5.2 一次函数的概念（第2课时 求一次函数表达式）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学教学设计聚焦用待定系数法求一次函数表达式，以蚊香燃烧等生活情境导入，衔接已学的一次函数概念，通过实例分析与步骤归纳构建学习支架，引导学生掌握“设列解代”的方法。 特色在于以生活实例（如弹簧伸长、油箱油耗）为载体，培养学生用数学眼光观察匀速变化，通过待定系数法步骤训练发展数学思维，实例建模强化数学语言表达，助力学生理解函数应用，为教师提供丰富情境素材与分层练习设计。

5.2 一次函数的概念（第2课时 求一次函数表达式） 教学设计 1.教学内容 本节为新教材苏科版八年级上册第五章一次函数，第2课时“求一次函数表达式”。主要聚焦利用待定系数法，结合实例（如蚊香燃烧长度、弹簧伸长、油耗等情境），探究一次函数表达式的确定方法，深化对一次函数“匀速变化”特征的认识。 2.内容解析 本节在已有的一次函数概念基础上，通过典型实例引入“待定系数法”的思想：先假设一次函数表达式 ，再根据已知条件（若有两个未知量则需两组 值）列方程组并求解。通过反复练习和探究，学生能初步掌握建立一次函数模型的基本步骤，为后续学习函数应用打下坚实基础。 1.教学目标 •会根据实际情境中的数量关系确定一次函数表达式，会用待定系数法确定一次函数的表达式． • 在确定一次函数表达式的过程中体会一次函数是刻画“匀速变化”的有效模型． 2.目标解析 • 对一次函数的形式与“待定系数法”理解到位，能恰当选用方程组方法。 • 能运用一次函数模型简单解释生活现象，引发对数学建模意义的初步感知。 3.重点难点 • 重点：利用待定系数法确定一次函数表达式。 • 难点：依据具体情境准确建立方程（或方程组），并理解一次函数在刻画匀速变化中的价值。 学生已掌握一元一次方程及多项式基本运算，对函数概念有初步认识。求一次函数表达式时，能较快列出方程，但对提取情境信息并转化为数学模型尚有困难；需通过典型实例和循序渐进的操练，帮助学生提升在真实情境中运用待定系数法的能力。 创设情景，引入新课 教师活动： 1.创设生活情境：引入“蚊香燃烧”问题。 向学生展示一盘长 的蚊香，点燃后，它每小时缩短 。 o 问题一：蚊香点燃后的长度 （单位：cm）与燃烧时间 （单位：h）之间存在哪种函数关系？ o 问题二：蚊香可燃烧多长时间？ 学生活动： 学生讨论：由“蚊香每小时缩短 ”联想到“长度随时间匀速减少”的概念，猜测此现象可用一次函数来描述。 学生回答：根据“原长度 ，每小时缩短 ”，可写出： 再由 可求该蚊香燃尽时需 小时。 【设计意图】通过“蚊香燃烧”这一生活化场景，引导学生体会一次函数在描述“匀速变化”过程中的实用性，激发兴趣并明确本节课研究的方向。 探究点：用待定系数法求一次函数表达式 1. 典例引入 教师出示例题，共同解答： 例1 y是x的一次函数，当x＝－2时，y＝－1；当x＝－3时，y＝3．求y关于x的函数表达式． 解：设函数表达式为y＝kx＋b (k≠0)． 　　当x＝－2时，y＝－1，得 －1＝－2k＋b． 　　当x＝－3时，y＝3，得 3＝－3k＋b． 解方程组得 所求函数表达式为y＝－4x－9． 例2 在弹性限度内，弹簧长度y cm是所挂物体质量x g的一次函数．已知一根弹簧挂10g物体时的长度为11cm,挂30g物体时的长度为15 cm,求y关于x的函数表达式． 解：设函数表达式为y＝kx＋b (k≠0)． 　　当x＝10时，y＝11，得11＝10k＋b． 　　当x＝30时，y＝15，得15＝30k＋b． 解方程组得 所求函数表达式为y＝0.2x＋9． 2.新知归纳 教师活动：根据上述例题提出核心问题：一次函数的表达式 中有两个待定常数 和 ，如何利用“两个对应关系”来求解？ 师生共同总结： 先设含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式的方法叫作待定系数法． 强调待定系数法的一般步骤： ① 设：设一次函数的表达式为y＝kx＋b(正比例函数设为y＝kx)； ② 列：根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组)列方程组(或方程)； ③ 解：解方程（组）得到 、； ④ 代：将 、 代入函数表达式。 【设计意图】通过教师引导与学生讨论，使学生初步掌握待定系数法的思路和算法过程，突破“如何确定 ”的难点，培养分析问题与抽象建模的能力。 1．已知y与x＋2成正比例，且当x＝－1时，y＝－1．求： (1) y与x之间的函数表达式； (2) 当x＝3时的函数值． 解：(1)设y＝k(x＋2) (k≠0)． 把x＝－1，y＝－1代入，得－1＝k·(－1＋2)，解得k＝－1． ∴ y＝－x－2． (2) 当x＝3时，y＝－3－2＝－5． 2．已知y是x的一次函数，当x＝1时，y＝1；当x＝3时，y＝－3． (1) 求这个一次函数的表达式． (2) 当x＝5时，求y 的值． (3) 当y＝0时，求x 的值． 解：(1) 设函数表达式为y＝kx＋b (k≠0)． 当x＝1时，y＝1，得 k＋b＝1． 当x＝3时，y＝－3，得 3k＋b＝－3． 解方程组解得 所以这个一次函数的表达式为y＝－2x＋3． (2) 把x＝5代入y＝－2x＋3 ，得y＝－10＋3＝－7 ， ∴ 当x＝5时，y的值是－7． (3) 把y＝0代入y＝－2x＋3，得x＝ ． ∴当y＝0时，x的值是 ． 3．某拖拉机的油箱加满油开始工作后，油箱中的剩余油量Q L与工作时间t h之间 为一次函数关系．已知工作2h，6h时，油箱剩余油量分别为30L，10L． (1) 求Q关于t 的函数表达式； (2) 求该拖拉机的油箱容量； (3) 一箱油可供该拖拉机工作多长时间？ 解：设函数表达式为Q＝kt＋b (k≠0)． 　　当t＝2时，Q＝30，得30＝2k＋b． 　　当t＝6时，Q＝10，得10＝6k＋b． 解方程组得 所求函数表达式为Q＝－5t＋40． (2) 当t＝0时，Q＝－5×0＋40＝40． 答：该拖拉机的油箱容量为40L． (3) 当Q＝0时，－5t＋40＝0，解得t＝8． 答：一箱油可供该拖拉机工作8h． 中考链接 (2024·山西)生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表： 尾长/cm 6 8 10 体长/cm 45.5 60.5 75.5 (1) 尾长每增加1cm，则体长增加___7.5_____厘米； (2) y与x之间的函数表达式为 　y＝7.5x＋0.5　． 2. （2024·陕西）实验表明，在某地，温度在15℃至25℃的范围内，一种蟋蟀1min的平均鸣叫次数y可近似看成该地当时温度x（℃）的一次函数.已知这种蟋蟀在温度为16℃时，1min平均鸣叫92次；在温度为23℃时，1min平均鸣叫155次． (1) 求y与x之间的函数表达式； (2) 当这种蟋蟀1min平均鸣叫128次时，该地当时的温度约是多少？ 解：(1) 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)． 将x＝16，y＝92和x＝23，y＝155分别代入y＝kx＋b(k≠0)， 得 解得 答：y与x之间的函数表达式为y＝9x－52． (2)将y＝128代入y＝9x－52，得 9x－52＝128，解得x＝20. 答：该地当时的温度约是20℃． 思维提升 1．y1与x＋1成正比例，y2与x－1成正比例，y＝y1＋y2，当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝14．求y与x的函数表达式． 解：∵y1与x＋1成正比例，∴设y1＝k1(x＋1)(k1≠0)． ∵y2与x－1成正比例，∴设y2＝k2(x－1)(k2≠0)． ∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x＋1)＋k2(x－1)． ∵当x＝2时，y＝9；当x＝3时，y＝14， ∴解得 ∴y与x的函数表达式为y＝2(x＋1)＋3(x－1)，即y＝5x－1 2．某产品每件的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表，若日销售量y(件)是每件的销售价x(元)的一次函数． x(元) 15 20 25 … y(件) 25 20 15 … (1) 求日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式(不要求写自变量的取值范围)； (2) 若该产品每件的成本是10元，当每件的销售价定为30元时，求每日的销售利润. 解：(1)设日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)． 根据题意，得解得 故日销售量y(件)与每件销售价x(元)之间的函数表达式为y－x＋40． (2)因为该产品每件的成本是10元，每件的销售价为30元， 所以每件的利润为30－10＝20(元)，日销售量为－x＋40＝－30＋40＝10件． 所以每日的销售利润为10×20＝200(元)． 答：每日的销售利润为200元． 板书主题：一次函数表达式的求法 主要内容： 1. 问题情境引入：蚊香燃烧、弹簧长度、油箱油量等实例 2. 一次函数通式：y = kx + b 3. 待定系数法步骤：设 → 列 → 解 → 代 4. 典例简示：给出两条已知条件，列方程组并求解 5. 小结：一次函数与“匀速变化” 1.完成课本相关习题，重点练习“待定系数法”求一次函数表达式的基础题与综合题。 2. 选做：自拟一个“匀速变化”的生活实例（如水位下降、温度变化等），写出对应的一次函数表达式，并说明自变量取值范围及实际意义。 3. 探究：参考“弹簧”、“油箱”、“蚊香”等案例，自行设计一个与线性变化有关的情境，列出题目并给出解答思路，下次课进行小组交流与评比。 本节课的教学目标整体达成情况较好。通过设置蚊香与油量等真实情境，学生对一次函数“匀速变化”的概念能较为直观地理解。同时，运用待定系数法求一次函数表达式，学生掌握了设未知数、列方程组并解方程组的基本流程。但从课堂表现来看，部分同学在将文字信息转化为数学表达式的过程中仍显生疏，需要进一步引导他们关注题目中的数量关系和所需建立的等量关系。此外，部分学生在检验答案与实际情境之间的匹配度时思考不够充分，也表明对数学建模的意识仍需培养。未来教学中可以增加学生之间的小组合作环节，鼓励他们互相讨论如何建立方程及检验函数表达式的合理性，以深化对一次函数在现实应用中的理解。 学科网（北京）股份有限公司 $