精品解析：上海市徐汇中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷

徐汇中学2025学年高三年级第一学期 期中考试数学试卷 出卷人：吕健 审卷人：刘燃 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，或，则______． 2. 若复数满足，则_____． 3. 展开式中常数项为______.（用数字作答） 4. 已知为等差数列的前项和，若，，则______. 5. 双曲线的虚轴长为______． 6. 已知，，则_____． 7. 设向量，且，则______. 8. 徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______． 9. 已知正四面体，设沿，，方向的力分别为1N，2N，3N，则这三个力的合力的大小为______． 10. 已知函数，，若存在，使得，则的最大值为_____． 11. 已知函数，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为． 其中，所有正确结论的序号是_____． 12. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 14. 已知实数满足，则“成立”是“成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 15. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． （1）求角A的大小； （2）若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 19. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． （1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； （2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； （3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程． （3）若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 21. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐汇中学2025学年高三年级第一学期 期中考试数学试卷 出卷人：吕健 审卷人：刘燃 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知集合，或，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义直接求解即可. 【详解】由，或，则. 故答案为：. 2. 若复数满足，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求解即可. 【详解】， 两边同时乘以可得. 故答案为：. 3. 展开式中常数项为______.（用数字作答） 【答案】54 【解析】 【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果. 【详解】展开式的通项为， 令，得，所以展开始得常数项为. 故答案为：. 4. 已知为等差数列的前项和，若，，则______. 【答案】16 【解析】 【分析】由等差数列求和公式列出方程，求得首项、公差即可求解. 【详解】由，， 可得：，解得：， 所以， 故答案为：16 5. 双曲线的虚轴长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把双曲线方程化为标准式，然后根据双曲线方程直接求出虚轴长. 【详解】双曲线即，所以，所以， 所以双曲线的虚轴长为. 故答案为： 6. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合同角关系式及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】，所以， 又因为， 所以， 所以. 故答案为：. 7. 设向量，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设的夹角为， ，故，又，故，方向相同， 又，则，解得，满足题意. 故答案为：. 8. 徐汇中学家长会期间，在汇学博物馆，汇学长廊，创新实验室的三个地点需要志愿者服务，现有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有______． 【答案】 【解析】 【分析】根据安排的人中有没有甲进行分类讨论，由此求得正确答案. 【详解】若安排的人中没有甲，安排方法有种， 若安排的人中有甲，则先安排甲，然后再选两人来安排， 则安排的方法有种， 所以总的方法数有种. 故答案为： 9. 已知正四面体，设沿，，方向的力分别为1N，2N，3N，则这三个力的合力的大小为______． 【答案】N 【解析】 【分析】根据题意不妨设，，，结合数量积求合力的模长即可. 【详解】不妨设，，， 由题意可知：，且， 所以， 则三个力的合力， 可得， 即，所以这三个力的合力的大小为N. 故答案为：N 10. 已知函数，，若存在，使得，则的最大值为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】令得到时，进而将题设转化为即可求解. 【详解】令，若，则， 则若，， 因为， 所以， 则，即， 所以，即满足题意的的最大值为11. 故答案为：11 11. 已知函数，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为，且的取值范围为． 其中，所有正确结论的序号是_____． 【答案】①④ 【解析】 【分析】令可确定①正确；由函数无最小值可知当时，单调递减，得②错误；分别判断两段函数的单调性，根据严格单调递增的要求知③错误；讨论可知时存在有三个不等实根的情况，采用数形结合的方式可得的范围，分别求得，进而得到的范围，知④正确. 【详解】对于①，令，解得：；令，解得：（舍）； 若，则函数的零点是，①正确； 对于②，当时，，此时； 若无最小值，则需当时，单调递减，即，解得：， 又且，的取值范围为，②错误； 对于③，当时，在上单调递减，在，上分别单调递增； 若需在上单调递增，则，解得：（舍）， 在上并非严格单调递增，③错误； 对于④，当时，在时有无数解，不满足题意； 当或时，，则当时，方程无解；当时，有唯一解；不满足方程有三个不等实根； 当时，大致图象如下图所示， 若有三个不等实根，则，解得：； 设， 令，解得：，即； 令，解得：，， ； ，，， ，④正确. 故答案为：①④ 【点睛】思路点睛：本题考查分段函数零点、最值、单调性和方程根的分布的问题；求解方程根的分布的基本思路是能够将问题转化为曲线与平行于轴的直线交点个数问题，通过数形结合的方式，利用函数图象来进行分析和讨论，由此确定根的分布情况. 12. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数求出函数在区间上的取值集合，再借助集合的包含关系列式求解作答. 【详解】由，得， 令，， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，取最大值，最大值为0； 又，，如下图， 令，显然函数在上单调递减，函数的值域为， 由对任意的，总存在唯一的，使得成立，得， 因此，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶性和单调性的概念可判断选项. 【详解】由，则为偶函数， 再根据幂函数的定义与性质，可得在增函数，故A错误； 由,则为偶函数， 再根据三角函数与复合函数，可得在不单调，故B错误； 由,则为奇函数，故C错误； 由，则为偶函数， 再根据对数函数与复合函数，可得在单调递减，故D正确. 故选：D. 14. 已知实数满足，则“成立”是“成立”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】由， ，若 成立, 则 ，即成立，反之若， ，， 即成立， “成立”是“ 成立”充要条件，故选C. 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理. 15. 某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（ ） A. ①②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①②均为假命题 【答案】C 【解析】 【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假. 【详解】若该家庭中有两个小孩， 样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， (男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)， 则M与N不互斥，故命题①错误； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)， (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， 则，于是， 所以M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 16. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，则点集所表示的平面区域的面积是（ ） A. 4 B. 2 C. 6 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的描述及已知函数新定义有或，进而作出点集表示的对应区域，即可得答案. 【详解】由可得或， 即或或或， 即或或或， 上述不等式组表示的平面区域如图示： 由图可知平面区域由4个边长为1的正方形组成， 所以点集所表示的平面区域的面积是4.， 故选：A 【点睛】关键点点睛：明确点集表示的几何意义为平面区域，这是解答的关键. 三、解答题（本大题共有5题，14+14+14+18+18，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． （1）求角A的大小； （2）若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出A. （2）由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果. 【小问1详解】 由正弦定理得， 所以由得， 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，所以， 又，则，，所以， 由余弦定理得，解得， 所以的周长为. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 连接EC，设与AC相交于点O，如图， 因为，且，， 所以四边形为矩形， 所以O为的中点，又因为G为PB的中点， 所以OG为的中位线，即， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为平面GAC，平面GAC，， 所以平面平面GAC. 【小问2详解】 因为底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，，因为， 所以两两互相垂直， 以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，可得，，所以， 设直线与平面所成角为θ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论．为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一群” 2 “一条” 2 其他 假设用频率估计概率． （1）求的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； （2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次，求它的概率； （3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库B进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适?（结论不要求证明） 【答案】（1）16； （2）； （3）“一个”在前面更合适. 【解析】 【分析】（1）由频数总数为30即可直接求解a，由随机选取甲类题材中“一”出现的次数和古典概型公式即可计算； （2）由“一个”出现的概率和不搭配“一个”出现的概率结合互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式即可求解； （3）比较“一个”和“一格”出现的概率即可得解. 【小问1详解】 由题可得， 因为随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库A，其中“一”出现了30次， 所以估计甲类题材中“一”出现的概率为； 【小问2详解】 由题意可得在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 则在甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，不搭配“一个”出现的概率为， 所以在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数仅为1次的概率为. 【小问3详解】 甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一个”出现的概率为， 甲类题材“新闻稿”中随机抽取1个“一”，搭配“一格”出现的概率为， 所以“一个”出现的概率更高，则输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 20. 已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程． （3）若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 【答案】（1） （2） （3）为定值，且定值为12， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆上的点和，，的数量关系即可求出，，即得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，得韦达定理，即可根据三角形面积公式，代入化简求解斜率. （3）根据,的切线方程为，计算原点到切线的距离，由两点距离公式可得和，对化简计算即得． 【小问1详解】 设，， ，故， 点在椭圆上，则， ，故得，即 解得， 故椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，，，若直线的斜率不存在， 则，代入椭圆方程可得，故，此时,故直线有斜率， 直线的斜率为，则的方程为， 由消去得，，① 显然，设,，,，则， 于是，, 化简可得，即， 解得， 所以直线的方程为 【小问3详解】 由于椭圆上一点，的切线方程为． 依题意，设椭圆上的点,，则过点,的切线方程为， 即，原点到切线的距离为． 由两点间距离公式可得，， 同理， 则， 故为定值． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与定值问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或定值. 21. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）当时，若对于任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1） （2）时，的单调递减区间为和，单调递增区间为；时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；时，在上单调递增；时，的单调递增区间为和，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）分，和三种情况，求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以． 当时，令，即， 解得，，所以， 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 此时的单调递减区间为和，单调递增区间为， 当时，，易知时，，，， 此时的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，即， 解得，， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， x 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为， 若，即时，恒成立，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增， 若，即时，当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问3详解】 当，且时，由（2）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为对于任意，不等式恒成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为，所以， 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $