北京市第一六六中学、第五十中学2025-2026学年高三上学期期中联考数学试卷

北京市第一六六中学-北京市第五十中学联考 2025-2026学年度第一学期期中测试 高三年级数学学科 （考试时长：120分钟） 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，是偶函数且有最小值的是（ ） A. B. C. D. 4. 双曲线的渐近线为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 平行四边形 中，，，，点M为边的中点，则（ ） A. B. C. -4 D. 4 6. 已知函数在上递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 2023年，深度求索（DeepSeek）公司推出新一代人工智能大模型，其训练算力需求为1000PF（千亿亿次浮点运算每秒）．截止到2025年，DeepSeek的算力已提升至2250PF，按照技术规划，DeepSeek的算力将每年增长50%．按此计划，DeepSeek的算力将在（ ）年首次突破PF．（参考数据：，）（ ） A. 2032 B. 2033 C. 2034 D. 2035 9. 无穷等比数列的公比为，前 项和为，则“”是“，使得对任意的正整数 都成立”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知函数和在实数集上的图象均为一条连续不断的曲线，且满足：、，都有． 命题若函数在实数集上单调递增，则函数不是减函数； 命题若函数在实数集上无最大值，则函数无最大值． 则下列判断正确的是（ ） A. 和都是真命题 B. 和都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 已知抛物线 ：，则抛物线 的准线方程为______． 12. 在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数 的值______． 13. 如图，单位圆与 轴的正半轴交于点，以 轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点 ． （1）若，，则扇形的面积为______； （2）若，点 的纵坐标为时，则点的纵坐标为______． 14. 如图，在四棱锥中，底面 是边长为4的菱形，，，，则该四棱锥的高为______，体积为______． 15. 数列，记（且）．现有如下说法： ①若数列为等差数列，则； ②若数列为等比数列，且数列单调递增，则公比； ③若数列为等比数列，且，则公比； ④若对任意的且，都有，则数列单调递增． 其中所有正确说法的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求 边上中线的长． 条件①.，．条件②.，．条件③.，． 17. 如图，四棱锥的底面 是边长为 的菱形，， 是棱的中点，平面与棱交于点 ． （1）求证： 为棱的中点； （2）若平面平面 ，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. “绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． （1）从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； （2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； （3）若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，的周长为，且椭圆 的离心率为． （1）求椭圆 的标准方程； （2）两条平行直线、不与坐标轴平行，已知与椭圆 交于 、 两点，与椭圆 交于 、 两点， 、 、 、 四点构成四边形 ，试问四边形 是否有可能为等腰梯形，若可能，请求出一组满足要求的直线、，若不可能，请说明理由． 20. 已知函数，． （1）当 时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， ①证明：函数在区间内存在唯一的极值点； ②记在区间内的极值点为，设函数，，讨论函数的单调性． 21. 已知数列 ：的各项均为整数． （1）设数列 ：1，2，3，4，5，6，求数列A中任意两项的差的绝对值之和； （2）证明：在数列 中，存在连续的若干项（可以只有一项），这些项的和是n的整数倍； （3）设，是n个互不相等的且小于的正整数．证明：从数列 中，可以选出若干项（可以只选一项），这些项的和是的整数倍． （备注：若只选一项，这些项的和就是这一项的值；如果和为0，也算做n的整数倍） 北京市第一六六中学-北京市第五十中学联考 2025-2026学年度第一学期期中测试 高三年级数学学科 （考试时长：120分钟） 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 【10题答案】 【答案】C 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】（只需满足，） 【13题答案】 【答案】 ①. ## ②. 【14题答案】 【答案】 ①. 4 ②. 【15题答案】 【答案】①③ 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 【16题答案】 【答案】（1） （2）见解析 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）变大 【19题答案】 【答案】（1） （2）不可能，理由见解析 【20题答案】 【答案】（1） （2）①证明见解析；②单调递减. 【21题答案】 【答案】（1）35 （2）证明见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $