小题限时卷02（专项训练，ABC三组提分卷）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

小题限时卷02（A组+B组+C组） （模式：9+6 满分：75分 限时：40分钟） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．“样本数据的平均数为8”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（    ） A． B． C．2 D． 4．已知是平面，是直线，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若是异面直线，那么与相交； ④若，则且 其中正确的命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为（   ） A．86分 B．87.5分 C．88分 D．88.5分 6．已知各项均为正数的等比数列满足：，则的公比（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 7．已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 8．已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度，可得到函数，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．已知复数，则 ， 11．若的二项展开式中第项是常数项，则 . 12．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 13．甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为 . 14．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 15．若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为 . 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若实数，满足，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4．如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与直线平行，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 5．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 6．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 7．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．的共轭复数是 . 11．已知，则 ． 12．已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是 . 13．某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 14．在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为 ；的最小值为 ． 15．已知，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   4．正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 8．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．已知复数满足，则 . 11．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 12．已知 是圆 与圆的一个交点，若两圆在处的切线互相垂直，则 的最大值是 . 13．“新韵重庆·渝超同行”2025新鸥鹏重庆城市足球超级联赛已于9月13日正式拉开帷幕！某场比赛期间需将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到同一个场馆的概率为 ． 14．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为 .    15．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 小题限时卷02（A组+B组+C组） （模式：9+6 满分：75分 限时：40分钟） 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，集合，所以. 故选：D 2．“样本数据的平均数为8”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由样本数据的平均数为8，得，解得， 当时，； 由，知必有成立，不等式，因此， 所以“样本数据的平均数为8”是“”的充分不必要条件. 故选：B 3．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.已知函数的图象只有一个对称中心，函数在区间上的最大值和最小值分别为，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】依题意，， 令函数，，即函数是奇函数， 则，因此函数是奇函数，函数图象对称中心为， 而，则函数在上的图象关于点成中心对称， 由函数在上的最大值和最小值分别为，得. 故选：D 4．已知是平面，是直线，给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③若是异面直线，那么与相交； ④若，则且 其中正确的命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】对于①：若，由面面垂直的判定定理可知，故①正确； 对于②:若，则或与相交；故②错误； 对于③：若是异面直线，那么与相交或；故③错误； 对于④：若，则可能在平面内（或内），故④错误； 故选：A. 5．某校对全校1000名学生的物理成绩进行统计，分成，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，若学校对成绩排名前15%的学生进行表彰，则被表彰的学生的物理成绩最低分数为（   ） A．86分 B．87.5分 C．88分 D．88.5分 【答案】B 【详解】因为的频率为，的频率为， 设被表彰的学生的物理成绩最低分数为， 由题意可得，解得. 故选：B 6．已知各项均为正数的等比数列满足：，则的公比（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：因为各项均为正数的等比数列满足：， 当时，，不满足题意，故， 所以， 即 因为 所以，即，解得（舍）， 所以. 故选：D 7．已知函数，若存在四个不相等的实数使得，则的取值范围是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，   ， 设，， 则，，是方程，即的两个正根，所以， 令，解得或， 所以，由题意， 所以的取值范围是. 故选：D. 8．已知函数的最小正周期为，把它的图象向右平移个单位长度，可得到函数，则的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意函数的最小正周期为，即，所以. 当时，，则； 当时，，则. 故选：B. 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    如图，为椭圆上任意一点，则， 所以， 因为为圆上任意一点，则， 所以， 当且仅当共线且在和之间时，等号成立． 由题意知，，则， 所以的最小值为． 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．已知复数，则 ， 【答案】2 【详解】由，所以. 故答案为：2 11．若的二项展开式中第项是常数项，则 . 【答案】 【详解】的二项展开式中第项是常数项， 所以，解得. 故答案为：. 12．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设动点，则，， ∵点满足， ∴，化简，整理得. ∴动点的轨迹方程为. 故答案为：. 13．甲、乙、丙3名学生各自回答同一个问题，回答正确与否互不影响.已知：①甲回答正确的概率为;②3名学生至少有1人回答正确的概率为;③乙回答正确且丙回答错误的概率为.则甲、乙、丙均回答正确的概率为 . 【答案】/ 【详解】设甲、乙、丙回答正确的事件分别为、、，由题意知、、互相独立，设，， 由①知，根据③可知， 由②至少有1人回答正确的概率为，可知3名学生都不正确的概率为， 所以， 联立方程组，解得， 所以则甲、乙、丙均回答正确的概率为. 故答案为： 14．如图所示，在中，是边上的中线，为上一点，且，经过的直线分别交直线于不同的两点．若，，则 ． 【答案】4 【详解】法一：（特殊位置法）当过点的直线与平行时，由，得是的中点， 则就是的一条中位线，由，得，所以. 法二：依题意，， 由三点共线，得，所以. 故答案为：4 15．若对于任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】设， 则可将问题转化为， ，当且仅当， 即时等号成立，故，， 由于，则是最小值，则对称轴，， 所以实数的取值范围为， 故答案为：. 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知全集，集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， . 故选：B 2．若实数，满足，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，，若，则，所以， 由不等式的性质知，即可以推出， 若，则， 又，，则，所以，即， 所以可以推出，则“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 3．已知函数在上的大致图象如图所示，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，函数为偶函数，，且函数在处无定义， 对于A选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，不合乎题意； 对于B选项，函数的定义域为， ，函数为偶函数，且，合乎题意； 对于C选项，函数的定义域为， ，函数为奇函数，不合乎题意； 对于D选项，函数的定义域为，不合乎题意. 故选：B. 4．如图，正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（    ）．    A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线相交，直线平面 C．直线与直线平行，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【详解】对于A，连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直； 在正方体中因为，面，面，则面， 又，面，面，则面， 又面，所以平面平面， 又平面，所以直线平面，故A正确；    对于B，连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故B不正确；    对于C，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故C不正确；    对于D，因为面，面，面，， 故直线与直线异面是正确的， 又，， 所以，所以直线与平面不垂直，故D不正确； 故选：A 5．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【详解】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件. 故选：B. 6．设数列的前n项和为，若，则（   ） A．110 B．130 C．290 D．190 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 所以，则，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 则. 故选：C 7．设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，；令，得， 由图象可知，欲使方程恰有个不同的实根有，， 所以.    故选：A 8．已知函数．函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由，得到，， 即， 所以函数的定义域为，， 故选：A． 9．19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆的蒙日圆方程为．若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于椭圆，， 所以椭圆的蒙日圆为， 此圆的圆心为，半径为. 圆的圆心为，半径为， 由于圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点， 所以，无解， 或，解得. 故选：D 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．的共轭复数是 . 【答案】/ 【详解】因为， 所以的共轭复数是. 故答案为： 11．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为的展开式通项为， 可得， 所以. 故答案为：. 12．已知，动直线：过定点，动直线：过定点.若与交于点（异于点），则面积最大值是 . 【答案】 【详解】由直线，令，可得，所以直线恒过定点， 由直线，得，所以直线恒过定点， 因为和的直线方程，满足，所以， 又因为和交于点，所以点在以为直径的圆上（除去点和）， 由，可得， 则直角的面积， 当且仅当时，等号成立，所以的面积的最大值为. 故答案为：. 13．某校团委举办《强国有我》主题演讲比赛，共有7人进入决赛，其中高一年级有3人，高二年级有2人，高三年级有2人.现采取抽签法决定演讲顺序，设事件“高一年级的3个人不相邻”，事件“高二年级的2个人相邻”，则 . 【答案】/ 【详解】事件包含的样本点数的计算： 第一步，安排高二、高三年级4人，由种不同的排法； 第二步，将高一年级人插空，有种不同的排法， 故事件包含的样本点数共有个. 事件包含样本点数的计算： 第一步，高二年级人内部排列，有种不同的排法； 第二步，将高二年级人看作一个元素，与高三年级共个元素全排列，有种不同的排法； 第三步，将高一年级人插空，有种不同的排法； 故事件AB包含的样本点数共有个 所以. 14．在中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆上的两个动点，线段过点，则可用，表示为 ；的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 因为为的中点，所以， 设，则， 又， 设，则， 整理得到，又是圆上的动点，所以， 再代入，可得，所以. 因为，又是以为圆心，为半径的圆上的两个动点， 则，所以， 令，则， 所以，所以，    故答案为：；. 15．已知，，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不等式 ， 依题意，，不等式恒成立， 而函数在上单调递减，则，于是 ，令， 依题意，，不等式恒成立，又函数在上单调递增， ，函数在上单调递减，，因此， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 则. 故选：C. 2．设函数的定义域为，则“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，， 若函数为上的减函数，则，所以， 函数无零点， 所以是上的减函数可推出对于任意实数，函数无零点， 若对于任意实数，函数无零点，则或恒成立， 所以可能是上的增函数， 即对于任意实数，函数无零点推不出是上的减函数， 所以“是上的减函数”是“对于任意实数，函数无零点”的充分不必要条件， 故选：A. 3．函数的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由题意有：的定义域为，，所以为奇函数，故排除AC； 又，故排除B， 故选：D. 4．正方体的棱长为1，若点为的中点，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为原点，分别以，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则，由，则， 由点为的中点，则， 则，， 则， 故与所成角的余弦值为． 故选：A. 5．如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设上半部分正常工作为事件，下半部分正常工作为事件，该电子元件能正常工作为事件， 则，， ，所以， 所以， 即该电子元件能正常工作的概率是. 故选：B 6．已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在]上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示：    利用的图象知的取值范围是. 故选：B. 7．若函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称，则实数可以是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于轴对称， 可知函数关于直线对称， 若，则函数关于直线对称，符合题意； 若，设， 则函数的对称轴所对应的值（）必为函数的对称轴， 又因为函数的对称轴为轴， 则，解得； 综上所述：或. 结合选项可知：A正确，BCD错误. 故选：A. 8．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上，则直线与圆相离，    所以，，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 9．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。 10．已知复数满足，则 . 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 11．的展开式中常数项是 ．（用数值作答） 【答案】924 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 12．已知 是圆 与圆的一个交点，若两圆在处的切线互相垂直，则 的最大值是 . 【答案】 【详解】由于圆：，则圆心，半径， 圆：，则圆心，半径， 由于为两圆的一个交点，且两圆在处的切线互相垂直，根据切线性质可知：为圆的切线，为圆的切线，    则，所以为直角三角形，， 所以，即， 故点在以为圆心，半径的圆上， 由于表示点到距离的平方，根据几何关系，点到的最大距离为到圆心的距离加上半径， 则，所以点到的最大距离为， 所以 的最大值为 故答案为： 13．“新韵重庆·渝超同行”2025新鸥鹏重庆城市足球超级联赛已于9月13日正式拉开帷幕！某场比赛期间需将3名志愿者小李、小张、小明分配到A，B两个场馆服务，每个场馆至少分配一名，恰好小李与小明分到同一个场馆的概率为 ． 【答案】 【详解】将小李、小张、小明分为两组，一组一人，另外一组两人，共种分法， 再将两组人分配到A，B两个场馆，共种分法，根据分步乘法计数原理可知，共种分法； 小李和小明分到一个场馆的分法有种；故小李与小明分到一个场馆的概率为． 故答案为：． 14．如图，中，，，，点是线段一动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的最小值为 .    【答案】 【详解】连接，则 ， 由最小值为中以为底的高， 则， 经检验等号成立时满足题意.    故答案为：. 15．已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，对任意恒成立， 因为，所以，即， 令，故对于任意恒成立， 由二次函数性质得函数在上单调递减， 而，可得，则实数的取值范围是． 故答案为： 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $