精品解析：新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期 2028届高一年级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 2. 已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A. B. C. D. 4. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 6. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. << B. << C. D. 7. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 11. 已知为正实数，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为-12 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________ 13. 函数的值域是______. 14. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若是的子集，求的取值范围. 16. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 17. 已知函数. （1）判断在上单调性，并求其在上的最大值与最小值； （2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围. 18. 已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. （1）证明：为奇函数. （2）证明：在上减函数. （3）求不等式解集. 19. 已知函数． （1）求不等式解集； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，若对于任意能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”．若函数是区间上的“三角形函数”，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年第一学期 2028届高一年级期中考试 数学试卷 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知命题，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的否定规则直接写出即可. 【详解】已知命题， 则为：. 故选：C 2. 已知集合，．若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算可得； 【详解】解：因为集合，且，所以，即； 故选：D 3. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域列式求解. 【详解】函数的定义域是，则在函数中，，解得且， 所以所求定义域为. 故选：C 4. 若幂函数的图象过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数解析式并确定单调性，进而求出不等式的解集. 【详解】设幂函数，由，得，解得，， 函数在定义域上单调递增， 不等式，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：D 5. 已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 6. 设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ） A. << B. << C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论. 【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数, ∴x∈(-∞,0)时,是减函数, ∵为偶函数,∴. ∵在上为减函数,且, ∴,即, 故选:C. 【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大. 7. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 8. 对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案. 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式性质判断AD；举例说明判断B；作差确定正负判断C. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，而，则，D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中，正确的有（ ） A. 函数与函数表示同一函数 B. 若函数，则 C. 关于的不等式的解集为或，则 D. 已知函数恒过定点，则函数的图象不经过第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】利用相同函数的定义判断A；求出解析式判断B；利用一元二次不等式的解集规律求解判断C；求出定点坐标，再借助反比例函数图象判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为 ，它们不同一函数，A错误； 对于B，函数，则，B正确； 对于C，由不等式的解集为或，得，且是 方程的两根，则，即， 因此，C错误； 对于D，函数的图象恒过定点，则， 函数的图象不过第四象限，D正确. 故选：BD 11. 已知为正实数，，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为-12 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，由为正实数，且，则，故，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当时取等号，故B正确， 对于C， ，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，C正确， 对于D， ，当且仅当，即时取等号，故D正确， 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. __________ 【答案】100 【解析】 【分析】利用指数运算法则计算得解. 【详解】. 故答案为：100 13. 函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数性质、指数函数性质求出值域即得. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号，而函数R上单调递减， 因此， 所以函数的值域是. 故答案为： 14. 定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，讨论其单调性，利用单调性解不等式即可. 【详解】因为，且， 则两边同时除以可得， 令，则在上单调递减， 由得， 又因为， 所以，解得， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若是的子集，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出时的集合，解不等式求出集合，再根据补集定义求出，最后根据交集的定义求解． （2）根据包含关系，分集合为空集和非空集两种情况讨论求出实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，集合， ，解得或， 集合或， ， ． 【小问2详解】 ，， 当集合时，，解得； 当集合时，，解得， 又， ，解得， 时，， 综上，的取值范围为． 16. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 17. 已知函数. （1）判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值； （2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递增；最大值为，最小值为； （2）. 【解析】 【分析】（1）分离常数可得，并利用不等式的性质以及单调性的定义证明，结合单调性分析最值； （2）根据的单调性以及存在性问题可得，再结合对勾函数性质以及恒成立问题分析求解. 【小问1详解】 因为，可知在上单调递增， 证明如下：任取，且，则， 可得，即，则， 即，可知函数在上单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 若存在，满足，则， 因为函数在上单调递增，则， 可得对任意的，满足，得恒成立， 又因为函数在单调递减，在单调递增， 且，可知的最大值为5，即，解得， 所以实数的取值范围. 18. 已知定义在上的函数满足对任意的x，，，当时，，. （1）证明：为奇函数. （2）证明：在上是减函数. （3）求不等式的解集. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）令、，结合奇偶性定义即可证； （2）设有，结合已知和单调性定义即可证； （3）利用奇偶性、单调性，化不等式为，即可求解集. 【小问1详解】 令，则，所以， 令，则， 所以且定义域为R，故为奇函数； 【小问2详解】 设，因为， 所以， 所以， 因为，所以，所以，故在上单调递减； 【小问3详解】 因为为奇函数，且，所以， 不等式化为， 因在上单调递减，所以，即，解得， 即不等式的解集是. 19. 已知函数． （1）求不等式的解集； （2），不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知函数的定义域为，若对于任意能构成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”．若函数是区间上的“三角形函数”，求a的取值范围． 【答案】（1）答案见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）将不等式等价转化为一元二次不等式，再分类求解即可. （2）换元法令，根据对勾函数的单调性，结合不等式恒成立，求出对应区间上函数的最小值即可求解； （3）利用对勾函数单调性，分、、三种情况得到不等式，解不等式即可求解. 【小问1详解】 不等式，由同号得，则， 而，当时，； 当时，解得或；当时，， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问2详解】 由，得，，由恒成立， 得恒成立，即恒成立， 令，，函数在上单调递增，则当时，， 因此，而，所以. 【小问3详解】 由对勾函数性质，得函数在上单调递减，在上单调递增， 依题意，函数是区间上的“三角形函数”，则当时，成立， 当时，在上单调递增，，， 因此，无解； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，， 则或，解得或， 因此； 当时，在上单调递减，，， 则，无解， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $