专题07 平面向量与复数（讲义，全国通用）数学学业水平考试合格考总复习

专题07 平面向量与复数目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：平面向量基本概念的综合考查 考点二：平面向量线性运算的综合考查 考点三：平面向量共线定理与点共线问题 考点四：平面向量基本定理 考点五：平面向量线性运算及共线的坐标表示 考点六：平面向量垂直的坐标表示 考点七：平面向量数量积 考点八：平面向量的模长 考点九：求夹角 考点十：求投影向量 考点十一：复数的实部与虚部 考点十二：复数的分类 考点十三：复数的几何意义 考点十四：复数的模长 进阶分级训练 1.理解平面向量的基本概念，能识别向量的模、方向及相关术语； 2.掌握平面向量的线性运算，能进行向量的加法、减法及数乘操作； 3.掌握平面向量共线定理，会判断和证明点共线问题； 4.理解平面向量基本定理，能在具体问题中选取合适基底； 5.掌握平面向量线性运算及共线条件的坐标表示，能进行坐标运算； 6.掌握平面向量垂直的坐标表示，会判断和证明向量垂直； 7.理解平面向量数量积的概念，能进行数量积的各种运算； 8.掌握平面向量的模长公式，会求向量的模长及相关问题； 9.会求平面向量的夹角，能利用数量积计算夹角； 10.理解投影向量的概念，会求一个向量在另一个向量上的投影； 11.理解复数的实部与虚部，能准确指出复数的组成部分； 12.掌握复数的分类，能区分实数、虚数与纯虚数； 13.理解复数的几何意义，能在复平面中表示复数及其运算； 14.掌握复数模长的计算，会求复数的模及相关应用。 知识点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 大小 又有 方向 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： 起点 ， 方向 ， 长度 ． ②表示方法： 向量可以用 有向线段 表示，向量的大小称为向量的 长度 (或称模)，记作 || .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 知识点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 三角形 法则 平行四边形 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 三角形 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 相同 ；当时，的方向与的方向 相反 ；当时， 知识点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 终点 指向向量的 终点 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 相反 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 知识点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 唯一一个 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 知识点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 不共线向量 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 相应坐标 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 知识点10 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 知识点11 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 同向 ； ②当时，向量与 垂直 ，记作； ③当时，向量与 反向 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 知识点12 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 知识点13 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 乘积的和 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 知识点14 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 知识点15 复数的定义 复数：一般地，当a与b都是实数时，称为 复数 ，复数一般用小写字母z表示，即，其中a称为z的 实部 ，b称为z的 虚部 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。 知识点16 虚数单位与周期 i叫做虚数单位，规定 -1 ；虚数单位可以与实数进行 四则运算 特别地， ， ， 1 ，其中． 知识点17 复数的分类 对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数数 ． 即复数 知识点18 复数相等 如果，，，都是实数，那么 且 ．特别地，当，都是实数时， 的充要条件是且． 知识点19 共轭复数及其性质 如果两个复数的实部 相等 ，而虚部 互为相反数 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 共轭复数的性质 设的共轭复数为，则 （1） ． （2）． （3）． 知识点20 复平面及复数的几何意义 复平面： 在平面上建立直角坐标系，以坐标为的点表示复数 ，就可在平面上的点的集合与复数集合之间建立一个一一对应，这样用来表示复数的平面 叫做复平面，这里的轴叫做 实轴 ，轴叫做 虚轴 . 注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0. （2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的. 复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 共轭 ． 知识点21 复数的向量表示 复平面内的点表示复数（a、），连接，向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.这样，复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量也是 一一 对应的（实数0与零向量对应）. 知识点22 复数的模 复数（a、）在复平面上所对应的点到原点的距离 叫做复数z的模（或绝对值），记作，由模的定义可知 . 复数的模与该复数所对应的向量的模是 一致 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到 原点 的距离. 知识点23 复数的加、减、乘、除运算法则 设， ，则 （1）加法： ． （2）减法： ． （3）乘法： ． （4）除法：． 知识点24 复数乘法的运算律 （1）对任意复数，，，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 （2）个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作，即 ．可以验证，当，均为正整数时， ， ， ． 考点精讲讲练 考点一：平面向量基本概念的综合考查 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线向量的定义即可. 【详解】因为共线向量是指向量所在直线共线或平行的向量，O为正六边形的中心， 所以与所在直线平行，所以是共线向量，故A错误； 与所在直线平行，所以是共线向量，故B错误； 与所在直线既不共线也不平行，所以不是共线向量，故C正确； 与所在直线共线，所以是共线向量，故D错误. 故选：C. 1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】根据向量的概念，即可得出答案. 【详解】看一个量是不是向量，就要看它是否具备向量的两个要素：大小和方向. （2）（3）（4）既有大小也有方向，是向量， （1）（5）（6）（7）（8）（9）只有大小没有方向，不是向量. 故选：A. 2．下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 【答案】B 【分析】对于A，由题意或，对于B，由相等向量的定义即可得解；对于CD，举反例即可判断. 【详解】对于A，若，是共线的单位向量，则或，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，满足，但此时，是共线向量，故C错误； 对于D，设是两个不共线的非零向量，，满足，，但此时不成立，故D错误. 故选：B. 3．下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 【答案】D 【分析】根据零向量、向量模长、相等向量与相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，零向量的模长为，方向任意，A错误； 对于B，当向量为零向量时，，B错误； 对于C，若与方向不同，则，C错误； 对于D，与为相反向量，，D正确. 故选：D. 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】对于A，正确理解相等向量和相反向量的含义即可判断；对于B，由单位向量方向不确定即得；对于C，根据相反向量的定义易得；对于D，由共线向量的定义即可判断. 【详解】对于A，由只知两向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B，因单位向量的方向不确定，故B错误； 对于C，根据定义，一对相反向量只有方向相反，模长一定相等，故C正确； 对于D，因平面向量是自由向量，故两条共线向量既可以在一条直线上， 也可以在两条平行线上，还可以有一个为零向量，故D错误. 故选：C. 5．下列命题不正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 【答案】A 【分析】AB选项，由零向量的定义进行判断；C选项，根据共线向量，单位向量和零向量的定义得到C正确；D选项，根据向量的性质得到D正确. 【详解】A选项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B选项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确； C选项，因为与都是单位向量，所以只有当与是相反向量，即与是反向共线时才成立，故C正确； D选项，由向量相等的定义知D正确. 故选：A 6．给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 【答案】B 【分析】利用向量的概念和共线向量的概念逐项判断即可. 【详解】零向量方向是任意的，且与任意向量都平行，所以当时，时，， 但不满足两向量方向相同或相反，选项A错误； 因为A，B，C，D是不共线的四点，，所以，故四边形ABCD为平行四边形， 若四边形ABCD为平行四边形，则，所以“是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件，选项B正确； 当时，，但不一定有，选项C错误； 当时，有且，当且方向相反时，， 所以“”是“且”的充分不必要条件，选项D错误． 故选：B． 考点二：平面向量线性运算的综合考查 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数乘及减法运算求解. 【详解】如图，    则， 故选：D 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正六边形的性质，运用向量的加法法则，即可得到答案. 【详解】由六边形是正六边形，可知， 故. 故选:C. 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量减法运算求解. 【详解】根据题意， . 故选：A 1．（2025高二上·云南·学业考试）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量加法法则求解. 【详解】由向量加法法则知. 故选：B 2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量加法法则求解即可. 【详解】由平面向量加法法则得，故B正确. 故选：B 3．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量加减法法则化简即可得. 【详解】. 故选：D. 4．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算求解即可. 【详解】 ． 故选：C． 考点三：平面向量共线定理与点共线问题 例题1．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 【答案】/ 【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解. 【详解】因为与共线，又向量与不共线， 所以，解得， 故答案为： 1．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 【答案】C 【分析】根据向量共线的线性表示，可得，使，在利用向量相等的条件构建方程组，解方程组即可. 【详解】因为向量，不共线，所以， 又向量与共线， 所以，使， 则，解得或2. 故选：C. 2．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 3．已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三点共线问题转化为​向量平行条件​​，即可得解. 【详解】由三点共线，则存在实数使得， ，， 由共线性质，则有， 因为不共线，得系数关系，消去，得. 故选：B. 考点四：平面向量基本定理 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在平行四边形中，为上的点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量线性运算得到. 【详解】因为，故， 所以. 故选：C. 例题2．（2025高三上·广东·学业考试）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则 ． 【答案】 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故答案为：. 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基底向量的性质，判断是否共线即可求解. 【详解】对于A,，故共线，不可作为基底， 对于B, ,故共线，不可作为基底， 对于C, ,故共线，不可作为基底， 对于D, 由于，故不存在实数，使得，因此不共线，故可以作为基底向量， 故选：D 2．在梯形中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 3．在中，，，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以有，   . 故选：A 4．在中，点在边上，．记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由线段关系得到向量的关系，再由向量的线性运算求出结果即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，且， ∵，∴， 则 ，故B正确. 故选：B 考点五：平面向量线性运算及共线的坐标表示 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知点，，向量，则向量 . 【答案】 【分析】由即可求解. 【详解】由条件可得， 所以， 故答案为： 例题2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】由向量可得 . 故选：B 例题3．（2025高二下·北京·学业考试）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】本题利用向量平行的坐标性质列出等式即可求解． 【详解】根据，， 若，则， 即，即． 故选：D． 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量减法的坐标表示计算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 故选：C 2．（2025高三上·四川·学业考试）已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【分析】由向量线性关系的坐标运算求参数值. 【详解】由，即，可得. 故选：D 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量平行的充要条件即可列方程求解. 【详解】已知平面向量，，若，则，解得. 故选：C. 4．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用坐标表示条件中两个向量，根据平行条件列方程求解 【详解】，. 因为，所以，解得. 故选：B 考点六：平面向量垂直的坐标表示 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以， 解得. 故选：D. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若向量，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求参数的值. 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由平面向量垂直的坐标关系及充分、必要条件的概念判断即可. 【详解】由，可得，当时，，可以推出， 当时，，不能推出，故充分性不成立； 由，可得，解得，可以推出，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 1．（2025高三上·四川·学业考试）已知向量，且，则 ． 【答案】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，可得. 故答案为： 2．（2025高二上·云南·学业考试）已知平面向量，.若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故选：A 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，且，则，解得. 故选：A. 4．已知向量，，若，则=（    ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】求出的坐标，根据可得，结合数量积的坐标表示，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，， 则，而， 故，解得， 故选：B 考点七：平面向量数量积 例题1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 【答案】B 【分析】利用向量数量积的坐标表示直接求解即可. 【详解】因为向量，向量， 所以， 故选：B 例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知向量，，则的值为（    ） A．-7 B．7 C．-4 D．4 【答案】A 【分析】求出与的坐标，再根据向量数量积的坐标运算公式，即可求出结果. 【详解】已知，，那么, , 所以. 故选：A 1．已知向量，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的数量积运算求解即可． 【详解】， ， 则， 故选：C 2．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量平行坐标表示可求得，由向量数量积的运算律和坐标运算直接求解即可. 【详解】，，解得：，， . 故选：D. 3．已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用向量数量积的定义，列出等式即可求出的值． 【详解】因为，所以，解得， 故选：B 4．已知向量的夹角为，，则＝（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解. 【详解】由，得，而向量的夹角为，，则， 所以. 故选：C 考点八：平面向量的模长 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求，即可得模长. 【详解】因为向量，则， 所以. 故选：D. 例题2．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 【答案】(1)， (2)17 【分析】（1）根据平面相等向量的坐标表示求出D的坐标，结合平面向量的几何意义求出模； （2）由（1）求出，结合平面向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】（1）由题意，∴， 又，∴， 得，解得，即． 又，∴， ∴． （2）由（1）知，， ∴． 1．已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标关系求出，再结合向量的坐标运算和模长公式求解. 【详解】由，可得，解得， ， ，则. 故选：D. 2．已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 【答案】C 【分析】将两边平方，求得的值，再开平方即可求解. 【详解】由题可得：，所以， 故选：C 3．已知，且夹角为，则（    ） A．8 B．12 C． D．2 【答案】C 【分析】利用平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 4．已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由通过平方得到，再通过平方即可求解. 【详解】由，得，所以， 所以． 故选：C． 考点九：求夹角 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量点积的概念，向量点积公式为，我们可以通过这个公式来求解夹角的余弦值. 【详解】已知， 由向量点积公式可得：， 将代入上式， 得到： . 故选：A. 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式列式求解. 【详解】依题意，. 故选：C 2．已知. 若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量垂直及数量积的运算律得，结合向量数量积的定义求夹角余弦值. 【详解】由题设，可得. 故选：A 3．已知平面向量，满足且，则与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可先根据向量垂直的性质得到的值，再结合向量夹角公式求出与夹角的大小． 【详解】， 因为，所以， 可得，即， 根据向量的夹角公式，， 因为，所以． 故选：B 4．已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 【答案】D 【分析】应用向量夹角的坐标表示列方程求参数值，结合向量不共线求解. 【详解】因为，所以， 即，解得， 当时，，，不共线，满足题意； 故. 故选：D 5．若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的夹角为钝角以及向量的数量积公式，可得且不共线，由此建立关于的不等式组，解之即可得到本题的答案. 【详解】由题意，向量,与的夹角为钝角, ∴，与不共线即， ∴且, ∴实数的取值范围是. 故选：C. 考点十：求投影向量 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解在方向上的投影，即，再乘以的单位向量，即为在方向上的投影向量. 【详解】由题意，在方向上的投影为， 所以在方向上的投影向量为. 故选：D 例题2．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据，的坐标结合投影向量的定义即可求得答案. 【详解】， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 1．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解. 【详解】向量，则， 所以在上的投影向量为. 故选：B 2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算及投影向量的定义求解. 【详解】由向量，得，，则， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故选：C 3．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 【答案】C 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 考点十一：复数的实部与虚部 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知为虚数单位，则复数的虚部为 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合复数的基本概念，即可求解. 【详解】根据复数的概念，可得复数的虚部为． 故答案为：. 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 【答案】A 【分析】根据复数的乘方，乘法运算及实部的定义求解即可. 【详解】由题意得， 所以. 所以复数的实部为2. 故选：. 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数虚部的概念即可得解. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：B. 2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知，则的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据复数的乘法运算，化简复数，进而得到答案. 【详解】因为， 所以的虚部为3， 故选：D. 3．（2025高二下·浙江温州·学业考试）若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数乘法及复数的有关概念求解. 【详解】复数，依题意，，所以. 故选：C 考点十二：复数的分类 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数为纯虚数，则 ． 【答案】1 【分析】利用纯虚数的定义求出，再求出复数的模. 【详解】由复数为纯虚数，得，，所以. 故答案为：1 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）若是纯虚数，则实数的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据纯虚数的定义来确定实数的值. 【详解】已知复数是纯虚数，那么其实部. 可得，则或，解得或. 因为纯虚数的虚部不为，所以，解得. 所以. 实数的值是1. 故选：A. 1．若复数为纯虚数，则复数z为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义求出参数值，即可得复数. 【详解】由复数为纯虚数， 可得，则. 故选：B 2．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先化简复数，由纯虚数的概念即可求解. 【详解】， 因为为纯虚数， 所以， 所以. 故选：. 3．已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据实数的定义即可得出结论. 【详解】由题意可知复数的虚部为，即. 故选：B 考点十三：复数的几何意义 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何表示即可得. 【详解】因为复数对应的点的坐标是，所以. 故选：A. 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，即可判断选项. 【详解】复数对应的复平面上的点为，在第一象限. 故选：A 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标是 . 【答案】 【分析】先利用复数的乘法运算化简复数，再求坐标即可. 【详解】因为复数， 所以复数对应的点的坐标是， 故答案为：. 2．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】复数在复平面内的点的坐标为，该点位于第四象限. 故选：D. 3．已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】先对z进行变形化简，再结合复数和复平面的概念即可得到答案． 【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 考点十四：复数的模长 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据复数模的定义计算． 【详解】 故选：C. 例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）（多选）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由模的计算公式判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数乘法、减法判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：AB. 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知复数满足（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算法则先求出，再结合共轭复数的定义及模的公式求解即可. 【详解】由，则， 则，所以. 故选：B. 2．已知复数，若（为虚数单位），则（　　） A． B．5 C． D．3 【答案】A 【分析】利用复数的运算法则求出，再根据复数模长计算公式可得答案. 【详解】由方程 得， 所以. 故选：A 3．设为虚数单位，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以. 故选：A. 训练 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算直接求解即可. 【详解】. 故选：A 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据复数的乘法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】， 所以. 故选：D. 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算求解，进而求解其虚部即可. 【详解】由，由此可得：的虚部为. 故选：B 4．设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数后，得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】,. 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A. 5．已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用公式计算即可. 【详解】在上的投影向量为. 故选：D 6．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】利用向量坐标运算法则结合向量平行性质可得，再利用数量积公式计算即可得解. 【详解】已知，则， 因为，所以，解得， 则，所以. 故选：C. 7．已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示式计算即得. 【详解】由题意可得，， 由与垂直可得，解得． 故选：C． 8．已知向量，，若与垂直，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用与垂直，解出，再根据向量模长计算公式运算可得答案. 【详解】依题意得：， 由与垂直知：， 所以，． 故选：D． 二、多选题 9．下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以A错误， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C正确， 对于D，因为，所以D正确， 故选：BCD. 10．已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数是 C． D．复数在复平面上的对应点位于第二象限 【答案】BC 【分析】对于A，利用复数的几何意义结合复数的加法求出后可判断其正误；对于B，求出的共轭复数后可判断其正误；对于C，利用复数乘法和减法运算规则求解运算结果后可判断其正误；对于D，利用复数的乘法运算规则求出结果后结合复数的几何意义判断其正误. 【详解】对于A，由题意得，故A错误； 对于B，，其共轭复数为，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， 在复平面上的对应点的坐标为，该点在第四象限，故D错误， 故选：BC. 三、填空题 11．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为 . 【答案】1 【分析】先利用复数乘法将复数化简，然后找出虚部即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为， 故答案为：1. 12．中，为边中点，，则 (用表示) 【答案】 【分析】由平面向量基本定理，结合向量的线性运算，即可得到结果. 【详解】     由已知， . 故答案为：. 四、解答题 13．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 【答案】(1) (2) (3)，反向 【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【详解】（1）由已知得， 因为. 所以 （2）若，即， 所以，即，解得， 即当时，. （3）若，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 14．如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量基本定理得到，； （2）设，所以，结合条件得到，从而得到. 【详解】（1）因为，是的中点，所以， 因为是的中点， 所以； （2）设，所以， 又，所以，所以， 设，则，又D是的中点， 故，， 故. 一、单选题 1．，若，则复数为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】A 【分析】先利用对复数进行分母有理化，再根据利用共轭复数性质求出，进而求解复数． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：A． 2．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可求出、，最后由夹角公式计算可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以， ， 所以， 又，所以， 即与的夹角为. 故选：B 3．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将平方化简求出，再利用公式求解即可. 【详解】因， 则， 则， 在方向上的投影向量为. 故选：B 4．已知均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】将不等式两边平方，利用模长平方公式展开，根据向量数量积和夹角范围即可求解． 【详解】已知均为单位向量，即， 首先将不等式两边平方，利用模长平方公式展开： ， ， 由，得， ，， 所以，， 又因为， 所以． 综上，与互为充要条件． 故选：C． 5．设复数在复平面上对应的向量分别为，以下等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】特殊值法计算判断排除A，B，D，再根据复数运算结合向量运算计算判断C. 【详解】设复数，则在复平面上对应的向量分别为， 所以，A选项错误； 所以，D选项错误； 所以，，B选项错误； 设复数，则在复平面上对应的向量分别为， ，C选项正确； 故选：C. 二、多选题 6．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC. 【详解】对于A，取，，而，A错误； 对于B，设， ，由， 得，，B正确； 对于C，由及，设，， ，解得， 则，C正确； 对于D，取，，而，D错误. 故选：BC 7．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【分析】根据已知及向量数量积的运算律得，结合，即可求范围. 【详解】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    三、填空题 8．设，若（其中为虚数单位）是纯虚数，则 ． 【答案】 【分析】先把化简，进而利用纯虚数求出的值，从而把化简可得结果. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得，则. 于是. 故答案为： 9．复数z满足，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】设复数.由复数模的几何意义分析出表示复数对应的点到点的距离；又由，分析出点在以原点为圆心，半径的圆上，由圆的性质得到点到点的距离的最大值为，即可得解. 【详解】设复数. 由复数模的几何意义可知， 表示复数对应的点到点的距离. 因为，所以，即， 这表示点在以原点为圆心，半径的圆上. 因为，所以由圆的性质可知， 点到点的距离的最大值为， 即的最大值为6. 故答案为：6 四、解答题 10．如图，等腰中，，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段上的一点，且，过点的直线与边分别交于点，已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量共线定理以及向量的线性运算来建立等式关系，即可得出的值； （2）先根据三角形面积关系得出与的关系，再联立已知等式求解和的值，进而求出线段长度，然后利用余弦定理求出和，最后通过向量运算求出的值． 【详解】（1）因为为边的中点，为边上靠近点三等分点， 所以， 又，，所以， 因为共线，又， 则，即； （2）由，得， 所以，又， 由（1）得，联立解得，或，（舍）， 所以，， 在中，由余弦定理得， 所以在中，由余弦定理得， 因为，为边的中点，所以，所以， 又， ， 所以． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 平面向量与复数目录 学考要求速览 必备知识梳理 高频考点精讲 考点一：平面向量基本概念的综合考查 考点二：平面向量线性运算的综合考查 考点三：平面向量共线定理与点共线问题 考点四：平面向量基本定理 考点五：平面向量线性运算及共线的坐标表示 考点六：平面向量垂直的坐标表示 考点七：平面向量数量积 考点八：平面向量的模长 考点九：求夹角 考点十：求投影向量 考点十一：复数的实部与虚部 考点十二：复数的分类 考点十三：复数的几何意义 考点十四：复数的模长 进阶分级训练 1.理解平面向量的基本概念，能识别向量的模、方向及相关术语； 2.掌握平面向量的线性运算，能进行向量的加法、减法及数乘操作； 3.掌握平面向量共线定理，会判断和证明点共线问题； 4.理解平面向量基本定理，能在具体问题中选取合适基底； 5.掌握平面向量线性运算及共线条件的坐标表示，能进行坐标运算； 6.掌握平面向量垂直的坐标表示，会判断和证明向量垂直； 7.理解平面向量数量积的概念，能进行数量积的各种运算； 8.掌握平面向量的模长公式，会求向量的模长及相关问题； 9.会求平面向量的夹角，能利用数量积计算夹角； 10.理解投影向量的概念，会求一个向量在另一个向量上的投影； 11.理解复数的实部与虚部，能准确指出复数的组成部分； 12.掌握复数的分类，能区分实数、虚数与纯虚数； 13.理解复数的几何意义，能在复平面中表示复数及其运算； 14.掌握复数模长的计算，会求复数的模及相关应用。 知识点1 平面向量的定义与表示 （1）向量：在数学中，我们把既有 又有 的量叫做向量． （2）向量的表示 ①表示工具——有向线段． 有向线段包含三个要素： ， ， ． ②表示方法： 向量可以用 表示，向量的大小称为向量的 (或称模)，记作 .向量可以用字母a，b，c，…表示，也可以用有向线段的起点和终点字母表示，如：，. 知识点2 平面向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (2)单位向量：长度等于1个单位的向量． (3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点3 平面向量的线性运算 向量运算 定义 法则（或几何意义） 加法 求两个向量和的运算 法则 法则 减法 求与的相反向量的和的运算 法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1）； （2）当时，的方向与的方向 ；当时，的方向与的方向 ；当时， 知识点4 平面向量线性运算的运算律 1.向量加法的运算律 （1）交换律： ． （2）结合律： ． 2.向量减法的运算律 几何意义：可以表示为从向量的 指向向量的 的向量． 定义：，即减去一个向量相当于加上这个向量的 向量． 3.与，之间的关系 (1)对于任意向量，，都有 ； (2)当，共线，且同向时，有 或 ； (3)当，共线，且反向时，有 ． 4.数乘运算律 一般地，设，是任意向量，x，y是任意实数，则如下运算律成立： （1）对实数加法的分配律： ． （2）对实数乘法的结合律： ． （3）对向量加法的分配律： ． 知识点5 平面向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在 实数，使 ． 给定四点，其中为不共线的三点，且，则三点共线的充要条件是 ． 知识点6 平面向量基本定理 条件 ，是同一平面内的两个 结论 对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，，使 基底 若，不共线，把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 知识点7 平面向量的坐标表示 设平面上建立了直角坐标系，则平面上每个向量都可用从原点出发的有向线段表示．原点到，的向量，分别是轴正方向和轴正方向上的单位向量，组成标准正交基，则的坐标 视为在这组基下的坐标，等于向量终点的坐标． 知识点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知，，则： （1） ， ， 即两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差)． （2）若点A坐标为，点B坐标为，O为坐标原点， 则 ， ， ，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． (3)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的 ； (4)设向量，则 ． (5)中点坐标公式：若的坐标分别为，，线段的中点P的坐标为，则 知识点9 平面向量平行（共线）的坐标表示 设，，其中．向量，共线的充要条件是 ． 知识点10 平面向量的数量积的定义及性质 （1）数量积的定义 一般地，当与都是非零向量时，称 为向量与的数量积（也称内积），记作，即 ． （2）数量积的性质 ① ② ，即 ③ ． 知识点11 平面向量的夹角及其公式 定义：已知两个非零向量，O是平面上的任意一点，作，，则 叫做向量与的夹角． 注意：①当时，向量与 ； ②当时，向量与 ，记作； ③当时，向量与 ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，不是向量与的夹角．作，则才是向量与的夹角． 向量的夹角公式： . 知识点12 平面向量数量积的运算律 已知向量和实数，则 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 注意：（1）向量的数量积不满足消去律；若均为非零向量，且，但得不到． （2），因为，是数量积，是实数，不是向量，所以与向量共线，与向量共线，因此，在一般情况下不成立． （3）推论：． 知识点13 平面向量数量积中的坐标运算 若，，与的夹角为.则： （1） ，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的 ； （2） ，或 ； （3） ； （4）若，为非零向量，则 = . 知识点14 投影向量 向量的投影 ①定义：如图，设，是两个非零向量， ， ，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，则称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. ②计算：设与方向相同的单位向量为，与的夹角为θ，则向量在向量上的投影向量是||cosθ. 知识点15 复数的定义 复数：一般地，当a与b都是实数时，称为 ，复数一般用小写字母z表示，即，其中a称为z的 ，b称为z的 . 任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定。 知识点16 虚数单位与周期 i叫做虚数单位，规定 ；虚数单位可以与实数进行 特别地， ， ， ，其中． 知识点17 复数的分类 对于复数， 复数，为实数 ；为虚数 ；为纯虚数 ；为非纯虚数数 ． 即复数 知识点18 复数相等 如果，，，都是实数，那么 ．特别地，当，都是实数时， 的充要条件是且． 知识点19 共轭复数及其性质 如果两个复数的实部 ，而虚部 时，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示，即如果，那么 ． 共轭复数的性质 设的共轭复数为，则 （1） ． （2）． （3）． 知识点20 复平面及复数的几何意义 复平面： 叫做复平面，这里的轴叫做 ，轴叫做 . 注意：（1）表示实数的点都在实轴上，表示纯虚数的点都在虚轴上，原点表示实数0. （2）每一个复数，在复平面内有唯一的点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，都有唯一的一个复数和它对应，即复数集中的元素和复平面内所有的点所组成的集合是一一对应的. 复平面上两点P，Q关于轴对称它们所对应的复数相互 ． 知识点21 复数的向量表示 复平面内的点表示复数（a、），连接，向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定.这样，复数集中的元素和复平面上以原点为起始点的向量也是 对应的（实数0与零向量对应）. 知识点22 复数的模 复数（a、）在复平面上所对应的点到原点的距离 叫做复数z的模（或绝对值），记作，由模的定义可知 . 复数的模与该复数所对应的向量的模是 的，复数的模为该复数在复平面上所对应点到 的距离. 知识点23 复数的加、减、乘、除运算法则 设， ，则 （1）加法： ． （2）减法： ． （3）乘法： ． （4）除法：． 知识点24 复数乘法的运算律 （1）对任意复数，，，有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 （2）个相同的复数相乘时，仍称为的次方（或次幂），并记作，即 ．可以验证，当，均为正整数时， ， ， ． 考点精讲讲练 考点一：平面向量基本概念的综合考查 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）在正六边形ABCDEF中，设，则下列向量中与不共线的是（   ） A． B． C． D． 1．给出下列物理量：（1）质量；（2）速度；（3）力；（4）加速度；（5）路程；（6）密度；（7）功；（8）电流强度；（9）体积.其中不是向量的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 2．下列关于平面向量的说法正确的是（   ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则，不是共线向量 D．若，，则 3．下列结论中正确的是（   ）． A．零向量没有大小，方向任意 B．对任一向量，总是成立的 C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．若，则， B．单位向量的模是1，所有单位向量是相等向量 C．相反向量的长度相等 D．共线向量是在同一条直线上的向量 5．下列命题不正确的是（   ） A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 C．若，都为非零向量，则使成立的条件是与反向共线 D．若，，则 6．给出下列四个命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则与的方向相同或相反 B．若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C．若，则 D．“”的充要条件是“且” 考点二：平面向量线性运算的综合考查 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）在平行四边形中，为对角线的交点，则（  ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·天津南开·学业考试）如图，正六边形中，（    ）． A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）如图，四边形ABCD是平行四边形，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025高二上·云南·学业考试）（   ） A． B． C． D． 2．（2025高二上·黑龙江·学业考试）如图所示，在中，（    ） A． B． C． D． 3．（    ） A． B． C． D． 4．（    ） A． B． C． D． 考点三：平面向量共线定理与点共线问题 例题1．（2024高二上·辽宁·学业考试）已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 1．已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（    ） A．或 B．或3 C．或2 D．2 2．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 3．已知是两个不共线的向量，向量 ， .若三点共线，则和满足的关系是（    ） A． B． C． D． 考点四：平面向量基本定理 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）在平行四边形中，为上的点，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2025高三上·广东·学业考试）如图，在平行四边形中，，向量，，用向量，表示，则 ． 1．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 2．在梯形中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，，若点D满足，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，点在边上，．记，则（   ） A． B． C． D． 考点五：平面向量线性运算及共线的坐标表示 例题1．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知点，，向量，则向量 . 例题2．（2024高二下·黑龙江·学业考试）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 例题3．（2025高二下·北京·学业考试）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 1．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三上·四川·学业考试）已知向量，且，则（   ） A．2 B．4 C．7 D．9 3．（2025高二下·陕西·学业考试）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 考点六：平面向量垂直的坐标表示 例题1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知向量，若，则（  ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）若向量，，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 例题3．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（2025高三上·四川·学业考试）已知向量，且，则 ． 2．（2025高二上·云南·学业考试）已知平面向量，.若，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则=（    ） A． B． C． D．12 考点七：平面向量数量积 例题1．（2025高二上·黑龙江·学业考试）已知向量，向量，则（    ） A．20 B．17 C．8 D．0 例题2．（2025高二下·湖南株洲·学业考试）已知向量，，则的值为（    ） A．-7 B．7 C．-4 D．4 1．已知向量，则（   ） A．1 B． C．0 D． 2．已知平面向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量满足，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．已知向量的夹角为，，则＝（   ） A．4 B． C．6 D． 考点八：平面向量的模长 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2．（2025高二上·辽宁·学业考试）已知． (1)求点的坐标和； (2)求． 1．已知向量，若，则的值为（    ） A．10 B． C． D． 2．已知，，且，则（    ） A．3 B．4 C． D．12 3．已知，且夹角为，则（    ） A．8 B．12 C． D．2 4．已知两个单位向量满足，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点九：求夹角 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）已知向量满足，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 1．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知. 若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知平面向量，满足且，则与夹角的大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知不共线的向量，，，且，则（    ） A．1 B． C． D．6 5．若向量，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点十：求投影向量 例题1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知向量，的夹角是，且，，则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·河南安阳·学业考试）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B．2 C． D． 1．已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A．0 B．1 C．8 D．4 考点十一：复数的实部与虚部 例题1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知为虚数单位，则复数的虚部为 ． 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）已知，则复数的实部为（  ） A．2 B．1 C．－1 D．－2 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ） A．1 B． C． D． 2．（2025高二下·陕西西安·学业考试）已知，则的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2025高二下·浙江温州·学业考试）若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 考点十二：复数的分类 例题1．（2025高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数为纯虚数，则 ． 例题2．（2025高二下·湖南·学业考试）若是纯虚数，则实数的值是（    ） A．1 B． C． D． 1．若复数为纯虚数，则复数z为（   ） A． B． C．3 D． 2．已知复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D． 3．已知，若（为虚数单位）是实数，则（    ） A． B． C．2 D．3 考点十三：复数的几何意义 例题1．（2025高二下·北京·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（   ） A． B． C． D． 例题2．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）已知为虚数单位，则复数对应的复平面上的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．（2025高二下·湖南郴州·学业考试）在复平面内，复数对应的点的坐标是 . 2．（2025高三上·广东·学业考试）复数在复平面的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点十四：复数的模长 例题1．（2025高三上·四川·学业考试）复数的模为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 例题2．（2025高二下·陕西·学业考试）（多选）是虚数单位，是复数的共轭复数，若，，则（    ） A． B． C． D． 1．（2025高二下·浙江·学业考试）已知复数满足（是虚数单位），则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．已知复数，若（为虚数单位），则（　　） A． B．5 C． D．3 3．设为虚数单位，若，则（   ） A．1 B． C． D． 训练 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知向量，且，则（    ） A． B． C． D．5 7．已知向量，，且与垂直，则（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，，若与垂直，则（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．下列式子中，化简结果为的有（    ） A． B． C． D． 10．已知复数在复平面内的对应点为，复数在复平面内的对应点为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．的共轭复数是 C． D．复数在复平面上的对应点位于第二象限 三、填空题 11．已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为 . 12．中，为边中点，，则 (用表示) 四、解答题 13．已知向量与的夹角为，且，. (1)求； (2)当为何值时？ (3)当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 14．如图，在中，D是的中点，E是的中点，设，. (1)用，表示向量； (2)若点F在上，且，求. 一、单选题 1．，若，则复数为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 2．已知向量满足，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 4．已知均为单位向量，则“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设复数在复平面上对应的向量分别为，以下等式一定成立的是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 6．已知复数，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 三、填空题 8．设，若（其中为虚数单位）是纯虚数，则 ． 9．复数z满足，则的最大值为 ． 四、解答题 10．如图，等腰中，，为边的中点，为边上靠近点三等分点，为线段上的一点，且，过点的直线与边分别交于点，已知，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $