第27章 相似小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 第27章 相似小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测） 知识点一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。 知识点二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 4）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 知识点四、相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 知识点五、相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 知识点六、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 知识点七、相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点八、利用相似三角形测高测距离 1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 知识点九、位似的概念及性质 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 知识点十一、图形的变换与坐标 1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 3）、以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 考点1相似图形的识别 例1．下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（   ） A． B． C． D． 1．山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（    ） A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转 2．下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 考点2 比例的性质 例2．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 1．若，则的值是（    ） A．7 B． C． D．-2 2．若，则的值是() A． B． C． D． 3．若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 考点3比例线段 例3．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 1．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 2．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 考点4黄金分割 例4．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 1．沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织，雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 2．如图，中，，，，某同学进行了如下的操作：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．他有两个猜想：①点是线段的黄金分割点；②．你的判断是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 3．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 考点5平行线分线段成比例 例5．四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C．12 D．18 2．如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 3．如图，为⊙的弦延长线上一点，切⊙于C，连接交于E，若为等边三角形，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 考点6相似三角形的判定 例4．如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由． 1．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 2．如图，在和中，已知，．求证：． 3．如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 考点7相似三角形的性质 例7．如图，在中，，点D是上一点，于点E，，，，求的长． 1．如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 3．如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 考点8相似三角形判定和性质综合 例8．已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 1．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 2．如图，在中，的高，交于点，连接． (1)试说明的理由； (2)若，求的长． 3．如图，F是平行四边形的边上一点，交的延长线于点E，若，，求的长． 考点9利用相似三角形解决实际问题 例9．某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 1．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物的高度，小明同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求建筑物的高度．（结果保留整数，说明：由物理知识，可知） 2．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 3．如图，一棵树的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况） 考点10相似三角形与函数综合 例10．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 1．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 3．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C． 点D，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，轴于点A，轴于点B，且，． (1)求点D的坐标； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 考点11相似三角形与圆的综合 例11．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D． （1）如果BE=15，CE=9，求EF的长； （2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE； （3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由． 1．如图，是圆O的直径，切圆O于点D，，与圆O相交于点E，F．求证：． 2．阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点． 求证：． 证明：如图，连接， ∵，， ∴①___________， ___________ ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 3．如图，在的边上取点，以为半径作圆，与相切于点，与相交于点，弦与相交于点，点为的中点． (1)若，，求弦的长； (2)若，求的值． 考点12作图—相似变换 例12．在如图所示的平面直角坐标系中，，，． (1)作的边上的中线和高； (2)在的条件下，的面积为______． (3)在图中标出的重心（保留作图痕迹），并写出重心的坐标_______． 1．已知，在平面直角坐标系中，点，． (1)请在y轴正半轴上找一点C，使得 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． (2)在（1）的条件下，已知点，连接．求的度数． 2．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出 关于y轴对称的并写出点 A 的对应点的坐标； (2)的面积为 ； (3)请你在y轴上找到一点 P，使得．最小（保留作图痕迹）． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按要求用无刻度直尺完成下列作图． (1)以点O为位似中心，相似比为．将放大得到 (2)面积为 ； (3)若内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 ． 考点13位似变换 例13．如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，． (1)作图：以点为位似中心，在位似中心右侧将放大到原来的3倍，得到； (2)写出、的坐标：（___，___）、（___，___）． 1．如图，在平面直角坐标系中，是格点三角形（顶点均在格点上），且三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题： (1)以点为位似中心，请在网格图中画出的位似图形，使与的相似比为2，并写出点和点的坐标； (2)在轴上找一点，使是以为底边的等腰三角形，则点坐标为_____； (3)请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线（不写作法，保留作图痕迹）． 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． (1)以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）      (1)以点为位似中心，在第三象限内作出，使与的位似比为； (2)以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到． 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 4．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 5．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，点在上，交于点，若．则等于（   ） A． B． C． D． 8．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，那么 ． ． 10．在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 11．如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，在函数和的图象上，分别有两点，若轴，交轴于点，且，，则线段的长度 ． 13．如图，中，，垂直平分，垂足为，，且，，则的长为 ． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在如下图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上．请以点A为位似中心，仅用无刻度的直尺画出四边形，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2（不写画法，保留画图痕迹）． 15．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 16．如图，，求证：． 17．已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位） (1)在网格中画出，使与关于原点对称，写出点坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其面积． 18．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点、同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点、同时出发，几秒后可使与边平行？ 19．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 20．某中学九年级数学学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请求出电线杆的高度． 思维导图 针 对 训 练 针 对 训 练 知识清单 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 知 点 梳 理 识 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 高 频 考 点 解 析 针 对 训 练 达 标 检 测 针 对 训 练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 第27章 相似小结与复习（知识点梳理+高频考点解析+达标检测）（解析版） 知识点一、图形的相似的概念 形状相同的图形叫做相似图形。 1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到； 2）全等的图形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同； 3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关。 知识点二、成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。 1）若四条线段、、、成比例，则记作或。注意：四条线段的位置不能随意颠倒。 2）四条线段、、、的单位应一致（有时为了计算方便，、的单位一致，、的单位一致也可以） 3）判断四条线段是否成比例：①将四条线段按从小到大（或从大到小）的顺序排列；②分别计算第一和第二、第三和第四线段的比；若相等则是成比例线段，否则就不是。 4）比例的重要性质： 基本性质：若，则；反之，也成立。 和比性质：若，则； 更比性质：若，则； 反比性质：若，则； 等比性质：若，则。 5）拓展：比例式中，或中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，、叫后项，如果，那么叫做、的比例中项。 把线段AB分成两条线段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点。 知识点三、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线与其他两条直线相交，截得的对应线段成比例。 知识点四、相似多边形的性质与判定 （1）相似多边形对应角相等，对应边的比相等。 （2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比。 （3）判断两个多边形相似，必须同时具备：（1）边数相同；（2）对应角相等；（3）对应边的比相等。 知识点五、相似三角形的相关概念 1）、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。 三角形相似具有传递性。 2）、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。 3、相似三角形与全等三角形的关系：相似三角形不一定是全等三角形，但全等三角形一定是相似三角形。 若两个相似三角形的相似比是1，则这两个三角形是全等三角形，由此可见，全等三角形是相似三角形的一种特例。 知识点六、相似三角形的判定 判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。 判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。 判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。 知识点七、相似三角形的性质 1、对应角相等，对应边的比相等； 2、拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。 3、相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。） 知识点八、利用相似三角形测高测距离 1）、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。 2）、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。 知识点九、位似的概念及性质 1）两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，象这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比。 相似图形与位似图形的区别与联系：1、区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有；②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。2、联系：位似图形是特殊的相似图形。 2）相似图形与位似图形的区别与联系： 区别：①位似图形对应点的连线交于一点，相似图形没有； ②位似图形的对应边互相平行，相似图形没有。 联系：位似图形是特殊的相似图形。 3）、位似图形是特殊的相似图形，故具有相似图形的一切性质。 4)、位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于相似比。 知识点十、利用位似变换作图（放大或缩小图形） 利用位似变换可以把一个图形放大或缩小，若位似比大于1，则通过位似变换把原图形放大；若位似比小于1，则通过位似变换把原图形缩小。 画位似图形的一般步骤：①确定位似中心；②连线并延长（分别连接位似中心和能代表原图的关键点并延长）；③根据相似比确定各线段的长度；④顺次连接上述个点，得到图形。 知识点十一、图形的变换与坐标 1）、平移：（1）图形沿x轴平移后，所得新图形的各对应点的纵坐标不变，当向右平移n个单位时，横坐标应相应地加n个单位，反之则减；（2）图形沿y轴平移后，所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标上加、下减。 2）、轴对称:（1）图形沿x轴翻折后所得新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；（2）图形沿y轴翻折后所得新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 3）、以原点为位似中心的位似变换 在平面直角坐标系中，如果位似变化是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k（对应点在位似中心同侧）或者－k（对应点在位似中心异侧）。即：若设原图形的某一点的坐标为，则其位似图形对应点的坐标为或。 考点1相似图形的识别 例1．下列各图形的变化只能通过相似变化得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移变换、旋转变换、轴对称、相似变换的定义．由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换．解答本题的关键是掌握相似变换的概念．根据相似变换的定义解答即可． 【详解】解：结合图形可知： 选项A可以通过平移变换得到，不符合题意； 选项B图象大小发生了变换，只能通过相似变换得到，不符合题意； 选项C可以通过旋转变换得到，不符合题意；； 选项D可以通过轴对称变换得到，不符合题意；． 故选：B． 1．山西，因居太行山之西而得名，简称“晋”．如图，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，则放大前后两个图形之间属于图形的（    ） A．平移 B．轴对称 C．相似 D．旋转 【答案】C 【分析】本题考查了相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质，理解相似、平移、轴对称和旋转的定义及性质是解决问题的关键． 根据题意可知，将图标放大，图形大小发生了变化，结合平移、轴对称和旋转不改变图形大小可以确定，这两个图是相似关系，从而得到答案． 【详解】解：根据相似的定义及性质可知，用放大镜将由“晋”字设计的图标放大，两个图形的形状相同，大小不同，因此这两个图形的关系是相似， 故选：C． 2．下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故选项是假命题； 、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个等边三角形的角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 故选：B． 3．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．下面是王亮从艺术墙上选取的四幅形状不同的作品，在同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了两个图形的相似多边形的概念，掌握如果两个多边形对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 根据图形相似的概念进行判断即可． 【详解】解：两个矩形不一定相似，但两个正方形、两个等边三角形及两个圆一定相似． 故选：A． 考点2 比例的性质 例2．如果，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，由已知比例式通过交叉相乘得到 与 的关系，再代入所求分式化简即可，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故选：． 1．若，则的值是（    ） A．7 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】设，则，分别代入计算求值即可． 本题考查了比例性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设，则， 故， 故选：A． 2．若，则的值是() A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质；通过设定比例常数，表示、、，然后代入表达式直接计算． 【详解】解：∵，设， ∴，，． ∴． 故选：D． 3．若，则一次函数必经过（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查的是一次函数图象经过的象限，比例的性质，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． ①当时，由等比性质求出；②当时，，此时，再分别判断一次函数经过的象限即可求解． 【详解】解：①当时， ， 由等比性质可得， 此时函数经过第一、二、三象限； ②当时，，此时， 此时函数经过第二、三、四象限， 综上可得，函数的图象必经过第二、三象限； 故选：B． 考点3比例线段 例3．如图，已知点是线段上的一点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程，比例线段，根据题意列出比例式是关键．设，，根据求出x，得到和，再计算结果即可． 【详解】解：设，，则， ∵， ∴， 解得：或（舍）， 即， ∴， ∴， 故选A． 1．在比例尺为的图纸上，量得一座塔的高是厘米，那么它实际的高度是（  ） A．11米 B．110米 C．22米 D．220米 【答案】A 【分析】本题考查了比例，熟练掌握比例尺的定义“比例尺是图上距离与实际距离之比”是解题关键．比例尺是图上距离与实际距离之比，依此列出算式计算即可得． 【详解】解：设塔的实际的高度是厘米， 由题意得：， 解得， 因为厘米米， 所以塔的实际的高度是11米， 故选：A． 2．有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有；②如果点C是线段的中点，那么；③如果点C是线段的黄金分割点，且，那么；④如果点C是线段的黄金分割点，，且，则．其中正确的判断有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了比例线段、黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题关键． 根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得． 【详解】解：①如果线段是线段的第四比例项，则有，①正确； ②如果点是线段的中点，则， 所以， 所以不是、的比例中项，，②错误； ③如果点是线段的黄金分割点，且， 则， 所以，即， 所以是与的比例中项，，③正确； ④如果点是线段的黄金分割点，，且， 则，即， 所以，④正确； 综上，正确的判断有①③④， 故选：C． 3．如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案． 【详解】设原矩形的长为x，宽为y， 则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第二次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第三次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第四次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形， ，． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键． 考点4黄金分割 例4．已知P是线段的黄金分割点，且，下列各式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割点的定义与性质，解题的关键是牢记“当点是线段的黄金分割点且时，”这一核心比例关系，并能据此推导相关等式． 先明确黄金分割点（）的核心关系：；由该比例交叉相乘可得，据此判断A、B选项正确；C选项比例式与核心关系矛盾，可初步判断其错误；通过，代入，可推导得，判断D选项正确． 【详解】解：已知是线段AB的黄金分割点且，根据黄金分割定义，核心关系为 A、由核心关系直接可知，此选项不符合题意；   B、由交叉相乘，得，此选项不符合题意；   C、由核心关系应为，变形为，而非，此选项符合题意；   D、∵，且，   ∴，此选项不符合题意．   故选：C． 1．沈阳市中山广场的毛主席雕像是中国保存最完整的毛主席雕像之一，具有深厚的历史和艺术交织，雕像总高约为20米，毛主席塑像高度和基座的比为黄金比例，那么毛主席塑像高度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割的概念，需根据基座高度与塑像高度的比是黄金比例建立方程求解． 设塑像高度为米，则基座高度为米，根据题意得比例方程，解方程即可． 【详解】设毛主席塑像高度为米，则基座高度为米， ∵ 基座高度与塑像高度的比是黄金比例， ∴ ， 解方程：， ， ， ， ， ∴ ， 有理化分母：， 故塑像高度为米， 故选：B． 2．如图，中，，，，某同学进行了如下的操作：以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．他有两个猜想：①点是线段的黄金分割点；②．你的判断是（　　） A．①②都正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①②都错误 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割点，勾股定理，等腰三角形的性质等，利用勾股定理求出，进而得到，即得，根据黄金分割的定义可判断①；由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，，即得，得到，即可判断②，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵， ∴， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点，故①正确； ②连接，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴①②都正确， 故选：． 3．宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 考点5平行线分线段成比例 例5．四边形中，是对角线上一点，，，则的值为（   ） A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．不能确定，与E的位置有关 【答案】B 【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是利用平行判断成比例的线段，进而得到线段的比例关系． 利用得到线段比例关系，再利用得到线段比例关系，再将两个比例关系相加求解． 【详解】解：∵， ， ， ， ． 故选：B． 1．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于两点；②作直线，分别交于点，连接．若，则的周长是（    ） A． B． C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查作图—垂直平分线的作法、直线平行的性质、平行直线分线段成比例定理、含角的直角三角形的性质．根据作图方法可知垂直平分线段，从而可得，根据可得，再结合即可求得答案． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故选：D． 2．如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形，可知，，然后根据平行线分线段成比例，可知，即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ， ， ，即， ， 故选：C． 3．如图，为⊙的弦延长线上一点，切⊙于C，连接交于E，若为等边三角形，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质，含30度直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确表示出和的长度．连接，过点B作于点F，由切线的性质、等边三角形的性质、以及直角三角形的性质，分别求出和的长度，再利用平行线分线段成比例，即可求出答案． 【详解】解：连接，过点B作于点F， ∵切于C， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点6相似三角形的判定 例4．如图，是的高，是的外接圆直径，点O为圆心．与相似吗？说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关知识，由圆周角定理可得，由相似三角形的判定可求证． 【详解】解：与相似，理由如下： ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 1．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】两个三角形相似．理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解决问题的关键是熟记相似三角形的判定定理． 两条边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：两个三角形相似．理由如下： 在Rt中，， ， RtRt． 2．如图，在和中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． 由得，由得即可得结论． 【详解】证明：， ， 即， ， ， ． 3．如图，四边形是平行四边形，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，根据垂直的定义得到，根据相似三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， ， ∴． 考点7相似三角形的性质 例7．如图，在中，，点D是上一点，于点E，，，，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，可证明，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵，，． ∴， ∴． 1．如图，中，为弦，半径，弦交于E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质． （1）垂径定理得到，得到，再结合，即可得证； （2）根据，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵半径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴． 2．如图，在中，D，E分别在上，于点G，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，先根据于点，于点，以及，得出，再结合，则，故，即可作答． 【详解】证明：∵于点，于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 3．如图，点D、E、F分别是三边的中点． (1)求证：； (2)求的比值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似解答． （1）利用三角形的中位线定理即可得到两三角形相似； （2）根据相似比为，故面积比为． 【详解】（1）证明：、E、F分别是三边的中点， ，，， ， ； （2）解：，， ． 考点8相似三角形判定和性质综合 例8．已知如图，D，E分别是的边，上的点，，，，．求的长度． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ． 1．如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2)15 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例，即可得出结论； （2）利用得到，再利用对应边成比例，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，的高，交于点，连接． (1)试说明的理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据是的高，得出，再结合，则，即可作答． （2）结合，故，又因为，所以，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：的理由如下： 是的高， ， ． （2）解：由（1）得出， ， ， ， ． ， ， ． 3．如图，F是平行四边形的边上一点，交的延长线于点E，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．根据平行四边形的性质，得到，进而得到，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 考点9利用相似三角形解决实际问题 例9．某“综合与实践”小组开展测量校园内一棵树高度的实践活动，以下是组和组的测量方案（部分）． 组 组 测量工具 皮尺，小平面镜 皮尺，标杆 测量示意图   说明：在观测者和大树之间的地面上点放一面镜子，使得观测者在镜子中看到大树顶端   说明：阳光下，将标杆立于操场上，测量此时标杆和大树的影长 测量数据 观测者眼睛离地面的高度米，观测者与镜子的水平距离米，镜子与大树的水平距离米 标杆米，标杆影长米，大树影长米 (1)利用组的测量数据，求出大树的高度； (2)利用组的测量数据，直接表示出大树的高度． 【答案】(1)大树的高度为8米 (2)米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质在实际测量中的应用，解题的关键是根据实际场景（光的反射、平行光线）识别出相似三角形，并利用相似三角形对应边成比例的性质建立等量关系求解． （1）A组根据光的反射定律及直角相等判定，再代入测量数据通过相似比计算大树高度； （2）B组根据平行光线性质及直角相等判定，再通过相似比用已知字母表示大树高度． 【详解】（1）解：∵由光的反射定律可知， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为8米； （2）解：∵阳光下光线平行， ∴， 又∵，， ∴， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形对应边成比例）． 已知米，米，米，代入得：， 解得（米）． 答：大树的高度为米． 1．为了测量成都熊猫基地观光瞭望塔“竹笋”建筑物的高度，小明同学采取了如下方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后人向后退，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合（如图所示）．其中，，三点在同一条直线上．已知小明眼睛距离地面的高度的长约为，和的长分别为和，求建筑物的高度．（结果保留整数，说明：由物理知识，可知） 【答案】建筑物的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是掌握相似三角形的判定与性质． 先求出，得到，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ， 又 ∵， ， ， ， ∵和的长分别为 和，的长约为， ， ， 答：建筑物的高度约为． 2．如图所示，晚上小亮走在大街上，他发现当他站在大街上高度相等的两盏路灯和之间时，自己右边的影子的长为，左边的影子的长为，又知小亮的身高为，两盏路灯之间的距离为，点A、M、E、N、C在同一条直线上，问：路灯的高为多少米？ 【答案】路灯高米 【分析】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题求解． 首先根据已知条件求证出∽，∽，然后根据相似三角形的性质求得两个相似三角形的相似比，进而求出路灯的高度． 【详解】解：设，则，再设路灯的高为， ，，， ∽，∽， ，， 即，， 则， 解得：， 故， 解得： 答：路灯高米． 3．如图，一棵树的高度为5米，下午某一个时刻它在水平地面上形成的树影长为3米，现在小明想要站这棵树下乘凉，已知他的身高为1.5米，那么小明最多可以离开树干多少米才可以不被阳光晒到？（不考虑其他情况） 【答案】2.1米 【分析】本题考查了平行投影，在同一时刻时，树的高度与影长与人的高度与影长成正比列比例式，求出此时人的影长，计算出最多离树干的长度． 【详解】解：设小明在同一时刻在水平地面上形成的影长为米， 则， 解得， 经检验，是原方程的根.， ， 答：小明最多可以离开树干2.1米才可以不被阳光晒到． 考点10相似三角形与函数综合 例10．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 1．一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)40，1200 【分析】本题考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质、二次函数求最值： （1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ； （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， 当时，长方形的面积最大为1200． 故答案为：40，1200． 2．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点的横坐标为或或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、待定系数法求解析式、平行线的性质、三角形相似的判定和性质、解方程组，熟练掌握待定系数法、三角形相似的应用是解题的关键． （1）将点的坐标代入直线得出其解析式，点的坐标代入直线的解析式，然后联立两条直线的解析式即可求解； （2）分类讨论，当点在点的上方和当点在点的下方时，过点作于点，过点作于点，证明∽，进而得到，即可解题； （3）分类讨论，当为对角线和当为边时，根据菱形的性质进行计算． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∵点在轴上点的右边，， ∴，即， ∵经过点的直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为：， 代入，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与直线相交于点， 联立得：， 解得：， ∴； （2）解：当点在点的上方时，如图1， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 当点在点的下方时，如图2， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在，证明如下： 设，，由，， 当为对角线时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 当为边时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 综上所述，点的横坐标为或或． 3．如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C． 点D，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，轴于点A，轴于点B，且，． (1)求点D的坐标； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象写出当x取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把代入，得到，即可求解， （2）证明得到，进而得到，根据可得，即得到，代入一次函数与反比例函数的表达式即可求解； （3）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点的坐标为； （2）解：∵轴于点， ∴轴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把代入一次函数得，， ∴， ∴一次函数的表达式为； （3）解：由图可得，当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 考点11相似三角形与圆的综合 例11．如图，已知∠ABC=90°，AB=BC．直线l与以BC为直径的圆O相切于点C．点F是圆O上异于B、C的动点，直线BF与l相交于点E，过点F作AF的垂线交直线BC于点D． （1）如果BE=15，CE=9，求EF的长； （2）证明：①△CDF∽△BAF；②CD=CE； （3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使BC=CD，请说明你的理由． 【答案】（1） （2）证明见解析（3）F在直径BC下方的圆弧上，且 【分析】（1）由直线l与以BC为直径的圆O相切于点C，即可得∠BCE=90°，∠BFC=∠CFE=90°，则可证得△CEF∽△BEC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长； （2）①由∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°，根据同角的余角相等，即可得∠ABF=∠FCD，同理可得∠AFB=∠CFD，则可证得△CDF∽△BAF； ②由△CDF∽△BAF与△CEF∽△BCF，根据相似三角形的对应边成比例，易证得，又由AB=BC，即可证得CD=CE； （3）由CE=CD，可得BC= CD=CE，然后在Rt△BCE中，求得tan∠CBE的值，即可求得∠CBE的度数，则可得F在⊙O的下半圆上，且. 【详解】（1）解：∵直线l与以BC为直径的圆O相切于点C． ∴∠BCE=90°， 又∵BC为直径， ∴∠BFC=∠CFE=90°， ∵∠FEC=∠CEB， ∴△CEF∽△BEC， ∴， ∵BE=15，CE=9， 即：， 解得：EF= ； （2）证明：①∵∠FCD+∠FBC=90°，∠ABF+∠FBC=90°， ∴∠ABF=∠FCD， 同理：∠AFB=∠CFD， ∴△CDF∽△BAF； ②∵△CDF∽△BAF， ∴， 又∵∠FCE=∠CBF，∠BFC=∠CFE=90°， ∴△CEF∽△BCF， ∴， ∴， 又∵AB=BC， ∴CE=CD； （3）解：∵CE=CD， ∴BC=CD=CE， 在Rt△BCE中，tan∠CBE=， ∴∠CBE=30°， 故 为60°， ∴F在直径BC下方的圆弧上，且． 【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用． 1．如图，是圆O的直径，切圆O于点D，，与圆O相交于点E，F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质．连接，证明，，根据相似三角形的性质得以证明． 【详解】证明：如图，连接， 是圆 O 的直径， ． 切圆 O 于点 D， ，． ， ． ． 即 同理连接，可证． 即． ． 2．阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点． 求证：． 证明：如图，连接， ∵，， ∴①___________， ___________ ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）证明即可求证； （）延长交于点，延长交于点，设的半径为，则，，由（）可得，，据此解答即可求解； 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等， 故答案为：，； （2）解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，， ∴， 解得， ∴的半径为． 3．如图，在的边上取点，以为半径作圆，与相切于点，与相交于点，弦与相交于点，点为的中点． (1)若，，求弦的长； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理等知识点，熟记相关几何结论是解题关键． （1）连接，可得；推出，结合点为的中点，得，据此即可求解； （2）连接，根据题意可推出，得；设，则，可求出，，， 得到；证即可求解； 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 在中，， 又点为的中点， ， ； （2）解：如图，连接， 点为的中点， ， 又与相切于点， ， ， ， 设，则， ，， 在中，， ， ， ， ． 考点12作图—相似变换 例12．在如图所示的平面直角坐标系中，，，． (1)作的边上的中线和高； (2)在的条件下，的面积为______． (3)在图中标出的重心（保留作图痕迹），并写出重心的坐标_______． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)如图所示，． 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． 借助网格作出边上的中线和边上的高； 利用三角形面积公式即可解答； 作边上的中线，交于点，点即为的重心，由网格图可知，点的坐标是． 【详解】（1）解：借助网格作出边上的中线和边上的高； （2）解：，，． ，， 点是的中线， 的面积为， 故答案为：； （3）解：如下图所示，作边上的中线，交于点， 点即为的重心， 由网格图可知，点的坐标是． 1．已知，在平面直角坐标系中，点，． (1)请在y轴正半轴上找一点C，使得 (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)． (2)在（1）的条件下，已知点，连接．求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查点与坐标轴混合勾股定理及其逆定理的应用， （1）根据直角坐标系可得以点O为圆心为半径画弧交y轴正半轴的点即为所求点C； （2）根据点坐标求得线段长，再结合勾股定理逆定理判定是直角三角形，则有． 【详解】（1）解∶如图 答：如图点C就是所要作的点． （2）解：如图， 由（1）得， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴ 是直角三角形， ∴． 2．如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点均在正方形网格的格点上． (1)请你画出 关于y轴对称的并写出点 A 的对应点的坐标； (2)的面积为 ； (3)请你在y轴上找到一点 P，使得．最小（保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题，坐标与图形，正确画出是解题的关键． （1）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出，并顺流连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3），连接交轴于P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， ∴ （2）解：由题意得， （3）解：如图所示，连接交轴于P，点P即为所求． 3．在如图所示的平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按要求用无刻度直尺完成下列作图． (1)以点O为位似中心，相似比为．将放大得到 (2)面积为 ； (3)若内部一点M的坐标为，则点M在中的对应点的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，求位似图形对应点坐标，熟知位似图形的相关知识是解题的关键． （1）根据位似比和位似图形的性质先找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）理由割补法求解即可； （3）根据相似比为，结合位似图形的位置只需要把M的横纵坐标都乘以2即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）面积； （3）解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，是内部一点，相似比为， ∴点在中的对应点的坐标为． 考点13位似变换 例13．如图，在的正方形网格中，的顶点分别为，，． (1)作图：以点为位似中心，在位似中心右侧将放大到原来的3倍，得到； (2)写出、的坐标：（___，___）、（___，___）． 【答案】(1)见详解 (2)3，6；6， 【分析】本题主要考查了位似图形的知识，熟练掌握位似的性质是解题关键． （1）以原点O为位似中心，把这个三角形向右侧放大为原来的3倍，即将、两点的横纵坐标均乘以3得到点、的横纵坐标，然后将点顺次连接即可； （2）结合图形，即可获得答案． 【详解】（1）解：如下图，即为所求； （2）解：由图可知，，． 故答案为：3，6；6，． 1．如图，在平面直角坐标系中，是格点三角形（顶点均在格点上），且三个顶点的坐标分别为，，，请根据条件解决下列问题： (1)以点为位似中心，请在网格图中画出的位似图形，使与的相似比为2，并写出点和点的坐标； (2)在轴上找一点，使是以为底边的等腰三角形，则点坐标为_____； (3)请仅用无刻度的直尺作出中与边平行的中位线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)图见解析，； (2) (3)图见解析 【分析】本题考查了位似作图，中位线作图，熟练掌握位似作图的基本步骤是解题的关键． （1）根据点为位似中心，放大为原来的2倍，再写出坐标即可； （2）在轴上找一点，使即可； （3）根据点的坐标特点先找到中点，确定中位线作图即可． 【详解】（1）解：即为所求；；； （2）如下图，； （3） 2．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，请你分别完成下面的作图． (1)以原点O为位似中心，在第四象限内作出，使与的相似比为（点A、B、C的对应点分别为点、、）； (2)以原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到（点A、B、C的对应点分别为点、、） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画位似图形，坐标与图形变化—旋转： （1）把A、B、C的横纵坐标都乘以得到其对应点、、的坐标，然后描出、、，最后顺次连接、、即可； （2）根据旋转方式找到A、B、C对应点、、的位置，然后描出、、，最后顺次连接、、即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 3．如图，三个顶点的坐标分别为，，，请你分别完成下面的作图．（不要求写出作法）      (1)以点为位似中心，在第三象限内作出，使与的位似比为； (2)以点为旋转中心，将沿顺时针方向旋转得到． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画出位似图形，画旋转图形． （1）利用位似定义，先分别求出位似比为的点坐标，依次连接即可画出； （2）利用旋转定义，先分别求出旋转后的点坐标，依次连接即可得到． 【详解】（1）解：∵，，，与的位似比为 ∵在第三象限内作出， ∴， 如图，即为所求；   ； （2）解：∵，，，将沿顺时针方向旋转得到， ∴， 如图所示：   ； 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的识别，我们把形状相同的图形称为相似形．关键要联系实际，根据相似图形的定义得出． 根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意； C、两个三角形不相似，故符合题意； D、两个图形相似，故不符合题意， 故选：C． 2．如图，已知，且，若的面积为12，则的面积为（    ） A． B．3 C．6 D．24 【答案】B 【分析】根据，且，可得到两个三角形的相似比为，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求的面积． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 又∵的面积为12， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，解题的关键是掌握以上知识点． 3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．本题先根据，求出，再根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， A、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意； B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； C、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D、添加，无法判定，故本选项符合题意； 故选：D． 4．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于0.618）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：A． 5．如图，下列条件中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟记相关判定定理即可求解． 【详解】解：∵与中，， A. ，∴能判定； B. ，∴不能判定；     C. ，∴，∴能判定； D. ，∴能判定． 故选：B． 6．如图，在中，为上一点，连接、，且、交于点，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 故选：C． 7．如图，中，点在上，交于点，若．则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，结合平行四边形的性质证明是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到相似三角形，再根据相似三角形的性质求出线段比即可． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选． 8．如图，在正方形中，边长为6，点，分别是，边上的点，且，平分，连接，分别交，于点，．点是的中点，连接．下列结论其中正确的有（   ）个． ①； ②； ③垂直平分； ④； ⑤的面积为． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由正方形的性质可得，，，证明，得出，，证明，得出，求出，结合题意可得垂直平分，，即可判断③；证明为的中位线，即可判断①；证明，即可判断④；由三角形内角和定理并结合三角形外角的定义及性质即可判断②；作于，则为等腰直角三角形，求出，再由与中线有关的三角形的面积计算即可判断⑤；从而得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分， ∴垂直平分，，故③正确； ∵点是的中点， ∴为的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 如图，作于， ， 则为等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴，故⑤错误； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查比例问题，代数式的值，掌握比例性质，利用整体代入约分是解题关键．根据已知比例，将所求分式转化为已知分式与常数的差，进而代入计算． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 10．在中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②；③；④等，其中能判断的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键．根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【详解】解：①，，； ②，，； ③，，； ④，但对应边夹角不是公共角，所以无法判定． 故答案为：①②③． 11．如图，M、N分别是的边和的中点，D为上任意一点，连接，将沿方向平移到的位置，且在边上，已知的面积为7，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是三角形中位线定理和相似三角形的性质以及平移的性质，属于中等难度题型．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据三角形中位线定理得到，得到，根据相似三角形的性质和平移的性质计算即可． 【详解】解：∵分别是的边和的中点， ， ， ∴，相似比为， ∵的面积为 7 ， ，则， 由平移的性质可知，的面积的面积， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：14． 12．如图，在函数和的图象上，分别有两点，若轴，交轴于点，且，，则线段的长度 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义和相似三角形，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征．先根据，，求出，，设点坐标为，则可表示出点坐标为，然后证明，得到，即，解得，再确定、点的坐标，最后用两点的横坐标之差来得到线段的长． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，， ∴两反比例解析式为，， 设B点坐标为， ∵轴， ∴A点的纵坐标为，， 把代入，得， ∴A点坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴A点坐标为，B点坐标为， ∴线段的长度． 故答案为：． 13．如图，中，，垂直平分，垂足为，，且，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理和三角形相似的判定与性质．利用勾股定理求出，根据得，根据相似三角形的性质写出比例线段即可求得答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∵垂直平分，垂足为， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得． 故答案为：． 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．在如下图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均在格点（网格线的交点）上．请以点A为位似中心，仅用无刻度的直尺画出四边形，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2（不写画法，保留画图痕迹）． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图-位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．熟练掌握网格结构以及位似变换的定义是解题的关键． 延长到，使，得到的对应点，同样得到、的对应点，，再顺次连接即可. 【详解】解：如图，四边形即为所求． 15．如图，四边形的对角线相交于点，点，，，分别是，，，的中点，判断四边形与四边形是否相似，并说明理由． 【答案】相似，理由见解析 【分析】本题考查了相似多边形的判定、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相似多边形的判定方法是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，，根据平行线的性质可得，同样的方法可得，，则，再根据同样的方法可得，，，，然后根据相似多边形的判定即可得． 【详解】解：四边形与四边形相似，理由如下： ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴，， 同理可得：，， ∴，即， 同理可得：，，，， ∴四边形与四边形相似． 16．如图，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据三边成比例的两个三角形相似得到，则，即可得到，又由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得到． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位） (1)在网格中画出，使与关于原点对称，写出点坐标； (2)判断四边形的形状，并求出其面积． 【答案】(1)作图见解析，点坐标为 (2)四边形是平行四边形，四边形的面积为 【分析】本题考查平面直角坐标系中的中心对称图形作图、对称点坐标特征以及平行四边形的判定与面积计算，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定定理是解答本题的关键． （1）利用关于原点对称的点的坐标特征（横、纵坐标均互为相反数）确定的坐标，再通过找对称点作图； （2）根据中心对称的性质（对角线互相平分）判定四边形形状，再用割补法结合坐标计算平行四边形的面积． 【详解】（1）（1）分别找到点、、关于原点对称的点、、，连接三个点即可； 如图所示，即为所求，出点坐标为； （2）（2），， ，， 四边形是平行四边形． 四边形的面积． 18．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点、同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点、同时出发，几秒后可使与边平行？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)秒可使与边平行． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使与边平行，得出，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与边平行， ∴ ∴， ∵，， ∴即， 解得：． 秒可使与边平行． 19．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质与相似三角形的综合应用，解题的关键是通过作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的面积比与相似比的关系求解． （1）过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点，构造直角三角形，证明，再结合反比例函数中三角形的面积与系数的关系，求出面积比，进而得到相似比即的值； （2）同样利用（1）中相似三角形的面积比与相似比的关系，结合已知的线段比例，求出的值． 【详解】（1）解：解：如图，过点作轴，垂足为点，轴，垂足为点， 点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， ， ， ， ， ； （2）解：点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上， ， 由（1）知， ， ， ， ， 反比例函数图象在第二象限， ． 20．某中学九年级数学学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点的影子恰好与电线杆的端点的影子重合于点，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1) (2)电线杆的高度为10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 针 对 训 练 思维导图 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 知识清单 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 达 标 检 测 针 对 训 练 针 对 训 练 知 点 梳 理 识 针 对 训 练 高 频 考 点 解 析 针 对 训 练 针 对 训 练 针 对 训 练 学科网（北京）股份有限公司 $