第1章 二次函数（章节复习检测培优卷）-2025-2026学年浙教版数学九年级上册优选题练习卷

2025-2026学年浙教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，下列说法正确的是（  ） A．小球飞行的高度不能达到 B．小球飞行的高度不能达到 C．小球飞行的高度不能达到 D．小球从飞出到落地要用 3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③若点均在函数图象上，则；④对于任意不等于1的实数m，都有．其中结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 6．（25-26九年级上·安徽六安·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 7．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论： ； ； ；对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图象经过点，，．若，，，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 10．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·北京西城·期中）点，，在抛物线上，则 填“>”，“<”或“=” 12．（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有 ． 13．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数，点，，是该函数图象上的3个点，则，，的大小关系为 ． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … t … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是 (填正确的序号)． 15．（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，图象上点的坐标是，下面几个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确的结论有 （请写出所有正都结论的序号）． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数；⑤若点、在抛物线上，且，，则．其中结论正确的序号为 ． 17．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论． ①； ②； ③； ④若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为 ． 18．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 20．（本题6分）（25-26九年级上·天津·期中）某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． (1)用含x的代数式表示矩形的另一边的长． (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 21．（本题8分）（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．将运动员看成一点在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下运动员必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标； (2)在该运动员入水点的正前方有点D，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线顶点距水面5米，若该运动员出水经过点，求出水时的抛物线解析式． 22．（本题8分）（25-26九年级上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)如图，若抛物线与轴交于点，，求抛物线的解析式． (2)在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，点是抛物线在轴上方的动点，且满足，求出点的坐标． (3)点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线．若，当时，都有，直接写出的取值范围． 23．（本题8分）（25-26九年级上·北京西城·期中）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 (1)若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 (2)为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 24．（本题8分）（25-26九年级上·北京西城·期中）如图1，排球场长为18，宽为9，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图 (1)若球向正前方运动即x轴垂直于底线 ①求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围 ②判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． (2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线______米参考数据：取 25．（本题10分）（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 26．（本题10分）（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． (1)已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； (2)如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙教版数学九年级上册章节复习检测培优卷（新教材） 第1章 二次函数 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.45 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线的对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④，正确的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据二次函数图象确定相应方程根的情况，数形结合是解题的关键；由开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点可判定①；由抛物线与x轴的交点可判定②；由对称轴可判定③；由图象知，当时函数值为负，即可判定④，最后可确定答案． 【规范解答】解：由图象知，抛物线开口向下，则， 抛物线的对称轴为直线，即， ∴ ∴， 抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，则， ∴，故①错误； 由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，即有两个不相等的实数解， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象知，当时，即，故④正确； 综上，正确的有3个， 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，下列说法正确的是（  ） A．小球飞行的高度不能达到 B．小球飞行的高度不能达到 C．小球飞行的高度不能达到 D．小球从飞出到落地要用 【答案】C 【思路引导】本题考查二次函数的应用，通过解方程判断高度是否可达及落地时间，注意判别式的使用，通过求解二次方程验证各选项：对于高度选项，解方程等于给定值，判断是否有实数解，对于落地时间，解，求出结果即可判断 【规范解答】解：A、，令，，解得：或，有实数解，故高度可达，A错误，不符合题意； B、令 ，，解得：，有实数解，故高度可达，B错误，不符合题意； C、令 ，，即，，无实数解，故高度不能达到，C正确，符合题意； D、令 ，，解得：或 ，落地时间为，不是，故D错误，不符合题意， 故选：C 3．（25-26九年级上·河南许昌·阶段练习）下列函数中，当时，随的增大而减小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了一次函数的性质、二次函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键． 根据一次函数和二次函数的增减性进行判断． 【规范解答】解：A、，， ∴当时，随增大而增大，故该选项不符合题意； B、，，开口向下， ∴当时，随增大而增大，故该选项不符合题意； C、，，开口向上， ∴当时，随增大而减小，故该选项符合题意； D、，，开口向下， ∴当时，随增大而增大，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（25-26九年级上·湖北·期中）如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③若点均在函数图象上，则；④对于任意不等于1的实数m，都有．其中结论正确的有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向和与y轴的交点位置可得，再由对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据当时，可判断②；函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可判断③；函数的最小值为顶点的纵坐标，据此可判断④． 【规范解答】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵当时，， ∴，故②错误； ∵函数图象开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点均在函数图象上，且， ∴，故③正确； 当时，， ∵函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴函数的最小值为， ∴对于任意不等于1的实数m，都有， ∴，即，故④正确； ∴正确的有③④， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北张家口·期中）如图，将抛物线平移到抛物线，点，分别在抛物线，上．下列结论：①无论取何值，都有；②若点平移后的对应点为，则；③当时，线段的长随着的增大而减小．其中正确的结论为（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．求得抛物线的顶点即可判断①正确；由抛物线的解析式可知将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线，即可求出，即可判断②正确；由可知当时，，当时，，根据一次函数的性质即可判断③错误． 【规范解答】解：抛物线开口向下，顶点为， 无论取何值，都有，故①正确； 将抛物线的顶点为，抛物线开口向下，顶点为， 将抛物线向右平移3个单位，向下平移3个单位得到抛物线， ∴点平移后的对应点为 ，故②正确； ， 当时，，随着的增大而减小， 当时，，随着的增大而增大，故③错误； 综上分析可知：正确的是①②． 故选：A． 6．（25-26九年级上·安徽六安·期中）抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【思路引导】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；通过求抛物线与坐标轴的交点坐标，确定三角形顶点位置，进而计算面积。 【规范解答】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 7．（25-26九年级上·辽宁营口·期中）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，给出下列结论： ； ； ；对于任意的实数，总有．其中所有正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的图象及性质，能从图象中获取信息是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线开口方向向下， ∴， ∵抛物线对称轴位于轴右侧， ∴、异号，即， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即，故正确； 当时，，故正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴函数的最大值为：， ∴当为任意实数时，有， ∴，故正确； 综上所述，正确的有， 故选：． 8．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数的图象经过点，，．若，，，则之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据所给函数解析式，得出抛物线的对称轴为直线及开口向下，再结合M，N，P三个点离对称轴的远近即可解决问题． 【规范解答】解：由题知，因为二次函数解析式为， 所以抛物线的对称轴为直线且开口向下， 所以抛物线上的点，离对称轴越远，其纵坐标越小． 因为，，， 所以，，， 因为， 所以． 故选：D． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，线段平行于轴，，动点在直线上移动，若的坐标为，线段与抛物线有一个交点，则的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的交点问题，先根据题意得出点的坐标为，联立方程组求出二次函数与一次函数的交点，再分为线段的端点和端点在二次函数的图象上这两种情况，分别分析，结合函数图象和线段的移动轨迹，即可求解． 【规范解答】解：∵的坐标为，线段平行于轴，， 故点的坐标为， 若线段的端点在抛物线上， 联立方程组，得， 整理得， 解得，， 即当、时，线段的端点在抛物线上， 当时，点的坐标为， 令，此时， 即当时，线段的端点在抛物线上， 此时线段与抛物线有两个交点， 故． 当时，点的坐标为， 令，此时， 即当时，线段与抛物线有一个交点． 若线段的端点在抛物线上， 即， 整理，得， 解得，（舍去）； 即当时，线段与抛物线有一个交点． 结合函数图象可得， 当时，线段端点在抛物线上， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段与抛物线有两个交点， 当时，线段与抛物线有一个交点， 当时，线段的端点在抛物线上， 综上，的取值范围为或． 故选：D． 10．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，结合含30度角的直角三角形的性质和三角形面积公式求得y与x的函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得答案． 【规范解答】解：当时，如图，设与相交于点O， 由平移性质得，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， 当时，，此时点D与点A重合； 当时，如图，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数y的图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 故选项C符合题意． 故选：C． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（25-26九年级上·北京西城·期中）点，，在抛物线上，则 填“>”，“<”或“=” 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 通过计算点A和点B的纵坐标值，比较大小即可． 【规范解答】解：抛物线的对称轴为，图象开口向上， 点A的横坐标，点B的横坐标 计算：当时， ， 计算：当时， ， 由于， 因此． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京西城·期中）二次函数的图象与x轴交于点，，与y轴的交点在与之间不包括这两点下列结论： ①；②；③若，，则；④；⑤若m为任意实数，则 其中正确的结论序号有 ． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数与x轴的交点可设解析式为，从而得到，，由与y轴交点范围可得的范围，进而求出的范围，再结合开口方向、对称轴及函数性质判断各结论即可． 【规范解答】解：二次函数图象与x轴交于点，， 设解析式为， 则，， 由于二次函数图象与y轴的交点在与之间， 则，即， 解得，故结论④正确； 对于结论①：，，，则，故①错误； 对于结论②：当时， 由得，当时，， 则，故②正确； 对于结论③：对称轴为直线，抛物线开口向上， 由且，得，点离对称轴比点更远， 则，故③正确； 对于结论⑤：考虑函数， 由于，为开口向上的抛物线， 顶点在， 则，当时取等号， 故，不一定大于，故⑤错误； 综上，正确结论为②、③、④． 故答案为：②③④． 13．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）已知二次函数，点，，是该函数图象上的3个点，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质．由二次函数解析式可得对称轴为，且，故函数在对称轴处取得最小值，距离对称轴越远的点函数值越大．通过比较各点与对称轴的距离即可判断大小关系． 【规范解答】解：由题意知，二次函数的对称轴为 ， 点在对称轴上，故最小， 点与对称轴的距离为，点 与对称轴的距离为 ，由于，故， 因此． 故答案为：． 14．（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）二次函数(是常数，)的自变量与函数值的部分对应值如下表： … 0 1 2 … … t … 且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图像的顶点在第一象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中正确结论的是 (填正确的序号)． 【答案】 ②③ 【思路引导】本题考查了二次函数的对称性、顶点坐标特征、一元二次方程与二次函数的关系及函数值的计算，解题的关键是利用和时函数值相等求出对称轴，再结合时函数值大于0确定二次项系数的取值范围，进而分析各结论． 由和时，得对称轴，结合对称轴公式得；由时得，函数式化为；将代入，解得；分析①：顶点纵坐标为负，顶点在第四象限，①错误；分析②：由对称性得时另一根为3，②正确；分析③：计算，得，结合得，③正确． 【规范解答】解：由表格可知，当时，；当时，，故二次函数对称轴为． ∵ 对称轴， ∴ 又∵ 当时，， ∴ 二次函数解析式为． ∵ 当时，， ∴ ，即，解得． 分析①：顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∵ ， ∴ ，顶点在第四象限，故①错误． 分析②：方程的根，即时的取值． 已知时，由对称轴，得另一根为，故和是方程的根，②正确． 分析③：当时，； 当时， ∴ ， ∵ ， ∴ ，故③正确． 故答案为：②③． 15．（25-26九年级上·吉林·期中）二次函数的图象如图所示，其对称轴是直线，图象上点的坐标是，下面几个结论：①；②；③方程没有实数根；④．其中正确的结论有 （请写出所有正都结论的序号）． 【答案】②④/④② 【思路引导】①常数项决定二次函数与轴交点的位置，结合二次函数与轴的交点和对称性即可确定二次函数与轴交点的位置，从而判断的正负； ②二次函数的对称轴公式为，将代入对称轴公式即可判断； ③方程是否有实数根，观察直线与二次函数是否有交点即可； ④将代入函数解析式，判断函数值的正负即可； 【规范解答】解：①函数的对称轴是直线，由图象知抛物线与轴的其中一个交点在和之间，根据二次函数的对称性，另一个交点应在和之间，则抛物线与轴的交点在轴的下方，则，故①错误； ②∵函数的对称轴是直线， ∴， ∴，故②正确； ③由图象得直线与二次函数有2个交点，则方程有2个实数根，故③错误； ④由①知，， ∴当时，， 则当时，，故④正确． 故答案为：②④． 【考点剖析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数确定一元二次方程根的情况，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，运用数形结合的思想是解题的关键． 16．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图为二次函数的图象，对称轴是直线，给出以下判断：①；②；③；④（常数；⑤若点、在抛物线上，且，，则．其中结论正确的序号为 ． 【答案】②④⑤ 【思路引导】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据抛物线开口方向判断a的符号，根据抛物线与y轴的交点位置判断c的符号，再结合对称轴判断a与b的关系，可判断①②；根据取特殊值，以及抛物线最值，可判断③④，根据点、在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，可判断⑤． 【规范解答】解：根据题意得：抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴交x轴于正半轴， ∴，对称轴为直线， ∴， ∴，，故①错误；②正确； ∵抛物线与x轴交于点， ∴当时，，故③错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最大值，最大值为， ∵， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴点、在对称轴的两侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故⑤正确． 故答案为：②④⑤ 17．（25-26九年级上·吉林长春·期中）如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论． ①； ②； ③； ④若点，均在该二次函数图象上，则．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了二次函数的的性质及图象与系数的关系．根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①；根据对称性可知也在二次函数图像上，代入即可判断②；由，，则即可判断③；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定④． 【规范解答】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴， ， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴，即①正确， 在二次函数图像，且对称轴为， 也在二次函数图像上，即，故②正确； ，， ，故③错误； ∵， ∴点，关于直线对称， ∵点，均在该二次函数图象上， ∴，即④正确； 故答案为：①②④． 18．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）红酒具有软化血管，促进血液循环的功能，中国人的生活提高以后，喝红酒成为一种时尚，如图1所示是一种喝红酒的高脚杯，其杯肚部分外轮廓线为抛物线的一部分，图2为其杯肚的截面图，已知杯口，杯深．如图3，若将盛有部分液体的高脚杯倾斜（即与液面所在直线相交，所夹较小角为），液面与交于点，且点距杯口的距离，则此时液面宽 ． 【答案】 【思路引导】本题考查的是二次函数的实际应用，建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q，则，求解二次函数解析式为，FG所在直线解析式为，再进一步求解即可． 【规范解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，作于点H，作于点Q， 则， 则各点坐标为：，，，，． 设抛物线的表达式为， 把点A坐标代入解析式，得， 解得， ∴． ∵，E点坐标为， ∴直线与x轴的交点为． 设所在直线解析式为， 把点，代入解析式，得． 令， 得， 解得，． ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是． (1)求这个二次函数的关系式； (2)自变量在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数解析式，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意设二次函数的解析式为，将点代入求出，即可求解； （2）根据二次函数的性质即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵二次函数的顶点坐标是， ∴设二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过， ∴， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵在二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小． 20．（本题6分）（25-26九年级上·天津·期中）某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． (1)用含x的代数式表示矩形的另一边的长． (2)当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】(1) (2)当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 【思路引导】本题考查了列代数式及二次函数的实际应用（最值问题）；解题的关键是根据木栏总长、门的宽度列出的表达式，结合墙的长度确定自变量取值范围，再利用二次函数性质求面积最大值． （1）根据木栏总长米、两处门共2米宽，以及垂直于墙的木栏共3段及中间分隔栏），列出等式推导的表达式； （2）根据矩形面积公式列出二次函数，结合墙的最大长度确定x的取值范围，利用二次函数开口方向和对称轴求最大面积． 【规范解答】（1）解：∵ 长为x米，中间用垂直于墙的木栏隔开，故垂直于墙的木栏共3段，每段长x米； 两处门各1米宽，木栏总长米， ∴ 木栏总长满足， 解得 即． （2）解：∵ 墙最大可用长度为12米，且， ∴ ， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴ 的取值范围为． 矩形面积， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， 对称轴为． ∵ 对称轴在取值范围的左侧， ∴ 函数在上单调递减， ∴ 当时，面积最大， 最大面积（平方米）． 答：当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 21．（本题8分）（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点的坐标为．将运动员看成一点在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点的坐标为，正常情况下运动员必须完成规定的翻腾、打开动作，并调整好入水姿势，运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式，并求出入水处点的坐标； (2)在该运动员入水点的正前方有点D，且，该运动员入水后运动路线对应的抛物线顶点距水面5米，若该运动员出水经过点，求出水时的抛物线解析式． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，正确求出函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标； （2）先求出点坐标，即可由对称性求出对称轴，即可求出顶点坐标，再设顶点式求解． 【规范解答】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， ∵， 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为； （2）解：由题意得，，即， ∵， ∴新抛物线对称轴为直线， ∴顶点，即， ∴设出水时的抛物线解析式为， 代入，则， 解得， ∴出水时的抛物线解析式为． 22．（本题8分）（25-26九年级上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)如图，若抛物线与轴交于点，，求抛物线的解析式． (2)在（1）的条件下，若抛物线与轴交于点，点是抛物线在轴上方的动点，且满足，求出点的坐标． (3)点，在抛物线上，抛物线的对称轴为直线．若，当时，都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)点或； (3)或． 【思路引导】本题考查了二次函数综合运用，涉及到二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即，即，即可求解； （3）当点在对称轴的左侧时，，得到，，即可求解，当点在对称轴右侧时，即，同理可解． 【规范解答】（1）解：把点，代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ， 即，即， 解得：， ∴， 解得：， ∴点或； （3）解：， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，都有， 在对称轴的右侧， 当点M在对称轴的左侧时，即， ， ∴， 解得：， 即， 当点M在对称轴右侧时，即， ， ∴， 解得：， 综上，或． 23．（本题8分）（25-26九年级上·北京西城·期中）秋冬季节来临，某饮品店推出由热奶茶、烤红薯、糖炒栗子和暖手姜茶搭配而成的、两种套餐．其中套餐每份利润元，每天可以买出套，套餐每份利润元，每天可以卖出套，若套餐售价每提高元，则每天少卖出套，套餐售价每提高元，则每天少卖出套注：两种套餐成本不变 (1)若每份套餐的价格提高x元为整数，每天销售A、B两种套餐的利润分别为元和元，请求出、与之间的函数关系式；不要求写自变量取值范围 (2)为保证套餐性价比，两种套餐提高的价格之和为元，那么套餐的价格提高多少元时两种套餐每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】(1)；； (2)A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是元 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出提价后的单套利润和销量，再根据总利润=单套利润销量列出式子； （2）A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w，则，据此整理求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知：A套餐提价后的利润为元，销量为套， ； B套餐提价后的利润为元，销量为元， ； （2）设A套餐提高m元，则B套餐提高元，利润之和为w， 则； ， ， ， 当时，利润最大为6984元． 答：A套餐的价格提高2元时，两种套餐每天售出的利润之和最大是6984元． 24．（本题8分）（25-26九年级上·北京西城·期中）如图1，排球场长为18，宽为9，网高为，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点时，高度为，即，这时水平距离，以直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图 (1)若球向正前方运动即x轴垂直于底线 ①求球运动的高度与水平距离之间的函数关系式不必写出x取值范围 ②判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由． (2)若球过网后的落点是对方场地①号位内的点如图1，点P距底线1m，边线，则发球点O在底线距离右边线______米参考数据：取 【答案】(1)①；②这次发球过网，但出界了，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查的是二次函数的应用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义． （1）①求出抛物线表达式；②确定和时，对应函数的值即可求解； （2）当时，求出或舍去，然后由勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】（1）解：①设抛物线的表达式为：， 将代入上式，则 解得：， 抛物线的表达式为：； ②当时，， 当时，， 这次发球过网，但出界了； （2）解：如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q， 在中，， 当时，， 解得：或舍去， ， 而， 故， ， 发球点O在底线上且距右边线米处． 故答案为： 25．（本题10分）（25-26九年级上·辽宁·期中）材料：一个制造商制造一种产品，它的成本通常分为固定成本和可变成本两个部分，其中固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数；可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用． 问题：某厂商生产产品中有一种篮球工艺品，已知该工艺品销路很好．它的成本（元）与生产量（个）的关系式为． (1)求该工艺品的固定成本和可变成本． (2)市场分析发现，这种工艺品一段时间内每天的销量（个）与销售单价（元/个）之间的对应关系如图所示： ①销量与销售单价之间的函数关系式． ②当售价为多少时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元 (2)①，②当售价为71元时，能使厂商每天获得的利润最大，最大利润是69100 【思路引导】本题主要考查了二次函数的最大利润问题、一次函数的解析式等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据“固定成本包括设计产品、厂房租赁、购置设备等费用，如果没有更换产品，我们将它看作常数”，以及“可变成本与该产品生产的件数有关，而每件产品的成本包括劳动力、材料、包装、运输等费用”，据此即可解答． （2）①运用待定系数法求解销量y与销售单价x之间的函数关系式； ②经分析列式得，结合二次函数的性质，得出开口向下，在有最大值，w有最大值，再代入计算即可解答． 【规范解答】（1）解：∵工艺品的成本与生产量的关系式为：，且可变成本与该产品生产的件数有关， ∴该工艺品的固定成本为15000元，可变成本为每件100元． （2）解：①由题意，设销量y与销售单价x的关系式为， 则，解得：． ∴所求关系式为． ②成本应基于生产量（即销量y），即，其中， 设利润， ． ∵， ∴当时，w有最大值，且最大值为69100． 26．（本题10分）（25-26九年级上·四川德阳·期中）如图1，直线l：与x、y轴分别相交于A、B两点，将绕点O逆时针旋转得到，过点A、B、D的抛物线W叫做直线l的关联抛物线，而直线l叫做抛物线W的关联直线． (1)已知直线：，求直线的关联抛物线的表达式； (2)如图2，若直线：，G为中点，H为中点，连接，M为中点，连接．若； ①求直线的关联抛物线的表达式； ②若点E在直线上运动，抛物线上是否存在一点F使得以A，B，E，F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在请求出点F坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)：y= (2)①直线的关联抛物线；②； 【思路引导】（1）分别将、代入，求出、两点坐标，根据旋转的性质可得，由此求出的坐标，再用待定系数法求的表达式； （2）①连接、，易得是等腰直角三角形，由此计算出，再由直角三角形斜边上的中线的性质可得的长，利用勾股定理求出，从而得点的坐标，再利用待定系数法求的表达式； ②根据四边形是平行四边形，可得，，过点作直线于点，证明，可得，所以点的横坐标为，进而可以求出点的坐标． 【规范解答】（1）解：， 当时，， ； 当时，即，解得， ， 由旋转的性质可知，， ． 设的解析式为， ，解得， 直线的关联抛物线； （2）解：①如图，连接、， 为中点，为中点， 由旋转的性质可知：，， 是等腰直角三角形， 为中点， ， ， 在中，， 在中，， ， 直线，当时，， 点，即． 由旋转的性质可知，， 点． 在中，， ， 设的解析式为， ， 解得， 直线的关联抛物线； ②如图，点在直线上运动，点在抛物线上， 四边形是平行四边形， ，， 过点作直线的垂线于点， ， ， ,， ， ， 点的横坐标为， ； 【考点剖析】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数、二次函数解析式，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，一元一次不等式，旋转的性质，二次函数的性质与应用，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $