精品解析：黑龙江省佳木斯市第八中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025年高二学年秋季学期 数学试题 分值：100分 考试时间：90分钟 一、选择题：本大题共24小题，每小题3分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，角的对边分别为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式及正弦定理将角化边即可判断. 【详解】因为，又， 即，由正弦定理可得， 即，所以为直角三角形且为直角. 故选：B 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次方程求集合M，应用集合交运算求集合即可. 【详解】由，且， 所以. 故选：A 3. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数、平均数、方差、标准差定义计算可得结果. 【详解】易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96，即A错误； 平均数为，因此B错误； 方差为；即C正确； 标准差为，即D错误. 故选：C 4. 函数的零点所在的区间是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算区间端点处的函数值，根据零点存在性定理即可判断． 【详解】由题意得，， ， ， ， ， ， 则，∴零点在区间上． 故选：B． 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】 直接根据特称命题的否定为全称命题，写出答案. 【详解】存在量词命题的否定是全称量词命题.“”的否定是“”， 的否定是. ∴命题“，”的否定是“，”， 故选：D. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解，属于基础题. 6. 设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】“若且则”是真命题，其逆命题是假命题，故是的充分不必要条件,故选A. 7. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先令，则，即可求得函数解析式. 【详解】解：设，则， 则， 即函数解析式为， 故选：B. 【点睛】本题考查了利用换元法求函数解析式，属基础题. 8. 记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性得到的范围，利用中间值比大小. 【详解】，，， 故. 故选：A 9. 定义集合且，已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合新定义即可求解. 【详解】因为集合且，， 所以 故选：C 10. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用补集的意义求得，利用并集的意义求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：D. 11. “整数能被5整除”是“整数是10的倍数”的（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【分析】由“整数能被5整除”不一定得到“整数是10的倍数”， 如能被整除，显然不是的倍数，故充分性不成立， 若“整数是10的倍数”则一定可以得到“整数能被5整除”，故必要性成立， 所以“整数能被5整除”是“整数是10的倍数”的必要不充分条件. 故选：C 12. 若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式可求得该扇形的半径. 【详解】因为扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为. 故选：A. 13. 2021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ） （参考数据：，） A. 125年 B. 175年 C. 255年 D. 1050年 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则求得答案. 【详解】设所经过的时间为t年，根据题意 所以. 故选：B. 14. 函数（且）与函数（且）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分类讨论的取值范围，结合指数函数与对数函数的图像即可求解. 【详解】当时，和均为减函数， 而的图象和的图象关于y轴对称， 结合选项知A、B、C、D均错误； 当时，和均为增函数， 而的图象和的图象关于y轴对称，结合选项可得A正确. 故选：A 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 15. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念直接求解即可. 【详解】因为满足，且， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 16. 已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题中的定义，可先计算，，结合已知，利用向量的减法，可求点坐标 【详解】由已知可得，， 将点，绕点沿逆时针方向旋转， 得，， ， 故选：． 17. 砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形和中位数、众数的概念依次判断选项即可. 【详解】A：由图可知，月收入的最大值为90，最小值为30，故A正确； B：各个月的利润分别为20，30，20，10，30，30，60，40，30，30，50，30， 所以总利润为20+30+20+10+30+30+60+40+30+30+50+30=380(万元)，故B错误； C：这12个月利润的中位数与众数均为30，故C正确； D：7月份的利润最大，为60万元，故D正确. 故选：B 18. 已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为，则根据正四面体的表面积即可得出，从而得出对应的正方体的棱长为1，而正方体的外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为，最后根据球的体积公式即可得出结果. 【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为， 所以该正四面体的表面积为， 所以，又正方体的面对角线可构成正四面体， 若正四面体棱长为，可得正方体的棱长为1， 所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球， 所以外接球的直径为，半径为，所以球的体积为． 故选：C. 19. 下列函数最小值为2的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A.，当时，，所以最小值为不是2； 对于B，，因为，所以. 当且仅当，即时，有最小值2，满足； 对于C.，当且仅当，此方程无解，则的最小值取不到2； 对于D.，所以时，即，此时无解，所以原式取不到最小值2. 故选B. 点睛：利用基本不等式解题的注意点： （1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正､二正､三相等”，且这三个条件必须同时成立； （2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑､进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆､组合､添加系数等； （3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号. 20. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论. 【详解】因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 因为，则，即，可得， ，， 所以，函数的零点所在的区间是. 故选：B. 21. 函数具有性质（ ） A. 最大值为，图象关于直线对称 B. 最大值为，图象关于直线对称 C. 最大值为，图象关于对称 D. 最大值为，图象关于对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式和辅助角公式对函数解析式化简整理后,可得函数最小值，利用三角函数的对称性求得函数的对称点. 【详解】 所以函数的最大值为,排除B,D 因为当时，，则函数图象关于对称， 故选：C. 22. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据底面边长以及侧棱长求出四棱台的高，代入体积公式计算即可. 【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为，则即为正四棱台的高，如图所示： 取过正四棱台的轴和侧棱的截面，易知， 所以可得截面是上底为4，下底为8，腰长为的等腰梯形， 则， 所以正四棱台的体积为. 故选：B 23. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】函数定义域为， ， 函数为偶函数，排除AD选项， 当时，，，，则，排除B选项. 故选：C. 24. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象得到，，从而得到函数最小正周期，故，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，结合函数周期求出答案. 【详解】由的解析式可知，， 中，令得，令得， 故，，即，． 故的周期．即，解得， 故，则，得，． 因为，所以．则． ，，， ，，， ，，……， 因为，． 所以． 故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 25. 函数的定义域是__． 【答案】 【解析】 【分析】根据分母不等于零及开偶数次方根号里的数大于等于零求解即可. 【详解】由， 得，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 26. 设函数，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】推导出，从而，进而，从而得解. 【详解】函数，，， ， ， ． 故答案为：． 27. 设函数，存在最小值时，实数a的取值范围是______； 【答案】 【解析】 【分析】求出的对称轴为，得到要想存在最小值，需要，或单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值，列出不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】当时，的对称轴为， 要想存在最小值，当时，或单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值， 符合题意， 若时，则②，解②得：或， 综上：或. 故答案为：. 28. 如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）． ①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接MN交AE于点P， 对于①，根据面面平行的判定和性质可判断； 对于②，根据线面垂直的判定和性质可判断； 对于③，由NP∥AB可得不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB； 对于④，由在折起的过程中，根据线面垂直的判定和性质可判断． 【详解】解：连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB， ∵AB∥CD，∴NP∥CD. 对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确； 对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确； 对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确； 对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确． 故答案为：①②④. 三、解答题：本大题共2小题，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 29. 计算下列各式的值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数运算性质计算即可得出结果. （2）由根式及指数的运算性质计算即可得出结果. 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式= 30. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 【答案】（1），最大值为， （2）单调增区间为，单调减区间为 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，进而可得周期与最值； （2）利用整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 ， 所以的最小正周期， 当时，取最大值为，此时，，即，； 【小问2详解】 当时，有， 从而时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 综上所述，单调增区间为，单调减区间为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年高二学年秋季学期 数学试题 分值：100分 考试时间：90分钟 一、选择题：本大题共24小题，每小题3分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在中，角的对边分别为，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94，96，98，96，95，97．则这组数据的（ ） A. 众数为98 B. 平均数为95 C. 方差为 D. 标准差为 4. 函数的零点所在的区间是（ ）． A. B. C. D. 5. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x＋y＞2，则p是q的(　　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 8. 记，则（ ） A. B. C. D. 9. 定义集合且，已知集合，则（ ） A. B. C. D. 10. 若全集，，，则（ ） A. B. C. D. 11. “整数能被5整除”是“整数是10的倍数”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ） A. B. C. D. 13. 2021年4月13日，日本政府不顾国内外的质疑和反对，单方面决定以排海的方式处置福岛核电站事故的核污水，这种极不负责任的做法将严重损害国际公共健康安全和周边国家人民的切身利益．福岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质3H含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知3H的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为3H的初始质量）．则当3H的质量衰减为最初的时，所经过的时间为（ ） （参考数据：，） A. 125年 B. 175年 C. 255年 D. 1050年 14. 函数（且）与函数（且）在同一直角坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 15. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） （ ） A. B. C. D. 16. 已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知，，把点绕点沿逆时针方向旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 17. 砂糖桔网店2019年全年的月收支数据如图所示，则针对2019年这一年的收支情况，下列说法中错误的是（ ） A. 月收入的最大值为90万元，最小值为30万元 B. 这一年的总利润超过400万元 C. 这12个月利润的中位数与众数均为30 D. 7月份的利润最大 18. 已知正四面体的表面积为，且、、，四点都在球的球面上，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 19. 下列函数的最小值为2的是（ ） A B. C. D. 20. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 21. 函数具有性质（ ） A. 最大值为，图象关于直线对称 B. 最大值为，图象关于直线对称 C. 最大值为，图象关于对称 D. 最大值为，图象关于对称 22. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 23. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 24. 函数的图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则（ ） A. B. 0 C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分． 25. 函数的定义域是__． 26 设函数，，，则________. 27. 设函数，存在最小值时，实数a的取值范围是______； 28. 如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）． ①不论D折至何位置（不平面ABC内）都有MN∥平面DEC； ②不论D折至何位置都有MN⊥AE； ③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB； ④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD. 三、解答题：本大题共2小题，共16分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 29. 计算下列各式的值. （1）； （2） 30. 已知函数. （1）求的最小正周期和最大值；以及取最大值时相应的值； （2）讨论在上的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $