专题02 圆 6大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题02 圆 6大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 圆周角定理 考点03垂径定理 考点04 直线与圆的位置关系 考点05 正多边形与圆 考点06 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 【答案】B 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据直径求出圆的半径，比较点A到圆心的距离和半径的大小即可判断点A和圆的位置关系． 本题考查点和圆的位置关系，熟悉圆的相关基本概念是解题关键． 【详解】∵的直径为8， ∴的半径为4， ∵点A到圆心O的距离为4， ∴点A在上． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查判断点与圆的位置关系，已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当时，点P在内，②当时，点P在上，③当时，点P在外，根据以上内容判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为3，，且， ∴点P与的位置关系是点P在内， 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 【答案】D 【知识点】勾股定理与网格问题、判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查了外接圆的圆心，勾股定理， 先确定圆心的位置，再求出半径，即可判断答案． 【详解】解：如图所示，点O是的外接圆的圆心， 小正方形的边长为1，根据勾股定理可知，， ∴上的是点N． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径即可得到结论． 【详解】解：的半径为， ， 点在圆外． 故选：A． 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，点为原点，若的半径为5，则点与的位置关系是(   ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、判断点与圆的位置关系、坐标与图形综合 【分析】本题考查了勾股定理，坐标与图形，点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．先计算出的长，然后根据点与圆的位置关系的判定方法求解． 【详解】解：， ， 而的半径为， 等于圆的半径， 点在上． 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 【答案】A 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟记点与圆的位置关系：点与圆心的距离d，当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内． 根据点P到圆心的距离与圆的半径比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，， ∴点P与的位置关系是：点P在外， 故选：A． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 【答案】点在内 【知识点】实数的大小比较、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查的是点圆的位置关系，设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外则；点P在圆上则；点P在圆内则．直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵， ∴点在内． 故答案为：点在内． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是 ． 【答案】点在的外面 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、判断点与圆的位置关系 【分析】本题考查点与圆的位置关系，连接，勾股定理求出的长，跟半径比较大小后，即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴； ∵的半径为4，， ∴点C与的位置关系是：点在的外面； 故答案为：点在的外面． 9．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点在圆外，，即可得到答案． 【详解】解：若点A在外， ． 故答案为：． 地 城 考点02 圆周角定理 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆周角定理、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】此题主要考查了圆周角定理．根据直径所对的圆周角为直角得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，利用直角三角形两锐角互余即可得到答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，熟练掌握圆周角定理以及三角形的外角性质是解题的关键． 先利用圆周角定理可得：，然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答． 【详解】解： ∵是的一个外角， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查了三角形内角和定理、圆周角定理、等腰三角形的性质，首先根据圆周角定理可得，根据等腰三角形两底角相等可知． 【详解】解：， ， ， ． 故选： C． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，三角形内角和定理的应用，证明，结合，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵ ∴， ∴； 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵圆内接四边形中，， ∴， ∴， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等边对等角、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质；根据等腰三角形的性质可得，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半解题即可． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，利用圆周角定理即同弧（弦）或等弧（弦）所对的圆周角是圆心角的一半进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ） A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 【答案】B 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据的圆周角所对的弦是直径，即可解答． 【详解】解：利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据的圆周角所对的弦是直径， 故选：B． 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据圆内接四边形的对角互补求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：A． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，连接，由圆周角定理得，，再根据直角三角形的性质得，最后由三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，上有三点A，B，C，连接，已知，那么的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理直接求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 二、填空题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在中，，，是边上一点，，线段的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】本题考查勾股定理，圆周角定理以及垂径定理．作的外接圆，连接，，，，过O作，利用圆周角定理和垂径定理，求出，利用勾股定理求出，根据，得到当A，O，D三点共线时，最大，即可得解． 【详解】解：作的外接圆，连接，，，，过O作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当A，O，D三点共线时，最大， ∴， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示．根据垂径定理，，推出且，由，推出，得到弦的长为定值，的长也为定值．也可取特殊位置，快速求解． 【详解】解：（演绎推理法）延长交圆于点，延长交圆于点，连接，作于，如图所示： 根据垂径定理可知，， 则是的中位线， ∴且， ∵， ， ∵，， ， 为弧上的一个动点（不与点，重合）， ， ，， 是的角平分线，且， 在中，，，则， ，则， ∴， 故答案为：． （特殊位置法）当于圆心时，延长交圆与点，延长交圆于点，连接，如图所示： 根据垂径定理，， ∵，， ∴， ， ， ，， 是的中位线，即，且， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线的判定与性质、邻补角、四边形内角和、圆周角定理、等腰三角形的性质、含的直角三角形性质、勾股定理等知识，得到，并确定为定值是解题的关键．对于填空题，不需要严格的证明，选取特殊位置法求解能更直观快速． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点F是边上一动点（不与A，B重合），以为直径的交于点D，连 接交于点E，连接，当点F在边上移动时，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 连，，，得为定角，由此可得在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动，设该圆圆心为，连，，，，由两点之间线段最短知：，进而可求的最小值． 【详解】解：在中，，，， ∴，， 连，，， 为的直径， ， ， 为定角， 在以为弦所对圆心角为的圆弧上运动， 设该圆圆心为，连，，，，则，， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 又， 由两点之间线段最短知：， ， 当、、在一直线时．有最小值为：． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，运用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点是的圆心，点、、在上，，，则的度数是 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，根据圆周角定理可得，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 【答案】60 【知识点】等边对等角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识点，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，根据圆内接四边形的性质得到，最后进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴． 故答案为：60． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，C为上一点，连接、，过点O作于点D，交于点E，连接．若，，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】本题主要考查圆周角的性质、三角形中位线及垂径定理，熟练掌握圆周角的性质、三角形中位线及垂径定理是解题的关键；连接，由题意易得，，然后根据勾股定理可得，，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 19．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点E在的延长线上，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【知识点】三角形内角和定理的应用、利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理以及推论等知识，根据圆内接四边形的性质可求出，根据弧弦的关系以及圆周角定理可求出，最后根据直径所对的圆周角是直角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ． 【答案】1或2 【知识点】含30度角的直角三角形、圆周角定理、90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理，含度的直角三角形的性质，度的圆周角所对的弦是直径，运用分类讨论思想是解题的关键．分两种情况：当点D在上时；当点D在上时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点D在上时，如图： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当点D在上时，如图： ∵，， ∴， ∴是的直径， ∴； 综上所述：或2， 故答案为：1或2． 地 城 考点03 垂径定理 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理．连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理求出，则，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径，弦于点， ， 在中，， ， ， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，熟知这两个定理的用法是正确解答此题的关键． 根据垂径定理得出的长，根据勾股定理得，即可求解． 【详解】解：的直径垂直弦于点E，且，， ， 在中，， ， 故答案为：B． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理．过点作弦，连接，如图，根据垂径定理得到，由于为过点的最短弦，所以利用勾股定理计算出，从而求出即可． 【详解】解∶过点作弦，连接，如图， 则． 圆心到弦的距离越大，弦越短， 为过点的最短弦， ， ． 经过点的的最短弦的长为8，即经过点的弦的长不可能为7， 故选∶A． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程组等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过圆心作于，得到和，在这两个三角形中用勾股定理计算可以求出的值，也就是圆心到弦的距离． 【详解】解：如图：过作于，连接， 根据垂径定理得：， 设，则，，， 在中，， 在中，， 又，，代入中，解方程组得：，， 所以圆心到弦的距离是， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是明白：过与垂直的弦是圆的最短的弦，直径是圆的最长的弦．连接，过作弦，此时是过的最短的弦，由垂径定理得到，由勾股定理求出，得到，过的最长的弦是圆的直径是10，于是得到经过点的弦长的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：连接，过作弦，此时是过的最短的弦， ， 圆的半径为5，， ， ， 过的最长的弦是圆的直径是10， 经过点的弦的长， 经过点的弦的长度不可能是7． 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理和等腰直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 过点作于点，连接，由垂径定理得出，再由得出，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵是的直径，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具--筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，则的半径为 米． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，连接交于，则米，米，，由垂径定理可得米，设的半径为米，则米，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接，连接交于， 则米，米，， ∴米， 设的半径为米，则米， 由勾股定理可得：， ∴， ∴，即的半径为米， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是 ． 【答案】// 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的运用，理解图示，确定圆心，掌握垂径定理，勾股定理的运用是解题的关键． 根据题意，确定圆心，由垂径定理可得，设圆的半径为，则，，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下，，，，连接，作垂直平分线交于点，则为圆心，连接，则， ∴， 设圆的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得，， ∴照片中太阳的半径是， 故答案为： ． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为 ． 【答案】1.3 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接，由垂径定理可得，设拱门所在圆的半径为，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接， ， 由题意可得：， ∴， 设拱门所在圆的半径为，则， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为， 故答案为：． 三、解答题 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查作图—复杂作图， 垂径定理，勾股定理，圆周角定理； （1）过点作交于点，点即为所求； （2）利用勾股定理求出，再求出，利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形的面积． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点． (1)参照图所示，在图中，请用无刻度的直尺和圆规对的圆周进行三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为____ ． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】尺规作图——作三角形、等边三角形的判定和性质、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的关键． （1）根据尺规作图的基本步骤解答即可； （2）连接，设，的交点为，得到，根据的半径为，是直径，是等边三角形，计算即可． 【详解】（1）解：根据基本作图的步骤，作图如下： 则点A，B，C是求作的的圆周三等分点． （2）连接，设，的交点为， 根据垂径定理得到， ∵的半径为，是直径， 是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 地 城 考点04 直线与圆的位置关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知直线和圆的位置关系求半径的取值 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，解此题的关键是找出这个圆．根据圆与直线相交求解即可． 【详解】解：、、、是四个半径为5的等圆，某个圆上的点到直线l的最大距离为8， ∴直线与这个圆相交且不经过圆心，且与圆有两个交点， 某个圆上的点到直线l的最大距离为8是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】本题考查直线由圆位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线的距离为d．①直线和相交，②直线和相切⇔，③直线和相离⇔． 【详解】解：圆心到直线的距离等于的半径， 直线与的位置关系是相切， 故选：． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了考查切线的性质、平行线的性质、圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由切线的性质得，由，得，，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， ∵切于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理等知识，先根据切线的性质得出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，与相切于点A，连接，并延长交于点B，连接，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查的是切线的性质、圆周角定理等知识点，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，然后根据圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：． 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（ ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【知识点】根据矩形的性质与判定求角度、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，作于点F，由直线l与相切于点C，得，可证明四边形是矩形，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作于点F，则， 直线l与相切于点C，于点D， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 的长为6， 故选：D． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，分别是的切线，、分别为切点，点是上一点，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质以及圆周角定理．连接，，由圆周角定理知可知，、分别切于点、，利用切线的性质可知，根据四边形内角和可求得． 【详解】解：连接，；   ， ， ． 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，半径，弦交于D，过B作的切线，交的延长线于C，，则的长为（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角是解题的关键．连接，先根据切线的性质得到，则利用勾股定理可计算出，接着证明得到，则，然后在中利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图∶连接， ∵为切线， ∴， ∴ 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：D． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】判断直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系 【分析】本题考查圆的概念、两圆的位置关系及圆的切线，掌握圆的相关性质是关键．分别以点、为圆心，以、为半径画圆，由可知，两圆相外切，由此得出答案． 【详解】解：如图所示，作一个以点为圆心，以为半径的圆，以点为圆心，以为半径的圆． ∵， ∴两圆有一个交点，故和相切，其切线有条． 故选：C． 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，是弦，是切线，过点B作于D，交于点E，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，角平分线的性质及垂直的定义，根据切线的性质，得，再由已知条件可得，从而求出． 【详解】解：连接，并延长交于点F，连接，如图所示： ∴， ∴， 是切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 平分， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当 时，直线与相切；当 时，直线与相切． 【答案】 或 【知识点】勾股定理与折叠问题、切线的性质定理 【分析】本题考查了切线的性质，折叠的性质以及勾股定理的应用等； （1）根据切线的性质以及折叠得出，进而根据等面积法得出的长，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （2）当与相切时，分两种情况讨论，同（1）的方法，根据切线的性质以及勾股定理，即可求解， 【详解】解：（1）当与相切时，如图， 设切于点，连接， 将沿翻折，得到． ， 经过点， ， 即， 在中，， 故答案为：． （2）当与相切时，如图， 设切于点，连接，交于，连接， 切于点， ，， ， ， ，， ， 将沿翻折，得到． ， ，， ，即， ， 在中，，解， 解得或舍去； 当的反向延长线与相切时， 设切于点，连接，交轴于， ， ， ， ， ， ， ， ，即 解得： 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为，则半径为 ． 【答案】5 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形与矩形的判定和性质，切点的性质，垂径定理于勾股定理的综合，理解正方形的性质，矩形的判定和性质，切点的性质，垂径定理与勾股定理的综合运用是解题的关键． 根据题意，如图所示，连接并延长交于点，交于点，连接，则，可得，四边形是矩形，设圆的半径为，即，，在中，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接并延长交于点，交于点，连接，则， ∵边与相切，切点为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，则， ∵是过圆心的直径， ∴，四边形是矩形， ∴， 设圆的半径为，即， ∴， 在中，， ∴， 解得，， ∴半径为5， 故答案为：5 ． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、三角形内心有关应用 【分析】本题考查了三角形的内心，角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上任意一点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于点M，于点N，过点B作于点T，则，由面积法证明，同理，即可求解． 【详解】解：过点D作于点M，于点N，过点B作于点T， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可证明：， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了切线的性质，正方形的性质、垂径定理和勾股定理．设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接，根据切线的性质得到，根据垂径定理求出，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，连接并延长，交于，连接， 边与相切， 四边形为正方形， ，， 四边形为矩形， 在中，，即， 解得：（舍去）， 正方形的边长为 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 【答案】(1)与相切，理由见解析 (2)3 【知识点】利用垂径定理求值、证明某直线是圆的切线、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等腰三角形的性质得到，得到，由，得到，求得，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：设， 在中，，，， ， 解得（不合题意舍去），， 故的半径为3． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，为直径，射线交于点，弦平分，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)线段的长度为 【知识点】根据平行线判定与性质证明、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】此题重点考查平行线的判定与性质、切线的判定、圆周角定理、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，而，则，所以，由于点，得，则，即可证明直线是的切线； （2）连接，由，，，求得，由，得，则． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 弦平分， ， ， ， 于点， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线． （2）解：连接， ，，， ， ， ， ， 线段的长度是． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知是的直径，点在上． (1)如图1，若，点在上，，延长到点，使得．证明： ①点为的中点； ②直线是的切线； (2)如图2，若，仅使用圆规作的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 【知识点】根据菱形的性质与判定求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等、证明某直线是圆的切线、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①如图1，连接、，证明出是等边三角形，得到，然后由得到，进而求解即可； ②首先证明出是等边三角形，得到，然后由得到，进而得到，即可得到是的切线； （2）如图2，以为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧交于点． 【详解】（1）①如图1，连接、． ，， 是等边三角形， ∴， ， ， ， ， ，即点为的中点； ②， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的切线； （2）如图所示，点即为所求． 证明：如图，连接，， 根据题意得， ∴四边形是菱形 ∴平分，即 ∴ ∴点D为的中点． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质和判定，菱形的性质和判定，切线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）（1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为 ． 【答案】（1） 图见详解； （2）5或20 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理、证明某直线是圆的切线 【分析】此题主要考查了切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定和性质是解决问题的关键 (1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求； (2)作的平分线，过点点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求，过点M作交的延长线于点E，于点E，设的半径为R，则，先求出，证明和全等得，则，证明四边形是矩形得、．则．然后在中，由勾股定理求出R即可． 【详解】解∶(1)作的平分线，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，以点为圆心，以为半径作，则为所求，如图： 理由如下∶过点O作于点K，如图1所示: 是线段的垂直平分线, ，, 是的半径， 是的切线， 点O是的平分线上的点，，， ． 是的半径, 是切线， 经过边的中点，且与边，相切． 故为所求； (2)依题意有以下两种情况∶ ①作的平分线，过点B作交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求; 理由如下：过点M作，交的延长线于点E，于点F， 如图2所示∶ 为的半径，，是的切线， 点M在的平分线上，， , 是的半径, 直线是的切线, 经过点B且与、两条边所在直线相切， 故为所求， 设的半径为R，则． 在中，，． 由勾股定理得∶， 在和中， ， ， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得∶， ， 解得∶． 的半径为5； ②延长到T，作的平分线，过点B作，交于点M，以点M为圆心，以为半径作，则为所求， 理由：过点M作于点K，连接交于点Q，过点M作， 如图3所示∶ 由作图得是的切线， 平分，， ， ， 是的半径， 是的半径， 又， 是的切线， ， 是的垂直平分线 在中，，，由勾股定理得∶， ， ， , 在中，由勾股定理得∶, , 解得∶， 综上所述∶的半径长为5或20, 故答案为∶5或20． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）（1）如图1，点为外一点，为的直径，连接线段，交于点、，点为上任意一点（与、不重合）．则______，______；（填“”“”或“”） （2）请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． ①在图2中，作弦，使弦过点且长度最短； ②在图3中，作弦，使达到最大． 【答案】 （1），；（2）①见解析；②见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】（1）如图1，连接，根据圆周角定理得到，得到，根据三角形外角的性质得到，求得， （2）①过点和作直线，然后再过点作直线的垂线交于，于是得到结论； ②先作的垂直平分线得到的中点，然后以为直径作交于、，则、为的切线，此时最大． 【详解】解：（1）如图1，连接， 为的直径， ， ， ， ， ，即 故答案为：，； （2）如图2，过点和作直线，然后再过点作直线的垂线交于，线段即为所求； ②如图3，过点，作的切线、，为所作． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质和判断，圆周角定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，正确地作出图形是解题的关键． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若半圆O的半径为8，且，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】切线的性质定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，则，由等边对等角可得，由切线的性质可得，求出，即可得证； （2）利用勾股定了计算即可得解． 【详解】（1）证明：连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵与相切于点C，与的延长线相交于点D， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的半径为8． ∴． ∵． ∴， ∴， ∴． ∵，且， ∴， 解得， ∴的长是2． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点D，E在上，，点P在上，连接，作的外接圆． (1)当时， （Ⅰ）如图①，若是的直径，则的半径为 ； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． (2)当时，如图③，若与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个m的值，的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）． 【答案】(1)（I）；（II） (2)见解析 (3)当，的半径最小值为5；当，的半径最小值为 【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）（I）根据题意求得，由勾股定理求得，即可解答; （Ⅱ）过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接，根据题意求出，设，则，由勾股定理得，求出即可解答； （2）证明是等腰直角三角形，作出顶角顶点P即可 （3）以为直径的圆与相切时，，当时，；当时，设，则，，利用勾股定理即可解答. 【详解】（1）解：（Ⅰ）∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， 由勾股定理得， ∵是的直径， ∴的半径， 故答案为：． （Ⅱ）如图，过点O、P作的垂线，垂足分别为G、F，过点O作，垂足为H，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∴， 即， 解得， ∴， 即． （2）解：如图，作的垂直平分线交于点P，则点P即为所求； （3）解：以为直径的圆与相切时，， 1°当时，； 2°当时， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得． 综上，当时，；当的半径最小值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，垂直平分线，矩形的判定与性质，切线的性质，外接圆的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，点在上，且点为弧的中点，过点作于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、证明某直线是圆的切线、圆周角定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键． （1）连接．根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可结论；可以两种方法证明； （2）如图，连接交于，根据垂径定理得到，，求得，得到，设的半径为，根据勾股定理得到，，根据矩形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接． 点为的中点， ， ， ， ． ， ． ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：如图，连接交于， ， ，， ， ． ， 设的半径为， ， ， ， 解得（负值舍去）， ， ， 为的直径， ， ， 四边形是矩形， ． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是弦，C是的中点，与交于点E，过点A作的切线，与的延长线交于点D，连接．求证：． 【答案】见解析 【知识点】等边对等角、利用垂径定理求值、圆周角定理、切线的性质定理 【分析】根据切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理进行解答即可． 【详解】证明：连接， 是弦，C是的中点， ，， ， ， 是的切线， ， ， 【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理，掌握切线的性质，垂径定理，等腰三角形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键． 24．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． (1)判断与的数量关系并说明理由； (2)若，求的长． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、切线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键. （1）根据圆周角定理可得，根据切线的性质可得，由互余关系得，根据圆周角定理，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可； 【详解】（1）解：．理由如下： 是的直径， ． ． 是的切线， ． ． ． ． 又， ． ． （2）解：连接． 平分， ． ． ， ． ． 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，是的切线，． (1)请仅用无刻度的直尺画出的中线（保留作图痕迹，不写作法，不需证明）； (2)在（1）的条件下，连结，证明：是的切线． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【知识点】无刻度直尺作图、与三角形中位线有关的证明、半圆（直径）所对的圆周角是直角、切线的性质和判定的综合应用 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的切线的判定与性质、三角形的重心、三角形的中位线定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，交于点，连接，并延长交于点，则为的中线．证明：先证出是的中线，再根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的三线合一可得是的边上的中线，然后根据三角形的重心的定义即可得； （2）连接，先根据三角形的中位线定理可得，从而可得四边形是平行四边形，再根据圆的切线的性质可得，从而可得平行四边形是矩形，然后根据矩形的性质可得，最后根据圆的切线的判定即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接，交于点，连接，并延长交于点，则为的中线． ∵是的直径， ∴， ∴是的中线， 又∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴是的边上的中线（等腰三角形的三线合一）， ∴点是的重心， ∴是的中线． （2）证明：如图，连接， 由（1）可知，点分别是的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵是的直径，是的切线， ∴，即， ∴平行四边形是矩形， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，， 是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点O到，的距离相等．小红发现延长，交于点P，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）若，，，的半径为r，则r的取值范围是_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)作图和文字说明见解析； 【知识点】利用垂径定理求值、应用切线长定理求解、利用勾股定理的逆定理求解、圆周角定理 【分析】（1）证明小明发现的结论：过点作于点，作于点，连接，先根据垂径定理可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得证；证明小红发现的结论：连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）分别作的角平分线，两条角平分线交于点；过点作的垂线，垂直为点；在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，则即为所求．作的内切圆，与边分别相切于点，连接，利用圆的切线的性质和勾股定理求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：①小明发现的结论：点到，的距离相等． 如图，过点作于点，作于点，连接， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点到，的距离相等． ②小红发现的结论：． 如图，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，分别作的角平分线，两条角平分线交于点；过点作的垂线，垂直为点；在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，则即为所求． 如图，作的内切圆，与边分别相切于点，连接， ∴，， ∵，，， ∴， 解得， 设， 又∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 即， 解得， 即， ∴，，， ∵与各边都相交且所形成的弦的长度均相等，且的半径为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、圆的切线的性质、勾股定理与勾股定理的逆定理、角平分线的尺规作图等知识，较难的是题（2），正确找出两个临界位置是解题关键． 27．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、切线的性质定理、画圆(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）连接，则，根据角平分线性质得到，判定点E在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； ； （2）解：连接，则于点E， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）． 【问题再现】如图1，过点P作的一条切线； 【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； 【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦其长度等于弦的长． 【问题再现】（1）主要作图步骤： ； 【问题联想】（2）主要作图步骤： ； 【问题再解】（3）主要作图步骤： ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【知识点】过圆外一点作圆的切线(尺规作图)、利用垂径定理求值、圆周角定理 【分析】（1）先作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交于点A，则根据圆周角定理得到，然后根据切线的判定方法得到直线为的切线； （2）连接并延长至点，过点P作的垂线，交直线l于点Q，交于点和，则弦被点P平分； （3）过点O作的垂线，垂足为点，以点O为圆心，为半径作小，作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交小于点H，则根据圆周角定理得到，射线，交于点和，则弦． 【详解】解：（1）如图1，直线为所作； （2）如图2，连接并延长至点，过点P作的垂线，交直线l于点Q，交于点和，则弦被点P平分； （3）如图3，过点O作的垂线，垂足为点，以点O为圆心，为半径作小，作的垂直平分线得到的中点M，再以为直径作交小于点H，则根据圆周角定理得到，射线，交于点和，则弦． ． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理，垂径定理和切线的判定与性质． 地 城 考点05 正多边形与圆 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】圆周角定理、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．由圆周角定理可得的度数，再根据正多边形中心角的计算方法进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：D 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边的性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查正多边形与圆，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转变换等知识，如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H．证明，可得结论． 【详解】解：如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接交于H． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查圆周角定理，正多边形和圆，根据正多边形与圆的性质以及圆周角定理即可得出答案，掌握正六边形的性质以及圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知， ， ∴所对的弧是， ∵所对的弧是， ∴，即， 故选：． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在同一个圆上．若，则该圆的半径为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、正多边形和圆的综合 【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得，再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键． 【详解】解：如图，设圆的圆心为点，即点为正六边形边的中点，连接，过作于点， ∴， ∵正六边形的每个内角都为， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的半径为， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 【答案】54 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，根据正五边形的内角和得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：在正五边形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：54． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】27 【知识点】含30度角的直角三角形、正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：27． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是． 【详解】解：连接，，过点O作，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴正方形对角线不能超过， ∴正方形的边长不能超过， ∴的取值范围是， 故答案为：． 地 城 考点06 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、求弧长 【分析】本题考查了含30度的直角三角形的基本性质，弧长的运算，垂直平分线的基本性质，能够找到点的运动路径是解题关键； 如图，延长到点，使，连接，先求得，再通过垂直平分线的基本性质可知，进而知道点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵点关于直线的对称点， ∴垂直平分， ∴， ∴点在以点为圆心，半径为4的圆上运动， ∵当点与点重合时，点与点重合， ∴点的运动路径为以点为圆心，半径为4的圆弧，即， ∴点的运动路径长为：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长的计算方法是解题的关键．根据弧长的计算方法计算半径为，圆心角为的弧长即可． 【详解】解：由题意得，重物上升的距离是半径为，圆心角为所对应的弧长， 即， 故选：D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含30度角的直角三角形、利用垂径定理求值、圆周角定理、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、扇形面积计算．连接，设交于F点，由，求出，利用直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接，设交于F点，如图， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴，，围成的图形的阴影面积为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键. 根据题意用弧长公式计算即可. 【详解】解：根据题意，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（）， 故选：C. 5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积 【分析】本题考查扇形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：扫过的面积为 故选：. 6．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知扇形的半径为12，圆心角为，则这个扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式．根据直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵扇形的半径为3，圆心角为， ∴， 故选：D． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令圆锥的底面半径为r， 则， 解得， 所以圆锥的底面半径为 故选： 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握侧面积公式是解题的关键，根据侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为， 故选：C． 二、填空题 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、求弧长 【分析】此题重点考查切线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理、弧长公式等知识，当与相切时，连接、，则，因为，是的中点，所以，则，所以，延长交于点，取的中点，连接，可证明，则，所以，可知当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧，当点旋转一周时，点的运动路径为四段这样的圆弧，即可由弧长公式求得点运动的路程为，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，当与相切时，连接、，则， ， ， 是的中点， ， ， 是等边三角形， ， 延长交于点，取的中点，连接， 于点， ， ， ，， ， 、分别为、的中点， ， ， 当点从点运动到与相切时，点的运动路径为以为圆心、半径为且圆心角等于的圆弧， 当点旋转一周时，点的运动路径为四段半径为且圆心角等于的圆弧， 点运动的路程为， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）中国瓦当的发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变，现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦此面的面积为 cm²．(结果保留) 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了求扇形的面积， 根据此面的面积，再代入数值可得答案． 【详解】解：∵，， ∴此面的面积（）． 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查扇形面积的计算，线段的中垂线，根据中垂线的性质以及直角三角形的边角关系可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可．掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， 是的中垂线， ，， ，，， ， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，由弧长公式得出它的侧面展开图的弧长，从而得出圆锥的底面圆的半径，最后根据圆的面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为， ∴它的侧面展开图的弧长为， ∴圆锥的底面圆的半径为， ∴这个圆锥的底面圆面积为， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】/ 【知识点】正多边形和圆的综合、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算．根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出的度数，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：正五边形的内角和， ， ， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，点是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆弧，分别交于两点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，三角形内角和定理，熟练掌握扇形面积的计算公式是解题的关键．根据题意得到，根据三角形内角和定理得到，根据扇形面积计算公式计算即可得到答案． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在扇形中，，半径，是弧上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则弧的长为 （结果保留）． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、求弧长 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，结合线段垂直平分线的性质证明为等边三角形，进而求出的度数，最后根据弧长公式求解，即可解题． 【详解】解：连接， ，， 是的垂直平分线， ， 为等边三角形， ， ， ， 半径， 弧的长为； 故答案为：． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求某点的弧形运动路径长度、根据成轴对称图形的特征进行判断 【分析】本题考查轨迹，轴对称性质，正方形的性质，弧长公式，解题的关键是证明．如图，连接，交于点，连接，，，．证明，推出，利用弧长公式求解． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接，，，． 点，关于对称， ，， 四边形是正方形， ，，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的运动轨迹是弧， 弧的长 故答案为：． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．盐城市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 【答案】 【知识点】求扇形面积 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键；将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【详解】解：，， 山水画所在纸面的面积为， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了三角形内角和定理、扇形面积公式，由三角形内角和定理可得，由题意可得，再由扇形面积公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∵分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F， ∴， 故答案为：． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，连接、．当点P在半圆上从点B运动到点C时，则内心M所经过的路径长为 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理、三角形内心有关应用、已知圆内接四边形求角度、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了三角形的内心、圆内接四边形的性质、圆周角定理、弧长公式等知识，正确找出点的运动路径是解题关键．先根据三角形的内心求出，再连接，证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得当点在半圆上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上，然后设劣弧所在的圆为，连接，在优弧上取一点，连接，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理可得，最后利用弧长公式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵的内心为点， ∴，， ∴， 如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴如图，当点在半圆上从点运动到点时，点在以为弦，并且所对的圆周角为的劣弧上， 设劣弧所在的圆为，连接，在优弧上取一点，连接， ∴， 由圆周角定理得：， ∵为的直径，且， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴劣弧的长度为， 即内心所经过的路径长为， 故答案为：． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，以为直径的与相切于点A，交于点D， 连接，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、切线的性质定理、求其他不规则图形的面积 【详解】解：∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴图中阴影部分的面积为 故答案为： 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 【答案】2 【知识点】求弧长、求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的相关计算，掌握扇形的弧长公式是解题的关键． 先根据弧长公式求出扇形弧长，再根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：扇形的弧长， ∴圆锥的底面圆的周长， ∴圆锥的底面圆半径． 故答案为：2． 试卷第1页，共3页 2 / 100 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆 6大高频考点概览 考点01 点与圆的位置关系 考点02 圆周角定理 考点03垂径定理 考点04 直线与圆的位置关系 考点05 正多边形与圆 考点06 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 地 城 考点01 点与圆的位置关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若的直径为8，点A到圆心O的距离为4，那么点A与的位置关系是（    ） A．点A在圆外 B．点A在圆上 C．点A在圆内 D．不能确定 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知的半径为3，若，则点P与的位置关系是（ ） A．点P在内 B．点P在上 C．点P在外 D．无法判断 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，在8×8的正方形网格中，点A，B，C，P，Q，M，N都在格点上(正方形的顶点即格点)，若⊙O是以A，B，C为顶点的三角形的外接圆，则下列各点中，在⊙O上的是（   ） A．点P B．点 Q C．点M D．点N 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）的半径为，同一个平面内有一点，且，则与的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．无法确定 5．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）平面直角坐标系中，点为原点，若的半径为5，则点与的位置关系是(   ) A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．不能确定 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为3，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在外 B．点P在上 C．点P在内 D．无法确定 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知的半径为2，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是 ． 8．（23-24九年级上·江苏徐州·期末）在矩形中，，以点A为圆心，4为半径作，点C与的位置关系是 ． 9．（23-24九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，线段的长为d，若点A在外，则d的取值范围为 ． 地 城 考点02 圆周角定理 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，是的直径，是的弦，连接，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，已知中，，点P在弦上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，点在圆上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，圆内接四边形中，，连接，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的外接圆，连接，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，点A、B、C都在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，利用三角尺可以确认图中的弦是圆的直径，其数学依据是（   ） A．直径所对的圆周角是直角 B．的圆周角所对的弦是直径 C．直角三角形的两个锐角互余 D．两角互余的三角形是直角三角形 9．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，四边形是的内接四边形，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，上有三点A，B，C，连接，已知，那么的大小是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）在中，，，是边上一点，，线段的最大值为 ． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，直径的夹角，为弧上的一个动点（不与点，重合）．，分别垂直于，，垂足分别为，．若的半径长为2，则的长为 ． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，，点F是边上一动点（不与A，B重合），以为直径的交于点D，连 接交于点E，连接，当点F在边上移动时，则的最小值为 ． 15．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，四边形内接于，，，，则的半径为 ． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，点是的圆心，点、、在上，，，则的度数是 ． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，点D是外接圆上的一点，已知，则 °． 18．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是的直径，C为上一点，连接、，过点O作于点D，交于点E，连接．若，，则的长是 ． 19．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，四边形内接于，为的直径，．点E在的延长线上，若，则的度数为 ． 20．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，是的直径，是的弦，，，若点D在上，且，则长为 ． 地 城 考点03 垂径定理 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，是的直径，弦于点，连接．若，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，的直径垂直弦于点E，且，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知的半径为5，点在内，且，则经过点的弦的长不可能为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的弦，是的三等分点，连接并延长交于点．若，，则圆心到弦的距离是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，P是内一点．若圆的半径为5，，则经过点P的弦的长度不可能为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，为的直径，弦交于点，且，若，，则的半径为 ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具--筒车．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，被水面截得的弦长为8米，水面到运行轨道最低点的距离为2米，则的半径为 米． 8．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，刘老师拍摄了一张美丽的日出照并将其冲刷成照片，测得照片中太阳被海平线截得的线段长为，太阳边缘上的点到海平线的最远距离也为，则照片中太阳的半径是 ． 9．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图1是苏州园林中的拱门，可抽象为如图2所示的图形．已知长度为，拱门的最高点C到直线的距离为，则拱门所在圆的半径为 ． 三、解答题 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是半圆的直径，点O为圆心，C是半圆上一点，连接． (1)用无刻度的直尺和圆规作图：在半圆上确定一点P，使得(保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下,连接，，若，，求四边形的面积． 11．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共用，彩绘线条流畅细致，图案繁缛多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧．如图的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形三点定位的方法确定圆周的三等分点． (1)参照图所示，在图中，请用无刻度的直尺和圆规对的圆周进行三等分（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）画出的图形，连接，，，若的半径为，则的周长为____ ． 地 城 考点04 直线与圆的位置关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）四个半径为5的等圆与直线的位置关系如图所示，若某个圆上的点到直线的最大距离为8，则这个圆可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）若圆心到直线的距离等于的半径，则直线与的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，切于点，连接交于点，过点作交于点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，是的切线，A为切点，的延长线交于点B，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，与相切于点A，连接，并延长交于点B，连接，且，则的度数为（　　）． A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（ ） A． B．5 C． D．6 7．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，分别是的切线，、分别为切点，点是上一点，且，则为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，中，半径，弦交于D，过B作的切线，交的延长线于C，，则的长为（  ）． A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知线段，则平面内与点的距离为5，且与点的距离为6的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，是弦，是切线，过点B作于D，交于点E，若平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心、为半径作圆．从点出发，以每秒个单位的速度沿轴正半轴运动，运动时间为．连接，将沿翻折，得到．当 时，直线与相切；当 时，直线与相切． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，已知的弦，以为一边作正方形，边与相切，切点为，则半径为 ． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，点是的内心，连接，并分别延长交于点，交于点．若，，，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，已知的半径为，现有正方形的边与相切，切点为，且点在上，则正方形的边长为 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，是的直径，弦与交于点，点在的延长线上． (1)若，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的半径． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，为直径，射线交于点，弦平分，过点作于点． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求线段的长度． 17．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知是的直径，点在上． (1)如图1，若，点在上，，延长到点，使得．证明： ①点为的中点； ②直线是的切线； (2)如图2，若，仅使用圆规作的中点（不写作法，保留作图痕迹）． 18．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）（1）如图，在中，，求作，使它经过边的中点，且与边、相切；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若过点B，且与、两条边所在直线相切，当，时，的半径长为 ． 19．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）（1）如图1，点为外一点，为的直径，连接线段，交于点、，点为上任意一点（与、不重合）．则______，______；（填“”“”或“”） （2）请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． ①在图2中，作弦，使弦过点且长度最短； ②在图3中，作弦，使达到最大． 20．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若半圆O的半径为8，且，求的长． 21．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光…… 已知，点D，E在上，，点P在上，连接，作的外接圆． (1)当时， （Ⅰ）如图①，若是的直径，则的半径为 ； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． (2)当时，如图③，若与AB相切于点P，用直尺和圆规作出点P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个m的值，的半径随着点P的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的m的取值范围（可用含m的式子表示）． 22．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，为的直径，点在上，且点为弧的中点，过点作于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在中，是弦，C是的中点，与交于点E，过点A作的切线，与的延长线交于点D，连接．求证：． 24．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，是的内接三角形，是的直径，是的切线，的平分线交于点，连接． (1)判断与的数量关系并说明理由； (2)若，求的长． 25．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的直径，是的切线，． (1)请仅用无刻度的直尺画出的中线（保留作图痕迹，不写作法，不需证明）； (2)在（1）的条件下，连结，证明：是的切线． 26．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）“等弦”的探究． (1)如图①，在中，， 是弦，且．由此，你能发现什么？小明发现点O到，的距离相等．小红发现延长，交于点P，则．从小明、小红两位同学所发现的结论中，选择一个完成证明． (2)如图②，已知，与各边都相交且所形成的弦的长度均相等．在图②中，用直尺和圆规作出一个满足条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）若，，，的半径为r，则r的取值范围是_______． 27．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）如图，中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 28．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）请用圆规和无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹，写出主要作图步骤）． 【问题再现】如图1，过点P作的一条切线； 【问题联想】如图2，在l上作一点Q，使得直线被截得的弦被点P平分； 【问题再解】如图3，过点P作一条直线，使得该直线被截得的弦其长度等于弦的长． 【问题再现】（1）主要作图步骤： ； 【问题联想】（2）主要作图步骤： ； 【问题再解】（3）主要作图步骤： ． 地 城 考点05 正多边形与圆 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则n的值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，多边形为正六边形，点P在边上，过点P作交于点Q，连接，且满足设四边形、四边形和的面积分别为、、，则正六边形的面积为（     ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，将圆周六等分，是其中两个等分点，点分别在优弧、劣弧上，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在同一个圆上．若，则该圆的半径为（   ） A．6 B．8 C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正五边形中，连接，以E为圆心，长为半径画弧，与交于点F，连接，则的度数是 ． 8．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 地 城 考点06 弧长、扇形面积、圆锥侧面积 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，边上有一动点，作点关于直线的对称点，在点从点运动到点的过程中，点的运动路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图，用一个半径为的定滑轮拉动重物上升，假设绳索粗细不计，且与轮滑之间没有滑动，若滑轮旋转了，则重物上升了（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）物理实验课上，同学们分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小明发现，重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，长的雨刮器扫过汽车挡风玻璃的角度为，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知扇形的半径为12，圆心角为，则这个扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 10．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，经过的中点，点为上动点，过点作的垂线，垂足为．当点旋转一周时，点运动的路程为 ． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）中国瓦当的发展历程悠久，其艺术风格和功能随着历史时期的变化而演变，现有一瓦当，它的一面是呈扇形的一部分，如图1所示，其中两边所在直线构成的夹角，点O是扇形所在圆的圆心，，如图2所示，则该瓦此面的面积为 cm²．(结果保留) 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在扇形中，，点在上且垂直平分线段，为垂足，以为圆心，为半径作弧交于点，则阴影部分面积等于 ． 13．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）若一个圆锥的母线长为4，它的侧面展开图的圆心角为，则这个圆锥的底面圆面积为 ． 14．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，正五边形的边长为，以为圆心，以为半径作弧，则阴影部分的面积为 （结果保留）． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，点是的中点，分别以为圆心，长为半径作圆弧，分别交于两点，则图中阴影部分的面积是 ． 16．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，在扇形中，，半径，是弧上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则弧的长为 （结果保留）． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，正方形的边长为4，为边上一动点，作点关于的对称点，射线，交于点，当点从点运动到点过程中，点运动路径长为 ． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．盐城市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为 ． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，，D是的中点，分别以B，C为圆心，长为半径作弧，交于点E，交于点F，则图中阴影部分的面积是 ． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，为的直径，且，点C在半圆上，，垂足为点O，P为半圆上任意一点，过P点作于点E，设的内心为M，连接、．当点P在半圆上从点B运动到点C时，则内心M所经过的路径长为 ． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，以为直径的与相切于点A，交于点D， 连接，则图中阴影部分的面积为 22．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）用半径为6，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为 ． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $