精品解析：广东省广州市第八十六中学2025-2026学年高二上学期期中教学质量监测数学试题

2025—2026学年第一学期期中教学质量监测 高二数学试题 本试卷共4页全卷满分150分考试用时120分钟命题人周凤颖 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，若，则实数等于（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 4. 如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 直线的一个方向向量为 C. 圆与圆的公共弦所在直线方程是 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中），则，，，四点共面 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C. 平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D. 若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 13. 已知点是圆上的动点，则的最大值为_______ 14. 已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 17. 已知椭圆及直线. (1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； (2)求直线被此椭圆截得的弦长的最大值． 18. 如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且． (Ⅰ)求证：平面平面； (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？ 19. 已知椭圆，焦距为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆的左、右顶点，为直线上的动点，直线，分别交椭圆于M，N两点，求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中教学质量监测 高二数学试题 本试卷共4页全卷满分150分考试用时120分钟命题人周凤颖 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应位置上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 已知向量，，若，则实数等于（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据数量积的公式列方程，然后解方程即可. 【详解】，解得. 故选：D. 2. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得倾斜角. 【详解】直线的斜率为，对应倾斜角为， 故选：B 3. 若直线与直线平行，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据列方程，解方程即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，，，成立； 当时，，即，，即，成立， 所以或. 故选：C. 4. 如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，然后根据线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，且为中点，， 则. 所以， 设异面直线与所成角为， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 5. 如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理及利用向量的加法表示出即可求解． 【详解】由， 得， 所以， 故选：C． 6. 椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设弦的两个端点分别为、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】设弦的两个端点分别为、，则， 以上两式两边分别做差得：， 整理得：， 因为为、的中点， 由中点坐标公式得：， 所以，即， 故选：C 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，为的中点，且，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆的定义以及的位置关系及长度，构造齐次方程即可解得离心率. 【详解】如下图所示：    因为的中点，且，则， 由椭圆的定义，则， 又为的中点，可得， 因为，由勾股定理可得， 即；又因， 代入整理得：，即， 解得或（舍）. 故选：C. 8. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），然后数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值即可. 【详解】由题意，设，则， 由得， 化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）, 故点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列给出的命题正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 B. 直线的一个方向向量为 C. 圆与圆的公共弦所在直线方程是 D. 对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中），则，，，四点共面 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间向量线面关系可判断选项A；由直线的方向向量可判断选项B；由两圆方程相减即可判断选项C；由空间四点共面的推论即可判断选项D. 【详解】对于A，因为， 所以由空间向量线面关系得，直线平行平面或直线在平面内，故A错误； 对于B，直线的方向向量为，且直线的斜率， 所以直线的方向向量为， 又因为，且， 所以是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，联立圆,圆的方程得， 两个方程相减得，故两圆的公共弦所在直线方程为，故C正确； 对于D，由空间四点共面的推论可知：若, 且时，四点共面，故D错误. 故选：BC. 10. 如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截面是一个椭圆．若圆柱的底面圆半径为2，，则（ ） A. 椭圆的长轴长等于4 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆的标准方程可以是 D. 椭圆上的点到一个焦点的距离的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定图形，求出椭圆长半长、短半轴长，再逐项计算、判断作答． 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 因为椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，解得，故A错误； 显然，则，离心率，故B正确； 当以椭圆短轴所在直线为轴，长轴所在直线为轴建立平面直角坐标系时， 则椭圆的标准方程为，故C正确； 椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一动点，，点在平面内运动，下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 在动点由运动至的过程中，二面角先增大后减小 C. 平面截正方体所得截面图形可能是等腰梯形 D. 若为棱的中点，与平面所成角为，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，合理对三棱锥换底，结合点到平面的距离公式得到体积为定值判断A，利用二面角的向量求法求出二面角为定值判断B，找到符合题意的特殊情况，作出截面图形判断C，利用点到平面的距离公式求出，结合给定的线面角得到，再判断轨迹是圆，结合圆的弧长公式求解轨迹长度判断D即可. 【详解】对于A，如图，以为原点建立空间直角坐标系，连接， 在棱长为2的正方体中，则，， ，而为棱的中点，由中点坐标公式得，， 由题意得为棱上一动点，则设，且， 而，易得面的法向量为， 设到面的距离为，由点到平面的距离公式得， 则，即三棱锥的体积为定值，故A正确， 对于B，易得面的法向量为，，， 则，设，故， 因为，所以，解得，即， 得到，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，得到，设二面角为， 且，则，解得， 得到是定值，则二面角不可能先增大后减小，故B错误， 对于C，如图，令与重合，找中点，连接， 因为为棱的中点，所以是的中位线， 由中位线性质得，由题意得四边形是平行四边形， 故，即，得到四点共面， 则面为所求截面，且由勾股定理得， 即四边形是等腰梯形，故C正确， 对于D，因为为棱的中点，所以由中点坐标公式得， 此时，，设面的法向量为， 则，， 令，解得，，则， 而，，则，设到面的距离为， 由点到平面的距离公式得， 如图，作面，连接， 因为与平面所成角为，所以， 则，解得，而点在平面内运动， 则的轨迹为半径为的圆，由弧长公式得长度为，故D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离公式得到，然后结合线面角的定义判断轨迹是圆，再结合圆的弧长公式得到所要求的轨迹长度即可． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 是双曲线 上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若 ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线，得，. 若在左支上，则，此时，故； 若在右支上，则，这与矛盾， 所以． 13. 已知点是圆上的动点，则的最大值为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】设，将代入圆的方程，将问题转化为方程有解的问题，利用判别式可构造不等式求得结果. 【详解】点是圆上的动点，， 设，则， 由得：， 该方程有实根， ，解得：， 的最大值为. 故答案为：. 14. 已知圆，圆上恰有两个点到直线的距离都等于1，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，由题意可得圆心到直线的距离满足，利用点到直线的距离公式计算，解不等式即可. 【详解】由圆的方程：，可得圆心为坐标原点，半径为3． 若圆上恰有2个点到直线的距离等于1， 则圆心到直线的距离满足， 则， 解得， 解得． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知圆，直线过点. （1）当直线与圆相切时，求直线的斜率； （2）线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点和点之间的关系式，再利用点的坐标满足的关系式得到点的坐标满足的条件，即可求出. 【小问1详解】 已知的圆心是，半径是， 设直线斜率为 则直线方程是，即， 则圆心到直线距离为， 解得直线的斜率. 【小问2详解】 设点则， 由点是的中点得， 所以① 因为在圆上运动，所以② ①代入②得， 化简得点的轨迹方程是. 16. 如图，在直三棱柱中，，． （1）求证：； （2）求点到平面的距离． 【答案】（1） 建立直角坐标系，其中为坐标原点. 依题意得， 因为，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标后利用它们的数量积为零可证异面直线的垂直. （2）求出平面的法向量和的坐标后可求点面距. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设是平面的法向量， 由得 所以，令，则， 因为，所以到平面的距离为. 17. 已知椭圆及直线. (1)当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围； (2)求直线被此椭圆截得的弦长的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）将直线方程代入椭圆方程，求得，由，即可求得实数m的取值范围；（2）由（1）可知，由韦达定理及弦长公式可知丨AB丨=，即可求最值． 试题解析：(1)由消去y，并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0.① 上面方程的判别式Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)． ∵直线l与椭圆有公共点， ∴Δ≥0，据此可解得. 故所求实数m的取值范围为． (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由①得：x1＋x2＝， 故|AB|＝ ＝ ， 当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长的最大值为. 18. 如图，在平行四边形中，，将沿对角线折起，折后的点变为，且． (Ⅰ)求证：平面平面； (Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值； （Ⅲ）E为线段上的一个动点，当线段的长为多少时，与平面所成的角正弦值为？ 【答案】（Ⅰ） 在中，. 四边形是平行四边形， 又， 又 平面又平面， 平面平面； （Ⅱ）（Ⅲ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由已知条件得知，再利用勾股定理证明，结合直线与平面垂直的判定定理证明平面，最后利用平面与平面的判定定理可证明出结论； （Ⅱ）以点为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法计算异面直线和所成角的余弦值； （Ⅲ）设，将向量的坐标用实数表示，求出平面的一个法向量，由题中条件得求出的值，于此可求出的长度． 【详解】（Ⅰ）略 （Ⅱ）如图，过作的垂线，以点为原点建立空间直角坐标系,则 ,从而 , 异面直线与所成角的余弦值等于.； （Ⅲ）. 设则 取平面的一个法向量为， 记与平面所成的角为，则， ，解得，即 【点睛】本题考查平面与平面垂直的证明，考查异面直线所成的角以及直线与平面所成角的探索性问题，在求解空间角时，一般利用空间向量来进行求解，解题时注意将空间角转化为相应向量的夹角来计算，属于中等题． 19. 已知椭圆，焦距为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆的左、右顶点，为直线上的动点，直线，分别交椭圆于M，N两点，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由焦距得及焦点坐标，由椭圆定义求得，得出值，再计算出后可得椭圆方程； （2）设，由对称性不妨设，，，由直线方程与椭圆方程联立可用表示，然后由，代入后由函数单调性得最值． 【小问1详解】 ∵，∴，∴，， ∵经过点，∴，∴． 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 ∵椭圆及直线关于轴对称，不妨设，， ，，，， 则直线，直线， 由，消去得，解得， 同理由，得， 则四边形的面积为 ， 设(，当且仅当,即时等号成立)， ，， 时，，是增函数， 所以时，最小值为，S最大为，. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中面积最值的求解方法：由动点（或动直线等）设出参变量（如），设圆锥曲线上交点坐标为，并用参变量表示出交点的坐标，通过观察用交点坐标表示出相应面积，从而把面积表示为参变量的函数，再利用函数知识或基本不等式等知识求得最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $