专题08 立体几何初步（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题08 立体几何初步目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：空间几何体的结构特征 考点二：空间几何体的表面积 考点三：空间几何体的体积 考点四：空间中点线面的位置关系 考点五：空间中的平行关系 考点六：空间中的垂直关系 考点七：求异面直线的夹角、线面角、二面角 进阶分级训练 1.理解空间几何体的结构特征，能识别柱、锥、台、球等基本几何体 2.掌握空间几何体的表面积公式，会计算常见几何体的表面积 3.掌握空间几何体的体积公式，会计算常见几何体的体积 4.理解空间中点、线、面的位置关系，能判断线面、面面位置关系 5.掌握空间中的平行关系，能证明线面、面面平行的判定与性质 6.掌握空间中的垂直关系，能证明线面、面面垂直的判定与性质 7.掌握求空间角的基本方法，会计算异面直线夹角、线面角和二面角 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 图 形 定 义 有两个面 ，其余各面都是 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 ，由这些面所围成的多面体 用一个平行于 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体 结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是 ；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为 分 类 ①按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于底面的棱柱叫做 ，否则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 ①按底面多边形的边数：三棱锥、四棱锥、五棱锥… ②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与 的连线垂直于底面的棱锥 ①按底面多边形的边数：三棱台、四棱台、五棱台… ②正棱台：由正棱锥截得的棱台 [注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆锥 以 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆台 用平行于 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 球 半圆以它的 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 ，球面所围成的旋转体叫做 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ S圆锥侧＝ S圆台侧＝ 其中r，r′为底面半径，l为母线长. [注意]　①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和； ②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl． 知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 几何体   表面积 体积（S是底面积，h是高） 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ 球（R是半径） S＝ V＝ 知识点5 平面的概念与平面的表示方法 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周 的． 平面的画法与表示 （1）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 图示 （2）平面的表示方法 ①用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等． ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面． ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面，平面． 知识点6 平面的基本事实与推论 （1）基本性质 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实 1 过 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 基本 事实 2 如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 确定直线在平面内；判定点在平面内 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 （2）基本事实1与2的推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个 A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过 ，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过 ，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 知识点7 空间中点线面的位置关系及其表示 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 知识点8 平行直线的传递性､等角定理 （1）平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相 ，用符号可表示为：如果 ，则 . （2）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 ，并且方向相同，那么这两个角 知识点9 异面直线及所成角 （1）定义：空间中既不 也不 的直线． （2）异面直线的画法． （3）异面直线所成的角 定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与， 的直线，，则与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小． 范围： ．特别地，当 时，与互相垂直，记作 ． 知识点10 证明线线平行的方法 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行， ②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 知识点11 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果 的一条直线与 的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 ，， 性质定理 如果一条直线与一个平面 ，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的 平行 ，， 知识点12 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理1 如果一个平面内有两条 分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ，，， ， 判定定理2 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 ，则这两个平面平行. ， ，， 性质定理1 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 于另一个平面 ， 性质定理2 如果两个平行平面同时与第三个平面 ，那么它们的 平行 ，， 知识点13 证明线线垂直的方法 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 ④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 知识点14 线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直，则这条直线与这个平面垂直 若，，，， ，则 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 若，，则 知识点15 三垂线定理及其逆定理 （1）射影： 已知空间中的平面以及点A，过A作的 l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面内的 (也称为投影)；空间中，图形F上 在平面内的 所组成的集合F`，称为图形F在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的 与平面的一条斜线在该平面内的 垂直,则它也和这条斜线垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 知识点16 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 ，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 考点精讲讲练 考点一：空间几何体的结构特征 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）正三棱锥的面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）（多选）用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（    ） A．六边形 B．五边形 C．直角三角形 D．矩形 1．“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 3．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 4．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．五棱柱 D．正方体 考点二：空间几何体的表面积 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）半径为2的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 例题3．（2025高二上·云南·学业考试）某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 3．已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为（   ） A．100 B．104 C．120 D．224 4．如图，某羊皮鼓模型可视为由两个相同的圆台组成，两圆台较小的底面完全重合．已知一个圆台的两底面半径分别为，高为，则该羊皮鼓模型的表面积为（　　） A． B． C． D． 5．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 考点三：空间几何体的体积 例题1．（2025高三下·四川·学业考试）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 例题2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 例题3．（2025高二下·北京·学业考试）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 1．（2025高三上·四川·学业考试）已知圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的底面半径为 ． 2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知圆锥的侧面积为，母线长为3，则该圆锥的体积为 . 3．（2025高二上·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 考点四：空间中点线面的位置关系 例题1．（2025高二下·陕西·学业考试）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 例题2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（   ） A．有且只有一条 B．有无数条 C．有且只有两条 D．不存在 1．（2025高三下·江苏扬州·学业考试）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．直线与异面不垂直 D．直线与异面且垂直 2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 3．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2025高二下·天津南开·学业考试）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 考点五：空间中的平行关系 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为． (1)求证：平面PAD； (2)求四棱锥的体积． 例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 1．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. (1)证明：平面 (2)若，，求二面角的正弦值. 2．（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 3．（2025高二上·北京·学业考试）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 考点六：空间中的垂直关系 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，在三棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 例题3．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 1．（2025高三上·广东·学业考试）如图，三棱锥中，，，，． (1)求证：； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 2．（2024高二上·云南·学业考试）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 3．（2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 4．（2025高二下·浙江·学业考试）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： (1)证明：平面平面； (2)若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 考点七：求异面直线的夹角、线面角、二面角 例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 例题2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，AB为圆锥底面直径，，若，则SA与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 例题3．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 1．（2025高二下·湖南·学业考试）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 2．（2023高三下·湖南邵阳·学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.    (1)求证平面.； (2)求与平面所成角的大小． 3．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 5．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 训练 一、单选题 1．设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 4．在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 5．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 6．如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．一个棱柱至少有六个面 B．棱台的各侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 8．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．，，，四点共面 B．为异面直线 C．，，三线共点 D． 9．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 三、解答题 10．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 11．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 12．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 13．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 14．如图，四边形为边长为的菱形，，，为的中点． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 15．如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 一、单选题 1．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 3．已知为异面直线，为平面，，则“与所成的角为”是“与平面所成的角为”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．三棱锥，侧棱平面，底面是一个边长为2的正三角形，二面角为，则该三棱锥的体积为（    ） A．1 B．3 C． D． 5．如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 7．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三角形面积的最大值为2 C．若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D．圆锥的外接球体积为 三、解答题 8．如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 9．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 10．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，． (1)求三棱柱的外接球的体积； (2)求直线与平面所成的角的余弦值； (3)求二面角的大小． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 立体几何初步目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：空间几何体的结构特征 考点二：空间几何体的表面积 考点三：空间几何体的体积 考点四：空间中点线面的位置关系 考点五：空间中的平行关系 考点六：空间中的垂直关系 考点七：求异面直线的夹角、线面角、二面角 进阶分级训练 1.理解空间几何体的结构特征，能识别柱、锥、台、球等基本几何体 2.掌握空间几何体的表面积公式，会计算常见几何体的表面积 3.掌握空间几何体的体积公式，会计算常见几何体的体积 4.理解空间中点、线、面的位置关系，能判断线面、面面位置关系 5.掌握空间中的平行关系，能证明线面、面面平行的判定与性质 6.掌握空间中的垂直关系，能证明线面、面面垂直的判定与性质 7.掌握求空间角的基本方法，会计算异面直线夹角、线面角和二面角 知识点1 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱 棱锥 棱台 图 形 定 义 有两个面 互相平行 ，其余各面都是 四边形 ，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的 三角形 ，由这些面所围成的多面体 用一个平行于 棱锥底面 的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体 结 构 特 征 底面互相平行且全等；侧面都是 平行四边形 ；侧棱都相等且互相平行 底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点 上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为 梯形 分 类 ①按底面多边形的边数：三棱柱、四棱柱、五棱柱… ②按侧棱与底面的关系：侧棱垂直于底面的棱柱叫做 直棱柱 ，否则叫做斜棱柱. 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体 ①按底面多边形的边数：三棱锥、四棱锥、五棱锥… ②正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与 底面中心 的连线垂直于底面的棱锥 ①按底面多边形的边数：三棱台、四棱台、五棱台… ②正棱台：由正棱锥截得的棱台 [注意]常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系 知识点2 圆柱、圆锥、圆台、球体的结构特征 分类 定义 图形及表示 表示 圆柱 以 矩形的一边所在直线 为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直 于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面； 平行 于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线 圆柱用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆柱 圆锥 以 直角三角形的一条直角边 所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 用表示圆锥轴的字母表示圆锥，左图记作 圆锥SO 圆台 用平行于 圆锥底面 的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 用表示它的轴的字母表示，左图记作 圆台 球 半圆以它的 直径 所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做 球面 ，球面所围成的旋转体叫做 球体 ，简称球．半圆的圆心叫做球的 球心 ；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径 球常用球心字母进行表示，左图可表示为 球O 知识点3 圆柱、圆锥、圆台的展开图及侧面积 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 S圆柱侧＝ 2πrl S圆锥侧＝ πrl S圆台侧＝ π(r＋r′)l 其中r，r′为底面半径，l为母线长. [注意]　①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和； ②圆台、圆柱、圆锥的转化：当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π（r＋r′）lS圆锥侧＝πrl． 知识点4 柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积 几何体   表面积 体积（S是底面积，h是高） 柱体（棱柱和圆柱） S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体（棱锥和圆锥） S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体（棱台和圆台） S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ (S上＋S下＋)h 球（R是半径） S＝ V＝ 知识点5 平面的概念与平面的表示方法 几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是向四周 无限延展 的． 平面的画法与表示 （1）平面的画法 画法 我们常用矩形的直观图，即平行四边形来表示平面 当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成 横向 当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成 竖向 图示 （2）平面的表示方法 ①用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等． ②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面． ③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶，点的大写英文字母表示，如平面，平面． 知识点6 平面的基本事实与推论 （1）基本性质 基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实 1 过 不在一条直线上 的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α 确定平面；判定点线共面 基本 事实 2 如果一条直线上的 两个点 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α 确定直线在平面内；判定点在平面内 基本 事实 3 如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 判定两平面相交；判定点在直线上 （2）基本事实1与2的推论 推论 文字语言 图形语言 符号语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个 平面 A∉l⇒有且只有一个平面α，使A∈α，l⊂α 推论2 经过 两条相交直线 ，有且只有一个平面 a∩b＝P⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 推论3 经过 两条平行直线 ，有且只有一个平面 a∥b⇒有且只有一个平面α，使a⊂α，b⊂α 知识点7 空间中点线面的位置关系及其表示 点与直线的位置关系 点在直线上 点不在直线上 点与面的位置关系 点在平面上 点不在平面上 线与线的位置关系 平行， 相交， ，异面 线与面的位置关系 面与面的位置关系 平行， 相交， 与重合 知识点8 平行直线的传递性､等角定理 （1）平行直线的传递性：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ，用符号可表示为：如果 ，则 . （2）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应 平行 ，并且方向相同，那么这两个角 相等 知识点9 异面直线及所成角 （1）定义：空间中既不 平行 也不 相交 的直线． （2）异面直线的画法． （3）异面直线所成的角 定义：一般地，如果，是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与， 平行或重合 的直线，，则与所成角的大小，称为异面直线与所成角的大小． 范围： ．特别地，当 时，与互相垂直，记作 ． 知识点10 证明线线平行的方法 ①三角形、四边形的中位线与第三边平行， ②平行四边形的性质（对边平行且相等） ③内错角、同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行 知识点11 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果 平面外 的一条直线与 平面内 的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 ，， 性质定理 如果一条直线与一个平面 平行 ，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的 交线 平行 ，， 知识点12 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理1 如果一个平面内有两条 相交直线 分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ，，， ， 判定定理2 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条直线 ，则这两个平面平行. ， ，， 性质定理1 两个平面平行，则其中一个平面内的直线 平行 于另一个平面 ， 性质定理2 如果两个平行平面同时与第三个平面 相交 ，那么它们的 交线 平行 ，， 知识点13 证明线线垂直的方法 ①等腰三角形（等边三角形）的三线合一证线线垂直 ②勾股定理的逆定理证线线垂直 ③菱形、正方形的对角线互相垂直 ④线面垂直、面面垂直的性质定理可证线线垂直 知识点14 线面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 两条相交直线 垂直，则这条直线与这个平面垂直 若，，，， ，则 性质定理 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线 平行 若，，则 知识点15 三垂线定理及其逆定理 （1）射影： 已知空间中的平面以及点A，过A作的 垂线 l，设l与α相交于点A'，则A'就是点A在平面内的 射影 (也称为投影)；空间中，图形F上 所有点 在平面内的 射影 所组成的集合F`，称为图形F在平面α内的射影. （2）三垂线定理： 如果平面内的 一条直线 与平面的一条斜线在该平面内的 射影 垂直,则它也和这条斜线垂直. （3）三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 斜线 垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 知识点16 面面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符合语言 判定定理 一个平面过另一个平面的 垂线 ，则这两个平面垂直 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 考点精讲讲练 考点一：空间几何体的结构特征 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）正三棱锥的面的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三棱锥的几何结构特征，即可求解. 【详解】根据三棱锥的几何结构特征，可得三棱锥共有4个面，其中三个侧面和一个底面. 故选：B. 例题2．（2025高二下·浙江·学业考试）（多选）用一个平面截取一个正方体，所得截面的形状可能是（    ） A．六边形 B．五边形 C．直角三角形 D．矩形 【答案】ABD 【分析】根据题意分别用一个平面去截正方体，可对A、B、D判断求解；截面为，假设为直角三角形，可通过计算证明假设不成立，即可对C判断. 【详解】A：如图，用一个平面去截正方体，截面为六边形，故A正确； B：如图，用一个平面去截正方体，截面为五边形，故B正确； C：如图，截面为，点O为正方体的顶点，在三棱锥中，，，两两垂直， 若为直角三角形，不妨令，则， 因，，，化简得，故矛盾， 则不为直角三角形，故C错误； D：如图，用一个平面去截正方体，截面为矩形，故D正确； 故答案为：ABD. 1．“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据正四棱柱，长方体的结构特征及充分、必要条件关系判断. 【详解】若几何体是正四棱柱，则该几何体是长方体，即几何体是正四棱柱能推出几何体是长方体， 而几何体是长方体不能推出几何体是正四棱柱， 故“几何体是正四棱柱”是“几何体是长方体”的充分不必要条件. 故选：A. 2．下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧棱长一定相等 B．侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 C．圆柱的母线长与高相等 D．底面是正三角形的棱锥是正棱锥 【答案】D 【分析】根据棱柱、直棱柱、圆柱及圆锥的定义逐项判断即可. 【详解】选项A:由棱柱的定义知，棱柱的侧棱长一定相等，故选项A说法正确； 选项B:由直棱柱的定义知，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，故选项B说法正确； 选项C:由圆柱的定义知，圆柱的母线长与高相等，故选项C说法正确； 选项D:若一个棱锥的底面为正三角形，但其顶点在底面的投影不在正三角形的中心处，则该棱锥不是正棱锥，故选项D说法错误. 故选：D. 3．下列说法中，正确的为（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 C．底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥 【答案】D 【分析】根据棱锥的结构特征可判断ABC；根据正六棱锥的侧棱长一定大于底面边长可判断D. 【详解】对于A，有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，如下图， 所以A错误； 对于B，有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体的侧棱不一定交于一点， 所以B错误； 对于C，底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥的顶点不一定在底面的射影为 底面等边三角形的中心，所以C错误； 对于D，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面为正六边形，由过底面中心和顶点的截面知， 若以正六边形为底面，则侧棱必然大于底面边长，所以D正确. 故选：D. 4．用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这个几何体不可能是（    ） A．圆锥 B．圆柱 C．五棱柱 D．正方体 【答案】A 【分析】根据几何体的特征，做出其截面即可. 【详解】对于A：一个平面只能截出三角形，圆与圆锥曲线，所以一个平面截圆锥，截面不可能为长方形，故A是； 对于B：作一个轴截面，如图，截面即为长方形，故B不是；    对于C：做一个直五棱柱，做出如图的截面，截面即为长方形，故C不是；    对于D：做出如图的体对角面，截面即为长方形，故D不是.    故选：A 考点二：空间几何体的表面积 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）半径为2的球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球的表面积公式即可求解 . 【详解】由球的表面积公式可得半径为2的球的表面积. 故选：D 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）已知圆柱的底面半径和球的半径均为2，圆柱的体积为，则圆柱与球的表面积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆柱的体积求出圆柱的高，再由圆柱与球的表面积公式即可得出答案. 【详解】设圆柱的底面半径和球的半径为,圆柱的高为， 所以，所以球的表面积为， 所以圆柱的体积为，解得：， 圆柱的表面积为：， 所以. 故选：A. 例题3．（2025高二上·云南·学业考试）某校学生到校办工厂制作球体教具.若该球的半径为，则这个球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用球的表面积公式求解. 【详解】依题意，球的表面积为（）. 故选：C 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知球O内切于一个边长为6的正方体，则球O的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何关系确定正方体内切球的半径，再根据球的表面积公式，即可求解. 【详解】正方体的棱长为6，所以其内切球的半径为3， 所以球的表面积为. 故选：C 2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知圆柱的底面半径与球的半径相等，圆柱的高也与球的半径相等，则圆柱与球的表面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆柱及球的表面积公式计算得解. 【详解】设球半径为，则圆柱的表面积，球的表面积， 所以圆柱与球的表面积之比为. 故选：B 3．已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为（   ） A．100 B．104 C．120 D．224 【答案】D 【分析】首先求圆台的母线，再代入圆台的表面积公式，即可求解. 【详解】圆台的上底面的半径为，下底面的半径为，高为，母线长为， ， 所以圆台的表面积. 故选：D 4．如图，某羊皮鼓模型可视为由两个相同的圆台组成，两圆台较小的底面完全重合．已知一个圆台的两底面半径分别为，高为，则该羊皮鼓模型的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台的侧面积计算公式与圆的面积公式计算即可求解. 【详解】由题可知圆台的母线长为， 则圆台的侧面积为，又鼓面的面积， 故该羊皮鼓模型的表面积为． 故选：C. 5．亭是我国古典园林中最具特色的建筑形式，它是逗留赏景的场所，也是园林风景的重要点缀.重檐圆亭（图1）是常见的一类亭，其顶层部分可以看作是一个圆锥和一个圆台的组合体.已知某重檐圆亭圆台部分的直观图如图2所示，在其轴截面中，，，点到的距离为，则该圆台的侧面积为    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的长度，再利用圆台侧面积公式进行求解. 【详解】过点，作，因为点到的距离为，所以的长度为， 因为，，所以，，    ，，. 故选：D. 6．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，直四棱锥内接于圆柱，PA为圆柱的母线，四边形ABCD是底面的内接平行四边形，E，F分别是PA，PB的中点． (1)证明：平面PCD； (2)若四边形ABCD为长方形，且，求圆柱的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位数可知，进而可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）由题意可得，结合圆柱的侧面积公式可得圆柱的表面积. 【详解】（1）因为，F分别是PA，PB的中点，可知是的中位线，则， 又因为，则， 且平面PCD，平面PCD， 所以∥平面PCD. （2）因为四边形ABCD为长方形则为底面圆的直径，且， 设r为圆柱的底面圆半径，l为圆柱的高，则， 所以圆柱的表面积. 考点三：空间几何体的体积 例题1．（2025高三下·四川·学业考试）已知圆柱的底面积为，侧面积为，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【分析】由圆柱的底面积公式、侧面积公式、体积公式可解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h， 由题意可知，解得. 所以该圆柱的体积为. 故答案为：. 例题2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）祖暅是南北朝时期的伟大科学家，在数学上做出了突出的贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出了“祖暅原理”，即“幂势既同，则积不容异”.利用祖暅原理可以获得球的体积公式为.已知一个球的半径，则该球的体积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用球的体积公式，将半径，直接代入求解即可. 【详解】由题意球的体积公式为， 则半径的球的体积， 故选：D 例题3．（2025高二下·北京·学业考试）如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为（   ）    A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】利用棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为长方体，底面，，， 所以四棱锥的体积， 故选：B 1．（2025高三上·四川·学业考试）已知圆锥的体积为，高为3，则该圆锥的底面半径为 ． 【答案】2 【分析】利用圆锥体积公式求解即可. 【详解】设圆锥的半径为,所以，解得：; 故答案为： 2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知圆锥的侧面积为，母线长为3，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为，根据侧面积求出，勾股定理求出圆锥的高，再求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，可知， 从而圆锥的高，则圆锥的体积为. 故答案为：. 3．（2025高二上·云南·学业考试）如图，在四棱锥中，，. (1)证明：平面； (2)若，四边形的面积等于10，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)20 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得证； （2）根据棱锥体积公式计算即可得解. 【详解】（1）因为，，平面， 所以平面. （2）因为，四边形的面积等于10， 所以， 即四棱锥的体积为. 4．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，边长为1，，，O为AC的中点．    (1)求的体积； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥体积公式直接计算； （2）先证平面，从而可得． 【详解】（1）根据直棱柱的性质，平面ABCD， 所以高， ， ． （2）如图，连接OB，．    根据直棱柱的性质，平面ABCD，平面ABCD， 所以． 因为底面ABCD是菱形，所以． 因为BD，平面，， 所以平面， 又平面，所以． 考点四：空间中点线面的位置关系 例题1．（2025高二下·陕西·学业考试）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列选项正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】对于ABC，由答案不完备即可判断错误；对于D，由面面垂直的性质和线面垂直的判定定理即可判断正确. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，则或相交或，故C错误； 对于D， 如图，，点是平面内一点， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 因为，，且， 所以，，又， 所以，又， 所以，故正确. 故选：D. 例题2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在长方体中，下列直线位置关系判断正确的是（   ） A．直线AB与AC异面 B．直线AC与相交 C．直线与AC异面 D．直线与相交 【答案】C 【分析】利用长方体中的线线位置关系，可逐一判断各选项. 【详解】 如图，连接， 对于A，因，故直线AB与AC相交，不异面，故A错误； 对于B，因， ，故得，则有， 故直线AC与不可能相交，故B错误； 对于C，因平面， 平面， 平面， 故直线与AC异面，即C正确； 对于D，因， ，故得，则， 而与相交，故直线与异面，故D错误. 故选：C. 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）若直线l是与平面相交的一条斜线，则在平面内与l垂直的直线（   ） A．有且只有一条 B．有无数条 C．有且只有两条 D．不存在 【答案】B 【分析】依题意画出图形，即可判断. 【详解】如图设斜线l与平面交于点A，在平面内过点A作直线， 则在平面内所有与直线a平行的直线均与直线l垂直， 故在平面内与l垂直的直线有无数条. 故选：B 1．（2025高三下·江苏扬州·学业考试）如图，在正方体中，直线与的位置关系是（    ）    A．平行 B．相交 C．直线与异面不垂直 D．直线与异面且垂直 【答案】D 【分析】由正方体的性质得到异面和，结合平行四边形性质得到，最终证明结论即可. 【详解】因为正方体的对面平行，所以直线与异面， 如图，连接，由正方体性质得四边形是平行四边形，，    则，故，则直线与异面且垂直，故D正确. 故选：D． 2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在正方体中，连接，，则直线，位置关系是（    ） A．异面且垂直 B．异面但不垂直 C．相交且垂直 D．平行 【答案】A 【分析】易知与互为异面直线，根据线面垂直的判定定理与性质即可证明. 【详解】如图，易知与互为异面直线. 连接，则， 又面，面， 所以，又面， 所以面，又面， 所以. 故选：A 3．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据空间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 4．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知是空间中三条不同的直线，是空间中某平面，下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据空间线线、线面之间的基本关系，结合选项依次判断看. 【详解】A：若，则，故A正确； B：若，则或或与相交，故B错误； C：若，则或，故C错误； D：若，则或，故D错误. 故选：A 5．（2025高二下·天津南开·学业考试）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（    ）． A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】运用两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，对四个选项分别进行判断，即可得出结论，需要注意考虑特殊情况. 【详解】对于A，，过的平面与交于，则，，，，，正确； 对于B，如图所示，若平面平面，平面平面，，但平面与平面不平行，错误；    对于C，因为若，，则与的位置关系不确定，故与可能相交，可能平行，也可能是，错误； 对于D，因为，垂直于同一个平面，故，可能相交，可能平行，错误. 故选：A. 6．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由线面、面面位置关系逐个判断即可. 【详解】若，，则或，A错误； 若，，则或或，B错误； 若，，则或相交，C错误； 设直线方向向量为，平面法向量分别为， 因为，所以， 又，所以， 所以 所以，正确， 故选：D 考点五：空间中的平行关系 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，在正四棱锥中，是正方形ABCD的中心，E是PC的中点，直线PB与平面ABCD所成的角为． (1)求证：平面PAD； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）由正四棱锥的性质可得线面角，再结合长度求出正四棱锥的高，最后利用体积公式即可. 【详解】（1）连接AC，因为O是正方形ABCD的中心，所以O是AC的中点． 又因为E是PC的中点，所以是的中位线，则， 因为平面平面， 所以平面. （2）在正四棱锥中，平面. 因为直线PB与平面ABCD所成的角为， 则直线PB与平面ABCD所成的角， 在正方形ABCD中，，则， 在中，，所以， 又正四棱锥的底面积， 则正四棱锥的体积． 例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）如图，在三棱锥中，平面，，是的中点，是的外心.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）由等体积法即可求解. 【详解】（1），， ，是直角三角形，      又为的外心，为的中点. 连接，又为的中点，所以中， 又平面，平面， 平面. （2）由（1）知，又由已知平面，所以，， 因为，平面，平面， 平面，. 不妨设，， ，，，. 又，为的中点， ， 是边长为的等边三角形，. 设点到平面的距离为， ，，即， ，. 设直线与平面所成的角为，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 例题3．（2025高二下·湖南·学业考试）如图，在正三棱柱中，为的中点． (1)在棱上找一点，使得平面，请确定点的位置； (2)若，求直线与平面所成的角的正弦值． 【答案】(1)点 为 的中点； (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求解； （2）利用线面垂直的判定定理证得平面 ，可得，找到线面角为，从而求解. 【详解】（1）在正三棱柱中，取的中点为P,连接 , 因为 D 为 中点，所以 , 且， 所以四边形 为平行四边形，故 ， 又因为平面，平面， 所以平面，故P 为 中点. （2）设直线 与平面 所成的角为 ， 在正三角形 中， ，其中 为中点. 则，. 在正三棱柱中，平面 ，平面 ， 所以， 又因为，平面 ，平面 ， 所以平面 ，平面 ，所以. 所以为直线与平面所成的角； 则. 1．（24-25高三下·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，，，平面ABC，H为垂足，D为AC的中点. (1)证明：平面 (2)若，，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，三线合一得到；又因为平面，得到；进而得到平面，运用线面垂直性质得到；进而得到；最终运用线面平行判定定理得到平面；（2）如图，过点H作于点Q，连接，证明为二面角的平面角，借助三角函数得到二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：连接，因为，D为的中点，所以； 又因为平面，平面，所以； 又因为，平面，，所以平面， 又平面，所以； 因为，且，均在平面内，所以； 因为平面，平面，所以平面； （2）如图，过点H作于点Q，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，，，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以，， 所以，所以， 所以二面角的正弦值为 2．（2025高二上·辽宁·学业考试）在四棱锥中，四边形为等腰梯形，平面，,,，、为、的中点． (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，再利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）连接，设，可得出，其中，利用余弦定理结合的取值范围可求出的值，利用三角形的面积公式可求出等腰梯形的面积，再利用锥体的体积公式可求得四棱锥的体积. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，则， 因为，则， 因为平面，平面，故平面. （2）连接，如下图所示： 因为四边形为等腰梯形，则，且， 不妨设，则，其中， 又因为，， 由余弦定理可得， ， 所以，，解得， 因为，则， 所以， ， 因为平面，故. 因此，四棱锥的体积为. 3．（2025高二上·北京·学业考试）如图，在正方体中，点在上. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. 【详解】（1）因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以. （2）因为为正方体， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 4．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱底面，且，为侧棱的中点. (1)求四棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用棱锥的体积公式即可； （2）作辅助线，且，得出，再利用线面平行的判定定理即可； （3）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的定义可得. 【详解】（1）因底面，则为四棱锥的高， 因，正方形的边长为， 则四棱锥的体积为； （2）连接，且，连接， 因四边形为正方形，则为线段的中点， 又为侧棱的中点，则为的中位线，则， 因平面，平面，则平面； （3）因四边形为正方形，则， 又平面，平面，则， 因，平面，平面，则平面， 又平面，则. 考点六：空间中的垂直关系 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）如图，在三棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得答案； （2）由三棱锥的体积可得答案． 【详解】（1）底面，底面， ， ， 平面平面； （2）， 又三棱锥的体积为． 例题3．（2024高二下·安徽·学业考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【详解】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 1．（2025高三上·广东·学业考试）如图，三棱锥中，，，，． (1)求证：； (2)求侧面与底面所成二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）作，连接，证得为平面与平面所成角，再求的正切值即可. 【详解】（1），, 又，且平面 平面， 又平面, （2） 作，连接， ，，, 平面 平面， 又平面, 平面平面， 为平面与平面所成角， 在中，，，， 根据勾股定理可得：， 由三角形面积公式，可得， ， 所以侧面与底面所成二面角的正切值为. 2．（2024高二上·云南·学业考试）如图，在三棱锥中，，，.    (1)证明：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）求出的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为，，，、平面， 因此平面. （2）因为，且，，则， 又因为平面，且， 故，即三棱锥的体积为. 3．（2024高二上·江苏·学业考试）如图，已知正方体.求证： (1)平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）通过证明AB，可完成证明； （2）通过证明可完成证明. 【详解】（1）由题，四边形为正方形，则AB. 又平面，面，则平面； （2）由题，平面，又面，则. 又四边形为正方形，则. 因，平面，， 则上平面 4．（2025高二下·浙江·学业考试）如图所示，四边形是正方形在平面上的投影（），请回答下列问题： (1)证明：平面平面； (2)若，且，且． （Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）试求的体积． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)（Ⅰ）证明过程见解析；（Ⅱ） 【分析】（1）由和得到线面平行，进而得到面面平行； （2）（Ⅰ）先得到⊥，且，⊥，又，所以⊥平面； （Ⅱ）可视作直四棱柱，作出辅助线，求出等腰梯形的面积，利用柱体体积公式进行求解. 【详解】（1），平面，平面， 所以平面， 又为正方形，故，平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； （2）（Ⅰ）正方形的平行投影有四种情况，正方形，矩形，平行四边形或线段， 显然投影不是线段，由于，故正方形的投影为矩形， 即四边形为矩形，要想投影为矩形，需满足⊥，且， ⊥， 又，，平面， 所以⊥平面， （Ⅱ）可视作直四棱柱， 其中，， 所以，，故四边形为等腰梯形， 过点分别作⊥，⊥于点， 故，， 由勾股定理得， 故等腰梯形的面积为， 又， 故. 考点七：求异面直线的夹角、线面角、二面角 例题1．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ）． A．90° B．60° C．45° D．30° 【答案】D 【分析】连接，是异面直线与所成角或其补角，求出，由余弦定理即可求出答案. 【详解】连接，因为，，所以四边形是平行四边形， 所以，所以是异面直线与所成角或其补角， 设正方体的边长为，所以，， 因为平面，平面，所以， 所以， 所以，因为，所以. 故选：D. 例题2．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，AB为圆锥底面直径，，若，则SA与圆锥底面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用AB为圆锥底面直径，，得就是SA与圆锥底面所成的角，再利用可得答案. 【详解】因为AB为圆锥底面直径，， 所以是底面圆圆心，所以就是SA与圆锥底面所成的角， 因为，， 所以，又因为，所以. 故选：A. 例题3．如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点. (1)证明：平面PAC； (2)若，求二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合圆周角和面面垂直的判定定理证明可得； （2）由（1）知 ，又，所以 就是二面角 的平面角，由几何关系求出即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以. 因为点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，所以. 又因为，平面，平面，所以平面. （2）由（1）知 平面 ，因为 平面 ，所以 . 又因为 ，所以 就是二面角 的平面角. 设 ，因为 ，所以 . 在 中，根据勾股定理 . 根据正弦函数的定义，. 所以二面角 的平面角的正弦值为. 1．（2025高二下·湖南·学业考试）在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ． 【答案】/0.2 【分析】连接，先证明，可得（或其补角）为直线和所成角，进而结合余弦定理求解即可. 【详解】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 则异面直线和所成角的余弦值为. 故答案为：.    2．（2023高三下·湖南邵阳·学业考试）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.    (1)求证平面.； (2)求与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角. 【详解】（1）解：因为是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面. （2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角， 因为，所以， 在直角中，， 所以，即与平面所成的角为.    3．如图，四棱锥的底面是正方形，垂直于底面,为的中点. (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，交于点，连接，由三角形中位线定理推得，由线线平行即可证明线面平行； (2)由平面即得为直线与平面所成的角，借助于直角三角形即可求得. 【详解】（1） 如图，连接，交于点，连接， 因四边形是正方形，故，又为的中点， 故，因平面，平面，故平面. （2）因平面，则为直线与平面所成的角， 也即直线与平面所成的角，在中，因，故. 即直线与平面所成的角为. 4．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，点分别是的中点． (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，利用三角形中位线定理证明，再由线线平行证线面平行即可. （2）先证明平面，即得为直线与平面所成角，借助于，即可求得答案. 【详解】（1）如图，连接，因为四边形是正方形，所以点是的中点， 又因是的中点，故得， 又因平面，平面，所以平面． （2）如图，连接，由（1）得是中点， 因为，所以， 又因为底面是正方形，且为对角线，所以， 又因为平面，所以平面 所以直线与平面所成角为， 因为在中， ，则， 故，即直线与平面所成角的大小为． 5．如图，在正方体中，为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)证明，得关键线线平行，从而得到平面； (2)证明，得到二面角的平面角，在直角三角形中，找到它的正弦值即可. 【详解】（1）证明：， 又平面，平面，平面． （2）如图，在正方体中，平面， 又平面，． 为的中点，． 又，平面，平面， 平面．又平面，． 又，为二面角的平面角． 设正方体的棱长为2， 则，，， 二面角的正弦值为． 训练 一、单选题 1．设、是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】由线面和面面的位置关系依次判断各选项即可. 【详解】对于A，若，，则与平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若，，则与平行或相交，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，则或在内或与相交，故D错误. 故选：C. 2．已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（    ） A． B． C．π D． 【答案】B 【分析】圆锥的轴截面特征即可求. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形, 所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选： 3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用正三棱锥的结构特征及线面角的定义求解. 【详解】如图，在正三棱锥中，设，则，    顶点在底面上的射影为正的中心，即为侧棱与底面所成的角， 因此，，所以侧棱与底面所成角的余弦值为. 故选：A 4．在正四面体中，设，则四面体的体积等于（    ）. A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意将正四面体补形成边长为1的正方体，从而可求解. 【详解】如图，把正四面体补形成边长为1的正方体， 则四面体的体积为， 故四面体的体积为，故C正确. 故选：C.    5．如图，在正方体中，分别是的中点，则直线与平面的位置关系是（   ）    A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】连接交于点，连接，证明为平行四边形，结合线面平行判定定理即可作出判断. 【详解】连接交于点，连接，，而分别是的中点，    所以，即，且，即， 则为平行四边形，故， 由平面平面，则平面． 故选：B 6．如图，在正方体中，下列判断正确的是（   ） A．直线平面 B．直线直线 C．直线平面 D．直线与直线是异面直线 【答案】D 【分析】根据正方体的结构特征，结合异面直线、线面位置关系判断各项的正误. 【详解】平面即平面，显然直线与平面相交，故A错误； 假设平面，即平面， 因为平面，所以， 在正方体中显然与不垂直，所以假设不成立，故C错误； 由正方体性质可知，而直线与直线相交， 所以直线与直线不平行，故B错误； 因为直线与直线不同在任何一个平面内，根据异面直线的定义可得直线与直线为异面直线，故D正确. 故选：D 二、多选题 7．下列命题正确的是（    ） A．一个棱柱至少有六个面 B．棱台的各侧棱延长后交于一点 C．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 D．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 【答案】BCD 【分析】根据棱柱、正棱锥，棱台、圆锥的定义或性质即可对选项一一判断. 【详解】对于A项，三棱柱只有5个面，故A项错误； 对于B项，因棱台即是用平行于棱锥底面的平面截得的，故各侧棱延长后交于一点，故B项正确； 对于C项，因正棱锥的底面时正多边形，顶点在底面的射影是正多边形的中心，故侧棱都相等，从而每个侧面都是全等的等腰三角形，故C项正确； 对于D项，圆锥过轴的截面是由两条母线以及底面圆的直径构成的三角形，故为等腰三角形，故D项正确. 故选：BCD. 8．如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A．，，，四点共面 B．为异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】AC 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于AB，在三棱柱中，分别为的中点，连接， 由是的中位线，得，由，且， 得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确，B错误； 对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，，当时，， 又，则，D错误. 故选：AC 9．如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 10．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线定理可得，进而可证结论； （2）由面面垂直的判定定理可得平面底面，进而利用面面垂直的性质可得平面，进而可证结论. 【详解】（1）连接交于，连接， 因为四边形是正方形，所以是的中点， 又E是侧棱的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面；    （2）因为侧棱底面，平面，所以平面底面， 又因为底面，，平面底面， 所以平面，又平面，所以平面平面. 11．如图，在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点. (1)求证：. (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）取中点，连由中点性质知垂直垂直，根据线面垂直判定得垂直平面，进而得． （2）利用三棱锥体积公式算出体积. 【详解】（1）取中点，连接，， 在直三棱柱中，，D，E分别为，的中点， 故，又因则，， 因，平面， 故平面，因为平面，所以； （2）因，，平面，则平面 则三棱锥的体积为： ． 12．如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，． (1)证明：平面； (2)若，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）利用等体积法即可求解. 【详解】（1）底面，平面，， 又，，平面， 平面； （2）底面，平面，， ，， 设点到平面的距离为，则， 由（1）可知，平面，平面，， ， ，， ，， 点到平面的距离为． 13．如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与直线所成的角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）将所求转换为直线与直线所成的角的大小，结合等边三角形的内角即可求解. 【详解】（1）因为点，分别为棱，的中点， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面； （2）设正方体棱长为，由勾股定理可得， 所以三角形是边长为的等边三角形， 所以直线与直线所成的角的大小为， 因为， 所以直线与直线所成的角的大小为. 14．如图，四边形为边长为的菱形，，，为的中点． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，得是正三角形，由三线合一得，，根据线面垂直判定定理得到平面，进而得到结论； （2）在上取点，使，得到，进而，由线面平行判定定理得到结论. 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由为的中点，得，由，得， 而平面，则平面， 又平面，所以. （2）在上取点，使，如（1）中的图所示， 因为菱形，则，且， 又因为为中点，所以，则有， ，而平面，平面， 因此平面，即线段上存在点，使得平面，. 15．如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 一、单选题 1．已知正四面体的棱长为，则其外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正四面体补形为正方体，利用正方体的外接球，计算出正四面体外接球的表面积. 【详解】将正四面体放在正方体中如图所示， 正四面体的外接球即正方体的外接球，设正方体的边长为， 由于，即， 所以正方体的外接球半径为， 所以外接球的表面积为. 故选：A. 2．在正方体中，分别为，的中点，则（    ） A． B． C．平面平面 D．与所成的角大小为 【答案】A 【分析】对A，取中点，连接，利用正方体的性质可得四边形是平行四边形，即可求解；对B，利用，即可求解；对C，因为两平面过同一点，即可求解；对D，连接，从而可得为与所成的角，在中，通过计算可得，即可求解. 【详解】对于A，取中点，连接，因为分别为，的中点， 则，且，所以是平行四边形，所以，且， 又，且，所以平行四边形，则，且， 所以，且，则四边形是平行四边形，所以，故A正确， 对于B，因为，显然与不垂直，所以与不垂直，故B错误， 对于C，因为平面与平面均过点，所以平面与平面不平行，故C错误， 对于D，连接，因为，且，所以四边形是平行四边形， 则，所以为与所成的角， 在中，设，则， 所以，故D错误， 故选：A. 3．已知为异面直线，为平面，，则“与所成的角为”是“与平面所成的角为”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据线面角，线线角及充分必要条件的定义分析判断. 【详解】如图，过点作交平面于点，作交平面于点，连结， 则即为与所成的角，等于直线与平面所成的角， 显然， 所以 “与所成的角为”是“与平面所成的角为”的充分必要条件. 故选：C． 4．三棱锥，侧棱平面，底面是一个边长为2的正三角形，二面角为，则该三棱锥的体积为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，由线面垂直的性质和判定，结合二面角的定义及已知求出，利用棱锥的体积公式即可得. 【详解】取的中点，连接，又等边的边长为2，则且， 由侧棱平面，平面，则， 且，都在平面内，故平面， 因为平面，所以， 故二面角的平面角为，故， 所以. 故选：A 5．如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，垂足为，由平面平面可得平面，进而得到，结合直三棱柱的特征可得，进而得到平面，可得为直线与平面所成的角，进而求解即可. 【详解】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面，而平面， 则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为， 所以，解得， 而，则，即， 则与平面所成的角为. 故选：C. 二、多选题 6．如图，正方体的棱长为1，E是的中点，则（   ） A． B．三棱锥的体积为 C．三棱锥的外接球的表面积为 D．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 【答案】ACD 【分析】由线面垂直的性质定理可判断A，由三棱锥的体积公式计算可判断B，由直棱锥的外接球半径计算方法可判断C，作出过，C，E三点确，进而求得截面的周长判断D. 【详解】对于A，∵，，， 平面，平面，∴平面， 又平面，∴，故A正确； 对于B：三棱锥的体积，故B错误； 对于C，设三棱锥的外接球的半径为， 的外接圆半径为，， 在中，由余弦定理得，， 所以，则有， 三棱锥的外接球的表面积为，故C正确. 对于D，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形 （其中F为的中点，故等腰梯形的周长为，故D正确. 故选：ACD. 7．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三角形面积的最大值为2 C．若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D．圆锥的外接球体积为 【答案】ACD 【分析】根据圆锥侧面展开图的半径与母线长度的关系求得表面积；依据的面积与长度的关系，利用基本不等式求最值；找出二面角的平面角可利用三角函数求得线段长度进而求面积；理清外接球的性质列方程求解半径. 【详解】圆锥底面周长为，即圆锥侧面展开图的半圆的弧长为. 则该半圆所在圆的周长为，故其半径为，即该圆锥的母线长为，. 圆锥的侧面积为，底面积为，故表面积为.A选项正确. 设，，，故的面积，当且仅当时等号成立，即时等号成立.但 ,故无法取得最大值. B选项错误. 中点为，连接，.易知. 所以为二面角的平面角，. 又因为为直角，所以，求得.由勾股定理得. 所以的面积为.C选项正确. 圆锥的外接球球心在点上方，设. 因为，所以，解得. 故外接球的半径为，所以体积为. D选项正确. 故选：ACD. 三、解答题 8．如图所示，在三棱锥中，，，点O，M分别为线段，的中点． (1)若平面平面，证明：； (2)证明：平面； (3)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见详解. (2)证明见详解. (3) 【分析】（1）利用线线平行证得平面，再结合线面平行的性质加以证明； （2） 由线线垂直，,,再结合线面垂直的性质加以证明； （3）利用中位线将两条线与平移到一个三角形，根据余弦定理求解 【详解】（1）由题：点O，M分别为线段AC，AB的中点，所以； 又因为平面，平面，所以平面； 而平面，平面平面，故,所以. （2）因为，所以为边长为4的等边三角形， O为线段AC的中点，所以； 又因为，，故； 在中，，所以； 而，平面ABC，所以平面. （3） 取中点，连接，于是是中位线，则， 于是与所成角即为，由题知，， 又，由三线合一，，做完， 同理，在中，由余弦定理 故直线与所成角的余弦值为. 9．如图，已知平面平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，点E，F，M分别是BC，PB，AD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接，连接交于点，连接，先得到四边形为矩形，可得为的中点，结合为的中点，可得，进而求证即可； （2）由，为的中点，可得，再根据平面平面可得平面， 进而得到，进而求证即可； （3）取为的中点，作，垂足为，连接，分析得到是二面角的平面角，解三角形即得. 【详解】（1）如图，连接，连接交于点，连接，    因为点为的中点，为中点，且 四边形ABCD是正方形， 所以四边形为矩形， 故为的中点，又因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）由，为的中点，得， 又因为四边形是正方形，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以，   又因为，平面， 所以平面． （3）如图，取为的中点， 由，得， 又因平面平面，平面平面，平面， 平面， 作，垂足为，连接，    由，，所以， 因为平面， 所以平面，又平面，则， 所以就是二面角的平面角， 在中，，，得， 所以， 故所求二面角的余弦值为． 10．如图，在直三棱柱中，是棱的中点，，，． (1)求三棱柱的外接球的体积； (2)求直线与平面所成的角的余弦值； (3)求二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意找出外接球的球心，再用勾股定理求出半径，进而即可求出外接球的体积； （2）先根据线线垂直，线面垂直的性质及勾股定理证明是直线与平面所成的角，从而求出其余弦值，进而即可得到答案． （3）取的一点，使，且连接，从而根据线面垂直，线线垂直的性质证明是二面角的平面角，再根据勾股定理，余弦定理及三角函数的定义求出，，，进而根据余弦定理求出，进而即可得到答案． 【详解】（1）取的中点，取的中点，连接，且交于， 由，且，则是等腰直角三角形， 所以是的外心，同理是的外心， 所以是直三棱柱的外接球的球心， 又， 则外接球的半径为， 三所以棱柱的外接球的体积是． （2）在直三棱柱中，平面， 又平面，则， 由，且，，平面， 所以平面， 又平面，所以， 由是棱的中点， 则，， 则，所以， 又，，平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成的角， 由平面，则， 又，， 则， 所以直线与平面所成的角余弦值是． （3）取的一点，使，且连接， 由（2）有， 又平面平面，所以是二面角的平面角， 在中，有，，， 由余弦定理有， 则，， 则， 所以，， 在中，有，，， 则，所以， 所以， 所以在中， 由余弦定理得， 在中，有，，， 则由余弦定理有， 又，所以， 故二面角的平面角是． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $