精品解析：吉林省长春汽车经济技术开发区2025-2026学年上学期八年级期中数学试题

吉林省长春汽车经济技术开发区2025-2026学年上学期八年级期中数学试题 答题时间：120分钟 卷面总分：120分 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 2. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 5. 把长和宽分别为a和b四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 6. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点、为圆心，以大于的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，点为上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. 　 C. D. 8. 如图，等腰，点在上，点、在直线上，，过作交于，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 10. 命题“如果，那么”，该命题是______命题．（填“真”或“假”） 11. 如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是______． 12. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______． 13. 如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为_______cm． 14. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：________． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足： 18. 如图，在和中，，，若，求的度数． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积5； （3）在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 20. 为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程．为了了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级名学生进行调查，从A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地， D：趣味数学四门课程中选出你最喜欢的课程（被调查的每名学生必选且只能选择一门课程），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示， （1）= 人，= ； （2）扇形统计图中，“D”所对的扇形的圆心角是 ，并补全条形统计图； （3）根据本次调查，该校八年级1240名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？ 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． （2）观察图2面积关系，写出正确的等式_________________． （3）两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 22. 上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 23. 【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点（点不与点、重合），连接，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点作的垂线，与相交于点（图②），得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】 （1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】 （3）在图①中，连接，设点是中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为_____． 24. 如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）用含的代数式表示的长． （2）连结，当时，的长为________．当时，的长为________． （3）当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． （4）当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春汽车经济技术开发区2025-2026学年上学期八年级期中数学试题 答题时间：120分钟 卷面总分：120分 一、单选题（每题3分，共24分） 1. 16的平方根是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一个数的平方根，根据定义，一个正数的平方根有两个且互为相反数即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 16的平方根是， 故选C． 2. 下列各组数中，勾股数是（ ） A. 5，12，13 B. 1，1， C. 0.3，0.4，0.5 D. 8，15，16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数． 根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴5，12，13是勾股数，符合题意； B．∵1，1，中不是正整数， ∴1，1，不是勾股数，不符合题意； C．∵0.3，0.4，0.5不是正整数， ∴0.3，0.4，0.5不是勾股数，不符合题意； D．∵， ∴8，15，16，不是勾股数，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，积的乘方，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则，积的乘方法则，单项式乘单项式，合并同类项的法则，逐项计算后判定即可． 【详解】解：A．，原计算错误； B．不能合并，原计算错误； C．，计算正确； D．，原计算错误． 故选：C． 4. 如图，若，且，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长，即可得到的长． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 5. 把长和宽分别为a和b的四个相同的小长方形拼成如图的正方形，图形中阴影部分面积正好可以验证下面等式的正确性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方式与几何图形，阴影部分的面积等于4个小长方形的面积，也等于大正方形的面积减去小正方形的面积，由此列等式即可． 【详解】解：图中大正方形的面积为：，中间小正方形的面积为：，阴影部分的面积为：， 由此可得， 故选：A． 6. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 7. 如图，在中，，利用尺规在，上分别截取；分别以点、为圆心，以大于的长的一半为半径作圆弧，两弧在内部交于点，作射线交于点．若，点为上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. 　 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线，垂线段最短，解题的关键是根据作图痕迹判断出平分．根据尺规作图可得平分， 根据垂线段最短，当时，的值最小， 再利用角平分线的性质定理可得出当时，， 即可得解． 【详解】解：由作图可知平分， 根据垂线段最短，当时，的值最小， ， ， ， 的最小值为． 故选：C． 8. 如图，等腰，点在上，点、在直线上，，过作交于，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等，由等腰直角三角形和平行线的性质可得，即可判定选项；作交的延长线于点，可得是等腰直角三角形，可证，进而可判定选项和；设与相交于点，可知若，则，此时，而由已知条件无法证明，即可判定选项，综上即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：、∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故选项说法正确，不合题意； 、如图，作交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项说法正确，不合题意； 、∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故选项说法正确，不合题意； 、设与相交于点， 在和中，，， 若，则，此时，由已知条件无法证明，故选项说法错误，符合题意； 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法分解因式是解题的关键．提取公因式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 命题“如果，那么”，该命题是______命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【解析】 【分析】本题考查了真假命题，根据平方的性质即可判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 11. 如图，是长为，宽为，高为的长方体纸箱，E点处有几滴蜂蜜，一只蚂蚁欲从点A出发沿纸箱表面爬行到点E处吃蜂蜜，则蚂蚁爬行的最短距离是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，长方体的展开图，具备一定的空间想象能力，将几何体展开是解题的关键． 分三种情况讨论：①通过前面和上面抵达；②通过前面和左侧面抵达；③通过右侧面和上面抵达；分别展开长方体，运用勾股定理计算． 【详解】解：如图，连接， ①通过前面和上面抵达，则最短距离为； ②通过前面和左侧面抵达；， ③通过右侧面和上面抵达； ∵ ∴最短距离是． 故答案为：． 12. 如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的垂直平分线，且，的周长为，则的周长为_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质． 由线段垂直平分线的性质，可得，，结合“的周长为”，即可得的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连结．①；②；③点到三边的距离相等；④．上述结论中，所有正确结论的序号是：________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①利用三角形的内角和，角平分线的性质可得，所以，②当是等边三角形时才成立；③根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断；④作辅助线，证明两对三角形全等：，，可得结论． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ∵只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形，故②错误； ，的平分线分别交、于点，，、相交于点， 为三角形的内心， 点到三边的距离相等正确，故③正确； 如图，在上截取， 平分， ， ， ． ， ， ， ， 又平分， ， ． ， ， ，故④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形的角平分线，三角形的内心；全等三角形的判定与性质．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形相等关系． 三、解答题（共78分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 17. 先化简，再求值：，其中a，b满足： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．利用完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ，， ，， 则原式． 18. 如图，在和中，，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用证明，得到，即可． 【详解】∵， ∴均为直角三角形， 在和中 ， ∴， ∴． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，画等腰三角形，使其面积为3； （2）在图②中，画等腰直角三角形，使其面积为5； （3）在图③中，画平行四边形，使其面积为6． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了无刻度直尺的网格作图，解题关键是掌握勾股定理、平行四边形的判定以及三角形和平行四边形面积的求法． （1）先确定格点，使其为等腰三角形，再验证面积即可； （2）先确定格点，使其为等腰直角三角形，再验证面积即可； （3）先确定格点，使其为平行四边形，再验证面积即可；． 【小问1详解】 解：如图所示：； 等腰三角形的面积； 【小问2详解】 解：如图所示：，，且符合 等腰直角三角形的面积； 【小问3详解】 解：如图所示： 且与平行， 平行四边形的面积； 20. 为深化课程改革，某校为学生开设了形式多样的社团课程．为了了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级名学生进行调查，从A：文学鉴赏，B：科学探究，C：文史天地， D：趣味数学四门课程中选出你最喜欢的课程（被调查的每名学生必选且只能选择一门课程），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示， （1）= 人，= ； （2）扇形统计图中，“D”所对的扇形的圆心角是 ，并补全条形统计图； （3）根据本次调查，该校八年级1240名学生中，估计最喜欢“科学探究”的学生人数为多少？ 【答案】（1）160，15 （2），补全条形统计图见解析 （3）434人 【解析】 【分析】（1）根据B课程的人数和所占的百分比求出m的值，再根据A课程的人数求出n； （2）用D课程所占百分比乘以求出D所对应的扇形的圆心角度数；用总人数减去A，B，D的人数，求出C的人数，从而补全统计图； （3）用B课程所占的百分比求出人数即可． 【小问1详解】 解：， ∴ 【小问2详解】 解：“D”所对的扇形的圆心角是：， C的人数有：人，补图如下： 【小问3详解】 最喜欢“科学探究”的学生人数为：人 【点睛】本题主要考查条形统计图与扇形统计图的运用，能够熟练地根据占比求总数是解题关键． 21. 数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片_____张，B号卡片____张，C号卡片_______张． （2）观察图2的面积关系，写出正确的等式_________________． （3）两个正方形、如图3摆放，边长分别为x，，若，，求图中阴影部分面积的和． 【答案】（1）2，5，11； （2）； （3）8． 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，结合A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为，解答即可． （2）根据图形整体面积等于各部分面积之和即可解答． （3）根据题意，得，结合，，表示阴影的面积解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， ∵A种卡片的面积为，B种卡片的面积为，C种卡片的面积为， ∴需要A号卡片2张，B号卡片5张，C号卡片11张． 故答案为：2，5，11． 小问2详解】 解：根据题意，得， 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴(舍去)， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的计算，多项式乘以多项式，完全平方公式变形计算，正方形的性质，熟练掌握公式是解题的关键． 22. 上数学课时，王老师在讲了完全平方公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ∵， ， 当时，的值最小，最小值是−4， 的最小值是−4． 请你根据上述方法，解答下列各题： 【知识再现】（1）求当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少； 【知识运用】 （2）若，当_____时，有最_____值（填“大”或“小”），这个值是_____； 【知识拓展】（3）若，直接写出的最小值． 【答案】（1）当时，代数式的最小值是1； （2）1；大；； （3） 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法（完全平方公式）求解代数式的最值，解题的关键是将代数式通过配方转化为“平方项常数”的形式，再根据平方项的非负性（）判断代数式的最大值或最小值． （1）对代数式进行配方，补全完全平方项，转化为；利用平方项，确定当平方项为0时，代数式取得最小值，同时求出对应的值． （2）对配方，注意二次项系数为负，转化为；由平方项非负可知，即是代数式有最大值，再代入计算具体值． （3）从方程中整理出的表达式，代入得到新代数式；对新代数式配方，根据平方项非负性求最小值． 【详解】（1）解： ∵， ∴当，即时，代数式取得最小值； 最小值为． 答：当时，代数式的最小值是1； （2）解： ∵， ∴，； ∴当，即时，有最大值，最大值 故答案：1，大；； （3）解：由，得； 则 ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． 故答案为：． 23. 【问题呈现】如图①，在中，，，点是边上一点（点不与点、重合），连接，过点作的垂线、过点作的垂线，两直线交于点．求的值． 【问题分析】小慧在解决此问题时，由“”联想到“构造以为直角边的等腰直角三角形”，便尝试着过点作的垂线，与相交于点（图②），得到，于是将转化为，再通过证明，将转化为，进而求出的值． 【问题解决】 （1）请根据小慧的想法，结合图②，证明； （2）直接写出的值； 【问题提升】 （3）在图①中，连接，设点是的中点，当直线与直线的交点与点、在同一直线上时，的长为_____． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，即可得出，可求出，接下来结合“同角的余角相等”得，然后根据“角边角”得出答案； （2）先根据等腰直角三角形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据可得答案； （3）过点E作，交延长线于点H，先说明和是等腰直角三角形，可知，再根据，由（1），得，可得，然后根据“角边角”证明，根据全等三角形的性质得，再根据说明是的垂直平分线，接下来得出，即可求出，进而得出答案． 【详解】解：（1）过点D作，交于点F， ∵， ∴． ∵ ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ， ∴； （2）． ∵， ∴． 在中，， ∴， 即． 在在中，， ∴， 解得， ∴； （3）过点E作，交延长线于点H， ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴， ∴． 由（2），得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 解得． ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，同角的余角相等，线段垂直平分线的性质和判定，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 如图，在中，，，，以为边作正方形（点和点在的异侧）．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点运动，设点的运动时间为秒． （1）用含代数式表示的长． （2）连结，当时，的长为________．当时，的长为________． （3）当点在边上时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． （4）当点与正方形的顶点不重合时，若点到四边形的一组邻边距离相等，直接写出的值． 【答案】（1）当时，；当时， （2）；5 （3）2或3 （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题，涉及勾股定理、等腰三角形的性质角平分线的性质， 根据正方形的性质求得，根据勾股定理求得，分别求得顶点处的时间，分点P在线段上运动和在线段上运动求解即可； 结合和已知时间对应求解即可； 根据等腰三角形性质分和，分别列出关系式求解即可； 根据已知可知点P在角平分线上，分点P在线段上和点P在在线段上，利用等面积法列关系式求解即可． 【小问1详解】 解：∵，以为边作正方形， ∴ ∵在中，，，， ∴， 当点P在线段上运动时，，此时； 当点P在线段上运动时，，此时； 故当时，；当时，； 【小问2详解】 解：当时，此时点P在线段上，则； 当时，此时点P在线段上，则； 【小问3详解】 解：∵是以为腰的等腰三角形， 当，则，解得； 当，则，解得； 【小问4详解】 解：∵点到四边形的一组邻边距离相等， ∴点P在角平分线上， 当点P在线段上时，如图， 则点P到的距离为4， 那么，，即，解得； 当点P在在线段上时，如图， 则点P到的距离为， 那么，， 即， ，解得； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $