出树状图，再根据树状图解答即可求解； 本题考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵， ∴本次共调查了名学生， ∴扫地的学生有， ∴补全条形统计图如下： （2）解：∵， ∴“洗衣服”对应扇形的圆心角度数为； 故答案为：； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有种， ∴甲、乙两人同时被抽中的概率为． 21．（本题8分）（25-26九年级上·浙江温州·期中）概率与应用： 【素材1】某校为培养学生“垃圾分类，从我做起”的环保意识，组织开展“游戏互动”“趣味问答”“模拟投放”三项活动（这三项活动分别记为A、B、C）． 【素材2】各班派两位同学参加，用抽签决定参加相应的活动．为了降低同班同学参加同项活动的概率，同时也为了让更多的同学参加“趣味问答”活动，学校制定了以下抽签规则： 将A、B、B、C这四个字母分别写在四张无差别不透明的卡片正面上，从中拿出写有A、B、C的三张卡片，洗匀后正面向下放在桌面上，某班第一位同学先随机抽取一张卡片，然后把桌面上剩下的两张与另一张写有字母B的卡片混合并洗匀，再由该班第二位同学从中随机抽取一张卡片． 【素材3】九年级1班派出小温和小州两位同学，先由小温抽签，再由小州抽签． 【任务】 (1)求小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率． (2)用列表法或画树状图法，求小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率． 【答案】(1)小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为 (2)小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为 【思路引导】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键； （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）根据题意列出表格，然后可求解概率． 【规范解答】（1）解：由题意可知： 小温同学抽到参加“趣味问答”活动的概率为； （2）解：由题意可列表如下： 小温/小州 A C A C 由表可知：抽取的情况总共有9种，其中小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的结果有4种，所以小温和小州都没有抽到参加“模拟投放”活动的概率为． 22．（本题8分）（24-25九年级上·广东清远·期中）居民区内的“广场舞”引起媒体关注，小王想了解本小区居民对“广场舞”的看法，进行一次分四个层次的抽样调查（四个层次为：A．非常赞同；B．赞同但要有时间限制；C．无所谓；D．不赞同），并把调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：    (1)本次被抽查的居民人数是______人； (2)图中的度数是______度； (3)据了解，甲、乙、丙、丁四位居民投不赞同票，小王想从这四位居民中随机选择两位了解具体情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）利用B层次人数除以其所占百分比，即可解题； （2）结合条形统计图，利用乘以层次的人数所占比，即可解题； （3）记甲、乙、丙、丁四位居民分别为，根据题意画出树状图，进而得到总的情况数，以及恰好选中甲和乙的情况数，再结合概率公式求解，即可解题。 【规范解答】（1）解：（人）， 故答案为：； （2）解：结合条形统计图可知层次的扇形统计图要比层次的扇形统计图小， 所以， 故答案为：； （3）解：记甲、乙、丙、丁四位居民分别为， 根据题意画树状图如下： 由图可知，总共有种情况数，其中恰好选中甲和乙的情况有种， 恰好选中甲和乙的概率为． 23．（本题8分）（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）年月日“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲并直播，神舟十四号三位航天员相互配合，生动演示了微重力环境下的四个实验：A．毛细效应实验；B．水球变“懒”实验；C．太空趣味饮水；D．会调头的扳手．某校九年级数学兴趣小组成员为研究“九年级学生对这四个实验中最感兴趣的是哪一个？”随机调查了本年级的部分学生，并绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中的信息回答下列问题： (1)本次被调查的学生有_____人；扇形统计图中D所对应的圆心角的度数为_____； (2)请补全条形统计图； (3)李老师准备从四个实验中选取两个作为本学期实验体验项目，请用列表法或树状图法求出含有“C．太空趣味饮水”实验的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，掌握相关知识是解答本题的关键． （1）用对实验最感兴趣的人数除以其所占的百分比可得本次被调查的学生人数；用乘以被调查的学生中对实验最感兴趣的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中所对应的圆心角的度数． （2）用被调查的学生总人数分别减去对，，实验最感兴趣的人数，可得对实验最感兴趣的人数，补全条形统计图即可． （3）画树状图得出所有等可能的结果数和抽中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【规范解答】（1）解：（1）本次被调查的学生有（人． 扇形统计图中所对应的圆心角的度数为． 故答案为：，； （2）解：（人， 补全条形统计图如图所示． （3）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好抽的结果有6种， ∴含有“C．太空趣味饮水”实验的概率． 24．（本题8分）（21-22九年级下·河北石家庄·阶段练习）如图，程序员在数轴上设计了A、B两个质点，它们分别位于―6和9的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数： ①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位； ②若两次向上面的点数均为奇数，则A点向左移动2个单位，B点向左移动5个单位； ③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位． (1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率； (2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a，若A点最终的位置对应的数为b，请用含a的代数式表示b，并求当A点落在原点时，求此时B点表示的数； (3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若，求x的值． 【答案】(1)； (2)B点表示的数为-21； (3)x的值为4或6． 【思路引导】（1）利用概率公式计算即可； （2）根据题意可知当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位，当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可； （3）刚开始的距离是15，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结果． 【规范解答】（1）解：根据题意，B点移动到4，则向左移5个单位，且第一次就移动到4， 故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1，3，5，) ， 则P(奇数)=， ∴P(B点移动到4)=； （2）解：当向上的点数均为偶数时，A点向右移动a个单位， 当向上的点数均为奇数时，A点向左移动2(12-a)个单位， ∴b=-6+a-2(12-a)=3a-30， 当b=0时，3a-30=0， ∴a=10，即均为偶数有10次，均为奇数有2次， ∴B点表示的数为9-10×2-2×5=-21； （3）解：刚开始AB的距离等于15， 均为偶数时，AB距离缩短3， 均为奇数时，AB距离缩短3， 均为一奇一偶时，AB距离也缩短3， 当缩短至3时，(15-3)÷3=4，∴x=4； 当缩短至0再增长3时，(15+3)÷3=6，∴x=6； ∴x的值为4或6． 【考点剖析】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 25．（本题10分）（21-22九年级下·安徽淮北·阶段练习）为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的效果，某中学计划在各班设立图书角．为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查．学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型（A．科普、B．文学、C．体育、D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示． 请你根据以上信息，解答下列问题． (1)随机抽样调查的样本容量是______，扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为______度； (2)补全条形统计图； (3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率． 【答案】(1)400；108° (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）由A组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由B的百分比乘以360°即可得到圆心角度数； （2）先求出B、D的数量，然后补全条形统计图即可； （3）由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率． 【规范解答】（1）解：样本容量是：； C所占的百分比为：； ∴扇形统计图中“B”所对应的圆心角的度数为：（1-25％-10％-35％）×360°＝108°． 故答案为：400，108 （2）解：D的数量为：， B的数量为：； 补全条形图如下： （3）解：由题意，树状图如下： ∴共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能． 所以． 【考点剖析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题． 26．（本题10分）（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）在抛物线中，规定：（1）符号称为该抛物线的“抛物线系数”；（2）如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． 完成下列问题： （1）若一条抛物线的系数是，则此抛物线的函数表达式为 ，当满足 时，此抛物线没有“抛物线三角形”； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求出抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积； （3）在抛物线中，系数均为绝对值不大于的整数，求该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率． 【答案】（1）y=-x2+m;m≤0；（2）抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=，抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=；（3）该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率=． 【思路引导】（1）由一条抛物线的系数是，可得，-10抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时即可求出； （2）设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E，由等腰直角三角形性质OE=AE=DE,即OA=2ED，抛物线顶点D，A(-b,0)，则，可求，分两种情况分别求出抛物线，再求抛物线三角形面积即可 （3）系数均为绝对值不大于的整数，，，，一共有18种可能情况， 或抛物线为或，EH=2，GF=1，EH=2GF，△EFH为等腰直角三角形，能构成等腰直角三角形的只有两种情况，利用概率公式可求． 【规范解答】解：（1）∵一条抛物线的系数是， ， -10抛物线开口向下，当抛物线的顶点在原点（0，0）或x轴下方时，此抛物线没有“抛物线三角形”， 当满足 m≤0  时，此抛物线没有“抛物线三角形”， 故答案为：y=-x2+m;m≤0； （2）抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，设抛物线与x的另一交点为A，抛物线的顶点为D，抛物线的对称轴与x轴交于E， 由等腰直角三角形性质有：OE=AE=DE,即OA=2ED， ， 抛物线顶点D，A(-b,0)， ∴OA=，DE=， 则=2×， ∴， ， ，不存在三角形，舍去， ∴， ， 当， 抛物线系数为，抛物线为， 当y=0，， 顶点坐标，与x轴的交点为（2，0），（3，0）， 抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=， 当， 抛物线系数为，抛物线为， 顶点坐标，与x轴的交点为（6，0），（-1，0）， 抛物线系数为的“抛物线三角形”的面积=， （3）系数均为绝对值不大于的整数，，，， 一共有18种可能情况，其中抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形分类考虑， ①一次项系数为0，或， 抛物线为，或EH=2，GF=1，EH=2GF， ∴三角形EFH为等腰直角三角形， ，，，没有抛物线三角形 ②系数都不为0，，，，，，，，， ，△=5，x=,EH=,GF=，EH≠2GF，不是， ③常数项为0，，，都不能构成， 其它也没有抛物线三角形 为此能构成等腰直角三角形的只有两种， 该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率=． 【考点剖析】 本题考查抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，概率，掌握抛物线的性质，抛物线的顶点式与两轴的交点，等腰直角三角形的性质，抛物线三角形面积，会利用树状图求概率是解题关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $