第27章 专题(十二) 巧证比例式或等积式——等比代换法(找中间比)（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（人教版）河南

专题(十二)　巧证比例式或等积式——等比代换法(找中间比) 数学 九年级下册 人教版 100分闯关 2．如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G.BD交AC于点M，若EF＝FG. 求证：BE·AM＝AB·GM. 5．如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF. 1．如图，AD∥BC，AB交CD于点E，F是AD上的一点，连接FE并延长交BC于点G.求证： eq \f(AF,DF) ＝ eq \f(BG,CG) . 证明：∵AD∥BC，∴△AFE∽△BGE，△DFE∽△CGE.∴ eq \f(AF,BG) ＝ eq \f(EF,GE) ， eq \f(EF,GE) ＝ eq \f(DF,CG) ，∴ eq \f(AF,BG) ＝ eq \f(DF,CG) ，∴ eq \f(AF,DF) ＝ eq \f(BG,CG) 证明：∵EF∥AD，∴ eq \f(EF,AD) ＝ eq \f(BE,AB) ，∵FG∥AD，∴ eq \f(FG,AD) ＝ eq \f(MG,AM) ，又∵EF＝FG，∴ eq \f(BE,AB) ＝ eq \f(MG,AM) ，∴BE·AM＝AB·GM 3．已知：如图，AC是▱ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E，求证： eq \f(BF,FG) ＝ eq \f(FE,BF) . 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABF∽△CEF，△AGF∽△CBF，∴BF∶EF＝AF∶FC，AF∶FC＝FG∶BF，∴BF∶EF＝FG∶BF，即 eq \f(BF,FG) ＝ eq \f(FE,BF) 4．如图，在▱ABCD的对角线BD上任取一点P，过P引一直线分别与BA，DC两边的延长线交于E，G两点，又与BC，AD两边分别交于点F，H，求证： eq \f(PE,PG) ＝ eq \f(PF,PH) . 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DG∥BE，AD∥BC，∴△DGP∽△BEP，△PFB∽△PHD，∴ eq \f(PE,PG) ＝ eq \f(PB,PD) ， eq \f(PF,PH) ＝ eq \f(PB,PD) ，∴ eq \f(PE,PG) ＝ eq \f(PF,PH) 证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴△CBA∽△ABD，∴ eq \f(AB,BD) ＝ eq \f(AC,AD) ，∴AB∶AC＝BD∶AD①，∴∠C＝∠FAD，又∵E为AC的中点，AD⊥BC，∴ED＝ eq \f(1,2) AC＝EC，∴∠C＝∠EDC，又∵∠EDC＝∠FDB，∴∠FAD＝∠FDB，∠F为公共角，∴△DBF∽△ADF，∴BD∶AD＝DF∶AF②，由①②得， eq \f(AB,AC) ＝ eq \f(DF,AF) ，∴AB·AF＝AC·DF $$