2026年普通高中数学学业水平合格考考前模拟卷02（全国通用）

2026年数学学业水平合格考考前模拟卷02（全国通用） （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．化简后等于（    ） A． B． C． D． 5．已知，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 7．某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 9．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 10．在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 11．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 12．如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 13．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 14．若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 15．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 16．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 17．为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 19．已知定义域为的偶函数满足，若对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20．已知幂函数的图象经过点，则 ． 21．已知角的终边上有一点，则 . 22．已知函数为奇函数，则的值为 . 23．已知实数，分别满足，，且，则的值为 . 三、解答题: 本题共 3 小题， 共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 24．（9分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率. 25．（9分）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值. 26．（9分）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年数学学业水平合格考考前模拟卷02（全国通用） （考试时间：90分钟；满分：100分） 一、选择题:本题共19小题，每小题3分，共57分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解不等式化简集合，根据并集的概念计算即可. 【详解】易知，， 即. 故选：D 2．在复平面内，复数对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】复数对应的点为即可求解. 【详解】因为，所以对应的点的坐标为， 故选：D 3．已知，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，可利用不等式的性质得到. 【详解】A选项，若，则，A错误； B选项，由不等式的性质可得，B正确； C选项，若，满足，但，C错误； D选项，若，满足，但，D错误. 故选：B 4．化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量的线性运算法则及运算律计算即可得解. 【详解】. 故选：A 5．已知，则是的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】直接利用充分和必要条件定义判断即可. 【详解】由，可得， 但若，不一定可得，也可能. 所以，但， 所以是的必要条件. 故选：B 6．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得原函数的最小正周期. 【详解】因为， 所以该函数的最小正周期. 故选：. 7．某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲，则该志愿者选择甲社区的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式进行求解. 【详解】因为某环保志愿者计划从甲、乙、丙、丁四个社区中随机选择一个社区进行“垃圾分类”宣讲， 共有四种选择方法：甲、乙、丙、丁，所以该志愿者选择甲社区的概率为. 故选：A 8．已知两条直线，与平面，则下列结论中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：若，，则或与相交或异面，故A错误； 对于B；因为，则存在直线，使得，又，所以，则，故B正确； 对于C：因为，，则或或与平面相交（不垂直）或，故C错误； 对于D：因为，，则或，故D错误. 故选：B 9．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则， 则. 故选：A 10．在正四棱锥中，是中点，则异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线线平行可得即为异面直线与所成的角或其补角，即可利用三角形的边角关系求解. 【详解】连接相交于，连接,则是的中点， 故，故即为异面直线与所成的角或其补角， 由于，故， 由于, 故, 故,结合, 故，即异面直线与所成的角为， 故选：C 11．如图，已知长方体，下列说法正确的是（   ）    A．平面 B．平面 C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中的平行关系和垂直关系，依次判断即可. 【详解】在长方体中，∥，平面，平面，平面，故A正确，B不正确； 平面，平面，，故C不正确； ∥，∥，∥，故D不正确. 故选：A. 12．如图，是函数的图象，是由经轴对称变换得到的函数图象，则对应的函数解析式分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得. 【详解】由图可知，与关于直线对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为； 与关于轴对称，所以的解析是为. 故选：B 13．复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为，本利和为（单位：元），存期数为，则关于的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果. 【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为， 存期数为2时可得本利和为， 所以存期数为时，本利和为. 故选：D 14．若长方体的长、宽、高分别为，，，且它的各个顶点都在一个球面上，则该球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由长方体外接球直径为体对角线，结合球体体积公式求体积. 【详解】由题设，长方体外接球直径为体对角线为， 所以该球体积为. 故选：D 15．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数及正弦函数的性质判断即可. 【详解】因为，， 又因为，所以，即， 所以. 故选：B 16．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生， 因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是； 对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是； 对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是； 对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是. 故选：A 17．为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果. 【详解】对于A，得满足题意； 对于B，得不满足题意； C，得不满足题意； D，得不满足题意. 故选：A. 18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 【答案】D 【详解】试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D. 【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，. 19．已知定义域为的偶函数满足，若对任意的，且，恒成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的不等式，确定函数的单调性，再借助单调性分解不等式即得. 【详解】由对任意的，且，恒成立， 得函数在上递减，而是上的偶函数，则在上递增，且 则由，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：B 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分. 20．已知幂函数的图象经过点，则 ． 【答案】3 【分析】将点坐标代入计算得到，计算得到答案. 【详解】的图象过点，，则，，. 故答案为：. 21．已知角的终边上有一点，则 . 【答案】/ 【分析】根据三角函数的定义可得，即可根据正切的和角公式求解. 【详解】由题意可得， 故， 故答案为： 22．已知函数为奇函数，则的值为 . 【答案】10 【分析】根据函数为奇函数，利用求得或，代入检验可得，则得，计算即可. 【详解】由函数为奇函数，可得，解得或， 当时，，因，符合题意； 当时，，因即，不合题意. 故，. 故答案为：10. 23．已知实数，分别满足，，且，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题干所给方程式子特征得，为方程的两根，由韦达定理求解即可. 【详解】实数，分别满足，， 故，为方程的两根，由韦达定理可知，即. 故答案为： 三、解答题: 本题共 3 小题， 共 27 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 24．（9分）某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中 随机抽取名按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示. （1）若从第，，组中用分层抽样的方法抽取名志愿者参广场的宣传活动，应从第，，组各抽取多少名志愿者？ （2）在（1）的条件下，该市决定在这名志愿者中随机抽取名志愿者介绍宣传经验，求第组志愿者有被抽中的概率. 【答案】（1）分别抽取人，人，人；（2） 【分析】（1）频率分布直方图各组频率等于各组矩形的面积，进而算出各组频数，再根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）列出从名志愿者中随机抽取名志愿者所有的情况，再根据古典概型概率公式求解. 【详解】（1）第组的人数为， 第组的人数为， 第组的人数为， 因为第，，组共有名志愿者，所以利用分层抽样的方法在名志愿者中抽取名志愿者，每组抽 取的人数分别为：第组: ；第组: ；第组: . 所以应从第，，组中分别抽取人，人，人. （2）设“第组的志愿者有被抽中”为事件. 记第组的名志愿者为，，，第组的名志愿者为，，第组的名志愿者为，则 从名志愿者中抽取名志愿者有: ，，，，，，，，，， ，，，，，共有种. 其中第组的志愿者被抽中的有种， 答：第组的志愿者有被抽中的概率为 【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样和古典概型,注意列举所有情况时不要遗漏. 25．（9分）已知. (1)求的最小正周期及单调增区间； (2)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的外接圆半径为2，求△ABC面积的最大值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由正弦函数的最小正周期公式可求出的最小正周期，令，，解不等式即可得出答案. （2）由可求出，由正弦定理求出，再由余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式即可得出答案. 【详解】（1）的最小正周期为， 由，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为（）. （2）由，得， ∵，∴， ∴＝，解得. 又△ABC的外接圆半径为2，则， 由余弦定理，得，即， 即，， 当且仅当，等号成立， 所以△ABC面积， 故△ABC面积的最大值为. 26．（9分）已知函数，，且为偶函数． (1)若，求的值； (2)求实数的值； (3)若对任意的，存在，使得恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将指数式化为对数式即可； （2）利用偶函数的定义求解即可； （3）把问题转化成最值问题，根据的正，零，负三种情况进行分类讨论，利用函数的单调性求出各自的最值，建立不等式求解即可． 【详解】（1）， ， 解得：； （2）为偶函数， ， 恒成立， 所以； （3）由（2）知：， 对任意的，存在，使得恒成立， 将问题转化为：， 当时，即或， 开口向上，对称轴为， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 当时，即或， 为常函数， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， 所以； 当时，即， 开口向下，对称轴为， 在上单调递减， ， 在上单调递增， ， ， 即， 解得：， ； 综上所述：实数的取值范围为：． 【点睛】本题考查了指数式化为对数式，偶函数、利用单调性研究函数的最值，解题的关键是将不等式恒成立问题转化为最值问题，同时需要注意分类讨论思想的使用． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $