第一章 全等三角形模型复习 讲义 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

该初中数学讲义以全等三角形模型复习为核心，通过题型框架系统构建知识体系，涵盖倍长中线、手拉手模型等七大典型题型。知识梳理部分结合几何直观呈现模型特征与辅助线作法，例题与变式层层递进，突出全等证明的内在逻辑与重难点分布。 讲义亮点在于“模型-例题-变式”的三阶练习设计，如截长补短题型通过两种思路培养推理意识，手拉手模型例题结合正方形旋转渗透模型观念。基础题巩固方法，提升题拓展思维，助力分层教学，为教师精准复习和学生自主探究提供实用支持。

朗道成就梦想 办学宗旨：以人为本 成就师生 服务社会 会 教育改变人生 办学方针：注重思维训练 培养科学精神 神 第一章 全等三角形 模型复习 【知识梳理】 题型1：倍长中线（线段）造全等 【典型例题】 例1、已知：如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF 【变式1】已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF 【变式2】在△ABC中,AC=5,中线AD=7，则AB边的取值范围是( ) A、1<AB<29 B、4<AB<24 C、5<AB<19 D、9<AB<19 【变式3】如图23，△ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于G点，DE⊥DF，交AB于点E，连结EG、EF. ⑴求证：BG=CF ⑵请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由。 题型2:作平行线 【典型例题】 例2、已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF． 【变式】如图，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E． 求证：CD=BE ( 1 5 4 3 2 E F B D C A ) 题型3：面积法 【典型例题】 例3、如图所示,已知D是等腰△ABC底边BC上的一点,它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF,CM⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE、DF、CM三者之间的数量关系, 并给予证明. 【变式】己知，△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，PF⊥AC垂足分别为E、F， 求证：① PE+PF=CD ②PE–PF=CD. ( F E D C A B G P ) ( F E D C A B G P ) 题型4：角平分线上的点向角两边引垂线段 【典型例题】 例4、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分∠ABC,求证：∠BAD+∠C=180° 【变式】如图，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数. 题型5：手拉手模型 【知识梳理】 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[ ①△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE； 【典型例题】 例5、如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合）， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。 求证：① △BCG≌△DCE ② BH⊥DE ( F E D C A B G H ) 【变式1】（1）如图，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连结AC和BD，相交于点E，连结BC．求∠AEB的大小； ( C B O D A E ) （2）如图，ΔOAB固定不动，保持ΔOCD的形状和大小不变，将ΔOCD绕着点O旋转（ΔOAB和ΔOCD不能重叠），求∠AEB的大小. ( B A O D C E ) 【变式2】 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 题型6：截长补短 【知识梳理】 有一类几何题其命题主要证明三条线段长段的“和”或“差”及其比例关系，这一类题目一般可以采取“截长”或“补短”的方法来进行求解。所谓“截长”，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段与已经线段相等，然后证明其中的另一段与已知的另一段的大小关系。所谓“补短”，就是将一个已知的较短的线段延长至与另一个已知的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的已知线段关系。有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进行求解。 【典型例题】 例6、已知，四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4。求证：BC＝AB＋CD。 【变式1】已知：如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD. 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC=60°， AD是∠BAC的平分线，且AC=AB+BD，求∠ABC 的度数 题型7：延长角平分线的垂线段 【典型例题】 例7、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．求证：∠ACE=∠B+∠ECD． 【变式1】如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE． 【变式2】已知，如图，△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：CD=AE． ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $