第2章 一元二次方程 单元测试2025-2026学年湘教版九年级数学上册

湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试 一、选择题 1.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x(x+2)＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x＝5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为(　　) A.x＝7 B.x＝5 C.x＝3 D.x＝2 2.用因式分解法解方程9x2＝(x﹣2)2时，因式分解结果正确的是(　　) A.4(2x﹣1)(x﹣1)＝0 B.4(2x+1)(x﹣1)＝0 C.4(2x﹣1)(x+1)＝0 D.4(2x+1)(x+1)＝0 3.下列方程：①3x2＝﹣1，②x+1＝0，③2x1，④x2﹣2xy＝5，⑤1，其中一元二次方程有(　　)个． A.1 B.2 C.3 D.4 4.如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为(　　) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 5.解方程(x﹣2)2＝9得方程的根为(　　) A.x1＝﹣1，x2＝5 B.x1＝1，x2＝﹣5 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝1，x2＝5 6.临沂一体彩销售中心今年开业，一月份总销售额12000元，三月份销售额为14520元，且从一月份到三月份，每月销售额的平均增长率相同，则每月销售额的平均增长率为(　　) A.8% B.9% C.10% D.11% 7.一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 8.用公式法解一元二次方程x2﹣5x＝6，解是(　　) A.x1＝3，x2＝2 B.x1＝﹣6，x2＝﹣1 C.x1＝6，x2＝﹣1 D.x1＝﹣3，x2＝﹣2 9.日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（　　） A.17 B.18 C.19 D.20 10.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的一元二次方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，则△ABC是(　　) A.等腰三角形(非等边三角形) B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 11.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 12.等腰三角形边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+2+m＝0的两个根，则m的值为(　　) A.6或7 B.7或8 C.6或8 D.6、7或8 二、填空题 13.方程4x2﹣1＝3的根是　      　． 14.用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0时，先找出对应的a、b、c，可求得Δ　 　，此方程式的根为　  　． 15.方程(x+1)2＝4的解是　      　． 16.一元二次方程3(x﹣2)2＝x(x﹣2)的解为 　  　． 17.一个矩形内放入两个边长分别为3 cm和4 cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分(黑色阴影部分)的面积为7 cm2；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　  　． 三、解答题 18.若方程(m+2)x|m|﹣2mx+m2﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值并写出这个一元二次方程． 19.将一元二次方程(2x﹣1)﹣3x(x﹣2)＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 20.用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0． 21.用公式法解一元二次方程 解下列方程： (1)2x2+x﹣6＝0； (2)x2+4x＝2； (3)5x2﹣4x﹣12＝0； (4)4x2+4x+10＝1﹣8x． 22.阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下． ∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝(a﹣1)2+4，由(a﹣1)2≥0，得(a﹣1)2+4≥4； ∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4． (1)①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为 　 　． ②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为 　 　． (2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60 m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40 m，设矩形ABCD的边面积为S m2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 湘教版九年级上册 第2章 一元二次方程 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.我国古代数学家研究过一元二次方程的正数解的几何解法．以方程x2+2x﹣35＝0，即x(x+2)＝35为例加以说明，三国时期的数学家赵爽(公元3～4世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图中大正方形的面积是(x+x+2)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×35+22，据此易得x＝5．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为81，小正方形的面积为25，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为(　　) A.x＝7 B.x＝5 C.x＝3 D.x＝2 【答案】D 【解析】设矩形的宽为x，长为a， ∵大正方形的面积为81，小正方形的面积为25， ∴x+a＝9，a﹣x＝5， ∴x＝2，a＝7. 故选：D． 2.用因式分解法解方程9x2＝(x﹣2)2时，因式分解结果正确的是(　　) A.4(2x﹣1)(x﹣1)＝0 B.4(2x+1)(x﹣1)＝0 C.4(2x﹣1)(x+1)＝0 D.4(2x+1)(x+1)＝0 【答案】C 【解析】9x2＝(x﹣2)2， 9x2﹣(x﹣2)2＝0， (3x+x﹣2)(3x﹣x+2)＝0， (4x﹣2)(2x+2)＝0， 4(2x﹣1)(x+1)＝0. 故选：C． 3.下列方程：①3x2＝﹣1，②x+1＝0，③2x1，④x2﹣2xy＝5，⑤1，其中一元二次方程有(　　)个． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①3x2＝﹣1是一元二次方程； ②x2x+1＝0是一元二次方程， ③2x1是分式方程， ④x2﹣2xy＝5是二元二次方程， ⑤1是无理方程. 故选：B． 4.如果a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根，则代数式a2﹣3a+2024的值为(　　) A.2021 B.2022 C.2023 D.2024 【答案】B 【解析】∵a是一元二次方程2x2＝6x﹣4的根， ∴2a2＝6a﹣4， ∴2a2﹣6a＝﹣4， ∴a2﹣3a＝﹣2， ∴a2﹣3a+2024＝﹣2+2024＝2022. 故选：B． 5.解方程(x﹣2)2＝9得方程的根为(　　) A.x1＝﹣1，x2＝5 B.x1＝1，x2＝﹣5 C.x1＝﹣1，x2＝﹣5 D.x1＝1，x2＝5 【答案】A 【解析】开方得：x﹣2＝±3， x1＝5，x2＝﹣1． 故选：A． 6.临沂一体彩销售中心今年开业，一月份总销售额12000元，三月份销售额为14520元，且从一月份到三月份，每月销售额的平均增长率相同，则每月销售额的平均增长率为(　　) A.8% B.9% C.10% D.11% 【答案】C 【解析】设每月销售额的平均增长率为x， 依题意得：12000(1+x)2＝14520， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1(不合题意，舍去)， ∴每月销售额的平均增长率为10%． 故选：C． 7.一元二次方程x2+x﹣1＝0的根的情况为(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【答案】A 【解析】x2+x﹣1＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×(﹣1)＝5＞0， ∴一元二次方程x2+x﹣1＝0 有两个不相等的实数根. 故选：A． 8.用公式法解一元二次方程x2﹣5x＝6，解是(　　) A.x1＝3，x2＝2 B.x1＝﹣6，x2＝﹣1 C.x1＝6，x2＝﹣1 D.x1＝﹣3，x2＝﹣2 【答案】C 【解析】∵x2﹣5x＝6， ∴x2﹣5x﹣6＝0， ∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣6， ∴b2﹣4ac＝(﹣5)2﹣4×1×(﹣6)＝49， ∴x， ∴x1＝6，x2＝﹣1． 故选：C． 9.日历中含有丰富的数学知识，如在图1所示的日历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存在着某种规律．小慧在2020年某月的日历中也按图1所示方式圈出9个数（如图2），发现这9个数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个数中，中间的数e是（　　） A.17 B.18 C.19 D.20 【答案】C 【解析】由图1可知：a＝e﹣8，i＝e+8， 依题意得：ai＝297， 即(e﹣8)(e+8)＝297， 整理得：e2＝361， 解得：e1＝19，e2＝﹣19（不合题意，舍去）． 故选：C． 10.已知a，b，c是△ABC的三条边长，且关于x的一元二次方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+a﹣b＝0有两个相等的实数根，则△ABC是(　　) A.等腰三角形(非等边三角形) B.直角三角形 C.等边三角形 D.锐角三角形 【答案】A 【解析】∵关于x的方程(c﹣b)x2+2(b﹣a)x+a﹣b＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝[2(b﹣a)]2﹣4(c﹣b)(a﹣b)＝0，且c﹣b≠0， 整理得：(a﹣b)(a﹣c)＝0， 解得：a＝b或a＝c， ∵a，b，c是△ABC的三条边长，c≠b， ∴△ABC是腰和底不等的等腰三角形． 故选：A． 11.已知a，b，c满足a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0，则a+b﹣c的值是(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】由题意，∵a2+b2+c2﹣4a﹣2b+2c+6＝0， ∴a2﹣4a+4+b2﹣2b+1+c2+2c+1＝0， ∴(a﹣2)2+(b﹣1)2+(c+1)2＝0， ∴a﹣2＝0，b﹣1＝0，c+1＝0， ∴a＝2，b＝1，c＝﹣1， ∴a+b﹣c＝2+1+1＝4． 故选：B． 12.等腰三角形边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+2+m＝0的两个根，则m的值为(　　) A.6或7 B.7或8 C.6或8 D.6、7或8 【答案】A 【解析】当4为腰长时，将x＝4代入原方程得42﹣6×4+2+m＝0， ∴m＝6， ∴原方程为x2﹣6x+8＝0， 解得x1＝2，x2＝4， ∵2+4＞4， ∴边长为2，4，4的三条边能组成等腰三角形； 当4为底边长时，关于x的一元二次方程x2﹣6x+2+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(﹣6)2﹣4×1×(2+m)＝0， ∴m＝7， ∴原方程为x2﹣6x+9＝0， 解得：x1＝x2＝3， ∵3+3＞4， ∴边长为3，3，4的三条边能组成等腰三角形， 综上，m的值为6或7． 故选：A． 二、填空题 13.方程4x2﹣1＝3的根是　      　． 【答案】x＝±1 【解析】移项得4x2＝4， 两边除以4得x2＝1， 开方得x＝±1． 故答案为：x＝±1． 14.用公式法解一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0时，先找出对应的a、b、c，可求得Δ　 　，此方程式的根为　  　． 【答案】13 x1 x2 【解析】∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝(﹣3)2﹣4×1×(﹣1)＝13， ∴x， ∴原方程的解为x1，x2． 故答案为：13 x1 x2． 15.方程(x+1)2＝4的解是　      　． 【答案】x＝﹣3或x＝1 【解析】∵(x+1)2＝4， ∴x+1＝±2， ∴x＝﹣3或x＝1. 故答案为：x＝﹣3或x＝1． 16.一元二次方程3(x﹣2)2＝x(x﹣2)的解为 　  　． 【答案】x1＝2，x2＝3 【解析】3(x﹣2)2＝x(x﹣2)， 3(x﹣2)2﹣x(x﹣2)＝0， (x﹣2)[3(x﹣2)﹣x]＝0， (x﹣2)(2x﹣6)＝0， ∴x﹣2＝0或2x﹣6＝0， 解得x1＝2，x2＝3. 故答案为：x1＝2，x2＝3． 17.一个矩形内放入两个边长分别为3 cm和4 cm的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分(黑色阴影部分)的面积为7 cm2；按照图②放置矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为11 cm2，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为 　  　． 【答案】8 cm2 【解析】设矩形的长为x，宽为y，由题意，得：， 整理，得：， 把②代入①得：y＝47﹣7x③， 把③代入①得：2x(47﹣7x)＝7x+7(47﹣7x)﹣17， 整理，得：7x2﹣68x+156＝0， 解得：x1=6，x2=， 当x＝6时，y＝47﹣6×7＝5， 当x＝时，y＝47﹣×7＝21(不合题意，舍去)； ∴长方形的长为6 cm，宽为5 cm， ∴图③中的阴影面积为：6×5﹣16﹣3×(6﹣4)＝8 cm2. 故答案为：8 cm2． 三、解答题 18.若方程(m+2)x|m|﹣2mx+m2﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值并写出这个一元二次方程． 【答案】解：根据题意得m+2≠0且|m|＝2， 解得m＝2， 故这个一元二次方程为：4x2﹣4x+1＝0． 19.将一元二次方程(2x﹣1)﹣3x(x﹣2)＝0化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】解：由(2x﹣1)﹣3x(x﹣2)＝0得﹣3x2+8x﹣1＝0， ∴二次项系数为﹣3，一次项系数为8，常数项为﹣1． 20.用配方法解方程：x2+6x﹣6＝0． 【答案】解：x2+6x﹣6＝0， ∴x2+6x＝6， ∴x2+6x+9＝6+9， ∴(x+3)2＝15， ∴， 解得：． 21.用公式法解一元二次方程 解下列方程： (1)2x2+x﹣6＝0； (2)x2+4x＝2； (3)5x2﹣4x﹣12＝0； (4)4x2+4x+10＝1﹣8x． 【答案】解：(1)a＝2，b＝1，c＝﹣6， ∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×(﹣6)＝49＞0， ∴， ∴x， 则x1＝﹣2，x2． (2)将方程化为一般形式， 得x2+4x﹣2＝0， ∵a＝1，b＝4，c＝﹣2， ∴b2﹣4ac＝42﹣4×(﹣2)×1＝24＞0， ∴x2±， 即x1＝﹣2，x2＝﹣2． (3)a＝5，b＝﹣4，c＝﹣12， ∴b2﹣4ac＝(﹣4)2﹣4×5×(﹣12)＝256＞0， ∴x， ∴x1＝2，x2． (4)将方程化为一般形式4x2+12x+9＝0， ∵a＝4，b＝12，c＝9， ∴122﹣4×4×9＝0， ∴x， x1＝x2． 22.阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下． ∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝(a﹣1)2+4，由(a﹣1)2≥0，得(a﹣1)2+4≥4； ∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4． (1)①仿照上述方法求代数式m2﹣4m﹣3的最小值为 　 　． ②代数式﹣x2﹣4x+7的最大值为 　 　． (2)延伸与应用：如图示，小红父亲想用长60 m的栅栏．再借助房屋的外墙围成一个矩形的羊圈，已知房屋外墙长40 m，设矩形ABCD的边面积为S m2．当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大值是多少？ 【答案】解：(1)①∵m2﹣4m﹣3＝m2﹣4m+4﹣7＝(m﹣2)2﹣7， 由(m﹣2)2≥0， 得(m﹣2)2﹣7≥﹣7； ∴代数式m2﹣4m﹣3的最小值是﹣7． ②﹣x2﹣4x+7＝﹣x2﹣4x﹣4+11＝﹣(x+2)2+11， ∵﹣(x+2)2≤0， ∴﹣(x+2)2+11≤11， ∴代数式﹣x2﹣4x+7有最大值，最大值为11． 故答案为：﹣7 11. (2)设AB＝x m，则BC＝(60﹣2x)m， 根据题意得， S＝x(60﹣2x)＝60x﹣2x2＝﹣2(x2﹣30x)＝﹣2(x2﹣30x+225)+450＝﹣2(x﹣15)2+450， ∵﹣2＜0， ∴当x＝15时，S有最大值450， 即当AB，BC分别为15 m，30 m时，羊圈的面积最大，最大值是450 m2． 学科网（北京）股份有限公司 $