大题仿真卷03（专项训练，ABC三组夺分卷）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

大题仿真卷03（A组+B组+C组） （模式：5道解答题 满分：75分 限时：75分钟） 1．（14分）记内角，，的对边分别为，，，已知是的中点，且. (1)若的面积为，，求； (2)若，当最大时，求，的值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以； 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以； （2）在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 因为， ，， 即，， 所以，因为，所以， 在中，由余弦定理可得， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 因为函数在上单调递减， 所以当时，角最大，此时， 因为，所以. 2．（15分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）取的中点，连接，    在中，且，又，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以． 又平面，平面， 所以平面． （2）过点作的垂线，垂足为，    因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面PMC，又平面，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，平面，平面， 所以平面．又平面，所以． （3）设，过点作，以点为坐标原点，为坐标轴建立空间直角坐标系， 因为，为的中点，所以， 设，，所以， ， 平面的法向量， 取； 同理设平面的法向量， 取； 设平面与平面的夹角为， 所以，， .    3．（15分）已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)(2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，可得 ①， 椭圆经过点，可得，解得，代入①，可得， 故椭圆的方程为. （2）依题意，可设直线的方程为，， 由，消去，整理得， 可得， 设，则， 因，则 ， 去分母得， 化简得. 则点到直线的距离为，为定值. （3）因， 故， 由得，代入上式，整理得， 设，则，且代入上式， 可得， 设，则，且， 所以， 故的取值范围是.    4．（15分）已知数列满足，且． (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析 【详解】（1）因为数列满足，且，可得， 由，得，可得， 由，得，可得，， 以此类推可知，对任意的，且，所以， 所以，可得， 所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）可得，所以，故， 易知数列是各项均为正数的单调递减数列， 因为，所以， 当时，， 当时，，所以， 所以，对任意的，， 综上所述，. （3）因为， 所以， 令①， 可得②， ①②得， 所以，故，故对任意的，. 5．（16分）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1)的零点为0；在上单调递减，在上单调递增.(2)证明见解析 【详解】（1）由函数，得. 所以. 因为恒成立，且在上单调递增. 因为，所以在上有唯一零点. 所以的零点为0. 所以，当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，即最小值，最小值为. 若，且，则. . 令，则. 所以是增函数，所以. 由（1）知，所以，所以，即. 因为在上单调递增，所以，即. （ii）设，则 令，则. 令，则. 所以在上单调递增，即在上单调递增. 所以，所以在上单调递增. 所以. 所以，当时，恒成立，即. 即. 两边同乘以，得. 因为，所以， 所以， 即. 因为，所以，所以，即. 所以，. 因此，得证. 1．（14分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)设D为边AB上一点，且，若，的周长为，求的面积. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由正弦定理得， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴. （2）由题意知，， 由余弦定理得， 即， 联立得，代入得， 所以 ∴，， ∴. 2．（15分）在三棱锥中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱AC上，且. (1)求证：； (2)若是边长为2的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）如图，分别在线段上取点，使，，连接， 因为分别是的中点，,, 在中，，，所以， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以，即. （2）设，因为三棱锥的体积为，平面， 所以，即，所以， 取CD的中点，连接BO，则. 过点作，则平面BCD， 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则， 所以平面的一个法向量可取为，而平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 3．（15分）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． (3)在（2）的条件下，求的最大值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）由题可知，，所以，又点在C上， 所以，解得． 所以椭圆C的标准方程为； （2）因为， 所以，所以， 显然直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为， 且． 由得， 所以，① 所以， 整理得， 将①式代入得，化简得， 所以直线l的方程为，直线l过定点 （3）由（2）得， 由，解得， 且，② 所以， 代入②式得，令， 所以， 所以当，即时，. 4．（15分）已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 【答案】(1)证明见解析(2)10 【详解】（1）， 是以1为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）得，即， 所以， 所以， 因为， 所以为递增数列，又. 所以满足的最小正整数为10. 5．（16分）已知函数. (1)若是在上的增函数，求实数的取值范围. (2)若，，是的两个零点，为的一个极值点. ①设，证明：在上单调递增. ②求证：. 【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析 【详解】（1），， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 由对勾函数性质可知，函数在单调递减， 则，故； （2）①，，则， 令，则， 则在上单调递增， 又，， 则存在使得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故有极小值点，且， 则 ， 由，则，当时，， 在上恒成立， 故在上单调递增； ②由，， 故，又，故， 又， 则存在，，使得； 则，故，， 由在上单调递增，， 则，即， 又，故， 又在上单调递增，故，即有. 1．（14分）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）由，由正弦定理得， ， ， ， ， . （2）因为，即， 又，所以， 由余弦定理得， 化简可得，解得， 所以的面积. （3）因为为的角平分线，且， 因为， 所以， 所以，又，可得， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以 ， 当且仅当且，即时取等号， 又当时，，符合题意， 故的最小值为12. 2．（15分）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，，点在线段上.    (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上. （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）如图，连接，因为，为的中点， 所以，又，故， 所以， 又，，则，故， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 又，，平面，平面， 所以平面，    （2）(i)法一：如图，以为原点，，，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，设， 由得，， 解得，，所以点的坐标为，则，故， 又为，的公共点，故三点共线，    法二：不妨记为的中点，为的中点，连接，则， 由（1）平面，所以平面， 由，可知， 易知直线上任一点到三点的距离相等，故， 同理由，知过点且垂直于平面的直线上任一点到三点的距离相等，故， 由，所以点即为点，于是三点共线，      （ii）如图，连接，不妨设， 则，，， 设平面的法向量为，则， 即，取，可得，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，， 所以， 由已知，所以，解得或（舍去）， 故.    3．（15分）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为． （2）①当时，横坐标代入双曲线方程可得， 则；    ②当时，设，∴， 则， 解得，则.    （3）①当斜率不存在时， ，∴； ②当斜率存在时，设为，则直线的方程为， 设，∴，    联立方程，可得， 由题可知①， 同理②， ①②式可得： ， ∴， ∴， ∴， ∴， 则为定点． 4．（15分）已知数列满足，且. (1)若，且，求的通项及前项和； (2)若，，则能否为等比数列?若能，求；若不能，说明理由. 【答案】(1)，.(2)能，. 【详解】（1）由及， 得， 所以数列是公比为的等比数列，且， 所以，. （2）因为，若是等比数列，则， 所以，即， 因为，，所以， 下面证明时是等比数列： 由已知是公比为的等比数列， 所以， 所以时 ， 当也满足上式，所以， ，又，故数列可以是首项为1，公比为的等比数列，此时. 5．（16分）已知． (1)当时，证明：对于任意，均有； (2)①若是R上的增函数，证明：； ②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且． 【答案】(1)证明见解析(2)① 证明见解析；②证明见解析 【详解】（1）当时，，定义域为. 所以. 当时，；当时，， 所以在上递减，在上递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 进而对任意，均有． （2）①由，得. 因为是R上的增函数，所以在R上恒成立. 设，则. 若，则恒成立，所以在上单调递增，即在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. 所以在上递减，在上递增.不合题意. 若.令，则. 当时，. 设，则，所以在上递减， 存在，与是R上增函数矛盾； 当时，则，设，则. 所以在上递增，，与是R上增函数矛盾； 当时，由（1）知，所以满足要求， 综上所述，． ②由，得. 设，由①知： 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以在恒成立，即方程在上无解. 由（1）知恒成立. 设，则，即. 所以， 因为，所以，， 所以方程在区间上存在唯一解，记为. 因为在上递增，所以方程在上存在唯一解. 综上所述，方程在上存在唯一解，且当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以函数在上存在唯一极值点. 因为，且在上递减，所以在恒成立， 所以函数在上无零点，且. 由，得. ，设， 则， 所以是增函数，因为，所以， 又，所以在上存在零点， 因为在上递增，所以函数在有唯一的零点． 综上所述，函数在有唯一的零点，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题仿真卷03（A组+B组+C组） （模式：5道解答题 满分：75分 限时：75分钟） 1．（14分）记内角，，的对边分别为，，，已知是的中点，且. (1)若的面积为，，求； (2)若，当最大时，求，的值. 2．（15分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，平面，是的中点，是的中点．    (1)求证：平面； (2)若平面平面，求证：； (3)在（2）的条件下，且平面与平面的夹角余弦值为，求四棱锥的体积． 3．（15分）已知椭圆的离心率，且经过点，为坐标原点，斜率不为0的直线与椭圆交于两点，． (1)求椭圆的方程； (2)证明：点到直线的距离是定值； (3)求的取值范围． 4．（15分）已知数列满足，且． (1)证明：为等比数列； (2)设，证明：； (3)设，且数列的前项和为，证明：． 5．（16分）已知函数． (1)设，求的零点并判断的单调性； (2)若，且，证明： （i）； （ii）． 1．（14分）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且. (1)求A； (2)设D为边AB上一点，且，若，的周长为，求的面积. 2．（15分）在三棱锥中，平面BCD，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在棱AC上，且. (1)求证：； (2)若是边长为2的等边三角形，且三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 3．（15分）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程． (2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点． (3)在（2）的条件下，求的最大值． 4．（15分）已知数列的首项，且满足 (1)求证：为等比数列； (2)设，记的前项和，求满足的最小正整数． 5．（16分）已知函数. (1)若是在上的增函数，求实数的取值范围. (2)若，，是的两个零点，为的一个极值点. ①设，证明：在上单调递增. ②求证：. 1．（14分）在中，角的对边分别为，满足，点是上的一动点，且. (1)求角的大小； (2)若为边上的高，且，求的面积； (3)若为的角平分线，求的最小值. 2．（15分）如图，在四棱锥中，，，，为的中点，，，点在线段上.    (1)证明：平面； (2)已知四点均在球的球面上. （i）证明：三点共线； （ii）若直线与平面所成角的正弦值为，求. 3．（15分）已知双曲线的右焦点为． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积； (3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由． 4．（15分）已知数列满足，且. (1)若，且，求的通项及前项和； (2)若，，则能否为等比数列?若能，求；若不能，说明理由. 5．（16分）已知． (1)当时，证明：对于任意，均有； (2)①若是R上的增函数，证明：； ②证明：当时，函数在上有唯一的极值点和唯一的零点，且． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $