专题5.4 一元一次方程（章节复习）知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）-2025-2026学年人教版数学七年级上册同步培优讲练

专题5.4 一元一次方程（章节复习） （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：一元一次方程的基础 2 知识点梳理02：等式的性质 2 知识点梳理03：解一元一次方程 3 知识点梳理04： 一元一次方程与实际应用 3 优选题型 考点讲练 4 考点1 等式的性质1 4 考点2 等式的性质2 6 考点3 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 7 考点4 解一元一次方程（二）-去括号 8 考点5 解一元一次方程（三）-去分母 11 考点6 已知一元一次方程的解，求参数 12 考点7 —元一次方程解的关系 14 考点8 绝对值方程 16 考点9 配套问题（一元一次方程的应用） 18 考点10 工程问题（一元一次方程的应用） 19 考点11 销售盈亏（一元一次方程的应用） 20 考点12 比赛积分（一元一次方程的应用） 21 考点13 方案选择（一元一次方程的应用） 22 考点14 数字问题（一元一次方程的应用） 25 考点15 几何问题（一元一次方程的应用） 26 考点16 动点问题（一元一次方程的应用） 28 考点17 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 31 考点18 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 32 考点19 行程问题（一元一次方程的应用） 34 考点20 比例分配（一元一次方程的应用） 36 考点21 日历问题（一元一次方程的应用） 38 考点22 古代问题（一元一次方程的应用） 39 中考真题 实战演练 40 难度分层 拔尖冲刺 43 基础夯实 43 培优拔高 46 知识点梳理01：一元一次方程的基础 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点梳理03：解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 知识点梳理04： 一元一次方程与实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 考点1 等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算题： (1)计算：； (2)简便运算：； (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（）先进行乘方和乘除运算，再进行加减运算即可； （）利用乘法分配律运算即可； （）根据等式的性质解答即可； 本题考查了有理数的混合运算，解方程，正确计算是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的性质解答即可． 【规范解答】解：A、若，且时，则，故符合题意； B、若，则，不符合题意； C、若，则，不符合题意； D、若，则，不符合题意； 故选：A． 考点2 等式的性质2 【典例精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）如果，那么下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数（或式子），结果仍相等． 根据等式的性质逐项分析判断即可求解． 【规范解答】解：A．如果，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意； B．如果，那么，故该选项正确，符合题意； C．如果，当时，那么，故该选项不正确，不符合题意； D．如果，当时，那么，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列四个选项中，说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．的意义是与的和的倍 D．如果，那么 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据代数式的意义，代数式求值，等式的基本性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、如果，那么，故A选项错误； B、如果，那么，故B选项正确； C、的意义是的倍与的和，故C选项错误； D、如果，即，那么，故D选项错误； 故选：B． 考点3 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【典例精讲】25-26七年级上·吉林长春·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如，把某数时的多项式的值用（某数）来表示． 例如时多项式的值记为， 已知， (1)求的值； (2)若，直接写出的值为______． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查代数式求值，解一元一次方程． （1）把代入求解即可； （2）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，把a的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解：当时，多项式的值记为 （2）解：∵， ∴， 整理得：， 解得， ∴ 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）（1）关于x的方程与的解相同，求m的值． （2）已知方程，求整式的值． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的解、解一元一次方程、代数式求值等知识点，掌握整体思想是解题的关键． （1）先求解方程可得，再把代入得到关于m的方程求解即可； （2）由方程可得，然后整体代入求解即可． 【规范解答】解：（1）解关于x的方程可得， 把代入可得， 解得； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点4 解一元一次方程（二）-去括号 【典例精讲】计算与化简： （1） （2） （3） 解方程： （4） （5） 【答案】（1）0；（2）；（3）；（4）；（5） 【思路引导】本题考查的是含乘方的有理数的混合运算，整式的加减运算，一元一次方程的解法． （1）把减法化为加法运算，再合并即可． （2）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减运算即可． （3）先去括号，再合并同类项即可． （4）先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． （5）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【规范解答】解：（1） ． （2） ． （3） ． （4）， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． （5）， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （3）根据解一元一次方程的方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，求解即可； （4）先利用分数的基本性质，把分子、分母化为整数，再按解一元一次方程的一般步骤求解即可． 【规范解答】（1）解： 去括号，得 移项、合并同类项，得 将系数化为1，得 （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 将系数化为1，得 （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项、合并同类项，得 系数化为1，得 （4）解： 原方程可变形为： 去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得 考点5 解一元一次方程（三）-去分母 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）当k为 时，代数式比的值大1． 【答案】 【思路引导】本题考查解一元一次方程．根据题意，列出方程，进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得： 故答案为： ． 【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了有理数的混合运算、整式的加减以及解一元一次方程，熟练掌握运算顺序、整式的运算法则以及解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照运算顺序先算乘方，再算乘除法，最后算减法即可． （2）先去括号，再合并同类项． （3）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为来求解． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 考点6 已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【答案】，过程见解析 【思路引导】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．先根据题意求出k的值，再代入，利用去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1的过程求解即可． 【规范解答】解：小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12， 则原方程变为， 该方程的解是， ， 解得：， 关于的方程， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【思路引导】先求的解，把其解的相反数代入另一个方程求出的值，再代入代数式即可． 【规范解答】解：方程去括号， 得， 解得． 依题意，得方程的解为， ，即， 解得， ． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的解法、方程的解、求代数式的值，熟悉方程的解及解一元一次方程是解题的关键． 考点7 —元一次方程解的关系 【典例精讲】．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数． （2）解关于的方程：． 【答案】（1）见解析；（2）当时，原方程有唯一解；当时，原方程的解为任意有理数；当时，原方程无解 【思路引导】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法，注意进行分类讨论，是解题的关键． （1）分三种情况：当时，当时，当时，分别求出方程的解即可； （2）先将方程化简变为，分两种情况：当，当，进行求解即可． 【规范解答】解：（1）当时，方程的解为； 当时，方程的解为任意实数； 当时，方程无解 （2）， 去分母得：， 去括号得：， 移项，并合并同类项得：， ①当，即时，方程有唯一解，解为； ②当，即时，方程可化为； 若，即时，方程总成立，方程的解为任意实数； 若，即时，方程不成立，方程无解； 综上所述：当时，原方程有唯一解； 当时，原方程的解为任意实数； 当时，原方程无解 【变式训练】已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程、相反数、代数式求值、有理数乘方的逆运算，熟练掌握方程的解法和代数式求值是解题关键． （1）先分别求出两个方程的解，再根据这两个方程的解互为相反数可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）将的值代入，利用有理数乘方的逆运算法则计算即可得． 【规范解答】（1）解：方程的解为， 方程的解为， ∵方程①的解与方程②的解互为相反数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， 则 ． 考点8 绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1) ；当时， ． (2)表示 与 之间的距离；表示 与 之间的距离； 找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数有 （直接写出答案） (3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)5； (2)x，；x，2；，，，，，0，1，2 (3)有，最小值是4 【思路引导】本题主要考查了求一个数的绝对值，绝对值的几何意义，解绝对值方程，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据绝对值的意义求出，进而得到，据此求解即可； （2）根据绝对值的几何意义和解绝对值方程即可得到答案； （3）分当时；当时；当时，三种情况去绝对值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：； 当时，则， ∴； 故答案为：5；； （2）解：表示x与之间的距离； 表示x与2之间的距离； 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）； 当时， 恒成立， ∴， ∴此时符合条件的整数x为，，，，，0，1，2； 当时， ∵， ∴， 解得（舍去）； ∴综上所述，符合条件的整数x为，，，，，0，1，2； 故答案为：x，；x，2；，，，，，0，1，2； （3）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴有最小值，最小值为4． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若，则______； (4)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)4 (2)或 (3)5或 (4) 【思路引导】本题考查了数轴，绝对值的性质以及有理数的减法． （1）根据在数轴上A、B两点之间的距离为即可求解； （2）根据在数轴上A、B两点之间的距离为列方程即可求解； （3）根据绝对值的意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，即可得解． 【规范解答】（1）解：数轴上表示和1两点之间的距离是， 故答案为：4； （2）解：∵数轴上表示a和1的两点之间的距离为， ∴或， 解得或， 故答案为：或． （3）， ∴或， 解得或， 故答案为：5或． （4）解：∵数轴上表示x和的两点之间的距离是， 数轴上表示x和5的两点之间的距离是， 数轴上表示和5的两点之间的距离是， ∴在数轴上的几何意义是：表示有理数x的点到和5表示点的距离之和， ∵， ∴表示有理数x的点在和5之间， ∴符合条件的整数有：． 考点9 配套问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【答案】分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．设每天有x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【规范解答】解：设生产螺栓的工人为x人，则生产螺母的工人为人， 根据题意得： ， 解得：， ∴ ， 答：分配36名工人生产螺栓，其他30名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【答案】, 【思路引导】本题考查的是一元一次方程的数学知识，在解答此类问题时一定要对相关的知识有一个明确的认识和把握，同时结合题设的已知条件就可以解答出问题的正确结论；通过设未知数，根据筒身和筒底的配套关系(个筒身配个筒底)来列方程求解． 【规范解答】解：设分配名学生剪筒身，那么剪筒底的学生有名， 由题意得：， ， ， ， 剪筒底的学生人数为(名)， 答：应该分配名学生剪筒身，名学生剪筒底． 考点10 工程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．6天 【答案】D 【思路引导】先分析甲乙工作量的关系，得出甲2天的工作量等于乙3天的工作量，再根据效率比和总工作量相等求出规定时间即可． 【规范解答】解：设规定的时间是天， 根据题意，甲的效率为，乙的效率为， 由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成可知： 甲工作了2天，乙工作了天，共同完成工作，总工作量为1， 可列方程， 解得． 规定时间为6天； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程——工程问题，熟练找出等量关系是解题的关键． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的，一共需要多少天？ 【答案】30 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，先求出计划每天完成的工作量，设一共需要天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【规范解答】解：∵制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一， ∴计划每天完成， 设一共需要天完成任务， 由题意可得：， 解得：， ∴完成这批零件的，一共需要天． 考点11 销售盈亏（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）某商场进行促销活动，发布两种消费券：券，满元减元；券，满元减元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款．用券后，两人共付款元，则他们所购商品的标价为 元． 【答案】或 【思路引导】设所购商品的标价为元，根据两人共付款156元，分和两种情况，分别列出方程求解即可． 【规范解答】解：设这件商品的标价为元， 若，则两人共付款， 解得，与矛盾，故． 当时，两人共付款，故． ∴这件商品的标价大于元． 当时，由题意可得，， 解得； 当时，由题意可得，， 解得． 综上所述，这件商品的标价为元或元． 故答案为：或． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 【答案】(1)商品A最后应卖元； (2)商品B的成本是850元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，列式计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用售价成本价利润率折扣率，即可求出结论； （2）设商品B的成本是x元，利用售价成本价利润，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得： （元）， 答：商品A最后应卖元； （2）解：设商品B的成本是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：商品B的成本是850元． 考点12 比赛积分（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 【答案】该班共胜4场比赛 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据题意找出总比赛场数为是解题的关键． 个班进行友谊赛，也就是说每个班级要和其余个班级比赛，根据总比赛场数为，设赢了场，总分数为即可列出方程，即可解题． 【规范解答】解：个班进行友谊赛，也就是每个班要和其余个班比赛， 所以设胜了场，则平了场． 由题意，得， 解得． 答：该班共胜4场比赛． 【变式训练】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【思路引导】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 考点13 方案选择（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【答案】(1) (2)方案一更优惠 (3)60 【思路引导】本题考查了列代数式，已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据方案一和方案二的优惠方案进行列式，即可作答． （2）把分别代入，再比较结果，即可作答． （3）理解题意，进行列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，且需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋 ∴该客户按方案一购买，则（元）， 即需付款元； ∴该客户按方案二购买，（元）， 即需付款元； （2）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； ∴当时，则（元）， ∴当时，则（元）， ∵， ∴方案一更优惠； （3）解：由（1）得按方案一购买，需付款元；按方案二购买，需付款元； 依题意，， 整理得， ∴， ∴当时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【变式训练】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 【答案】(1)有，可以节约740元钱 (2)1班有58人，2班有45人 (3)购买151张，总票价为5285元 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找准确等量关系，要注意考虑全面，购票最省钱的办法就是团体购票． （1）最节约的办法就是团体购票，节省的钱团体票价； （2）分有两种情况：若1班和2班人数都在51～100之间；若1班人数是51～100，2班人数是1～50；分别计算，即可求解； （3）先计算出148人的团体票价，再计算出151人的团体票价，即可求解． 【规范解答】（1）解：有．可以节约（元）． （2）解：设1班有x人，则2班有人，根据题意，有两种情况： 若1班和2班人数都在51～100之间， （不符合题意，舍去）； 若1班人数是51～100，2班是1～50， ， 解得：， 则， 答：1班有58人，2班有45人； （3）解：若3班也去，则三个班团体购票最合理，三个班的总人数有148人，总票价元． 若买151张票，总票价为元， ∵， ∴最合理的方法是购买151张，总票价为5285元． 考点14 数字问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 【答案】11 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，设这个一位数为x，则这个两位数为，根据前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78建立方程求解即可． 【规范解答】解：设这个一位数为x，则这个两位数为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个两位数是11， 故答案为：11． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了程序框图的输入数据计算、有理数的混合运算、一元一次方程等知识点，掌握框图的步骤和判定输出的条件是解题的关键． （1）将代入流程图，按照有理数混合运算法则以及不等式计算即可； （2）根据流程图分一次计算得到2和经过一次循环计算得到2两种情况，分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当输入时，则， ，即输出． （2）解：由题意可得： 直接一次计算得到2：由题意可得，解得：； 经过一次循环后得到2，由题意可得：，解得：． 综上，a的可能值为或． 考点15 几何问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知，甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，且甲数和乙数表示的两点的距离为8． (1)求甲乙两数各是多少？ (2)数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是多少？ (3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．求昆虫B的速度是多少？ 【答案】(1)甲数为6，乙数为或甲数为，乙数为2； (2)或2 (3)或个单位/秒 【思路引导】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． （1）设乙数为，则甲数为，根据题意可得或，即可解得答案； （2）根据丙到甲，乙的距离相等，分两种情况分别列式求解即可； （3）设运动的时间为秒，昆虫速度为个单位秒，分两种情况分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）设乙数为，则甲数为， 根据题意得：或， 解得或， 或， 甲数为6，乙数为或甲数为，乙数为2； （2）∵丙到甲，乙的距离相等， 当甲数为6，乙数为时， 点丙所表示的数是； 当甲数为，乙数为2时， 点丙所表示的数是； （3）设运动的时间为秒，昆虫速度为个单位秒， 当甲数为6，乙数为时， 则昆虫A所在点表示的数是，昆虫所在点表示的数是， 根据题意得， 解得， ， 解得； 当甲数为，乙数为2；时， 则昆虫A所在点表示的数是，昆虫所在点表示的数是， 根据题意得， 解得， ， 解得， 答：昆虫的速度是或个单位长度秒． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且点到点B的距离是2，则C点表示的数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【思路引导】本题考查数轴上两点之间的距离问题，数轴上的翻折问题，能正确地表示出两点间的距离是解题的关键． 设点C所表示的数为，则，，根据，列出关于的方程，解出方程即可． 【规范解答】解：设点所表示的数为，则，， ，点表示的数为8， ∴点表示的数为， 根据折叠得，， ， 解得，， 故选：A． 考点16 动点问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数为_______． (2)当点P与点B重合时t的值为_______． (3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为______．（用含t的代数式表示） (4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为_______． 【答案】(1)0 (2)5 (3) (4)1，3，7，9 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． （1）设当时，点P移动的距离为，即可求出点P表示的有理数； （2）由点P与点B重合，点P移动的距离为，即可求出t的值； （3）根据数轴上两点的距离公式，即可求解； （4）分四种情况讨论：根据点P移动的距离分别列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：当时，点P移动的距离为：， 此时点P表示的有理数为：， 即点P表示的有理数为0， 故答案为：0； （2）解： 当点P与点B重合时，点P移动的距离为：， 移动的时间， 即点P与点B重合时t的值为5， 故答案为：5； （3）解：在点P由点A到点B的运动过程中，点P与点A的距离为， 即点P表示的有理数是， 故答案为：； （4）解：设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 设在点P由点A到点B的运动过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点2时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 设点P到达点B后，返回过程中，当点P移动到点时，与原点距离是2个单位，所用时间为， 则， 解得：， 即所有满足条件的t的值为1、3、7、9， 故答案为：1、3、7、9． 【变式训练】（25-26七年级上·天津·阶段练习）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a、b、c，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，，点C是的中点． (1)求a、b的值； (2)求点C表示的有理数； (3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． ①当时，求P、Q两点之间的距离； ②当时，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【思路引导】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据，，得出，结合点在原点左侧，点在原点右侧，即可求解． （2）点C是的中点，即可求解． （3）①当时，表示出点P表示的数和点Q表示的数，再根据两点之间的距离即可求解． ②点P表示的数为，点Q表示的数为，根据，列出方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ， ∵点在原点左侧，点在原点右侧， ． （2）解：∵，点C是的中点， ∴点C表示的有理数为． （3）解：①当时，点P表示的数为， 点Q表示的数为， ∴P、Q两点之间的距离为． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ， ， 即， 则有或， 解得：或． 考点17 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）六年级组织演讲比赛，当一名女生在台上演讲时，台下的学生中男生是女生的，当一名男生在台上演讲时，台下的学生中女生是男生的，则参加演讲比赛的学生共有 人． 【答案】 64 【思路引导】本题考查了和差倍分问题，正确理解不同情况下男生和女生的人数关系是解题的关键．设参加演讲比赛的学生共x人，列出方程并求解即可． 【规范解答】解：设参加演讲比赛的学生共x人，依题意得 , 解得，． 答：参加演讲比赛的学生共64人． 故答案为：64． 【变式训练】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）一同学打印1300页稿件，上午比下午多打，下午比晚上多打，刚好打完了，则他上午打印了多少页？ 【答案】500页 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设晚上打印了x页，则下午打印了页，上午打印了页，根据上午，下午和晚上一共打印了1300页建立方程求解即可． 【规范解答】解：设晚上打印了x页，则下午打印了页，上午打印了页， 由题意得，， 解得， 所以， 答：他上午打印了500页． 考点18 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【规范解答】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 (1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． (2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） (3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 【答案】(1)600 (2) (3)当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 【思路引导】（1）甲用户年前三个月已使用天然气，不超过，直接用用量×第一档单价即可求出费用； （2）乙用户2024年已使用天然气，需将用量分为两部分：第一档的和第二档的，分别按对应单价计算后求和，得到含的代数式即可； （3）对三档分类讨论费用计算．已知，需根据用量的不同范围，分别计算各档的费用并汇总，体现分类讨论的数学思想． 【规范解答】（1）解：甲用户使用天然气，因为不超过，价格为元. 故费用为：（元）. （2）解：乙用户年已使用天然气，为两段缴费：不超过和在和之间两段进行缴费：(元)； （3）解：丙用户用气量不确定，需进行分类讨论： 当时： 缴费：元； 当时： 缴费：（元）， 当时， （元） 当时： 缴费： 当时， （元） 综上所述：丙用户这一年的燃气费为：当丙用户用气量不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过不超过时，支出的燃气费为元；当丙用户用气量超过时，支出的燃气费为元 【考点剖析】本题主要考查了列代数式，解答的关键是理解清楚题意，找到其中的数量关系． 考点19 行程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，已知数轴上依次有三点，点B对应的数是，且点到点的距离均为10． (1)写出点所对应的数； (2)若动点分别从两点同时向右运动，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问多少秒时点与点重合； (3)若动点分别从两点相向而行，点运动2秒后，点才出发，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问点运动多少秒时？ 【答案】(1) (2)秒时重合 (3)点运动或秒时 【思路引导】本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“点到点的距离均为10”进行求解即可； （2）设运动x秒时重合，然后可得方程，进而问题可求解； （3）设点M运动时间为t秒，则，然后由题意可分当时，点N还没开始出发，当时，进而进行分类求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， 所以点A所对应的数为． （2）解：方法一：由题意得：， 所以运动5秒后两点重合． 方法二：设运动x秒时重合，由题意得： ， 解得； 答：运动5秒后两点重合． （3）解：由题意可知点C所表示的数为， 设点M运动时间为t秒，则，由题意可分： 当时，则，因为， 所以，解得：， 当时，则， 所以， 解得（不符合题意，舍去）或； 综上所述：当点运动或秒时． 【变式训练】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题主要考查数轴上的点的表示，数轴上两点之间的距离等知识，解题的关键在于根据题意列方程． （1）根据对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度，可列式为即可求值； （2）设点所对应的数为，分情况讨论，列方程求值即可； （3）先求出相遇时的时间，再算点所对应的数即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，，即点所对应的数为． 故答案为：． （2）解：设点所对应的数为， 当点在点左侧时，可列方程：， 解得，； 当点在点、之间时，此时，，故舍去； 当点在点右侧时，可列方程：， 解得，． 综上，点所对应的数为或． （3）解：设运动时间为秒， 根据题意可列方程：， 解得，． 点所对应的数为：． 答：点所对应的数为． 考点20 比例分配（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【答案】D 【思路引导】本题考查了列方程解应用题，设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨，根据甲卡车比乙卡车多运货12t，列出方程即可. 【规范解答】解：设每一份为吨，则甲卡车运货吨，乙卡车运货吨， 根据题意，得：， 解得：， （吨）， 故选： ． 【变式训练】．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查了数轴上点的对应关系以及一元一次方程的应用的知识点，解题的关键是根据上下对齐的点之间的距离比例关系列出等式． 根据点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，利用甲，乙数轴上对应点之间的距离关系列出关于的方程求解． 【规范解答】因为点与点上下对齐，点与点上下对齐，点与点上下对齐，所以甲，乙两条数轴上对应点之间的距离比例是相同的， 先计算甲数轴上A，B两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 乙数轴上D，E两点间的距离为：， 两点间的距离为：， 根据距离比例相同可得： 解得． 故答案选：C． 考点21 日历问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（  ） A．154 B．98 C．85 D．70 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元一次方程的实际应用，掌握“H”型框中的7个数的数字排列规律是解决问题的关键. 设“H”型框中的正中间的那个数为,则其他6个数分别为,然后表示出这7个数的和，分别建立方程，解方程逐项分析即可得. 【规范解答】解：设“H”型框中的正中间的那个数为,则其他6个数分别为, 所以这7个数的和为. A、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； B、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； C、若,解得,不是正整数，不成立，则此项符合题意； D、若,解得,结合月历可知，成立，则此项不符合题意； 故选：C. 【变式训练】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； (2)成立，； (3)不能是． 【思路引导】本题主要考查了日历表中数字的排列规律、一元一次方程的实际运用，根据日历表中的数字排列规律解决问题． 根据有理数的加法法则计算即可； 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是，根据整式的加法法则计算即可得到十字框中五个数的和为； 设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是，可列方程，解方程求出，由图可知，在日历的最右边一列，所以这个数的和不能是． 【规范解答】（1）解：， 带阴影的十字框中的个数的和是， ， 带阴影的十字框中的个数的和是十字框中间的数的倍； （2）解：中的结论对于任何一个月的月历都成立， 设十字框中间的数为，则上面的数是，下面的数是，左面的数是，右面的数是， 十字框中五个数的和为：； （3）解：设该月的月历上用十字框框出个数中间的一个数是， 根据题意可得：， 解得：， 由图可知，在日历的最右边一列， 不可能是中间的数字， 用十字框框出个数的和不可能是． 考点22 古代问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）“曹冲称象”是中国古代经典故事其中蕴含着物理学浮力知识．根据曹冲提出的解决方案，将大象放在船上，在水面所达到的地方做上标记，然后将大象牵下来，再往船上抬入28块等重的条形石，并在船上留5个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入2块同样的条形石，船上只留2个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为．求每块条形石的质量与大象的质量． 【答案】， 【思路引导】本题考查一元一次方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题的关键． 设每块条形石的重量为，根据题意列方程求解即可；由求得每块条形石的质量为，根据题意即可求出大象的质量． 【规范解答】解：设每块条形石的质量为． 根据题意，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得，所以每块条形石的质量为， 所以大象的质量为． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 【答案】壶中原来有斗酒． 【思路引导】根据题意，设壶中原来有斗酒，第一次遇到店加一倍成斗酒，然后见到花喝去一斗还有斗酒，依次类推，第三次壶中有斗酒，列方程即可. 【规范解答】解：设壶中原来有斗酒，则他第一次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第二次遇店又见花后，壶中有斗酒； 第三次遇店又见花后，壶中有斗酒． 由题意，得，解得． 故壶中原来有斗酒． 【考点剖析】本题考查了列一元一次方程的应用题——古代问题，读懂题意，列出第三次壶中酒是解题关键． 1．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用．设清酒x斗，则醑酒斗，根据题意正确列方程即可． 【规范解答】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 由题意可得：， 故选：D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【思路引导】设买鸡的人数为，根据两种不同出钱方式下鸡的价钱不变这一关系，分别表示出两种情况下鸡的价钱，建立方程求解即可．本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系（鸡的价钱不变 ）建立方程求解是解题的关键． 【规范解答】根据题意，每人出9文钱时，总钱数为文，多出11文，故鸡的价钱为文； 每人出6文钱时，总钱数为文，不足16文，故鸡的价钱为文． 列方程： 解得： 故买鸡的人数为9人， 故选：D． 3．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 【答案】58 【思路引导】本题主要考查了整式的加减运算、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设，那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）且为这四个值分别是45、46、47、48；再说明，然后分四种情况解答即可． 【规范解答】解：设，那么去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为；去掉后和为； ∵已知这五个和只有四个不同的值， ∴不妨设， 那么这四个不同的值可以表示为（假设与前面某一个数相等）． ∵这四个值分别是45、46、47、48， ∴，即， ∵ ∴， ∴，即； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 当时，即； ∴，解得：，不是整数，不符合题意； 综上，，即． 故答案为：58． 4．（2025·四川德阳·中考真题）公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是 ． 【答案】/ 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，设动力臂是，根据“阻力阻力臂动力动力臂”列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设动力臂是， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 5．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，根据利润相等建立方程．原计划利润为，实际利润为，两者相等即可求解． 【规范解答】解：设每套成本为元．原计划利润为元；实际购买时利润为元． 根据题意得：， 故选B． 基础夯实 1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知数轴上点 A 表示的数为，点B与点A的距离为6，则点B表示的数是（  ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 点B与点A的距离为6，可能在点A的左侧或右侧，因此点B表示的数有两个可能值，分类进行求解即可． 【规范解答】解：∵点A表示的数为，点B与点A的距离为6， ∴设点B表示的数为x，则，即， ∴或， ∴或， ∴点B表示的数是2或， 故选：C． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【思路引导】本题考查了等式的性质，等式性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边同时乘以一个数或除以一个不为0的数，结果仍相等．据此逐项判断即可求解． 【规范解答】解：A. 若，则或，错误应用等式性质1，不合题意； B. 若，则，正确，符合题意； C. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意； D. 若，则，未考虑情况，错误应用等式性质2，不合题意． 故选：B 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次方程的定义．未知数的最高次数为，且一次项系数不为是解题关键． 根据一元一次方程的定义可得，且，进而求解即可． 【规范解答】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且 ∴． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，解题的关键是能得出关于的一元一次方程． 把代入方程，即可得出一个关于的一元一次方程，求出方程的解即可． 【规范解答】解：把代入方程， 得． 去分母，得． 移项、合并同类项，得． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 【答案】(1)①，；②， (2)当时，，两点相遇，相遇点所表示的数为4 【思路引导】本题考查数轴、整式的加减，一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解题的关键． （1）①利用两点间的距离公式，和中点公式，进行求解即可； ②根据速度乘以时间等于路程，利用左减右加，用含的代数式表示点所表示的数即可 （2）根据（1）的结论，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：① ， 到点和点距离相等的点是的中点 线段的中点表示的数为：， 故答案为：，； ②∵点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴秒后，点表示的数为：， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动， ∴点表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：依题意，， 解得， ∴当时，，两点相遇， 此时 相遇点所表示的数为4． 培优拔高 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．504 B．505 C．506 D．507 【答案】C 【思路引导】此题主要考查了图形的变化类规律问题，根据正方形的个数变化的规律，以此类推，可得第次正方形个数，即可求解． 【规范解答】解：第次：分别连接各边中点如图，得到个正方形； 第次：将图左上角正方形按上述方法再分割如图，得到个正方形， 第次得到：个正方形； 第次得到：个正方形； 以此类推，根据以上操作，第次得到个正方形， 根据以上操作，若第次得到个正方形，则， 解得：． 故选：C． 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【思路引导】本题主要考查一元一次方程的定义及其解的运用，根据一元一次方程的定义可判定说法①；根据解一元一次方程的方法可判定说法②；根据相反数的定义，解一元一次方程的方法可判定说法③；由此即可求解，掌握一元一次方程的定义，解一元一次方程的方法是解题的关键． 【规范解答】解：①当时，关于x的方程是一元一次方程，故①错误； ②当时，关于x的方程的解为，故②错误； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是，正确，故③符合题意； 故选：A． 3．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是 ；若点是数轴上一点，且，则点表示的数 ． 【答案】 或 【思路引导】本题考查了一元一次方程的几何应用，数轴上两点之间的距离，求出，，则有，即，设点表示的数为，则有，，由，得，然后求出的值即可，根据理解题中定义和分类讨论是解题的关键． 【规范解答】解：∵为数轴上三点，分别对应，，， ∴，， ∴， ∴， 设点表示的数为，则有，， ∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∴点表示的数为或， 故答案为：，或． 4．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点表示的数记为，点表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)的几何意义是_____________；数轴上表示和-2的两点之间的距离表示_____________． (2)已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．若，则_____________； (3)当时，求的值？ 【答案】(1)数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离； (2)1 (3)6或0 【思路引导】本题考查数轴、绝对值的相关知识，利用数轴上绝对值的几何意义以及绝对值方程的解法来求解是解题的关键． （1）根据数轴上绝对值的几何意义解答即可； （2）根据题意得到，，得到，计算求解即可； （3）根据题意，得或，计算即可． 【规范解答】（1）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离； ， 数轴上表示x和的两点之间的距离表示． 故答案为：数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离；． （2）解：，， 根据题意，得， 即(无解）或， 解得． 故答案为：1． （3）解：根据题意，得或， 解得或， ∴x的值为6或0． 5．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）对数轴上的点H进行如下操作：先把点H沿数轴向右平移k个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以k，所得数对应的点为，则称点为点H的“k倍位移点” ．例如，当时，若点H表示的数为1，则它的“2倍位移点”对应点表示的数为6． (1)若点A表示的数为，则它的“4倍位移点”对应点表示的数为______； (2)若点B的“4倍位移点” 表示的数是10，则点B表示的数为_______； (3)若点C的“k倍位移点”为点，数轴上点一定在点C的右侧，这种说法一定成立吗？若一定成立请证明；若不一定成立请举出一个反例； (4)已知数轴上点E表示的数为5，点F表示的数为．若点P从点E沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从点F沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动．若在任何一个时刻，点P的“k倍位移点” 与Q两点之间的距离均为定值，请直接写出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)此说法不一定成立；反例见解析 (4) 【思路引导】本题考查了在数轴上表示数及数轴上动点之间的距离，关键是根据已知理解新定义，同时能够灵活运用定义解决问题． （1）根据“4倍位移点”的定义进行解答即可； （2）设B表示的数为x，利用“倍位移点”的定义列出方程即可解决问题； （3）利用“倍位移点”的定义举例说明即可； （4）分别用运动时间表示P，Q对应的数，根据“倍位移点”的定义列出，Q的距离，再根据k的取值与t无关即可确定对应的k的值，进而可得答案． 【规范解答】（1）解：∵点表示的数为， ∴它的“4倍位移点”对应点表示的数为， 故答案为：； （2）解：设B表示的数为x， 根据题意得，， 解得，， ∴点表示的数为， 故答案为：； （3）解：若点的“倍位移点”为点，数轴上点一定在点的右侧，此说法不一定成立， 比如，当点C对应的数为时，则对应的数为， ∴点在点的左侧， 因此，点的“倍位移点”为点，数轴上点不一定在点的右侧． （4）解：设运动时间为t秒，则P表示的数为，Q点表示的数为， ∴点的“倍位移点”为， ∴， ∵与两点之间的距离均为定值， ∴， 解得：， ∴． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 一元一次方程（章节复习） （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：一元一次方程的基础 2 知识点梳理02：等式的性质 2 知识点梳理03：解一元一次方程 3 知识点梳理04： 一元一次方程与实际应用 3 优选题型 考点讲练 4 考点1 等式的性质1 4 考点2 等式的性质2 4 考点3 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 5 考点4 解一元一次方程（二）-去括号 5 考点5 解一元一次方程（三）-去分母 6 考点6 已知一元一次方程的解，求参数 7 考点7 —元一次方程解的关系 7 考点8 绝对值方程 8 考点9 配套问题（一元一次方程的应用） 9 考点10 工程问题（一元一次方程的应用） 9 考点11 销售盈亏（一元一次方程的应用） 10 考点12 比赛积分（一元一次方程的应用） 10 考点13 方案选择（一元一次方程的应用） 11 考点14 数字问题（一元一次方程的应用） 12 考点15 几何问题（一元一次方程的应用） 12 考点16 动点问题（一元一次方程的应用） 13 考点17 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 14 考点18 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 14 考点19 行程问题（一元一次方程的应用） 16 考点20 比例分配（一元一次方程的应用） 16 考点21 日历问题（一元一次方程的应用） 17 考点22 古代问题（一元一次方程的应用） 18 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 20 知识点梳理01：一元一次方程的基础 方程的定义：含有未知数的等式叫做方程. 方程的判断条件：①等式；②方程. 一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）. 方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解. 解方程：求方程的解得过程叫做解方程. 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即： 如果a=b，那么a±c=a±c 等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即： 如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 = 等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性） 等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性） 【易错易混】 1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立. 知识点梳理03：解一元一次方程 基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=. 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1) 去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项; 2) 不要弄错符号. 移项 把含有未知数的项移到方程一边，其它项都移到方程另一边 1）移项时不要丢项; 2）将方程中的项从一边移到另一边要变号.而在方程同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把方程变为ax=b（a≠0 )的形式 1）系数的符号处理要得当； 2）字母及其指数不变. 系数化为1 将方程两边都除以未知数系数a，得到方程的解x= 1)未知数的系数为整数或小数时,方程两边同除以该系数; 2)未知数的系数为分数时,方程两边同乘该系数的倒数. 【补充说明】 1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号. 2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100． 知识点梳理04： 一元一次方程与实际应用 用一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量； 设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量； ①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么； ②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数； ③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数. 列：根据题中相等关系，列出一元一次方程； 解：解所列出的一元一次方程； 验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）； 答：写出答案，包括单位. 考点1 等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）计算题： (1) 计算：； (2) 简便运算：； (3) 解方程：． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点2 等式的性质2 【典例精讲】（24-25七年级上·四川广安·期末）如果，那么下列式子一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·山东日照·期末）下列四个选项中，说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果，那么 C．的意义是与的和的倍 D．如果，那么 考点3 解一元一次方程（一）-合并同类项与移项 【典例精讲】25-26七年级上·吉林长春·期中）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（可用其它字母，但不同的字母表示不同的多项式），例如，把某数时的多项式的值用（某数）来表示． 例如时多项式的值记为， 已知， (1)求的值； (2)若，直接写出的值为______． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）（1）关于x的方程与的解相同，求m的值． （2）已知方程，求整式的值． 考点4 解一元一次方程（二）-去括号 【典例精讲】计算与化简： （1） （2） （3） 解方程： （4） （5） 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程： (1)； (2)； (4) ； (4)． 考点5 解一元一次方程（三）-去分母 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）当k为 时，代数式比的值大1． 【变式训练】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）计算： (1) ； (2)； (3)． 考点6 已知一元一次方程的解，求参数 【典例精讲】在解关于的方程时，小华同学在去分母时忘记方程右边的也要乘12，从而得到该方程的解是（小华同学其它过程都正确）．你能得到该方程的正确解吗？请写出你的解答过程． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 考点7 —元一次方程解的关系 【典例精讲】．（2023七年级上·湖南邵阳·竞赛）（1）讨论关于的方程的解的情况，其中为已知数． （2）解关于的方程：． 【变式训练】已知方程①的解与方程②的解互为相反数，求： (1)的值； (2)代数式的值． 考点8 绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1) ；当时， ． (2)表示 与 之间的距离；表示 与 之间的距离； 找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数有 （直接写出答案） (3)由以上探索，请你结合数轴猜想：对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【变式训练】（25-26七年级上·陕西榆林·阶段练习）阅读下面材料：数轴是数学中重要的工具，借助数轴我们可以解决许多问题．点、在数轴上分别表示有理数、，在数轴上、两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示和1的两点之间的距离是______； (2)数轴上表示和1的两点之间的距离为6，则表示的数为______； (3)若，则______； (4)请你找出所有符合条件的整数，使得． 考点9 配套问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）某车间有66名工人，生产某种由1个螺栓套2个螺母的产品，每人每天生产螺母12个或螺栓5个．分配多少名工人生产螺栓多少名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ 【变式训练】（24-25七年级上·甘肃平凉·期末）在手工制作课上，老师组织七年级（）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年级（）班共有名学生，每名学生每小时可以剪筒身个或剪筒底个，要求个筒身配个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 考点10 工程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】25-26八年级上·全国·课后作业）有一项工程，甲单独做，刚好在规定时间内完成；乙单独做，超过规定时间3天才完成若这项工程先由甲、乙两队一起做2天，再由乙单独做，刚好在规定时间内完成，则规定的时间是（    ） A．2天 B．3天 C．5天 D．6天 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）制造一批零件，按计划10天可以完成它的四分之一．如果工作10天后，工作效率提高了十分之一，那么完成这批零件的，一共需要多少天？ 考点11 销售盈亏（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）某商场进行促销活动，发布两种消费券：券，满元减元；券，满元减元．小敏有一张券，小聪有一张券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款．用券后，两人共付款元，则他们所购商品的标价为 元． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）国庆期间，某商场专柜进行优惠大酬宾活动，所有商品一律按照的利润定价，然后又打九折出售．（成本价利润率利润，成本价利润定价，售价成本价利润） (1)商品A成本价是120元，商品A最后售价多少元？ (2)商品B卖出后，赚了68元，商品B的成本价是多少元？ 考点12 比赛积分（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）某校8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循环赛制（每两队之间进行1场比赛），胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某班共得15分，并以不败成绩获得冠军，那么该班共胜多少场比赛？ 【变式训练】开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 考点13 方案选择（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆·期中）企业对某品牌养生糁汤开展优惠活动，每箱养生糁汤定价160元，每袋调味料包定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一箱养生糁汤送一袋调味料包： 方案二：养生糁汤和调味料包都按定价打九折． 现某客户需要购买养生糁汤30箱，调味料包x袋． (1)若该客户按方案一购买，需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案二购买，需付款　　　元（用含x的式子表示）． (2)当时，通过计算说明选择哪种方案更优惠？ (3)试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的． 【变式训练】又到了春暖花开的时节，淮安外国语学校一年一度的“踏青节”即将拉开帷幕．“烟花三月下扬州”，美丽的瘦西湖成了同学们的首选目标．国家旅游胜地“五星级”风景区瘦西湖的团体参观门票价格规定如下表： 购票人数（人） 1～50 51～100 101～150 150以上 参观门票价格（元/人） 50 45 40 35 去年我校七（1）、（2）两班共103人（其中（1）班人数多于（2）班人数）去参观瘦西湖，如果两班都以班级为单位分别购票，则一共需付4860元． (1)你认为有没有最节约的购票方法？如果有，可以节约多少元钱？ (2)你能确定两班各有多少名学生吗？ (3)如果本校初一（3）班共45人也一同前去参观，那又如何购票最合理呢？共需多少元钱？ 考点14 数字问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）一个两位数和一个一位数的和为20，把一位数放在两位数的左边得到一个三位数，再把一位数放在两位数的右边，又得到一个三位数，前一个三位数除以后一个三位数，商是7，余数是78，则这个两位数是 ． 【变式训练】（25-26七年级上·吉林松原·期中）数学课上，老师设计了一个计算程序： (1)若颖颖输入的有理数时，求输出的结果； (2)若输出的结果是2，直接写出两个a的可能值． 考点15 几何问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知，甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，甲数，乙数在数轴上位于原点的两侧，且甲数和乙数表示的两点的距离为8． (1)求甲乙两数各是多少？ (2)数轴上有一个点丙，它到甲，乙的距离相等，求点丙所表示的数是多少？ (3)一只昆虫A从甲表示的数出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只昆虫B从乙表示的数出发也向右运动．最终两只昆虫相遇于数轴上的C处，C表示的数是16．求昆虫B的速度是多少？ 【变式训练】（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段练习）一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点落在点B的右边，并且点到点B的距离是2，则C点表示的数是（   ） A． B． C． D．0 考点16 动点问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为，点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由A到B方向运动，当点P到达点B后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点A停止运动，设运动时间为t（单位：秒）． (1)当时，点P表示的有理数为_______． (2)当点P与点B重合时t的值为_______． (3)在点P由点A到点B的运动过程中，点P表示的有理数为______．（用含t的代数式表示） (4)当点P表示的有理数与原点距离是2个单位长度时，t的值为_______． 【变式训练】（25-26七年级上·天津·阶段练习）已知数轴上有A、B、C三点，分别表示有理数a、b、c，其中点A在原点左侧，点B在原点右侧，且，，点C是的中点． (1)求a、b的值； (2)求点C表示的有理数； (3)若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为t秒． ①当时，求P、Q两点之间的距离； ②当时，求t的值． 考点17 和差倍分问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）六年级组织演讲比赛，当一名女生在台上演讲时，台下的学生中男生是女生的，当一名男生在台上演讲时，台下的学生中女生是男生的，则参加演讲比赛的学生共有 人． 【变式训练】（24-25七年级上·北京西城·开学考试）一同学打印1300页稿件，上午比下午多打，下午比晚上多打，刚好打完了，则他上午打印了多少页？ 考点18 电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【变式训练】（24-25七年级上·全国·课后作业）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市将居民用管道天然气用气量及价格分为三档，其中： 用气量 年用气量 价格 第一档 不超出的部分 3.0 第二档 超出，不超出的部分 a 第三档 超出的部分 (1)若甲用户2024年前三个月已使用天然气，则应缴费________元． (2)若乙用户2024年已使用天然气，则应缴费________元．（用含a的代数式表示） (3)已知丙用户2024年用气量为，当时，请用含x的代数式表示丙用户这一年的燃气费． 考点19 行程问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·广东佛山·期中）如图，已知数轴上依次有三点，点B对应的数是，且点到点的距离均为10． (1)写出点所对应的数； (2)若动点分别从两点同时向右运动，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问多少秒时点与点重合； (3)若动点分别从两点相向而行，点运动2秒后，点才出发，点的速度分别为每秒3个单位长度和每秒1单位长度，问点运动多少秒时？ 【变式训练】（25-26七年级上·贵州贵阳·期中）已知、两点在数轴上，对应的数是，点在的右边，且距点个单位长度． (1)直接写出点所对应的数：______； (2)当点到点、的距离之和是个单位时，求点所对应的数； (3)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以每秒个单位的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以每秒个单位的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，求点所对应的数． 考点20 比例分配（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两辆卡车运货的吨数比是．已知甲卡车比乙卡车多运货12t，则两辆卡车共运货（    ） A．12t B．36t C．48t D．84t 【变式训练】．（24-25七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，有甲、乙两条数轴，甲数轴上的三点所对应的数依次为，3，21，乙数轴上的三点所对应的数依次为．当点与点上下对齐时，点恰好分别与点上下对齐，则的值为（） A． B．1 C．2 D．5 考点21 日历问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示的是某月的月历，任意选取“H”形框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现这7个数的和不可能是（  ） A．154 B．98 C．85 D．70 【变式训练】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）如图是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？若将十字框中间的数设为x，请用含有的式子表示十字框中五个数的和． (3)在该月的月历上用十字框框出个数，能使这个数的和为吗？ 考点22 古代问题（一元一次方程的应用） 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·课后作业）“曹冲称象”是中国古代经典故事其中蕴含着物理学浮力知识．根据曹冲提出的解决方案，将大象放在船上，在水面所达到的地方做上标记，然后将大象牵下来，再往船上抬入28块等重的条形石，并在船上留5个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入2块同样的条形石，船上只留2个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为．求每块条形石的质量与大象的质量． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）古代民间流传着这样一道题：“李白街上走，提壶去打酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒？”意思是李白在街上走，提着酒壶边喝边打酒，每次遇到店就将壶中的酒加一倍，每次看见花就喝去一斗．这样，他先遇到店，再看见花，共反复三次，在最后一次看到花时，把酒喝完了．壶中原来有多少斗酒？请解答上述问题． 1．（2022·湖北十堰·中考真题）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何．”其大意是：现在一斗清酒价值：10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗．设清酒有斗，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数，物价各几何？”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱．问买鸡的人数，鸡的价钱各是多少？设买鸡的人数为x人，则x为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 3．（2025·四川宜宾·中考真题）已知、、、、是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48，则 ． 4．（2025·四川德阳·中考真题）公元前世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力阻力臂动力动力臂．已知阻力和阻力臂分别为和，当动力为时，动力臂是 ． 5．（2025·四川内江·中考真题）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（25-26七年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知数轴上点 A 表示的数为，点B与点A的距离为6，则点B表示的数是（  ） A．2 B． C．2或 D．无法确定 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）根据等式的性质进行变形，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26七年级上·全国·课后作业）若是关于的一元一次方程，则 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 5．（25-26七年级上·北京·期中）如图，数轴上点A表示的数为，点表示的数为8，点从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． (1)填空： ①A，B两点间的距离___________，到点和点距离相等的点表示的数为___________； ②用含的代数式表示：秒后，点表示的数为___________，点表示的数为___________． (2)当___________时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为___________． 培优拔高 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）将正方形图1作如下操作．第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到2025个正方形，则需要操作的次数是（   ） A．504 B．505 C．506 D．507 2．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知a，b为任意有理数，下列说法正确的有（   ） ①关于x的方程是一元一次方程； ②关于x的方程的解为； ③当互为相反数时，关于x的方程的解是． A．③ B．①② C．②③ D．①②③ 3．（25-26七年级上·四川成都·期中）定义：已知点为数轴上三点，我们规定：点到点的距离是点到点的距离的倍，则称是的“倍点”，记作：．例如：若点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则是的“倍点”，记作：．应用：如图有一条数轴，为数轴上三点，分别对应，，．的值是 ；若点是数轴上一点，且，则点表示的数 ． 4．（25-26七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点表示的数记为，点表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)的几何意义是_____________；数轴上表示和-2的两点之间的距离表示_____________． (2)已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．若，则_____________； (3)当时，求的值？ 5．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）对数轴上的点H进行如下操作：先把点H沿数轴向右平移k个单位长度，得到点，再把点表示的数乘以k，所得数对应的点为，则称点为点H的“k倍位移点” ．例如，当时，若点H表示的数为1，则它的“2倍位移点”对应点表示的数为6． (1)若点A表示的数为，则它的“4倍位移点”对应点表示的数为______； (2)若点B的“4倍位移点” 表示的数是10，则点B表示的数为_______； (3)若点C的“k倍位移点”为点，数轴上点一定在点C的右侧，这种说法一定成立吗？若一定成立请证明；若不一定成立请举出一个反例； (4)已知数轴上点E表示的数为5，点F表示的数为．若点P从点E沿数轴正方向以每秒2个单位长度移动，同时点Q从点F沿数轴正方向以每秒1个单位长度移动．若在任何一个时刻，点P的“k倍位移点” 与Q两点之间的距离均为定值，请直接写出这个定值． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $