专题2.5 简单事件的概率（章节复习）知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题2.5 简单事件的概率（章节复习） （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：事件的可能性 2 知识点梳理02：简单事件的概率 2 知识点梳理03：用频率估计概率 概率的简单应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：事件的分类 3 考点2：判断事件发生的可能性的大小 4 考点3：概率的意义理解 6 考点4：判断几个事件概率的大小关系 7 考点5：列举随机实验的所有可能结果 8 考点6：根据概率公式计算概率 10 考点7：根据概率作判断 10 考点8：已知概率求数量 12 考点9：几何概率 12 考点10：列举法求概率 14 考点11：列表法或树状图法求概率 15 考点12：关于频率与概率关系说法的正误 16 考点13：求某事件的频率 17 考点14：由频率估计概率 18 考点15：用频率估计概率的综合应用 19 考点16：概率在转盘抽奖中的应用 21 考点17：概率在比赛中的应用 22 考点18：概率的其他应用 23 考点19：游戏的公平性 25 中考真题 实战演练 27 难度分层 拔尖冲刺 30 基础夯实 30 培优拔高 33 知识点梳理01：事件的可能性 1、必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 2、不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 3、随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 4、事件可能性的大小 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 知识点梳理02：简单事件的概率 1、概率的范围（0≤P≤1） P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1 2、概率的计算公式 如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=. 3、用列举法和画树状图法求概率 列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 画树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点梳理03：用频率估计概率 概率的简单应用 1、频率与概率 定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2、频率与概率的关系 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 考点1：事件的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·广东河源·期末）下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【规范解答】解：A、明天晴天，是随机事件，不符合题意； B、天空出现3个太阳，是不可能事件，不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（   ） A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件 B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件 C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件 D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0 【答案】B 【思路点拨】本题考查了事件的分类，根据不可能事件、必然事件、不确定事件的定义进行判断，掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：A、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》不是不可能事件，故选项不符合题意； B、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件，正确，故选项符合题意； C、随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是不确定事件，故选项不符合题意； D、随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则不确定全市学生都没看过《哪吒2》，故选项不符合题意； 故选：B． 考点2：判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【答案】D 【思路点拨】本题考查可能性，可能性的大小是指所求情况数占总情况数的几分之几，结合题意逐项判断即可． 【规范解答】解：7张卡片中，数字1有4张，数字2有1张，数字3有2张， 因此摸出卡片1、2、3的可能性分别为：，，， 随意摸出一张，不一定能摸出，故 A选项描述错误； 随意摸出一张，可能摸出，故 B选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最小，故 C选项描述错误； 随意摸出一张，摸出的可能性最大，故D选项描述正确； 故选：D． 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大 A．东 B．北 C．西 D．南 【答案】C 【思路点拨】本题考查了事件的可能性判断，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能，到了第二个路口，则需要剔除掉来时的方向，据此作答即可． 【规范解答】解：该车是一直向西行驶，在第一个路口有向西，向南、向北三种可能． 而如果第一个路口如向西，则第二个路口就没有向东的可能； 如果第一个路口向南，则第二个路口就没有向北的可能； 如果第一个路口向北，则第二个路口就没有向南的可能； 但是这三种情况下，都有向西的可能． 所以它一直向西行驶的概率较大． 故选：C． 考点3：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法正确的是（    ） A．投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数一定是10次 B．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖100次就有1次中奖 【答案】B 【思路点拨】本题考查了概率的意义、必然事件等概念，解题的关键是准确理解这些概念的内涵，对每个选项进行分析判断． 根据概率的不确定性、必然事件的定义，逐一分析每个选项是否正确． 【规范解答】解：A、－投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率是，但投掷20次时，正面朝上的次数是随机的，可能是10次，也可能不是10次，因为概率是对事件发生可能性大小的估计，不是确定的结果，所以该选项错误； B、一年有12个月份，13名同学中，至少有两人的出生月份相同，这是必然会发生的，所以13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，该选项正确； C、概率很小的事情不是不可能发生，而是发生的机会较小，例如买彩票中大奖的概率很小，但还是有可能发生的，所以该选项错误; D、抽奖活动中中奖概率为，表示每次抽奖中奖的可能性是，抽奖100次时，可能中奖1次，也可能中奖次数不是1次，因为每次抽奖的结果都是独立的，概率是对整体可能性的描述，不是确定的次数，所以该选项错误． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 B．“信丰明天降雨的概率为0.6”，表示信丰明天一定降雨 C．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 【答案】D 【思路点拨】此题考查的是概率意义的理解，必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的判断，掌握必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义是解此题的关键．根据必然事件、确定事件、随机事件、不可能事件的定义逐一分析即可． 【规范解答】解：A．若抽奖活动的中奖概率为，抽奖50次不一定中奖1次，故该选项不符合题意； B．“信丰明天降雨的概率为0.6”,表示该地明天降雨是随机事件，故该选项不符合题意； C．成语“水中捞月”所描述的事件，是不可能事件，故该选项不符合题意； D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件，故该选项符合题意； 故选D 考点4：判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．确定性事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【答案】B 【思路点拨】本题考查了概率的基本概念，理解并掌握必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件定义是解题的关键． 根据必然事件概率为，不可能事件概率为，随机事件概率在和之间。确定性事件包括必然事件和不可能事件，理解即可求解． 【规范解答】解：、必然事件概率为，这种说法正确，故选项不符合题意； 、确定性事件包括必然事件和不可能事件，必然事件概率为，不可能事件概率为，故这种说法错误，故选项符合题意； 、不可能事件概率为，这种说法正确，故选项不符合题意； 、随机事件发生的概率介于和之间，这种说法正确，故选项不符合题意． 故选：． 【变式训练】（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 【答案】(1)相等 (2) 【思路点拨】本题考查概率定义，列表法求概率等． （1）根据题意利用等可能性可得答案； （2）先根据题意列表列出可能出现的情况，再找出符合题意得情况，即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率相等， 故答案为：相等； （2）解：列表如下： 第二个第一个 由列表可知，共有12种等可能的结果，其中小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的结果有4种，即，，，， 所以小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 答：小东一家人前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率为． 考点5：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【答案】10 【思路点拨】此题考查了列举法求可能的情况，设5指分别为1，2，3，4，5，根据题意列举出所有可能得情况即可求解． 【规范解答】解：设5指分别为1，2，3，4，5 根据题意得，可能的情况有： ①1，2，3；②1，2，4；③1，2，5；④1，3，4；⑤1，3，5；⑥1，4，5； ⑦2，3，4；⑧2，3，5；⑨2，4，5；⑩3，4，5． ∴一共有10种张开方式． 故答案为：10． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 【答案】C 【思路点拨】此题考查了列举法求随机事件的可能性，根据题意表示出所有可能的情况求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，可能出现的情况有： 语文，数学，外语，物理，化学，生物； 语文，数学，外语，物理，化学，思想政治； 语文，数学，外语，物理，化学，地理； 语文，数学，外语，物理，生物，思想政治； 语文，数学，外语，物理，生物，地理； 语文，数学，外语，物理，思想政治，地理； 语文，数学，外语，历史，化学，生物； 语文，数学，外语，历史，化学，思想政治； 语文，数学，外语，历史，化学，地理； 语文，数学，外语，历史，生物，思想政治； 语文，数学，外语，历史，生物，地理； 语文，数学，外语，历史，思想政治，地理； ∴最多出现12种情况． 故选：C． 考点6：根据概率公式计算概率 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）有7张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据概率公式求概率，正确理解题意是关键； 根据题意可得从7张卡片中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的结果有：3，6两种可能，再根据概率公式求解即可． 【规范解答】解：因为共有7张卡片，从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的结果有：3，6两种可能； 所以从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是． 故答案为：． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了频率和概率的相关知识，当随机试验次数足够多时，可以用试验频率估计概率的值．用乘坐三号线地铁的频率估计概率即可． 【规范解答】解：乘坐三号线地铁的频率为， ∴乘坐三号线地铁的概率大约是； 故答案为： ． 考点7：根据概率作判断 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 【答案】C 【思路点拨】分别求出陨石落在地球的表面陆地和落在海洋的概率，判断即可． 【规范解答】解：∵地球的表面陆地与海洋面积的比约为， ∴宇宙中飞来一块陨石落在地球的表面陆地的概率为；落在海洋的概率为； ∵， ∴落在海洋的可能性大； 故选C． 【变式训练】（22-23七年级下·河南开封·阶段练习）一个正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，三个面上标有“3”，求这个骰子掷出后： (1)“2”朝上的概率； (2)朝上概率最大的数； (3)如果规定出现朝上的数为1或2时甲胜，出现朝上的数为3时，乙胜，那么甲、乙谁获胜的机会大些． 【答案】(1) (2)3 (3)甲、乙获胜的机会相同 【思路点拨】（1）用面上标有2的面数除以总面数即可得出答案； （2）概率公式直接求解即可； （3）根据面上标有1和面上标有2的共有3面，面上标有3的有3个面，得出面数相等，从而得出甲、乙谁获胜的机会一样大． 【规范解答】（1）解： ∵共有6个面，其中两个面上标有2， ∴2朝上的概率， （2）∵共有6个面，其中一个面上标有1，两个面上标有2，三个面上标有3， ∴朝上概率最大的数是3； （3）出现朝上的数为1或2时的概率， 出现朝上的数为3时的概率为， 所以甲、乙获胜的机会相同． 考点8：已知概率求数量 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子中有形状相等，颜色不同的红，白两种球，已知红球有5个，随机摸一个球是白球的概率是，则袋子里有白球 个． 【答案】 【思路点拨】本题考查了概率公式；设袋子里有白球个，根据概率公式列出比例式，求得的值，即可计算出白球的数量． 【规范解答】解：设袋子里有白球个，根据题意得 ∴ 解得：， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．21 B．27 C．28 D．30 【答案】D 【思路点拨】本题考查由频率估计概率、简单的概率计算．直接由概率公式求解即可. 【规范解答】解：根据题意得，解得：， 经检验：符合题意， 所以估计盒子中小球的个数为30． 故选：D． 考点9：几何概率 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 【答案】（1）（2） 【思路点拨】本题考查了概率的简单应用，熟练掌握概率的定义和求法是解题的关键； （1）计算面积再根据概率公式计算概率； （2）判断满足菱形条件的个数然后根据概率公式计算即可. 【规范解答】解：（1）设每个小正方形的边长为1，则， （最终停在阴影方砖上）． （2）①四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ②四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； ③四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形； ④四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形． 只有①③可判定是菱形， ∴可判定是菱形的概率是． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）有一个转盘如图，转盘可以自由转动，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题的关键．利用概率公式即可求得答案． 【规范解答】解：∵   ∴指针落在黄色区域的概率为； 故答案为：. 考点10：列举法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列举法求概率． 列举随机闭合两个开关的所以可能，即可得随机闭合两个开关能够让灯泡发光概率． 【规范解答】解：随机开闭合开关，，中的两个，所有可能如下： 闭合，，灯泡发光， 闭合，，灯泡发光， 闭合，，灯泡不发光， ∴当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了列举法求概率，列举出所有可能发生的情况是解答本题的关键. 仔细审题,利用列举法得出所有可能的三位数组成情况；找出组成的数字是偶数的可能结果：132，312；根据概率计算公式P(A)=计算即可. 【规范解答】解：组成的数共有6个； 其中偶数有，一共2个； 因此组成的数是偶数的概率. 故选B. 考点11：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·河南·期中）用图中的两个可自由转动的等分转盘做“配紫色”游戏（一红一蓝可配成紫色），如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查树状图法以及概率的计算方法，用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【规范解答】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成紫色的有1种， ∴同时转动两个转盘，转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是 故选：A． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数为m，乙转盘中指针所指区域内的数为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）． (1)请你用画树状图法或列表法求出的概率． (2)点在函数图象上的概率为______． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路点拨】本题考查了列表法或树状图法求概率、反比例函数，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键． （1）根据题意列表，然后求得所有等可能情况数，以及符合题意的情况数，根据概率公式求解即可； （2）根据（1）中的表格，找出符合题意的情况数，由概率公式即可求得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意列表如下： -1 0 1 2 -1 (-1，-1) (-1，0) (-1，1) (-1，2) -2 (-2，-1) (-2，0) (-2，1) (-2，2) 1 (1，-1) (1，0) (1，1) (1，2) 由表格可知，所有等可能的结果有种，其中的结果有种， 的概率． （2）解：点在函数图象上的有：，，共种情况， ∴点在函数图象上的概率为． 故答案为：． 考点12：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【思路点拨】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 【规范解答】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 【答案】A 【思路点拨】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可． 【规范解答】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意； B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意； C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意； D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意； 故选：A． 考点13：求某事件的频率 【典例精讲】（2025·陕西榆林·模拟预测）一个不透明的箱子里有红球和绿球共4个，每个球除了颜色外其他都相同．将箱子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次． (1)甲同学随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是___________； (2)如果箱子里有1个红球、3个绿球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，请用画树状图或列表的方法求乙同学两次摸出的小球颜色不同的概率． 【答案】(1)（或0.4） (2) 【思路点拨】本题考查频率的计算以及用树状图或列表法求概率，解题的关键是理解频率公式，掌用树状图或列表法分析所有可能结果及符合条件结果的方法． （1）根据频率频数总数，代入数据求解． （2）通过列表或画树状图列出所有可能的摸球结果，再找出两次颜色不同的结果数，利用概率公式计算． 【规范解答】（1）解：已知甲同学随机摸球20次，其中摸出红球8次，那么摸出红球的频率为， 故答案为：（或0.4）； （2）解：列表如下： 第一次第二次 红 绿 绿 绿 红 （红，红） （红，绿） （红，绿） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，绿） （绿，绿） 绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，绿） （绿，绿） 绿 （绿，红） （绿，绿） （绿，绿） （绿，绿） 由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色不同的结果有6种， ∴两次摸出的小球颜色不同的概率为． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了频率，根据频率公式计算即可求解，掌握频率计算公式是解题的关键． 【规范解答】解：英文句子“”中，共有个字母，其中字母“”出现的次数为次， ∴字母“”出现的频率为， 故答案为：． 考点14：由频率估计概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求的值． 【答案】 【思路点拨】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄色乒乓球的频率得到相应的等量关系．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可． 【规范解答】解：由题意，摸到黄球的频率稳定在，因此摸到黄球的概率为 即 ， 所以 ． 解得 ． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了根据频率估算概率，根据大量重复试验的结果，频率逐渐趋向于概率，由此即可求解，理解频率和概率之间的关系是解题的关键． 【规范解答】解：根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于， 故选：． 考点15：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y (1)填空：__________，__________，__________； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次； (4)如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【答案】(1)100；；415 (2) (3)120 (4)不会一样；理由见解析 【思路点拨】本题考查利用频率估计概率，掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键： （1）根据频数，总数和频率之间的关系，进行计算即可； （2）根据频率估算概率即可； （3）根据概率进行判断即可． （4）根据概率的意义进行判断即可． 【规范解答】（1）解：，，； （2）解：由表格可知，该运动员任意投出一球，能投中的概率是； 故答案为：； （3）解：由（）可知，该运动员投中的概率为， ∴（次）， 估计他命中的次数为次， 故答案为：． （4）解：不会一样，理由如下： 由（2）可知，该运动员投中的概率为，故随着试验次数的增加，该运动员投球的频率在左右波动，故每次试验命中的球数会有所波动，结果不可能跟上一次完全相同． 【变式训练】（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了频数、频率及总数间的关系，熟练掌握三者间的关系是解题的关键．用球的总个数分别乘以摸到白球频率求出其对应个数，继而可得答案． 【规范解答】解：根据题意得：个， 即估计口袋中白球的个数是18个． 故选：B. 考点16：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．  游戏规定：随意转动转盘， (1)指针指到1的可能性是多少？ (2)若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法 吗？为什么？ 【答案】(1) (2)不同意，理由见解析． 【思路点拨】根据题意需求出指针指到1的可能性即概率，由概率的计算公式即可得到答案； 先求出各自获胜的概率，即可得出是否公平，则可得出结论． 【规范解答】（1） 答：指针指到１的可能性为． （2）小丽获胜的概率为： 小芳获胜的概率为： 此办法不公平，若我是小芳，我不同意这个办法． 答：若我是小芳，我不同意这个办法． 【变式训练】（2024·江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【规范解答】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 考点17：概率在比赛中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)， (2)正确，理由见解析 【思路点拨】本题考查了概率公式，熟练地利用概率公式进行计算是解本题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）先求出A盘转出的数字大于4的概率和B盘转出数字“4”的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域， 所以（A盘转出数字“2”）， 因为B盘被分成3个面积相等的扇形区域， 所以（盘转出数字“2”）， （2）解：正确，理由如下： 因为A盘被分成6个面积相等的扇形区域，其中数字大于4的区域有2个， 所以（A盘转出的数字大于4）． 因为盘被分成3个面积相等的扇形区域，其中数字为4的区域有1个， 所以（盘转出数字“4”）， 所以小华的看法正确， 【变式训练】（24-25九年级上·全国·课后作业）某单位要在两名射击队员中推出一名参加比赛，已知同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙，则所推出的人中应（    ） A．选甲 B．选乙 C．都可以 D．不能确定 【答案】A 【规范解答】根据题意可知，同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙.故应该派甲去. 故选A. 考点18：概率的其他应用 【典例精讲】（22-23九年级上·山西运城·期末）某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵，②80000棵 【思路点拨】（1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②方法一：用移植的总棵树减去已经移植的棵树； 方法二：用还需成活的棵树除以成活的概率． 【规范解答】（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵） 答：这种花卉成活率约18000棵． ②方法一：（棵） 答：估计还要移植80000棵． 方法二：（棵） 答：估计还要移植80000棵． 【变式训练】（2023·河北唐山·二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 【答案】(1) (2)张亮的想法是错的，见解析 (3) 【思路点拨】（1）用列表法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可； （2）求出的所有取值的众数和平均数，比较得出答案； （3）根据的所有取值，是否存在三个值的和为即可． 【规范解答】（1）由题得，列表为： 第1个第2个 1 3 3 1 1 3 0 2 1 1 0 4 3 1 2 4 所以，共有12种等可能结果，其中和的绝对值为1的有4种，； （2）由（1）得：，，，，， ∴的所有取值的众数为，而的所有取值的平均数为：， ∵，所以张亮的想法是错的． （3）∵， ∴（答案不唯一） 考点19：游戏的公平性 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元测试）小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有一张球票，小明提议用如下的办法决定到底谁去看比赛．小明找来一个转盘，转盘被等分为8份（红色3份，蓝色3份，黄色2份），随意的转动转盘，若转到颜色为红色，则小刚去看足球赛．转到其他颜色，小明去． (1)转盘转到黄色的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【思路点拨】本题考查了游戏的公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）根据黄色占2份，共8份即可解决问题； （2）游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【规范解答】（1）解：转盘转到黄色的概率是， （2）解：这个游戏不公平． ∵小刚去的概率是，小明去的概率是， ∴这个游戏不公平． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏规则对双方不公平，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了游戏公平性的判断、三角形的三边关系、等腰三角形的判定、概率公式等知识点，掌握判断游戏公平性的方法是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）分别求出这三条线段能构成等腰三角形的概率和三条线段构成的三角形的周长小于10的概率，再进行比较即可解答． 【规范解答】（1）解：∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种， ∴转出的数字大于3的概率为． （2）解：这个游戏规则对双方不公平；理由如下： ∵转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能构成等腰三角形的结果有2种， ∴能构成等腰三角形的概率为； ∵构成的三角形的周长小于10的结果有1种， ∴构成的三角形的周长小于10的概率为； ∵， ∴小圆赢的概率小梦赢的概率， ∴这个游戏规则对双方不公平． 1．（2024·全国·中考真题）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了利用列举法求概率．先画出树状图，从而可得所有等可能的结果，再找出反应生成的结果，利用概率公式求解即可得． 【规范解答】解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，总共有6种等可能的结果，其中，反应生成的结果有2种， 则反应生成的概率是， 故选：B． 2．（2024·安徽黄山·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了因式分解的应用，概率公式，解一元一次不等式，难度较大，正确运用分类讨论的思想是解题的关键． 由题意可知，则．①当时，；②当时， ，；③当时，，分别求解计算即可． 【规范解答】解：由题意可知． ∵，m，n均为正整数， ∴． ①当时，， ∴， ∴， ∴n的值可以是1，2，3，4，对应的m的值分别为3，4，5，6， 此时的值可以是8，12，16，20． ②当时， ，， ∴， ， ∴， ∴， ∴． ③当时，， ∴， ∴，不符合题意． 综上可知，不超过20的智慧数有5个，分别为8，12，15，16，20，其中是奇数的有1个，故所求概率为． 故选：D． 3.（2024·湖北黄冈·中考真题）有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是 【答案】 【思路点拨】本题考查中心对称图形的概念以及概率的计算，准确判断出哪些图案是中心对称图形即“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”是解题关键． 用列举法（或树状图、列表法）求出所有抽取两张卡片的可能情况数，以及抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的情况数，再根据概率公式（其中是所有可能的结果数，是事件发生的结果数）计算概率． 【规范解答】解：这三张卡片分别记为A，B，C，其中B，C的正面分别绘制的是中心对称图形．画树状图如下： 由树状图可知，一共有6种等可能的情况，其中两张卡片正面均绘制的是中心对称图形的情况有2种， 故答案为：． 4．（2024·江苏南京·中考真题）不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是，放回后，往盒中再放进10枚黑棋．搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为，则 ． 【答案】40 【思路点拨】本题考查概率的计算及比的应用，以及二元一次方程组的求解．根据概率计算公式和比例的性质求解即可求解． 【规范解答】解：由题可知，整理得， 解得， ∴， 故答案为：40． 5．（2024·河北张家口·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“☺”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“☺”位于格子时，小明连续点击两次按钮，请用画树状图或列表的方法，求“☺”回到格子的概率． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列表法求概率，解题的关键正确理解题意列出表格．通过列表可得共有种等可能的结果数，其中能回到格子A的结果数有（左，右），（右，左）两种．根据概率公式即可求解． 【规范解答】解：列表如下：             第一次第二次 左 右 左 （左，左） （左，右） 右 （右，左） （右，右） 由表格可知，共有种等可能的结果数，其中能回到格子A的结果数有（左，右），（右，左）两种． ∴（连续点击两次按钮，“☺”回到格子A的概率）． 基础夯实 1．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点在第三象限的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的是概率的计算，掌握列举法求概率的方法是解题的关键．通过列举所有放回抽取的可能结果，结合第三象限点的坐标特征（横、纵坐标均为负），找出符合条件的结果数，进而根据概率公式求出点在第三象限的概率． 【规范解答】根据题意列表得： 共有种可能的情况，在第三象限的点有个， ． 故选：A． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中各随机选择其中一个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查列表法求概率，用A，B，C表示三个主题，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【规范解答】解：由题意，列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 共9种等可能的结果，其中她们恰好选中同一个主题的结果有3种， ∴； 故选C． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查概率的计算，利用概率公式：概率=所求情况数与总情况数的比值，即可求解． 【规范解答】解：从“”中随机抽取一个字母，共有8种等可能的结果，其中抽中字母的结果有2种， 因此抽中字母g的概率为， 故答案为． 4．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 187 446 730 1790 10836 由此可以估计这种苹果树苗移植成活的概率为 （精确到）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了用频率估计概率的知识点，解题的关键是明确当试验次数足够大时，频率会逐渐稳定在概率附近． 先分别计算每组移植的成活频率（成活棵数除以移植棵数），观察频率的稳定趋势，再将稳定值精确到即可． 【规范解答】解：计算各组成活频率： ， ， ， ， ； 观察频率可知，随着移植棵数增多，频率稳定在附近，精确到得概率估计值为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在云南大理的非遗文化体验店中，每位游客可以随机抽取一种特色扎染挂件作为纪念．已知该店共有3种扎染挂件(除图案外均相同)，分别印有图案：“苍山雪”、“洱 海月”、“大理花”．甲、乙两位游客各自随机选择一种扎染挂件，且每种挂件被选中 的可能性相等．记选择“苍山雪”为a， 选择“洱海月”为b， 选择“大理花”为c，记甲游客的选择为x，乙游客的选择为y． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位游客选择的扎染挂件图案相同的概率P． 【答案】(1)9种，表见解析 (2) 【思路点拨】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法是解题的关键： （1）列出表格，即可得出结果； （2）根据（1）中表格，利用概率公式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，列表如下： a b c a b c 由表格可知，共9种等可能的情况； （2）解：由（1）中表格可知，共9种等可能的情况，甲、乙两位游客选择的扎染挂件图案相同的结果有3种， ∴． 培优拔高 6．（2024·天津·模拟预测）从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查概率、一元二次方程的判别式．根据题意列出a、b取值的所有可能数，根据一元二次方程有两个不相等的实数根可知，由此求出a、b满足的关系，列举出满足该关系的a、b取值的组合，根据概率计算方法即可求解． 【规范解答】解：画出树状图： 故a、b的取值组合有（种）， 对于一元二次方程，其判别式为， 要使方程有两个不相等的实数根，则，即，有15种组合， ∴概率为， 故选：B． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设“神舟十六号”上甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选两人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了树状图或列表求概率，解决此题的关键是读懂题意列出正确的树状图；根据题意可知此题分两步完成，第一步是甲乙丙都有可能进入问天实验舱，第二步剩下的人进入梦天实验舱，列出树状图解决问题即可； 【规范解答】解：设甲乙丙分别用A，B，C表示； 由上可得：一共有6种等可能性的结果，其中甲，乙两人同时被选中的可能性有2种， ∴甲、乙两人同时被选中的概率为， 故选：B． 8．（2023·北京·模拟预测）如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【规范解答】解：根据题意，画出树状图如图所示： ， 由树状图可得，共有种等可能出现的结果，其中经过两次移动后，点P恰好和点B重合的情况有种， ∴经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）有5张正面分别有数字，0，，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使以x为自变量的正比例函数经过第二、四象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查正比例函数的图象，一元二次方程根的判别式，概率公式，综合运用相关知识是解题的关键． 首先根据正比例函数经过第二、四象限的条件，得出；再根据一元二次方程有实数解的条件，得到且，综合得且．再找出卡片中满足条件a的数量，运用概率公式求解即可． 【规范解答】解：∵正比例函数经过第二、四象限， ∴，解得． ∵关于的一元二次方程有实数解， ∴，且， 解得且； 综上，且． 卡片数字为，满足条件a的有，共2个， ∴概率为． 故答案为． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期中）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：：好，：中，：差.请根据图中信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，_____，_____，类的圆心角为_____度； (3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率. 【答案】(1)见解析 (2)15，60，54 (3) 【思路点拨】考查统计图表综合运用、概率计算．解题关键是由A类求总人数，概率计算要准确列举结果．易错点：统计计算出错、概率列举重复/遗漏． （1）由A类10人占，得总人数40，进而得C类6人，补全条形图． （2），，C类圆心角． （3）画树状图列举12种结果，全是B类的有2种，概率为． 【规范解答】（1）全班学生总人数为：（人）： 类人数有：（人）． 补充统计图如下： （2）类百分比为，， 类百分比为，， 类的圆心角为， 故答案为：15，60，54． （3）列表如下： / / / / 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是类学生的有2种结果， ． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 简单事件的概率（章节复习） （知识梳理+19个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共53题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：事件的可能性 2 知识点梳理02：简单事件的概率 2 知识点梳理03：用频率估计概率 概率的简单应用 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：事件的分类 3 考点2：判断事件发生的可能性的大小 4 考点3：概率的意义理解 4 考点4：判断几个事件概率的大小关系 5 考点5：列举随机实验的所有可能结果 5 考点6：根据概率公式计算概率 6 考点7：根据概率作判断 6 考点8：已知概率求数量 6 考点9：几何概率 7 考点10：列举法求概率 7 考点11：列表法或树状图法求概率 8 考点12：关于频率与概率关系说法的正误 8 考点13：求某事件的频率 9 考点14：由频率估计概率 9 考点15：用频率估计概率的综合应用 10 考点16：概率在转盘抽奖中的应用 10 考点17：概率在比赛中的应用 11 考点18：概率的其他应用 11 考点19：游戏的公平性 12 中考真题 实战演练 13 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 15 知识点梳理01：事件的可能性 1、必然事件 在一定条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，叫做必然事件． 2、不可能事件 在每次试验中都不会发生的事件叫做不可能事件． 3、随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件. 4、事件可能性的大小 要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 知识点梳理02：简单事件的概率 1、概率的范围（0≤P≤1） P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0＜P（随机事件）＜1 2、概率的计算公式 如果事件发生的各种可能性相同且相互排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m（m≤n），那么事件A发生的概率为P（A）=. 3、用列举法和画树状图法求概率 列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 画树状图法 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断所有结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能的结果总数n和事件A包含其中的结果数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 知识点梳理03：用频率估计概率 概率的简单应用 1、频率与概率 定义 频率：在相同条件下重复n次实验，事件A发生的次数m与实验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2、频率与概率的关系 在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近.因此我们可以通过大量重复试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率. 3、利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 考点1：事件的分类 【典例精讲】（24-25七年级下·广东河源·期末）下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 【变式训练】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）据网络平台数据，截至2025年4月1日，全球动画电影票房冠军《哪吒2》总票房突破154亿元，登顶全球电影票房榜第5名，则（   ） A．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不可能事件 B．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》是不确定事件 C．随机抽我市1名学生，他看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》是必然事件 D．随机抽我市1名学生，他没看过《哪吒2》，则全市学生看过《哪吒2》的概率为0 考点2：判断事件发生的可能性的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·河南郑州·开学考试）把下面7张数字卡片放入纸袋，随意摸出一张．下面描述正确的是（   ） A．一定能摸出 B．不可能摸出 C．摸出的可能性最小 D．摸出的可能性最大 【变式训练】（2024七年级下·全国·专题练习）如图，一辆汽车向西行驶，当到十字路口时，它可以自由选择向左、向右或向前行驶，当通过第二个十字路口后，向（　　）行驶的可能性最大 A．东 B．北 C．西 D．南 考点3：概率的意义理解 【典例精讲】（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）下列说法正确的是（    ） A．投掷一枚质地均匀的硬币20次，正面朝上的次数一定是10次 B．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 C．概率很小的事情不可能发生 D．一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖100次就有1次中奖 【变式训练】（24-25九年级上·江西赣州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．若抽奖活动的中奖概率为，则抽奖50次必中奖1次 B．“信丰明天降雨的概率为0.6”，表示信丰明天一定降雨 C．成语“水中捞月”所描述的事件，是随机事件 D．自然现象中，“太阳东方升起”是必然事件 考点4：判断几个事件概率的大小关系 【典例精讲】（2025九年级·全国·专题练习）下列说法错误的是（   ） A．必然事件发生的概率为1 B．确定性事件发生的概率为1 C．不可能事件发生的概率为0 D．随机事件发生的概率介于0和1之间 【变式训练】（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）暑假期间，小东和爸爸妈妈准备前往云南旅游．云南景点众多，但由于时间有限，所以小东一家计划先乘机到昆明，再考虑从以下四个地点中选择两个前往：丽江、大理、红河、西双版纳．由于意见难以统一，小东爸爸在外观相同的4个小球表面写上“”，“”，“”，“”，分别代表丽江、大理、红河、西双版纳，并将小球装入不透明袋子里面，让小东从中同时抽取两个小球，用以决定前往旅游的地点． (1)判断：小东一家前往大理旅游与前往丽江旅游的概率________（填“相等”或“不相等”）； (2)丽江、大理在昆明以西，红河、西双版纳在昆明以南，求小东一家前往旅游的两个地点相对于昆明方向相同的概率． 考点5：列举随机实验的所有可能结果 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）在一次数学活动课上，李老师带学生做一个数学游戏，伸出右手，张开5指，然后任意弯曲两指，问同学们一共有多少种弯曲方式？同学们通过讨论，得出共有10种弯曲方式．接下来，李老师又说，伸出左手，握成拳头，然后任意张开三指，请问一共有 种张开方式． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南长沙·开学考试）我省普通高考实行“”模式，“3”是指语文，数学，外语三门必考科目，“1”是指在物理，历史2门中必须选1门，“2”是指在剩余的思想政治，地理，化学，生物学4门课程中再任选2门课程学习．这样，高考方案中最多能出现（   ）种考试科目组． A．6 B．16 C．12 D．32 考点6：根据概率公式计算概率 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）有7张卡片，上面分别写着数1，2，3，4，5，6，7．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是 ． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是 ． 考点7：根据概率作判断 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知地球的表面陆地与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则（    ） A．落在陆地上的可能性大 B．落在陆地和海洋的可能性大小一样 C．落在海洋的可能性大 D．这种事件不能判定 【变式训练】（22-23七年级下·河南开封·阶段练习）一个正方体骰子，其中一个面上标有“1”，两个面上标有“2”，三个面上标有“3”，求这个骰子掷出后： (1)“2”朝上的概率； (2)朝上概率最大的数； (3)如果规定出现朝上的数为1或2时甲胜，出现朝上的数为3时，乙胜，那么甲、乙谁获胜的机会大些． 考点8：已知概率求数量 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）一个不透明的袋子中有形状相等，颜色不同的红，白两种球，已知红球有5个，随机摸一个球是白球的概率是，则袋子里有白球 个． 【变式训练】（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）一个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中小球的个数为（    ） A．21 B．27 C．28 D．30 考点9：几何概率 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元测试）（1）一只小狗在如图所示的方砖上走来走去，求最终停在阴影方砖上的概率； （2）在中，是两条对角线，现有以下条件：①；②；③；④．从中任取一个作为条件，求可判定是菱形的概率． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）有一个转盘如图，转盘可以自由转动，让转盘自由转动一次，则指针落在黄色区域的概率为 ． 考点10：列举法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）在如图所示的电路图中，各电器均能正常工作，当随机开闭合开关中的两个时，能够让灯泡发光的概率为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）用1、2、3三个数字组成一个三位数（每个数中三个数字都要出现），则组成的三位数是偶数的概率是（     ） A． B． C． D． 考点11：列表法或树状图法求概率 【典例精讲】（25-26九年级上·河南·期中）用图中的两个可自由转动的等分转盘做“配紫色”游戏（一红一蓝可配成紫色），如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成紫色的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，甲、乙是两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数．同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数为m，乙转盘中指针所指区域内的数为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针指向一个区域为止）． (1)请你用画树状图法或列表法求出的概率． (2)点在函数图象上的概率为______． 考点12：关于频率与概率关系说法的正误 【典例精讲】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【变式训练】（24-25九年级上·山东烟台·期末）下列说法中正确的是（   ） A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件 B．确定事件发生的概率是1 C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同 D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格 考点13：求某事件的频率 【典例精讲】（2025·陕西榆林·模拟预测）一个不透明的箱子里有红球和绿球共4个，每个球除了颜色外其他都相同．将箱子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回记作随机摸球1次． (1)甲同学随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是___________； (2)如果箱子里有1个红球、3个绿球，乙同学按照摸球的规则，摸球2次，请用画树状图或列表的方法求乙同学两次摸出的小球颜色不同的概率． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏南京·期中）在英文句子“”中，字母“”出现的频率为 ． 考点14：由频率估计概率 【典例精讲】（25-26九年级上·陕西榆林·期中）在一个不透明的盒子中装有个除颜色外完全相同的乒乓球，其中有12个黄色乒乓球．将盒子中的球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到黄色乒乓球的频率稳定在20%，求的值． 【变式训练】（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（    ） 累计抽测的学生数 近视学生数与的比值 A． B． C． D． 考点15：用频率估计概率的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·山东青岛·期中）篮球运动员为了评估自己的投篮命中率，通常会进行一系列的训练测试．下表是某篮球运动员在相同的训练条件下，得到的一组测试数据： 投篮的次数 10 50 x 200 300 400 500 命中的次数 7 40 81 163 249 326 z 命中的频率 y (1)填空：__________，__________，__________； (2)测试中，该运动员任意投出一球，估计能投中的概率是__________（精确到）； (3)根据估计的概率，该运动员投篮150次，他命中的次数大约是__________次； (4)如果该运动员重新再投篮500次，对比上表记录下数据，两表的结果会一样吗？为什么？ 【变式训练】（2025·广西柳州·三模）在一个不透明的口袋中，装有红色、黑色、白色的小球共60个，除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后，摸到白色小球的频率稳定在，则可估计口袋中白球的个数是（   ） A．12 B．18 C．24 D．30 考点16：概率在转盘抽奖中的应用 【典例精讲】（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在“五·四”青年节中，全校举办了文艺汇演活动．小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额．小丽想出了一个办法，她将一个转盘（均质的）均分成6份，如图所示．  游戏规定：随意转动转盘， (1)指针指到1的可能性是多少？ (2)若指针指到3，则小丽去；若指针指到2，则小芳去．若你是小芳，会同意这个办法 吗？为什么？ 【变式训练】（2024·江苏盐城·二模）如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 考点17：概率在比赛中的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图A和图B均是一个均匀的可以自由转动的转盘，A盘被分成了6个面积相等的扇形区域，B盘被分成3个面积相等的扇形区域，在每一个扇形内均标有不同的自然数，分别旋转两个转盘，转盘停止后，将A盘转出的数字记为，B盘转出的数字记为． (1)若分别转动A盘和B盘一次，求A盘，B盘转出数字“2”的概率； (2)小华认为，A盘转出的数字大于4的概率与B盘转出数字“4”的概率相同，请你判断他的看法是否正确，并说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·课后作业）某单位要在两名射击队员中推出一名参加比赛，已知同等条件下，甲射中某物的可能性大于乙，则所推出的人中应（    ） A．选甲 B．选乙 C．都可以 D．不能确定 考点18：概率的其他应用 【典例精讲】（22-23九年级上·山西运城·期末）某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【变式训练】（2023·河北唐山·二模）有四个完全相同的小球，分别标注，，1，3这四个数字．把标注后的小球放入不透明的口袋中，从中随机拿出两个小球，所标数字和的绝对值为k的概率记作（如：是任取两个数，其和的绝对值为3的概率） (1)用列表法求； (2)张亮认为：的所有取值的众数大于它们的平均数，你认为张亮的想法正确吗？请通过计算说明； (3)能否找到概率，，（），使．若能找到，请举例说明；若不能找到，请说明理由． 考点19：游戏的公平性 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·单元测试）小明和小刚都想去看周末的足球赛，但却只有一张球票，小明提议用如下的办法决定到底谁去看比赛．小明找来一个转盘，转盘被等分为8份（红色3份，蓝色3份，黄色2份），随意的转动转盘，若转到颜色为红色，则小刚去看足球赛．转到其他颜色，小明去． (1)转盘转到黄色的概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·内蒙古包头·阶段练习）如图，现有一个转盘被平均分成6等份，分别标有2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字，求： (1)转动转盘，转出的数字大于3的概率； (2)小圆和小梦一起做游戏，现有两张分别写有3和4的卡片，要随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．小圆说：“若这三条线段能构成等腰三角形，则我赢”小梦说：“若这三条线段构成的三角形的周长小于10，则我赢”，请问这个游戏规则对双方公平吗？试通过计算说明理由． 1．（2024·全国·中考真题）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取CO的实验中，与的原子个数比为2:1，与的原子个数比为1:1，若实验恰好完全反应生成CO，则反应生成的概率（　　） A． B． C． D． 2．（2024·安徽黄山·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，16就是一个智慧数．若将智慧数从小到大排列，在不超过20的智慧数中，是奇数的概率是（  ） A． B． C． D． 3.（2024·湖北黄冈·中考真题）有三张不透明的卡片，正面分别绘制有如图所示的图案．已知这三张卡片反面完全相同，把这三张卡片反面向上放置在桌面上，从中任意抽取两张，抽到的两张卡片上的图案均是中心对称图形的概率是 4．（2024·江苏南京·中考真题）不透明的盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率是，放回后，往盒中再放进10枚黑棋．搅匀后从盒中随机取出一枚棋子，取得黑棋的概率为，则 ． 5．（2024·河北张家口·中考真题）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“☺”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“☺”位于格子时，小明连续点击两次按钮，请用画树状图或列表的方法，求“☺”回到格子的概率． 基础夯实 1．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，有三张卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗均匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，放回后再从中随机抽取一张，以其正面的数字作为的值，则点在第三象限的概率是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽宿州·阶段练习）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解软件，计划举办手抄报展览，确定了“”“豆包”“”三个主题，若小红和小明从中各随机选择其中一个主题，则他们恰好选中同一个主题的概率是（   ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·吉林长春·期中）从“”中随机抽取一个字母，抽中字母的概率为 ． 4．（25-26九年级上·甘肃白银·期中）下表记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况： 移植的棵数 200 500 800 2000 12000 成活的棵数 187 446 730 1790 10836 由此可以估计这种苹果树苗移植成活的概率为 （精确到）． 5．（25-26九年级上·云南·阶段练习）在云南大理的非遗文化体验店中，每位游客可以随机抽取一种特色扎染挂件作为纪念．已知该店共有3种扎染挂件(除图案外均相同)，分别印有图案：“苍山雪”、“洱 海月”、“大理花”．甲、乙两位游客各自随机选择一种扎染挂件，且每种挂件被选中 的可能性相等．记选择“苍山雪”为a， 选择“洱海月”为b， 选择“大理花”为c，记甲游客的选择为x，乙游客的选择为y． (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两位游客选择的扎染挂件图案相同的概率P． 培优拔高 6．（2024·天津·模拟预测）从1，2，3，4，5五个数中随机选择一个数记为a，从，0，1，2，3中随机选择一个数记为b，能使关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根的概率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设“神舟十六号”上甲、乙、丙三名航天员从核心舱进入问天实验舱和梦天实验舱开展实验的机会均等，现在要从这三名航天员中选两人各进入一个实验舱开展科学实验，则甲、乙两人同时被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·北京·模拟预测）如图，直线上A，B两点间的距离为，动点P从点A出发向右移动，每次都随机移动或或，则经过两次移动后，点P恰好和点B重合的概率为 ． 9．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）有5张正面分别有数字，0，，1，3的卡片，它们除数字不同外全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中随机的抽取一张．记卡片上的数字为a，则使以x为自变量的正比例函数经过第二、四象限，且关于x的一元二次方程有实数解的概率是 ． 10．（25-26九年级上·广东深圳·期中）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校.某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为三类：：好，：中，：差.请根据图中信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，_____，_____，类的圆心角为_____度； (3)张老师在班上随机抽取了4名学生，其中类1人，类2人，类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用列表法或画树状图的方法求出全是类学生的概率. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $