专题05 函数与方程及其函数模型应用（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题05 函数与方程及其函数模型应用 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：求函数的零点 考点二：求函数的零点个数 考点三：用零点存在性定理判断零点所在区间 考点四：求方程的根及根的个数 考点五：零点存在性定理的应用 考点六：根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 考点七：分段函数模型 考点八：指数函数模型 考点九：对数函数模型 考点十：幂函数模型 进阶分级训练 1.会求函数的零点； 2.会求函数的零点个数； 3.能利用零点存在性定理判断零点所在区间； 4.会求方程的根及根的个数； 5.掌握零点存在性定理的应用； 6.能根据零点、方程的根及图象交点求参数范围； 7.掌握分段函数模型的应用； 8.掌握指数函数模型的应用； 9.掌握对数函数模型的应用； 10.掌握幂函数模型的应用。 知识点1 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 的实数 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 与轴有公共点 函数 有零点 . 知识点2 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 连续不断 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 至少有一个 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点3 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点4 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点5 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点6 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 知识点7 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点8 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点9 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 考点精讲讲练 考点一：求函数的零点 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先研究函数的单调性，再判断零点的个数，最后分析的解即可求出． 【详解】因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增，最多只有一个零点，又因为，所以函数的零点为． 故选：B． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】令，结合对数解方程即可得结果. 【详解】令，即， 可得，即， 所以函数的零点是0. 故选：A. 例题3．（2025高二下·陕西·学业考试）函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 【答案】（或填，答案不唯一） 【分析】求出函数的零点，写出一个即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得. 故答案为：（或填，答案不唯一） 1．函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 【答案】C 【分析】根据零点定义令计算求解. 【详解】令，，即，解得或． 故选：C. 2．函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 【答案】D 【分析】直接解方程即得函数的零点. 【详解】令，即，解得, 所以函数的零点为和. 故选：D 3．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 考点二：求函数的零点个数 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由对数函数的性质及零点定义求解即可. 【详解】因为，，且函数在上单调递增，令，解得，所以函数只有一个零点. 故选：B. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数在定义域上的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，令，求得方程的解，结合函数零点的概念，即可得到答案. 【详解】由函数，令，可得， 解得或，所以函数在定义域上的零点个数是2个. 故选：C. 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】令，解得，当时，分别计算出对应的值，找出符合的值即可得解. 【详解】令，解得. 当时，，符合条件； 当时， ，符合条件； 当时，，符合条件； 当时，，不符合条件； 当时，，不符合条件. 综上，在区间上，有三个解， 即函数的零点个数为3. 故选：D 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】1 【分析】利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增且连续， 且，， 所以函数有1个零点， 故答案为：1 2．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C      3．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据三角函数性质及函数零点的概念，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】，即0不是的零点； 当时，令，则， 当时，，当且仅当时，等号成立； 而，则当时，，此时方程无解 当时，，当且仅当时，等号成立， 而，当时，，此时方程无解； 综上，的零点个数为0. 故选：A 4．函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】用辅助角公式化为，且，再令求解即得. 【详解】. ，. 令得，∴或或. 所以或或 故选：C. 考点三：用零点存在性定理判断零点所在区间 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的单调性，再由，结合函数零点判定定理得答案. 【详解】因为均为增函数， 所以函数在上单调递增， 且，， 所以函数的零点所在的一个区间是. 故选：D. 1．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用零点存在性定理判断即得. 【详解】函数的定义域为，且函数在上单调递减， 而， 所以函数的零点所在区间是. 故选：C 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 3．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在性定理即可判断. 【详解】的定义域为． 因为和均在上单调递减，所以也在单调递减． 又，，，则，故零点位于区间内． 故选：B 4．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算函数值，再根据零点存在性定理可判断. 【详解】因，，，，， 则由零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为 故选：B 考点四：求方程的根及根的个数 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据给定的函数图象，求出直线与该图象交点个数即得. 【详解】由给定的图象知，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以方程的解的个数为1. 故选：B 1．方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】作出与的图象,观察交点个数即可. 【详解】在同一坐标系内，作出与的图象，如图： 由图象可知，函数与的图象只有一个公共点， 所以方程只有一个解． 故选：B 2．方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数，分别画出函数图象即可判断. 【详解】， 令，方程的实根个数等价于两个函数的图象的交点个数. 画出函数图象， 如图可知两个函数的图象的交点个数为1个， 即方程的实根个数为1个. 故选：B. 3．已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可. 【详解】原方程即为，变形得， 要求方程根的个数， 即求函数和函数的图象在上的交点个数， 作出两函数的图象如图所示，    由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根． 故选：C. 考点五：零点存在性定理的应用 例题1．．（2025高二下·浙江·学业考试）设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理求出、的方程，直接解出的值，即可得出结论. 【详解】设，， 因为函数、在上为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，， 由零点存在定理可得， 由题意知，解得，因此，. 故选：B. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知、分别是函数，的零点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分析函数的单调性，结合零点存在定理可证得结论成立； （2）函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标，函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标，利用函数、的图象关于直线对称，数形结合可得结果. 【详解】（1）因为函数、均为上的增函数，故函数在上为增函数， 因为是函数唯一的零点，所以， 因为，，即， 由零点存在定理可知. （2）由题意可知，、分别是函数、的零点， 如图，函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标， 则这两个函数图象的交点为， 函数的零点为函数的图象与的图象的交点的横坐标， 则这两个函数图象的交点为， 又由函数与函数互为反函数，其图象关于直线对称， 而直线也关于直线对称，则点和也关于直线对称， 则有，则有． 1．求证：函数有零点. 【答案】证明见解析 【分析】利用零点存在定理直接证明. 【详解】因为，， 且函数在区间上的图象是不间断的， 所以函数在区间上有零点， 从而函数有零点. 2．已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）结合（1）的单调性可知对任意的，不等式恒成立，参变分离，结合基本不等式计算可得，需注意. 【详解】（1）函数的定义域为， 又与均在上单调递增， 所以在上单调递增，且为连续函数， 又，， 所以，所以在上存在唯一零点， 即在上存在零点； （2）由（1）可知在上单调递增， 因为对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，不等式恒成立， 即对任意的，不等式恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 又，所以， 所以，即实数的取值范围为. 3．已知函数. (1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标； (2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点. 【答案】(1)恒过定点，坐标 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，可得函数的解析式，再由对数函数过定点，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的解析式，再由零点存在定理判断即可. 【详解】（1）由题意知函数，故， 令， 即函数恒过定点，该点坐标为； （2）证明：由题意， 当时，， 即， 则，又， 故函数在区间上有零点. 考点六：根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图像，找出，得到实数的取值范围． 【详解】如图，函数的值域是时，，方程只有一个实根， 当方程有两个不同实根时，实数的取值范围是． 故答案为：． 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）若函数有一个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】令有，即与的图像只有一个交点，作出的图像，利用数形结合即可求解. 【详解】令有，所以与图像只有一个交点， 作出的图像， 由图可有或，即或， 所以， 故答案为：. 例题3．（2025高三上·广东·学业考试）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】由函数在上单调递增，且值域为， 故必有唯一解， 故当时，有两不同根， 即有两不同非正根， 即有，解得， 由，则，解得， 故. 故选：D. 1．已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理列式求解即得. 【详解】函数在上单调递增， 由函数在内有唯一零点，得，解得， 所以实数b的取值范围是. 故选：D 2．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】画出函数与的图象，进而确定正确答案． 【详解】画出与的图象如下图， 依题意，有两个不同的零点，由图可知， 故答案为：． 3．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上有两个根，由二次函数的根的分布可求得的取值范围. 【详解】由函数在上有两个零点， 可得在上有两个根，令 则，解得，所以的取值范围是. 故答案为：. 4．已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意可得在上有2个零点，可得所满足的条件，求解即可. 【详解】令，得，所以在上有1个零点， 则在上有2个零点，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故答案为：. 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据对数函数的真数部分大于0列出不等式组，解出即可； （2）根据函数奇偶性定义判断； （3）根据题意转化为有两解，利用函数的单调性求值域进行求解. 【详解】（1）由题意得， 由得， 所以的定义域为． （2）因为，定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数． （3）当时，． 令，则． 令，， 则，函数在上单调递增，， 易知，函数在上单调递增，在上单调递减． 要使有两个零点，即有两个解， 那么，则，所以实数m的取值范围是． 考点七：分段函数模型 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 【答案】D 【分析】根据分段函数的概念即可逐一判断. 【详解】若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故A错误； 若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为元，故B错误； 对于第一阶梯，用户缴费的最大值为元，而第二阶梯用户缴费必然大于元，所以若某户居民自来水年缴费为元，则他来自第一阶梯，故C错误. 由C可知：元费用必在第二阶梯或以上，设用水量为，则，解得，因为，故D正确 故选：D 1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 【答案】B 【分析】根据阶梯水价的计算方法求解. 【详解】某用户本月的用水量为，该用户本月应交纳的水费为元. 故选：B. 2．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【答案】D 【分析】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【详解】令，解得； 令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D 3．某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定： ①行程在3以内的（含3），车费10元； ②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）； ③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】首先设行程为km，车费为元，得到分段函数的解析式，再根据共花费39元求解即可. 【详解】设行程为km，车费为元， 当时，， 当时，， 当时，. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元， 所以，解得km. 故选：C 4．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 【答案】B 【分析】直接分段计算，然后相加即可得解. 【详解】由题意此户居民这一年应缴纳的燃气费为元. 故选：B. 考点八：指数函数模型 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为%，设2024年新建经济住房面积为万平方米，则关于的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均增长率的定义写出方程即可得到答案． 【详解】设2024年新建经济住房面积为万平方米，根据平均增长率的定义，则关于的函数是. 故选：B. 1．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】B 【分析】列出不等式，验证选项即可. 【详解】由题意，，整理得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，又，所以. 故选：B 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（   ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 【答案】C 【分析】列不等式后根据指数函数的性质求解 【详解】每过滤一次可使水中杂质减少50%，设要使水中杂质减少到原来的2%以下至少需要过滤次， 则. 又，所以. 故选：C 3．已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为p，第二年的增长率为q，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设两年生产总值的年平均增长率为，可得，解出即可． 【详解】设企业这两年生产总值的年平均增长率为，可得， 解得. 故选：D． 4．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析不同函数的增减性快慢，即可进行得到结果. 【详解】根据题意，对于①，，即函数的定义域为,值域为，A、B、C、D均符合； 对于②随的增加而增加，且增加的速度越来越快，即函数为增函数，且增加的速度越来越快，A符合，B、C、D均不符合. 故选：A. 考点九：对数函数模型 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 【答案】9 【分析】根据给定函数模型，代入列式计算得解. 【详解】依题意，，则，解得， ，则，解得， 所以. 故答案为：9 1．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（    ） A．30 B．60 C．40 D．80 【答案】C 【分析】根据题意将代入可求出即可. 【详解】因为，将代入，则， 则，所以， 所以， 故选：C 2．在环境检测中人们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：），为基础声强，其值约为，某环境检测点检测到某一时段的声强约为，则这一时段的声强级约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将的值代入关系式即可化简求得结果. 【详解】由题意知：，， . 故选：C. 3．地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下：（其中为震中距）．若某地发生6.0级地震，测得，则可以判断（    ）．参考数据：，． A．震中距在2000～2020之间 B．震中距在2040～2060之间 C．震中距在2070～2090之间 D．震中距在1040～1060之间 【答案】B 【分析】代入求值，得到，进而求出答案. 【详解】依题意，， 则，则， 故． 故选：B 4．假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出，再代入当燃料质量是火箭质量的63倍时的表达式可得答案.， 【详解】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时， 则，得， 则当燃料质量是火箭质量的63倍时， 火箭的最大速度. 故选：D. 考点十：幂函数模型 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】根据题意列方程：. 故选：C 1．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【详解】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 2．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【详解】设初始状态为，则，， 又，，即， ，，，，． 故选：D． 训练 一、单选题 1．已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】分和直接解方程即可. 【详解】当时，令，得； 当时，令，得. 所以的零点之和为. 故选：A 2．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【详解】函数在R上都单调递增，则函数在R上单调递增， 而， 则，由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为. 故选：C 3．目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】分别设里氏8.0级地震和里氏6.0级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案. 【详解】设里氏8.0级地震所释放出来的能量为，里氏6.0级地震所释放出来的能量为， 则，；，． 故选：C 4．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 5．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：转化成一元二次方程在上有两个不同的解的问题；法二：分离参数，转化成两个函数图像在上有两个交点的问题. 【详解】法一：因为，且有两个零点， 所以方程在上有两个不同的解， 所以,解得. 法二：由得， 因为有两个零点，所以直线与函数的图像有两个交点. 函数，的图像如图，由图可知. 故选：D. 二、多选题 6．已知函数，，则（   ） A．为减函数 B．为增函数 C．的零点为 D．只有一个零点 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性判断AB；求出的零点判断C；根据零点存在性定理判断D. 【详解】因为，所以是增函数，则为增函数，A错； 因为，所以是增函数，又因为为增函数，则为增函数，B对； 由，即 的零点为，C对； 因为为增函数，，，所以只有一个零点在区间内，D对. 故选：BCD. 7．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把代入每一个选项，逐一与题目中的数据对比，可得答案. 【详解】对于A，把代入，可得下表： 对于B，把代入，可得下表： 对于C，把代入，可得下表： 对于D，把代入，可得下表： 显然只有的值最接近表格中的对应的值，故A，C，D符合题意． 故选：ACD. 三、填空题 8．已知二次函数的两个零点为，则 【答案】 【分析】由二次函数根与系数的性质求解即可. 【详解】因为二次函数的两个零点为， 所以，，解得，， 所以． 故答案为：. 9．已知函数的零点位于区间上，则 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性，结合零点存在定理判断零点所在区间进而求解. 【详解】函数的是减函数， ， 所以，所以函数的零点位于区间上，所以. 故答案为：. 10．函数 的零点的个数为 【答案】2 【分析】令，转化为两个函数图象交点个数，来判断出零点的个数. 【详解】令，得，即， 作出与的图象，可知它们只有2个交点. 故答案为：2. 四、解答题 11．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)若有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)3或-2． (2)． 【分析】（1）根据得到，求出答案； （2）转化为有解，根据根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】（1）若，则，解得或．所以实数的值为3或-2． （2）若有零点，则有解， 由， 解得． 所以实数的取值范围是． 12．已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）应用偶函数的性质有恒成立，即可求参数值； （2）设，问题化为分析解的个数，分类讨论判断原函数零点的个数. 【详解】（1）依题意，得，即 即恒成立，得. （2）令，得 设，则 由函数在上单调递增，在上单调递减，且最大值为， 当时，无零点； 当或时，有一个零点； 当时，有两个零点. 一、单选题 1．方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性结合零点存在定理可判断解的个数. 【详解】原方程等价于即， 设， 因为均为上的减函数，所以为上的减函数， 而，， 所以为上仅有一个零点即原方程只有一个实数解. 故选：B 2．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】结合零点的定义及指数与对数的相互转化求解即可. 【详解】由题意可得，，则， 则，所以. 故选：D. 3．若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果. 【详解】函数，，的零点， 即为函数的图象 分别与函数，，的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图象可得， 故选：B． 4．DeepSeek以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度（）与时间t（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，a为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的，至少需要的时间为（   ） （参考数据：） A．23个月 B．24个月 C．25个月 D．26个月 【答案】C 【分析】根据题设函数模型，结合题意可得，可得，由，进而得到，进而求解即可. 【详解】设关注度下降到峰值的，至少需要的时间为t个月， 由题意得，则， 由，则， 所以， 即，又，则至少需要的时间为25个月. 故选：C． 二、填空题 5．已知函数有唯一零点，则 ． 【答案】2 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为，， 所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点， 根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故答案为：2. 6．已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，当时结合零点存在性定理得到不等式，解得即可. 【详解】若，解得， 当时，此时的解为，故舍去； 当时，此时的解为，故舍去； 若，解得或， 因为函数在区间上有且只有一个零点， 所以，即，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式及零点个数； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】(1)，3 (2)最小值为，最大值为 【分析】（1）当时，，时，利用即可求解，令,解方程即可求出零点. （2）由配方法求二次函数在闭区间上的最值即可. 【详解】（1）依题意，函数是定义在上的奇函数， 当时，，当时，，则， 又是奇函数，， 的解析式为 解法1：已知0是的一个零点，当时，令，得，当时，令，得， 故函数的零点个数为3. 解法2：函数的零点个数可以利用图象求解.作出函数的图象（如图），由图象知函数有3个零点.    （2）依题意可知当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，， 所以在区间上的最小值和最大值分别为和. 8．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②59.54. (3)，理由见解析 【分析】（1）根据表格中的数据进行分析，可排除一次函数和二次函数，再根据待定系数法，即可得到结果； （2）由（1），令，可求出I的值，即可知道①处的值；由已知时，，可求得，进而可求出当时D的值，进而求出②处的值； （3）设发电机噪声、电锯噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由已知可得，代入关系式，即可判断与的大小关系． 【详解】（1）（1）选择． 由表格中的前4组数据可知，当自变量增加量为时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数； 同时从第2组数据开始，当自变量的增加量为时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又变为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数, 故应选择． 由已知可得，即，解得， 所以解析式为． （2）由（1）知，令，可得，故①处应填； 由已知可得时，， 所以， 又当时，， 故②处应填59.54. （3）． 设发电机噪声、电锯噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为， 已知，，，故有， 所以， 因此，即，所以． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 函数与方程及其函数模型应用 目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：求函数的零点 考点二：求函数的零点个数 考点三：用零点存在性定理判断零点所在区间 考点四：求方程的根及根的个数 考点五：零点存在性定理的应用 考点六：根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 考点七：分段函数模型 考点八：指数函数模型 考点九：对数函数模型 考点十：幂函数模型 进阶分级训练 1.会求函数的零点； 2.会求函数的零点个数； 3.能利用零点存在性定理判断零点所在区间； 4.会求方程的根及根的个数； 5.掌握零点存在性定理的应用； 6.能根据零点、方程的根及图象交点求参数范围； 7.掌握分段函数模型的应用； 8.掌握指数函数模型的应用； 9.掌握对数函数模型的应用； 10.掌握幂函数模型的应用。 知识点1 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 函数 . 知识点2 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点3 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点4 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点5 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点6 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 知识点7 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点8 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点9 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 考点精讲讲练 考点一：求函数的零点 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）函数的零点为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3．（2025高二下·陕西·学业考试）函数的零点是 (写出满足条件的一个零点即可). 1．函数的零点为（    ） A．1 B．－3 C．1和－3 D．和 2．函数的零点为（   ） A． B． C．或 D．和 3．函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 考点二：求函数的零点个数 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数在定义域上的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）函数在区间上的零点个数为（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知函数，则函数的零点个数为 . 2．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．函数在上的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点三：用零点存在性定理判断零点所在区间 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 1．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 3．函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 考点四：求方程的根及根的个数 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）已知函数的图象如图所示，则方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 1．方程的解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．方程的实根个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点五：零点存在性定理的应用 例题1．．（2025高二下·浙江·学业考试）设函数，，的零点分别为、、，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知、分别是函数，的零点． (1)求证：； (2)求的值． 1．求证：函数有零点. 2．已知 (1)求证：在上存在零点； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数. (1)求函数恒过哪一个定点，写出该点坐标； (2)令函数，当时，证明：函数在区间上有零点. 考点六：根据零点、方程的根及图象交点求参数范围 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若关于的方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 ． 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）若函数有一个零点，则实数的取值范围是 . 例题3．（2025高三上·广东·学业考试）已知若函数有三个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．已知函数在区间内有唯一零点，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若有两个不同的零点，则实数a的取值范围为 ． 3．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知函数在上有两个零点，则的取值范围是 ． 4．已知函数有且仅有3个零点，则a的取值范围为 ． 5．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知函数，（，且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若有两个零点，求实数m的取值范围． 考点七：分段函数模型 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）某市居民自来水水价实行阶梯水价制度，用水销售价格表如下： 阶梯 户年用水量 水价（元/立方米） 第一阶梯 0-180（含） 5 第二阶梯 181~260（含） 7 第三阶梯 260以上 9 根据上述信息，下列结论中正确的是（   ） A．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为770元 B．若某户居民自来水年用水量为，则该户自来水年缴费为950元 C．若某户居民自来水年缴费为700元，则该户自来水年用水量在至之间 D．若某户居民自来水年缴费为970元，则该户自来水年用水量在至之间 1．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”.计算方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 已知某用户本月的用水量为，则该用户本月应交纳的水费（单位：元）是（    ） A．45 B．54 C．72 D．90 2．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 3．某旅游旺地出租车的费用按下列规则制定： ①行程在3以内的（含3），车费10元； ②行程在3以上且不超过10的，前3车费10元，以后每增加1车费增加2元（不足1的按1计算）； ③行程超过10，则超过的部分每公里车费3元（不足1的按1计算）. 小明某天乘坐该地的出租车，共花费39元，那么他的行程大约为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 4．为了节约能源，某城市对居民生活用燃气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年燃气用量 燃气价格 不超过 3.2元 超过但不超过的部分 3.6元 超过的部分 4.5元 若某户居民一年的燃气用量为，则此户居民这一年应缴纳的燃气费为（    ） A．1600元 B．1680元 C．1800元 D．2250元 考点八：指数函数模型 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）某市政府为平抑房价，2021年计划新建经济适用房1000万平方米，解决中低收入家庭的住房问题.设年平均增长率为%，设2024年新建经济住房面积为万平方米，则关于的函数是（    ） A． B． C． D． 1．某生物科研小组培育了甲、乙两种固氮菌，其数量（单位：个）分别记为和.设培育时间为（单位：天），据统计，两者数量满足以下关系：.若要求甲种菌数量首次超过乙种菌，则大约需要（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每过滤一次可使水中杂质减少50%，若要使水中杂质减少到原来的2%以下，则至少需要过滤（   ） A．4次 B．5次 C．6次 D．7次 3．已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为p，第二年的增长率为q，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 4．了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防该细菌、病毒引起的疾病传播有重要的意义．科研团队在培养基中放入一定量某种菌落进行研究，设经过时间x（单位：min），菌落的覆盖面积为y（单位：）．团队提出如下假设：①当时，；②y随x的增加而增加，且增加的速度越来越快．则下列选项中，符合团队假设的模型是（    ） A． B． C． D． 考点九：对数函数模型 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）人们用分贝（dB）来划分声音的等级，声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足．一般两人正常交谈时，声音的等级约为，燃放烟花爆竹时声音的等级约为，若燃放烟花爆竹时声音强度为，两人正常交谈时声音强度为，则 ． 1．燕子每年秋天都要从北方飞到南方去过冬，研究燕子的科学家发现，成年燕子的飞行速度（单位：）可以表示为函数，其中表示燕子的耗氧量．当一只成年燕子的飞行速度时，它的耗氧量为（    ） A．30 B．60 C．40 D．80 2．在环境检测中人们常用声强级表示声音的强弱，其中代表声强（单位：），为基础声强，其值约为，某环境检测点检测到某一时段的声强约为，则这一时段的声强级约为（    ） A． B． C． D． 3．地震震级是对地震本身能量大小的相对量度，用M表示，M可通过地震面波质点运动最大值进行测定，计算公式如下：（其中为震中距）．若某地发生6.0级地震，测得，则可以判断（    ）．参考数据：，． A．震中距在2000～2020之间 B．震中距在2040～2060之间 C．震中距在2070～2090之间 D．震中距在1040～1060之间 4．假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（   ） A． B． C． D． 考点十：幂函数模型 例题1．（2025高二上·北京·学业考试）某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（   ） A． B． C． D． 1．为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 2．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 训练 一、单选题 1．已知函数则的零点之和为（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 2．函数的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 3．目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（    ） A．6倍 B．倍 C．倍 D．倍 4．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知函数，，则（   ） A．为减函数 B．为增函数 C．的零点为 D．只有一个零点 7．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示： 时间（天） 1 2 3 4 利润（万元） 2 3.98 8.01 15.99 则下列函数中不符合销售这种空调的函数模型的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 8．已知二次函数的两个零点为，则 9．已知函数的零点位于区间上，则 . 10．函数 的零点的个数为 四、解答题 11．已知函数． (1)若，求实数的值； (2)若有零点，求实数的取值范围． 12．已知函数. (1)若为偶函数，求的值； (2)讨论的零点个数. 一、单选题 1．方程的实数解个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若函数，，的零点分别为，，，则（    ） A． B． C． D． 4．DeepSeek以其强大的算法火爆全球，吸引了大量用户的关注与讨论，成为热门话题，统计学家发现热门话题的关注度达到峰值后，会出现下降趋势．假设一个热门话题的关注度（）与时间t（单位：月）的关系式为，其中为关注度的峰值，a为常数，若经过半年关注度下降到峰值的，则关注度下降到峰值的，至少需要的时间为（   ） （参考数据：） A．23个月 B．24个月 C．25个月 D．26个月 二、填空题 5．已知函数有唯一零点，则 ． 6．已知二次函数在区间上有且只有一个零点，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. (1)求函数的解析式及零点个数； (2)求函数在区间上的最小值和最大值. 8．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强．但在实际生活中，常用声音的声强级来度量．为了描述声强级与声强之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据： 组别 1 2 3 4 5 6 7 声强 ① 声强级 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ② 现有以下三种函数模型供选择：，，． (1)试根据前4组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①，②数据的值； (3)已知发电机的噪声声强级一般在，其声强为；电锯的噪声声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声声强级一般在，其声强为，试判断与的大小关系，并说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $