专题09 概率与统计（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题09 概率与统计目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：随机抽样 考点二：频率分布直方图 考点三：总体百分位数（众数）、中位数、平均数、极差、方差 考点四：事件及其判断 考点五：求概率 进阶分级训练 1.掌握随机抽样的基本方法，能根据实际问题选择合适的抽样方式； 2.理解频率分布直方图，会绘制频率分布直方图并从图中提取信息及进行相关计算； 3.掌握众数、中位数、极差、方差的概念，能确定一组数据的众数、中位数、极差、方差； 4.理解随机事件的概念，能判断事件的类型与关系； 5.掌握概率的基本性质，会计算古典概型及独立事件等事件的概率。 知识点1 随机抽样 1．总体、个体、样本与样本容量 考察问题涉及的 是总体，总体中每个对象是个体，抽取的 组成总体的一个样本，一个样本中包含的 是样本容量． 2．简单随机抽样 和 是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 ，每一个子总体称为 ． 知识点2 频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 （1）求极差：极差为一组数据中 与 的差． （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． （3）将数据分组． （4）列频率分布表：一般分四列：分组、 、频数、 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. （5）画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距× ＝ ．各小长方形的面积和等于1. 知识点3 总体百分位数的估计 中位数与百分位数：按照 排列后的数据：的中位数是 ；的中位数是 ；一组数的分位数指的是，将这组数按照 的顺序排列后，处于位置的数. 知识点4 总体集中趋势的估计 1．平均数 ①定义：如果给定的一组数是，则这组数的平均数为 . 这一公式在数学中常简记为. ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果的平均数为，且为常数，则的平均数为 . 2．总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称 = 为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个个，不妨记为，，…，，其中；出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式了 ． （3）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称 = ． 知识点5 总体离散程度的估计 1．极差､方差与标准差 ①极差：一组数的极差指的是这组数的 减去 所得的差，描述了这组数的离散程度 ②方差 定义：如果的平均数为，则方差可用求和符号表示为 性质：如果为常数，则，的方差为 ③标准差 定义：方差的 称为标准差.一般用表示，即样本数据的标准差为. 性质：如果为常数，则，的标准差为. 2．样本方差与样本标准差 若数据、、…、的平均数为，则样本方差 ；（两种表示） 样本标准差 ．（两种表示） 3．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为 ． 知识点6 随机事件 1．随机试验 （1）在一定条件下 （出现）的现象称为确定性现象. （2）在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到 ，每一次试验或观察之前 会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象． （3）对 进行试验、观察或观测称为随机试验，随机试验一般用大写字母E表示． 2．三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 知识点7 对立事件与互斥事件及概率的基本性质 1．事件的关系和运算 含义 符号表示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A（或A⊆B） 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B 并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 （或A＋B） 交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生 （或AB） 互斥 （互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω，且 A∩B＝∅ 2．概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有 . 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 . 推广：如果事件两两互斥，那么 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝ ，P（A）＝ . 性质5：如果A⊆B，那么 . 特别地，对任意事件A，因为，所以.   性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 . 显然，性质3是性质6的特殊情况. 知识点8 古典概型的概率计算 （1）定义：设试验的样本空间有n个样本点，且每个样本点发生的 ． 当中的事件A包含了m个样本点时，称 为事件A发生的概率，简称A的概率．把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 （2）特点： ①样本空间中只有 样本点； ②每个样本点出现的 ． 知识点9 独立事件的判断及独立事件的乘法公式 1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作 ． 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的 ，即 ． 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然 . 2．独立事件的判定： 一般地，当 时，就称事件A 与B相互独立（简称独立)．事件A 与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生 事件B发生的概率，事件B是否发生也 事件A 发生的概率． 3．相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立： ． 考点精讲讲练 考点一：随机抽样 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）某公司有员工1000人，其中不到40岁的有250人，40~49岁的有560人，50岁及以上的有190人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取的人数为（    ） A．33，34，33 B．30，50，20 C．30，40，30 D．25，56，19 例题2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）某中学七年级有人，八年级有人，九年级有人，若每人被抽到的可能性都为，用随机数法在该学校抽取容量为的样本，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二上·云南·学业考试）某住宅小区有、两种不同的户型，共有居民1万户，从中随机抽取200户，调查空调安装情况.调查结果如下表所示： 空调 户型住户（单位：户） 户型住户（单位：户） 已安装 50 30 未安装 60 60 则该小区已安装空调的住户估计有（   ） A．2500户 B．3000户 C．3500户 D．4000户 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2025高二上·辽宁·学业考试）进到太空能力有多大，航天舞台就有多大．1970年我国发射的长征一号火箭的运载能力仅有吨，“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭运载能力达到25吨级，我国进入太空能力达到世界一级水平．目前正在研究计划2027年发射长征十号火箭，预计运载能力为70吨．假设某发射中心储备的、、三种新型运载火箭零部件的数量比为，用分层抽样的方法抽取48个，则抽取的数量为 ． 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． (1)该班一共有多少人？ (2)从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 考点二：频率分布直方图 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. (1)求直方图中的值； (2)求的值. 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数､中位数； (2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数. 1．（2025高二下·浙江·学业考试）某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为 ． 2．（2025高二下·浙江·学业考试）某市组织120名学生参加数学竞赛，所得分数情况的频率分布直方图如下，根据此图： (1)求的值； (2)若分数不少于90分的都被认定为一等奖，请估计获一等奖的学生人数； (3)若分数从高到低排序后，分数在前40%的均可获奖，请估计获奖的最低分数线. 3．（2025高三上·四川·学业考试）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了600位年轻人的日均阅读时长（单位：分钟），将这些数据按照分成6组，并制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)从被调查的日均阅读时长在，的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出5人．若从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率． 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图是位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题． (1)月均用水量在范围内的居民有多少人？ (2)请估计居民月均用水量的众数； (3)请估计居民月均用水量大于等于的概率． 5．（2025高二下·陕西西安·学业考试）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求a、b的值； (2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 考点三：总体百分位数（众数）、中位数、平均数、极差、方差 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 例题2．（2025高三上·四川·学业考试）一组数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的第80百分位数是（   ） A．35.0 B．37.5 C．40.0 D．41.5 例题3．（2025高二上·北京·学业考试）某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水箱产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 例题4．（2025高二下·北京·学业考试）甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是 ；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则 .（填“>”，“=或“<”） 1．（2025高二下·湖南·学业考试）若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（  ） A．21 B．24 C．25 D．27 2．（2025高二下·浙江·学业考试）已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）数据的方差是5，则数据的方差是（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 5．（2025高二下·浙江温州·学业考试）（多选）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续5天的日平均温度均超过10℃．现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（   ） A．平均数为12，极差为3 B．中位数为13，众数为11 C．众数为15，极差为6 D．平均数为16，方差为6 6．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 7．（2025高二下·北京·学业考试）空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图：    根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B．10月8日至27日的AQI的极差小于150 C．10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D．10月8日至27日的AQI逐渐增大 8．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 考点四：事件及其判断 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）气象局预报，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列说法不正确的是（    ） A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 例题2．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球” 例题3．（2025高二下·浙江温州·学业考试）下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 1．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 2．有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 3．（2025高二·安徽·学业考试）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 4．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 5．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（    ） A．三次都没有中靶 B．三次都中靶 C．至多一次中靶 D．只有一次中靶 考点五：求概率 例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（    ）. A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（   ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 例题4．（2025高二下·浙江·学业考试）（多选）已知事件、、满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不独立 例题5．（2025高二下·陕西·学业考试）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 1．（2025高三上·四川·学业考试）一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·浙江·学业考试）某箱子中有4个大小、质地完全相同的小球，其中2个白球，2个红球，从中随机摸取2个小球，则摸到2个红球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·江西·期中）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若事件A与B互斥，且，则 ． 5．（2025高二上·北京·学业考试）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为 ；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为 . 6．（2025高二下·浙江·学业考试）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： (1)求甲和乙同时成功破译密码的概率； (2)求密码被成功破译的概率． 7．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）某校高一年级1200名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：    (1)估计该校高一年级学生中体育成绩大于或等于70分的学生人数； (2)现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在的概率. 训练 一、单选题 1．2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（    ） A．81.5 B．80 C．84 D．83 4．某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 5．为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本的众数估计值为70 C．该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D．若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 6．已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 7．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 8．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 （    ） A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 10．有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组数据的（    ） A．极差相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．平均数相等 11．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（   ） A．事件A与C是互斥事件 B．事件B与D是对立事件 C．事件C与D相互独立 D． 三、解答题 12．从乒乓球协会中抽取6名运动员，且编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)请写出此次抽取的样本空间； (2)设事件为“编号为和的三名运动员中至多有1人被抽到”，求事件发生的概率. 13．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 14．某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. (1)求m，n的值； (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? (3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 15．一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 3．设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16 4．已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 二、多选题 5．一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 6．已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 7．某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 三、解答题 8．新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 9．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 10．为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． (1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； (2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 概率与统计目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：随机抽样 考点二：频率分布直方图 考点三：总体百分位数（众数）、中位数、平均数、极差、方差 考点四：事件及其判断 考点五：求概率 进阶分级训练 1.掌握随机抽样的基本方法，能根据实际问题选择合适的抽样方式； 2.理解频率分布直方图，会绘制频率分布直方图并从图中提取信息及进行相关计算； 3.掌握众数、中位数、极差、方差的概念，能确定一组数据的众数、中位数、极差、方差； 4.理解随机事件的概念，能判断事件的类型与关系； 5.掌握概率的基本性质，会计算古典概型及独立事件等事件的概率。 知识点1 随机抽样 1．总体、个体、样本与样本容量 考察问题涉及的 对象全体 是总体，总体中每个对象是个体，抽取的 部分对象 组成总体的一个样本，一个样本中包含的 个体数目 是样本容量． 2．简单随机抽样 抽签法 和 随机数法 是比较常用的两种方法． 3．分层随机抽样 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为 分层随机抽样 ，每一个子总体称为 层 ． 知识点2 频率分布直方图 画频率分布直方图的步骤 （1）求极差：极差为一组数据中 最大值 与 最小值 的差． （2）决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成 5～12 组，为了方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． （3）将数据分组． （4）列频率分布表：一般分四列：分组、 频数累计 、频数、 频率 ．其中频数合计应是样本容量，频率合计是1. （5）画频率分布直方图：横轴表示分组，纵轴表示 .小长方形的面积＝组距× ＝ 频率 ．各小长方形的面积和等于1. 知识点3 总体百分位数的估计 中位数与百分位数：按照 从小到大 排列后的数据：的中位数是 ；的中位数是 ；一组数的分位数指的是，将这组数按照 从小到大 的顺序排列后，处于位置的数. 知识点4 总体集中趋势的估计 1．平均数 ①定义：如果给定的一组数是，则这组数的平均数为 . 这一公式在数学中常简记为. ②性质：一般地，利用平均数的计算公式可知，如果的平均数为，且为常数，则的平均数为 . 2．总体均值和样本均值 （1）总体均值：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称 = 为总体均值，又称总体平均数． （2）总体均值加权平均数的形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k个个，不妨记为，，…，，其中；出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式了 ． （3）如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为，则称 = ． 知识点5 总体离散程度的估计 1．极差､方差与标准差 ①极差：一组数的极差指的是这组数的 最大值 减去 最小值 所得的差，描述了这组数的离散程度 ②方差 定义：如果的平均数为，则方差可用求和符号表示为 性质：如果为常数，则，的方差为 ③标准差 定义：方差的 算术平方根 称为标准差.一般用表示，即样本数据的标准差为. 性质：如果为常数，则，的标准差为. 2．样本方差与样本标准差 若数据、、…、的平均数为，则样本方差 ；（两种表示） 样本标准差 ．（两种表示） 3．分层随机抽样的方差 设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为，两层的平均数分别为，方差分别为，，则这个样本的方差为 ． 知识点6 随机事件 1．随机试验 （1）在一定条件下 必然发生 （出现）的现象称为确定性现象. （2）在条件相同的情况下，不同次的试验或观察会得到 不同的结果 ，每一次试验或观察之前 不能 会出现哪种结果，我们把这种现象称为随机现象． （3）对 确定 进行试验、观察或观测称为随机试验，随机试验一般用大写字母E表示． 2．三种事件的定义 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含 一个 样本点的事件称为基本事件．随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生 必然事件 Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件 不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件 知识点7 对立事件与互斥事件及概率的基本性质 1．事件的关系和运算 含义 符号表示 包含 若事件A发生，则事件B一定发生 B⊇A（或A⊆B） 相等 事件B包含事件A，事件A也包含事件B A＝B 并事件 （和事件） 事件A与事件B至少有一个发生 （或A＋B） 交事件 （积事件） 事件A与事件B同时发生 （或AB） 互斥 （互不相容） 事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅ 互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生 A∪B＝Ω，且 A∩B＝∅ 2．概率的基本性质 性质1：对任意的事件A，都有 . 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，. 性质3：如果事件A与事件B互斥，那么 . 推广：如果事件两两互斥，那么 性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝ ，P（A）＝ . 性质5：如果A⊆B，那么 . 特别地，对任意事件A，因为，所以.   性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 . 显然，性质3是性质6的特殊情况. 知识点8 古典概型的概率计算 （1）定义：设试验的样本空间有n个样本点，且每个样本点发生的 可能性相同 ． 当中的事件A包含了m个样本点时，称 为事件A发生的概率，简称A的概率．把上述定义描述的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 （2）特点： ①样本空间中只有 有限个 样本点； ②每个样本点出现的 可能性相等 ． 知识点9 独立事件的判断及独立事件的乘法公式 1．事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫作 相互独立事件 ． 两个相互独立事件同时发生的概率，等于这两个事件发生的概率的 积 ，即 ． 如果两个事件相互独立，那么把其中一个换成它的对立事件，这样的两个事件仍然 相互独立 . 2．独立事件的判定： 一般地，当 时，就称事件A 与B相互独立（简称独立)．事件A 与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生 不会影响 事件B发生的概率，事件B是否发生也 不会影响 事件A 发生的概率． 3．相互独立事件的概率 一般地，当个事件相互独立时，有以下公式成立： ． 考点精讲讲练 考点一：随机抽样 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）某公司有员工1000人，其中不到40岁的有250人，40~49岁的有560人，50岁及以上的有190人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取的人数为（    ） A．33，34，33 B．30，50，20 C．30，40，30 D．25，56，19 【答案】D 【分析】根据分层抽样的概念和计算方法，即可求解. 【详解】由题意，可得分层抽样的抽样比为， 则从在这三个年龄段分别抽取的人数分别为. 故选：D. 例题2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）某中学七年级有人，八年级有人，九年级有人，若每人被抽到的可能性都为，用随机数法在该学校抽取容量为的样本，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据简单随机抽样的概率公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】由简单随机抽样的概率公式可得，解得. 故选：C. 例题3．（2025高二上·云南·学业考试）某住宅小区有、两种不同的户型，共有居民1万户，从中随机抽取200户，调查空调安装情况.调查结果如下表所示： 空调 户型住户（单位：户） 户型住户（单位：户） 已安装 50 30 未安装 60 60 则该小区已安装空调的住户估计有（   ） A．2500户 B．3000户 C．3500户 D．4000户 【答案】D 【分析】由样本数据确定安装比例，即可求解. 【详解】由表格可知安装空调共计户，所以安装空调的住户比例为， 所以该小区已安装空调的住户估计有， 故选：D 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知某医院一天参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人，采用分层随机抽样的方法，要从这100人中抽出一个容量为10的样本，如果在各层中按比例分配样本，则老年人被抽到的人数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据分层抽样的概念求解即可. 【详解】因为参加体检的100人中，老年人有40人，中年人有60人， 所以按分层抽样，老年人被抽到的人数是人， 故选：A 2．（2025高二上·辽宁·学业考试）进到太空能力有多大，航天舞台就有多大．1970年我国发射的长征一号火箭的运载能力仅有吨，“十三五”期间发射的长征五号等新一代运载火箭运载能力达到25吨级，我国进入太空能力达到世界一级水平．目前正在研究计划2027年发射长征十号火箭，预计运载能力为70吨．假设某发射中心储备的、、三种新型运载火箭零部件的数量比为，用分层抽样的方法抽取48个，则抽取的数量为 ． 【答案】9 【分析】利用分层抽样的意义计算即可. 【详解】应抽取的数量为. 故答案为：. 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知某班一共有n个学生，男生比女生多9人，采用分层抽样的方法从中抽取5名学生志愿者参加植树节活动，若抽取的样本中男生有3人，女生有2人． (1)该班一共有多少人？ (2)从抽取的5名学生志愿者中再随机抽取2名同学承担浇灌任务．设M为事件“抽取的2名同学均为男生”，求事件M发生的概率． 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）首先根据分层比例关系设男生人数和女生人数，再根据条件列等式，即可求解； （2）首先将3名男生和2名女生编号，利用列举法，以及古典概型概率公式，即可求解. 【详解】（1）因为抽取5名同学中男生和女生的比例为， 根据分层抽样的方法可知：该班中男生人数为，女生人数为                     因为男生比女生多9人，所以人，      解得人． （2）由（1）知，设抽取的3名男生分别记为A，B，C， 抽取的两名女生分别记为a，b从抽取的5名同学中抽取2名同学的所有可能结果为： 共10个．        M为事件“抽取的2名同学均为男生”，则事件M包含的基本事件有： ，共3个基本事件，                 事件M发生的概率． 考点二：频率分布直方图 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间内的学生有（  ）      A．80名 B．100名 C．120名 D．140名 【答案】B 【分析】先根据频率分布直方图的性质，求得的值，再根据样本中成绩在区间内的频率参赛的人数即可. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 所以成绩在区间内的学生有名. 故选：B. 例题2．（2025高二上·云南·学业考试）某数学兴趣小组通过随机抽样获得100辆汽车经过某一雷达测速区的时速（单位：），并绘制成如图所示的频率分布直方图，这100辆汽车时速的范围是，其中时速不低于的汽车有辆，数据分组为，，，，. (1)求直方图中的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出时速在，，，范围内的汽车的频率，依据频率之和为1，可得时速在范围内的汽车的频率，再除以组距即为的值； （2）求出时速不低于的汽车频率，乘以汽车总数即为的值. 【详解】（1）时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 时速在范围内的汽车的频率为：， 可得时速在范围内的汽车的频率为：， 故. （2）由（1）知，时速不低于的汽车频率为， 故. 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）某校为了解学生每日行走的步数，在全校3000名学生中随机抽取200名，给他们配发了计步手环，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示. (1)求的值，并求出这200名学生日行步数的样本众数､中位数； (2)学校为了鼓励学生加强运动，决定对步数大于或等于13000步的学生加1分，计入期末三好学生评选的体育考核分，估计全校每天获得加分的人数. 【答案】(1)，9千步，千步 (2)360人 【分析】（1）根据频率分布直方图各组频率和为求出，再求样本众数、中位数； （2）由表计算出大于或等于13000步的学生频率，将频率看作概率，可估算估计全校每天获得加分的人数. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，各组频率依次为 ， 所以， 解得. 因为组频率最高，所以样本众数为9千步. 日行步数小于8千步的频率为，日行步数小于10千步的频率为 ，所以中位数在之间，记为， 则，解得，所以中位数为千步； （2）由表可知，大于或等于13000步的学生频率为， 将频率看作概率，则全校每天获得加分的人数约为（人）， 所以估计全校每天获得加分的人数为360. 1．（2025高二下·浙江·学业考试）某校抽取了100名学生的体育考试的分数，某同学用频率分布直方图表示出来（如图所示），则可以得出分数在区间的人数为 ． 【答案】25 【分析】由频率分布直方图可得x，据此可得答案. 【详解】由图，则. 从而分数在区间的人数为. 故答案为： 2．（2025高二下·浙江·学业考试）某市组织120名学生参加数学竞赛，所得分数情况的频率分布直方图如下，根据此图： (1)求的值； (2)若分数不少于90分的都被认定为一等奖，请估计获一等奖的学生人数； (3)若分数从高到低排序后，分数在前40%的均可获奖，请估计获奖的最低分数线. 【答案】(1)0.030 (2)6人 (3)77分 【分析】（1）应用频率分布直方图频率和为1列式计算求参； （2）得出不少于90分的频率结合学生总数即可求解； （3）应用百分位数定义列式计算. 【详解】（1）由题意得：， 解得：； （2）因为的频率为，所以，故获一等奖人数为6人； （3）因为的频率为，的频率为， 所以设最低分数线为， 所以，故获奖分数线约为77分； 3．（2025高三上·四川·学业考试）某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过抽样，获得了600位年轻人的日均阅读时长（单位：分钟），将这些数据按照分成6组，并制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)从被调查的日均阅读时长在，的两组年轻人中，采用比例分配的分层随机抽样方法选出5人．若从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，即可求解； （2）根据分层抽样的概念及古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为日均阅读时长在，的两组的频率之比为， 所以在，的两组分别抽2人，3人， 所以再从这5人中任意选取2人，则这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率为， 所以这2人中至少有1人日均阅读时长不低于90分钟的概率为. 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图是位居民月均用水量的频率分布直方图，并据此回答下列问题． (1)月均用水量在范围内的居民有多少人？ (2)请估计居民月均用水量的众数； (3)请估计居民月均用水量大于等于的概率． 【答案】(1)人 (2) (3) 【分析】（1）将月均用水量在的频率乘以即可得出结果； （2）利用最高矩形底边的中点值为众数可得结果； （3）根据频率分布直方图可计算出月均用水量大于等于的概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，月均用水量在范围内的居民有（人）. （2）由频率分布直方图可知，居民月均用水量的众数为. （3）由频率分布直方图可知，居民月均用水量大于等于的概率为. 5．（2025高二下·陕西西安·学业考试）某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． (1)求a、b的值； (2)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解. （2）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则，而， 所以，. （2）月销售额在这一组的人数为， 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 事件“至少有一名女职工”含有的基本事件为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 考点三：总体百分位数（众数）、中位数、平均数、极差、方差 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：）分别是.则这组数据的众数和中位数分别是（    ） A．24，25 B．23，23 C．23，24 D．24，24 【答案】C 【分析】把给定的数据组由小到大排列，再求出众数及中位数. 【详解】原数据组由小到大排列为：， 所以这组数据的众数和中位数分别是23，24. 故选：C 例题2．（2025高三上·四川·学业考试）一组数据10，12，14，16，20，24，30，35，40，43的第80百分位数是（   ） A．35.0 B．37.5 C．40.0 D．41.5 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】题干数据已经是从小到大排列， 共有10个数据，， 所以第80百分位数是第8和第9个数据的平均数， 即， 故选：B. 例题3．（2025高二上·北京·学业考试）某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水箱产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（   ） A．甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B．甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C．甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D．甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 【答案】C 【分析】根据产量、中位数、方差、极差概念逐项分析即可得解. 【详解】对A，只有第二和第三年甲产量比乙产量小，故A错误； 对B，甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为890，故B错误； 对C，甲水稻年产量的均值为， 甲水稻产量的方差为， 乙水稻年产量的均值为， 乙水稻产量的方差为， 所以甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小，故C正确； 对D，甲水稻产量的极差为70，乙水稻产量的极差为，故D错误. 故选：C 例题4．（2025高二下·北京·学业考试）甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶5次，每次命中的环数如下： 甲 8 6 8 6 7 乙 5 8 9 3 10 则甲运动员命中环数的平均数是 ；记甲、乙两名运动员命中环数的方差分别是和，则 .（填“>”，“=或“<”） 【答案】 7 ＜ 【分析】利用给定数据求出平均数；再利用方差公式求出方差并比较大小. 【详解】甲运动员命中环数的平均数， 乙运动员命中环数的平均数， ， ，因此. 故答案为：7；< 1．（2025高二下·湖南·学业考试）若一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，16，21，24，25，27，33，36，38．则该组数据的第41百分位数为（  ） A．21 B．24 C．25 D．27 【答案】B 【分析】根据百分位数的概念求值即可. 【详解】因为， 所以该组数据的第41百分位数为按从小到大排列的第5个数，即24. 故选：B 2．（2025高二下·浙江·学业考试）已知一组样本数据为“2，2，3，5，6，7，8”，该样本数据的中位数是（    ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由中位数定义求解. 【详解】样本数据共7个，由中位数定义可知，从小到大，选择第4个数为作为中位数，即5. 故选：B 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知数据的平均数为，数据的平均数为，则数据的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均数的定义计算即可. 【详解】由题意数据的平均数为. 故选：A. 4．（2024高二上·山东枣庄·学业考试）数据的方差是5，则数据的方差是（   ） A．9 B．10 C．19 D．20 【答案】D 【分析】利用方差的性质求解即可． 【详解】因为数据的方差是5， 所以数据的方差是. 故选：D. 5．（2025高二下·浙江温州·学业考试）（多选）根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续5天的日平均温度均超过10℃．现将连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定符合入春指标的有（   ） A．平均数为12，极差为3 B．中位数为13，众数为11 C．众数为15，极差为6 D．平均数为16，方差为6 【答案】BD 【分析】令5天数据从小到大为，结合各项的特征数据验证判断是否满足入春指标，即可得. 【详解】令5天数据从小到大为， A：由，则，且， 若，则，存在满足要求，但不符合入春指标，错； B：由题设，且，故5个数据均超过10，符合入春指标，对； C：由题设，若，且，则，不符合入春指标，错； D：由题设，，则， ，则， 若，则，矛盾，符合入春指标，对. 故选：BD 6．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在某次演讲比赛中，由两个评委小组[分别为专业人士（记为小组A）和观众代表（记为小组B）]给参赛选手打分，根据两个评委小组给同一名选手打分的分值绘制成下表，则下列结论错误的是（    ） 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 43 47 46 48 50 47 54 50 47 B 55 36 70 66 75 68 68 62 58 A．小组A打分的分值的平均数为48 B．小组B打分的分值的中位数为66 C．小组A打分的分值的极差大于小组B打分的分值的极差 D．小组A打分的分值的极差小于小组B打分的分值的极差 【答案】C 【分析】根据平均数公式判断A，将小组打分从小到大排列，即可求出中位数，从而判断B，求出极差判断C，根据数据的分布情况判断D. 【详解】由图可知，小组打分的平均数为，故A正确； 将小组打分从小到大排列为、、、、、、、、，所以中位数为，故B正确； 小组打分的分值的极差为，小组打分的分值的极差为，故C错误； 小组打分的分值相对更集中，所以小组打分的分值的方差小于小组打分的分值的方差，故D正确； 故选：C 7．（2025高二下·北京·学业考试）空气质量指数（简称AQI）反映了空气质量的状况，空气质量等级划分如下： AQI AQI AQI 空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 下图是某校科学兴趣小组根据10月8日至27日测得的AQI绘制的折线图：    根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10 B．10月8日至27日的AQI的极差小于150 C．10月8日至27日的AQI的中位数是17日的AQI D．10月8日至27日的AQI逐渐增大 【答案】A 【分析】根据图表信息对每个选项进行判断即可. 【详解】选项A，根据图表信息，10月8日至27日的空气质量等级为优的天数为10，所以A正确. 选项B，根据图表信息，10月8日至27日的AQI的最大值大于200，最小值在20左右，所以极差大于150，所以B错误； 选项C，根据图表信息，10月8日至27日的AQI数值共有20个，其中位数应是AQI数值按大小顺序排列后中间两个数的平均值，所以C错误； 选项D，根据图表信息，10月8日至27日的AQI是波动的，无逐渐增大的趋势，所以D错误. 故选：A. 8．（2025高三上·广东·学业考试）为了解某900户居民的小区月度用水情况，现随机抽取其中10户进行调查，得到月度的用水情况如下（单位：吨）：5.6、10.0、8.6、2.2、6.4、7.4、7.8、5.4、14.0、13.6 (1)求这10户居民月度用水量的平均值； (2)求这10户居民月度用水量落在区间的概率，并据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数． 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）计算平均值即可求解； （2）先计算出这10户居民月度用水量落在区间的概率，最后用样本估计总体去计算该小区居民月度用水量落在区间的户数即可. 【详解】（1）将每个数据乘以10减去81得： 所以平均值为：， 所以，所以这10户居民月度用水量的平均值为：8.1吨 （2）因为，所以落在区间的概率为， 据此估算该小区居民月度用水量落在区间的户数为. 考点四：事件及其判断 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）气象局预报，今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%，下列说法不正确的是（    ） A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨 B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨 C．北京和上海都可能没降雨 D．北京降雨的可能性比上海大 【答案】A 【分析】由概率的定义，即可得到答案. 【详解】由概率的定义可知，“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”是指下雨的可能性，是随机事件，故选项A错误. 故选：A. 例题2．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．“至少有1个红球”与“都是黑球” B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球” C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球” D．“都是红球”与“都是黑球” 【答案】D 【分析】根据互斥事件与对立事件的概念分析可得. 【详解】从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，可能的结果为：1红1黑､2红､2黑， 对于A：“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，与“都是黑球”是对立事件，不符合； 对于B：“恰好有1个红球”和恰好有1个黑球”是同一个事件，不符合题意； 对于C：“至少有1个黑球”包括1红1黑､2黑，“至少有1个红球”包括1红1黑､2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意； 对于D：“都是红球”与“都是黑球”是互斥事件而不是对立事件，符合题意； 故选：D. 例题3．（2025高二下·浙江温州·学业考试）下列命题正确的是（   ） A．用事件发生的频率估计概率，重复试验次数越大，估计的就越精确． B．若单调函数和值域均为，那么“函数为常函数”是不可能事件。 C．事件与事件同时发生的概率一定比与中恰有一个发生的概率小 D．若事件与事件相互独立，则事件与事件相互独立 【答案】D 【分析】利用概率的定义判断A；举例说明判断BC；利用事件的独立性性质判断D． 【详解】对于A，在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数和总的试验次数之比， 称为事件在这次试验中出现的频率.当试验次数很大时，频率将稳定在一个常数附近， 越大，频率偏离这个常数较大的可能性越小，这个常数称为这个事件的概率， 并不是说越大，估计的精度越精确，A错误； 对于B，函数，都是R上的单调函数，值域都是R， 而函数为常函数，B错误； 对于C，样本空间，事件， 则同时发生的概率，与中恰有一个发生的概率为，C错误； 对于D，若事件与相互独立，则事件与、事件与、事件与都相互独立，D正确. 故选：D 1．下列现象是随机现象的是（    ） A．买一张福利彩票，中奖 B．在标准大气压下水加热到，沸腾 C．异性电荷，相互排斥 D．实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起 【答案】A 【分析】利用随机现象、必然事件、不可能事件的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，买一张福利彩票，中奖是随机的，A是； 对于B，在标准大气压下水加热到，沸腾是必然事件，B不是； 对于C，异性电荷，相互吸引，因此“异性电荷，相互排斥”是不可能事件，C不是； 对于D，实心铁块丢入纯净水中，铁块下沉，因此“实心铁块丢入纯净水中，铁块浮起”是不可能事件，D不是. 故选：A 2．有两个事件，事件A：367人中至少有2人生日相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是（    ） A．事件A、B都是确定事件 B．事件A、B都是不确定事件 C．事件A是不确定事件，事件B是确定事件 D．事件A是确定事件，事件B是不确定事件 【答案】D 【分析】根据确定事件、不确定事件的定义可得答案. 【详解】事件A：一年最多有366天，所以367人中至少有2人生日相同，是确定事件； 事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为1、2、3、4、5、6共6种情况， 点数为偶数是不确定事件. 故选：D. 3．（2025高二·安徽·学业考试）先后抛掷两枚质地均匀的骰子，记事件“第一枚出现偶数点”，事件“第二枚出现奇数点”，则（      ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D．与相等 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，相互独立事件及相等事件的定义判断即可. 【详解】事件与能同时发生，如第一枚的点数是2，第二枚的点数是1， 所以事件与既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B不正确； 因为，， ，， 又因为，所以事件与相互独立，故选项C正确； 显然事件与不相等，故选项D不正确. 故选：C 4．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次性任意取出2张卡片，则下列事件，与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为（    ） ①2张卡片都不是红色； ②2张卡片恰有1张是红色； ③2张卡片至少有1张是红色； ④2张卡片至多一张为红色. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义，结合题意分析即可. 【详解】6张卡片中一次性任意取出2张卡片的情况有：“2张都是红色”、“2张都是蓝色”、“2张都是绿色”、“1张红色和1张蓝色”、“1张红色和1张绿色”、“1张蓝色和1张绿色”. “2张卡片都不是红色”与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片恰有1张是红色” 与“2张卡片都为红色”是互斥而不对立事件； “2张卡片至少有1张是红色”与“2张卡片都为红色”不是互斥事件； “2张卡片至多一张为红色” 与“2张卡片都为红色” 是对立事件. 所以事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的个数为2. 故选：. 5．某人打靶时连续射击三次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（    ） A．三次都没有中靶 B．三次都中靶 C．至多一次中靶 D．只有一次中靶 【答案】A 【分析】根据对立事件的概念进行判断. 【详解】根据对立事件的概念，事件“至少一次中靶”的对立事件为“三次都没有中靶”. 故选：A 考点五：求概率 例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数可以利用分步计数原理得到，满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数，可以借助数对，列举出所有结果，根据古典概型概率公式得到结果. 【详解】由题意知，本题是一个古典概型， 试验发生包含的事件数为， 满足条件的事件是连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数， 可以列举出事件，，，，，，，，，，，，共有种结果， 根据古典概型的概率公式得到概率是. 故选：D. 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知这两人能破译的概率分别为，若甲、乙两人一起破译这份密码，则密码不能被成功破译的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可. 【详解】已知甲能破译密码的概率为，则甲不能破译密码的概率为， 已知乙能破译密码的概率为，则乙不能破译密码的概率为， 密码不能被成功破译，即甲不能破译且乙不能破译， 所以密码不能被成功破译的概率为. 故选：C 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在如图所示的并联电路中，元件A正常工作的概率为0.6，元件B正常工作的概率为0.7，且A，B元件工作状态相互独立．则整个电路正常工作的概率为（   ） A．0.42 B．0.88 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【分析】想要电路正常工作，只需中至少有一个正常工作即可，结合对立事件的概率可求解. 【详解】当都不能正常工作时，整个电路就不能正常工作， 所以整个电路不能正常工作的概率为：， 所以整个电路正常工作的概率为：. 故选：B 例题4．（2025高二下·浙江·学业考试）（多选）已知事件、、满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则，不独立 【答案】ACD 【分析】利用事件的关系及概率可判断A，利用特例可判断B，根据和事件的概率及互斥事件的概念可判断C，利用独立事件的定义可判断D. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，例如掷一次骰子，事件表示得到1或2点，事件表示得到3点或2点或4点，所以，此时不成立，故B错误； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，，，则，，，不独立，故D正确. 故选：ACD. 例题5．（2025高二下·陕西·学业考试）今年“五一”假期，《水饺皇后》《苍茫的天涯是我的爱》等多部影片投放全国电影院线，题材涵盖历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑等多种类型，持续为中国电影市场释放消费活力．甲、乙、丙三人在5月1日各自独立地观看了一场电影，已知甲观看科幻类电影的概率为，乙、丙观看科幻类电影的概率均为． (1)若历史、科幻、动作、动画、喜剧、悬疑六种不同类型电影的参考票价分别为，，，，，（单位：元），求这六种不同类型电影票价的第75百分位数； (2)求甲、乙、丙三人恰有两人观看科幻类电影的概率． 【答案】(1)元 (2) 【分析】（1）由百分位数的定义即可求解； （2）由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】（1）将已知数据由小到大排序，可得，，，，，． 由，得数据，，，，，的第75百分位数为， 所以，这六种不同类型电影票价的第75百分位数为元． （2）设事件“甲观看科幻类电影”，事件“乙观看科幻类电影”， 事件“丙观看科幻类电影”，则事件，，相互独立， 且，． 设事件“恰有两人观看科幻类电影”，则， 且事件，，两两互斥． 所以， ． 所以，恰有两人观看科幻类电影的概率为． 1．（2025高三上·四川·学业考试）一道选择题有A，B，C，D四个选项，且只有一个选项正确．若随机选择一个选项，则答对这道题的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】从A，B，C，D四个选项中选一个选项有四种不同的选法， 又只有一个选项正确，所以选正确的选法只有一种， 所以答对这道题的概率是. 故选：A. 2．（2025高二下·浙江·学业考试）某箱子中有4个大小、质地完全相同的小球，其中2个白球，2个红球，从中随机摸取2个小球，则摸到2个红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可. 【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球， 有共12种． 两次都摸到红球的情况为共2种．则概率. 故选：A. 3．（24-25高一下·江西·期中）已知甲、乙两个医疗团队同时独立破解某一医学难题，甲独立攻克该难题的概率为．甲、乙中恰有一个团队攻克该难题的概率为，则该难题被攻克的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设相应事件，，根据题意结合互斥事件以及独立事件可得，结合事件的运算求解即可. 【详解】设A表示“甲独立攻克该难题”，B表示“乙独立攻克该难题”， 则，设， 由题意可得，即， 可得，解得， 所以该难题被攻克的概率． 故选：B． 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若事件A与B互斥，且，则 ． 【答案】0.8/ 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式运算求解. 【详解】因为事件A与B互斥，且， 所以. 故答案为：. 5．（2025高二上·北京·学业考试）某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为 ；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为 . 【答案】 【分析】根据古典概型的概率公式可得空1的答案；根据独立事件同时发生的概率公式可得空2的答案. 【详解】因为学生甲得到“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”图案的概率相等，所以学生甲得到“金面罩”图案的概率为：. 因为学生乙和学生丙得到“铜神兽”图案的概率均为，且相互独立，所以学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为：. 故答案为：； 6．（2025高二下·浙江·学业考试）甲、乙二人各自独立地破译一份密码，甲破译密码成功的概率为0.5，乙破译密码成功的概率为0.6，且两者结果相互独立，请回答下列问题： (1)求甲和乙同时成功破译密码的概率； (2)求密码被成功破译的概率． 【答案】(1)0.3 (2)0.8 【分析】（1）由独立乘法公式即可求解； （2）由独立乘法公式、对立概率公式即可求解. 【详解】（1）设甲破译成功为事件A，设乙破译成功为事件B， 两人都破译成功则为； （2）密码未被破译成功的概率， 所以密码被破译成功的概率为. 7．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）某校高一年级1200名学生全部参加了体育达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理并按分数段，，，，，进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图：    (1)估计该校高一年级学生中体育成绩大于或等于70分的学生人数； (2)现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求2人体育成绩都在的概率. 【答案】(1)900人 (2)0.3 【分析】（1）根据折线图可得体育成绩大于或等于70分的学生人数，即得答案； （2）确定体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生人数，列举出随机抽取2人，所有的基本事件，确定2人体育成绩都在[80,90)的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【详解】（1）根据折线图可以得到体育成绩大于或等于70分的学生人数为， 所以该校高一年级中体育成绩大于或等于70分的学生人数估计为：. （2）体育成绩在[60,70)和[80,90)的人数分别为2、3，分别记为, 若随机抽取2人，则所有的基本事件为：， 故基本事件的总数为10,其中2人体育成绩都在[80,90)的基本事件的个数有共3个， 设A为：“2人体育成绩都在[80,90)”， 则. 训练 一、单选题 1．2020年3月疫情期间，某市质检部门为了检查某批个）口罩的质量，决定抽查其中的．在这个问题中下列说法正确的个数是（    ） ①总体是指这1000个口罩；           ②个体是每个口罩； ③样本是按的比例抽取的20个口罩；④样本容量为20 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的概念判断. 【详解】总体是研究对象的全体.这里是“1000个口罩的质量”，而非“1000个口罩”，所以①错误； 个体是总体中的单个单位.即“每个口罩的质量”，而非“每个口罩”，所以②错误； 样本是从总体中抽取的部分个体，即“按2%比例抽取的20个口罩的质量”，而非“20个口罩”，所以③错误； 样本容量是样本中个体的数量，抽取了1000×2%=20，所以样本容量为20，④正确. 故选：A. 2．已知数据，，的平均数为2，数据，，，，的平均数为10，则数据的平均数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据平均数的概念和公式进行求解即可. 【详解】因为数据的平均数为2，数据的平均数为10， 所以数据的平均数为. 故选：D. 3．小冉同学近9次考试的数学成绩如下:72，74，80，83，85，85，93，100，107，请问这组数据的第40百分位数是（    ） A．81.5 B．80 C．84 D．83 【答案】D 【分析】应用百分位数的定义求数据的第40百分位数. 【详解】数学成绩从小到大为， 所以，故数据的第40百分位数是第四个数，为. 故选：D 4．某中学高一年级有600名男学生，400名女学生，现用分层随机抽样的方法调查了50名高一学生的身高.若样本中男生身高的平均数和方差分别为172和9，女生身高的平均数和方差分别为162和14，则估计高一年级学生的平均身高和方差分别为（    ） A．168，35 B．168，20 C．169.6，35 D．169.6，20 【答案】A 【分析】先得到样本中的男生和女生人数，进而利用平均数和整体方差的求解公式进行计算. 【详解】男学生和女学生人数比例为， 故样本中男生人数为人，女生人数为人， 样本的平均数为， 样本的方差为. 故选：A. 5．为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（   ） A． B．样本的众数估计值为70 C．该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D．若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 【答案】C 【分析】由面积和为1可得A错误；由频率分布直方图中众数，百分位数的计算可判断B，C；对数据的估计可得D. 【详解】对于A，，解得，故A错误； 对于B，由图可得的频率最大，所以众数的估计值为75，故B错误； 对于C，由频率分布直方图得从第一组到第，七组的频率依次是0.02,0.04,0.06,0.08,0.08,0.12,0.16，所以第60百分位数估计值在之间， 所以， 解得，故C正确； 对于D，若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的估计有人，故D错误. 故选：C. 6．已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 7．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】若书放在上层用“上”表示，放在中层用“中”表示，放在下层用“下”表示， 则样本空间上上，上中，上下，中上，中中，中下，下上，下中，下下，共9种情况. 放在同一层书架的情况为上上，中中，下下，共3种情况， 故所求概率为. 故选：B. 8．不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 二、多选题 9．某高中学校从有120名学生的“航天”社团中随机抽取30名参加一个交流会，若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样，则高一年级抽取10人；若按性别比例分层随机抽样，则男生抽取18人．则下列结论正确的有 （    ） A．样本量为30 B．120名社团成员中男生有72人 C．高二与高三年级的社团成员共有85人 D．高一年级的社团成员中女生最多有48人 【答案】AB 【分析】根据分层抽样的相关概念及等比例性质依次判断各项的正误. 【详解】A：从中随机抽取30名，则样本量为30，对； B：设120名社团成员中男生有人，因为按性别比例分层随机抽样时男生抽取18人， 所以，解得，所以120名社团成员中男生有72人，对； C：设高二与高三年级的社团成员共有人， 因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数比例分层随机抽样时高一年级抽取10人， 所以，解得，所以高二与高三年级的社团成员共有80人，错； D：根据C知，高一年级的社团成员有（人），故高一年级的社团成员中女生最多有40人，错. 故选：AB 10．有一组样本数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，若去除首末两个数，得到一组新的样本数据，则这两组数据的（    ） A．极差相等 B．中位数相等 C．方差相等 D．平均数相等 【答案】BD 【分析】分别计算这两组数据的极差，中位数，方差，平均数比较即可. 【详解】原始数据的极差为8，中位数为5，平均数为， 方差为； 去除首末两个数余下数据极差为6，中位数5，平均数为， 方差为. 故选：BD 11．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为，.记事件A为“两人都击中”，事件B为“至少1人击中”，事件C为“无人击中”，事件D为“至多1人击中”则下列说法正确的是（   ） A．事件A与C是互斥事件 B．事件B与D是对立事件 C．事件C与D相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意， ， 对于A：因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件A与C是互斥事件，故A正确； 对于B:因为事件B,D中都包含1人击中，故B错误； 对于C：因为事件C,D中都包含0人击中，故C错误； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：AD 三、解答题 12．从乒乓球协会中抽取6名运动员，且编号分别为，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛. (1)请写出此次抽取的样本空间； (2)设事件为“编号为和的三名运动员中至多有1人被抽到”，求事件发生的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）一一列举出6名运动员两两组合的所有可能即可； （2）找出样本空间中符合事件要求的样本点，使用古典概型概率公式，结合概率之和为1计算即可. 【详解】（1）从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的样本空间为： （2）由题意可知，事件为“编号为和的三名运动员中恰有2人被抽到”， 事件的样本点有，，，共3种， 样本空间的样本点有15种， 所以事件发生的概率. 13．某校高二年级半期考试后，为了解本次考试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求实数的值. (2)在样本中，采取按比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取13名，问其中成绩在的学生有几名？ (3)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分. 【答案】(1) (2)2 (3)98 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）根据分层抽样的方法求解. （3）利用频率分布直方图估计平均数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图知： ， 解得. （2）采取分层抽样，[130,150]的学生个数为：， 即成绩在的学生有2名. （3）由频率分布直方图知：平均数为： . 14．某校为了解高一学生在学业水平模拟考试中数学成绩的情况，从全年级的成绩中随机抽取100名学生的成绩进行分析，其频率分布直方图如图所示，其中分数在内的学生有15人. (1)求m，n的值； (2)学校准备按成绩从高到低抽取前34%的学生进行表彰，用样本估计总体的方法，估计受表彰学生的最低分是多少? (3)若采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从成绩在和内的学生中共抽取6人查看他们的答题情况，再从这6人中选取2人进行个案分析，求这2人中恰有1人成绩在内的概率. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用频率和频数的关系以及频率之和为1求解即可； （2）先确定受表彰的学生的最低分在哪一组，然后利用受表彰学生的频率之和为34%列方程求解即可； （3）利用古典概率的公式求解即可. 【详解】（1）由题意得， 由图可得：，解得. （2）设受表彰的学生的最低分是， 频率为 频率为 故，且，解得， 故受表彰的学生的最低分是. （3））由分数在和）内的频率之比为， 故从成绩在和内的学生中共抽取6人， 则在内抽取2人，记为 在内抽取4人，记为 再从这6人中选取2人进行个案分析，抽取的样本空间为： ，共15个样本点， 这2人中恰有1人成绩在内的有： ，共8个样本点， 故这2人中恰有1人成绩在内的概率为. 15．一个袋子中有大小和质地均相同的四个球，其中有两个红球（标号为1和2），一个黑球（标号为3），一个白球（标号为4）．从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“第一次摸到红球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”． (1)用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，试用集合的形式写出试验的样本空间； (2)求事件A，B，C中至少有一个发生的概率． 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）直接写出样本空间即可； （2）先计算出事件A，B，C发生的概率，进而得到事件A，B，C均没有发生的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）； （2）事件为，包含6个基本事件， 由（1）知，样本空间中共12个基本事件，故， 事件为，包含3个基本事件，故； 事件为，包含4个基本事件，故， 事件A，B，C均没有发生的概率为， 故事件A，B，C中至少有一个发生的概率为. 一、单选题 1．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图：    甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为． 故选：B. 2．如图，已知电路中4个开关每个断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互独立的概率乘法公式，以及互斥事件与对立是事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，丙丁2个都开且甲乙2个中有一个开另一个闭， 这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为. 故选：C. 3．设一组样本数据的平均数为3，方差为4，则数据，，，，的平均数和方差分别为（   ） A．4，14 B．4，16 C．5，14 D．5，16 【答案】C 【分析】由平均数公式可得，由方差公式可得，再利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】由样本数据的平均数为，方差为，得，， 则，， 因此数据，的平均数为 ， 方差为 . 故选：C 4．已知甲、乙两名同学在高二的6次数学周测的成绩（单位：分）统计如图，则下列说法不正确的是（    ） A．甲成绩的中位数小于乙成绩的中位数 B．若甲、乙成绩的平均数分别为，，则 C．甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D．甲成绩比乙成绩稳定 【答案】A 【分析】由折线图甲乙同学成绩的分布情况结合统计相关知识即可作出判断. 【详解】对于A：由折线图可知，甲的中位数大于90，乙同学的中位数小于90， 所以甲的中位数大于乙的中位数，故A错误； 对于B，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平均成绩，B正确； 对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，C正确； 对于D，由折线图可知，甲成绩波动性小于乙成绩的波动性， 所以甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 故选：A. 二、多选题 5．一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 6．已知互不相等的数据，，，，，的平均数为，方差为，则下列选项中正确的是（    ） A．数据，，…，的平均数为 B．数据，，…，的标准差为 C．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 D．给原数据增加一个数据，且，若这七个数据的方差为，则 【答案】AC 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题知，，， 所以，的平均数为， 的方差为， 所以数据，，…，的标准差为2s，A正确，B错误； 给原数据增加一个数据，且， 这七个数据的方差为， 故C正确，D错误. 故选：AC 7．某中学九年级在体能测试后，为分析学生的跳绳成绩，随机抽取了名学生的分钟跳绳的次数，将所得数据整理后，分为组画出如图频率分布直方图．为进一步分析学生的成绩分布情况，经计算得到这名学生中，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为，跳绳次数位于的学生跳绳次数的方差为．（同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表）则下列正确的是（    ） A． B．估计该年级学生跳绳次数的分位数约为 C．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为 D．估计该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为 【答案】BD 【分析】对于A选项，频率分布直方图里各长方形面积和为，把各区间频率系数相加乘组距得到总面积表达式，令其等于，即可求出； 对于B选项，先算出前几个矩形面积和，通过与比较，确定分位数所在区间.再根据百分位数的定义，用已有的面积和加上该区间的面积等于，列方程求解百分位数； 对于C选项，根据加权平均的方法，以比例为权重乘以对应数值，即可求解平均数； 对于D选项，根据方差公式，以不同区域的比例为权重，分别计算每个区间数值与平均数差值的平方加上给定值，再求和得到方差. 【详解】对于A，由频率分布直方图中各长方形面积和为，得，解得，故A错误； 对于B，根据百分位数的计算，假设该年级学生跳绳次数的分位数为，则，又，所以解得，故B正确； 对于C，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的平均数为，故C错误； 对于D，该年级学生跳绳次数在次及以上的学生跳绳次数的方差为，故D正确. 故选：BD. 三、解答题 8．新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． (2)学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． (3)已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【详解】（1）由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． （2）易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） （3）成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 9．某调研机构为了了解人们对“奥运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“奥运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有n人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求的值，并根据频率分布直方图，估计这n人的平均年龄和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本市的“奥运会”宣传使者.若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 【答案】(1)，平均年龄为31.75；中位数为31 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图频率的性质即可求出，再利用平均数和中位数的公式即可求解； （2）列举出所有的情况，再根据古典概型公式可得. 【详解】（1）由题意有：，解得，                  设这n人的平均年龄为， 则， 由于前2组的频率为， 前3组的频率为， 则中位数在，设中位数为， 则，解得，则中位数为31. （2）由题意得，按照分层抽样第四组应抽取人，记为（甲），，，， 第五组抽取人，记为（乙），， 对应的样本空间的样本点为： ，共包含15个等可能的样本点， 设事件为“甲、乙两人至少一人被选上”， 则，共包含9个等可能的样本点， 所以. 即甲、乙两人至少有一人被选上的概率为.. 10．为提高生产效率，某工厂开展技术创新活动，提出了完成某项任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取20名工人，将他们随机分成两组，每组10人，第一组工人采用第一种生产方式，第二组工人采用第二种生产方式．两组工人完成任务的工作时间（单位：min）如下： 生产方式 工作时间（单位：min） 第一种 68 72 76 77 79 82 83 83 84 85 第二种 65 65 66 68 69 70 71 72 72 73 假设每个工人完成工作所需时间相互独立，用频率估计概率． (1)从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率； (2)将工作时间分为三层，从第一组和第二组工人中各随机抽取1人，求这两人完成生产任务的工作时间不在同一层的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型概率公式直接求解即可. （2）先表示出事件并由古典概型概率公式求出概率，然后根据互斥事件概率加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】（1）第一组工人中工作时间小于的有5人，占第一组人数的， 所以从采用第一种生产方式的工人中随机抽取1人，估计该工人完成生产任务的工作时间小于的概率为； （2）将工作时间段分别记为第一、二、三层，从第一组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作；从第二组工人中抽取1人，该工人完成生产任务的工作时间属于第层，记作； 这两人完成生产任务的工作时间不在同一层，记作；由题意得，， 所以，，，，， 所以. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $