专题05 隐圆求最值压轴四大题型（期中专项训练）九年级数学上学期苏科版

专题05 隐圆求最值压轴四大题型 模型1 点圆最值问题 模型3 四点共圆 模型2 定弦定角 模型4 瓜豆原理 模型一 点圆最值问题（共3小题） 1．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 2．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ． 3．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 模型二 定弦定角（共12小题） 1．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 3．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 4．如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 5．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 6．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 7．如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 8．如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 9．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 10．如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 11．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 12．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    模型三 四点共圆（共3小题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论: 是的外心； 是的外心； ；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 4.（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    模型四 瓜豆原理（共3小题） 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 3．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    4．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 隐圆求最值压轴四大题型 模型1 点圆最值问题 模型3 四点共圆 模型2 定弦定角 模型4 瓜豆原理 模型一 点圆最值问题（共3小题） 1．如图，矩形中，，，点分别是边上的两动点，且，点为的中点，点为边上一动点，连接，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径问题，考查了点与圆的位置关系，轴对称图形的性质，勾股定理，关键在于将所求折线转化为两点之间的距离． 根据题意得到点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部），作点关于的对称点，连接交于点，交于点，此时有最小值，最小值为，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：在矩形中，，，， 如图，连接， 点分别是边上的两动点，且，点为的中点， ， 点在以为圆心，以为半径的上运动（在矩形内部）， 如图，作点关于的对称点，连接交于点，交于点， ， ， ∴此时有最小值，最小值为， ，， ， 的最小值为9， 故选：B． 2．综合与实践课上，同学们以“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小明同学准备了一张长方形纸片，如图：，，他在边上取中点N，又在边上任取一点M，再将沿折叠得到，连结．达到最小值时，求 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．正确运用相关性质定理是正确解答此题的关键．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，根据三角形的三边关系得到 ，结合点M在上，根据勾股定理即可求出． 【详解】解：将沿折叠得到， ， 点为的中点，， ， 当点在边上运动时，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 连接,在中， ， 共线时，的值最小，如图， 最小为； ， 设， ，， 在直角三角形中， 由勾股定理得：， ， 解得：， 即， 故答案为：． 3．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 模型二 定弦定角（共12小题） 1．如图，为半圆的直径，为的中点，为上任意一点，连接，，过点作交于点，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，由，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧，利用和是定值，即可求得的最小值． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，则，连接，，，， ∵的直径为，C为半圆弧的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的圆弧， ∵，C为半圆弧的中点， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：D． 2．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求一点到圆上一点的最值，勾股定理，正方形的性质；取的中点，连接，依题意得出在以为直径的上运动，进而由勾股定理求得，根据的最小值为，即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在以为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 3．如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 【详解】解： 于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． 4．如图，在中，半径，弦，Q是上的一个动点，连接，作，垂足为P，则在点Q移动的过程中，线段的最小值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆外一点到圆上一点的距离的最值，由知，点P在以为直径的的圆弧上，连接交于P，此时线段最短，进而求解即可．解题的关键是确定点的运动轨迹． 【详解】解： ∵， ∴， ∵点Q是劣弧上的一个动点， ∴点P在以为直径的的圆弧上， 如图所示，连接交于P，此时线段最短． ∵弦，半径， ∴直径，， 连接，则：， ∴， 在中， ， ∴． 故答案为：8． 5．如图，为的直径，C为上一点，其中，，D为上的动点，连接，取中点M，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 连接，首先证明点的运动轨迹为以为直径的，连接，当点在线段上时，的值最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹为以为直径的，连接， 当点在线段上时，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 6．如图，在矩形中，，，P是线段上一动点，M是线段上一点，且，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】取的中点，连接，．证明，推出，点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的．利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：如图，取的中点O，连接，． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 点M的运动轨迹是以O为圆心，5为半径的． ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 7．如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 8．如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 点的轨迹是以为直径的圆的一部分． 设的中点为，连接，易知当点在上时，的值最小，过点作，交的延长线于点， 则， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理等知识．求出点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，以为直径作，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G的运动轨迹是以为直径的，当O，G，D共线时，的值最小， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 10．如图，在Rt中，，，，是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由即、易知的长是定值，根据定弦定角可知：点D是在以为直径的圆上运动，取的中点O，的外接圆；连接，当三点在同一条直线上时，取最小值，此时 ，由此解答即可． 【详解】解： ， ， 点D是在以为直径的圆上运动， 如图所示：取的中点O，则的外接圆为；连接， 当三点在同一条直线上时，取最小值，此时 ， ， ， 在中，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，三角形的三边关系，关键是确定取最小值的位置是解题的关键． 11．如图，已知中，，，，点是边上的动点，以为直径作，连接交于点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、直径所对的圆周角是直角、求一点到圆上点距离的最值，分析得出“动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动”是解题的关键． 根据勾股定理计算，由直径所对的圆周角是直角，推出，推出动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动，当，，在同一直线上时，最小，根据勾股定理求出，则，计算得出答案即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 如图，连接， ∵以为直径作， ∴， ∴， ∴如图，动点在以中点为圆心，为半径的圆上运动， ∴， ∴当，，在同一直线上时，最小，， ∴，即的最小值， 故答案为：． 12．如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：，    ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即：的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 模型三 四点共圆（共3小题） 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论: 是的外心； 是的外心； ；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（   ）    A．①③④ B．②③⑤ C．②④ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题命题思路是以等边 外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【详解】解：连接，； ∵为的外心； ∴； ∵正方形； ∴； ∴； ∴是的外心； 故正确．    对于，连接，； ∵； ∴不是的外心； 故错误．    对于，连接； ∴； ∴，，，三点共圆； ∴； ∵ 即； 故正确．    对于， ∵， ∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形； ∵； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； 在中， ； ∴； ∴； ∵； ∴； 故正确．    对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，； ∴； 当，，，四点共线时，周长最小； 即 连接， ∴， 连接； ∴是等腰三角形； ∵，； ∴； ∵； ∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ∵； ∴； 在中； ∴； ∴； 即； 故错误；    综上所述，①③④正确； 故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为． 3．（24-25九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在Rt中，，在斜边上取一点，使得，连接并延长至点，连接．若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、勾股定理、四点共圆，由可知、、、四点共圆，进而可得，过作于点，易得再利用 ，可设，则，易证，最后解即可得解． 【详解】解：， ∴点、、、四点共圆， ， ∴为直径， ， 过作 于点， 则 ， 在 中，， ， ， ，即 ， 设，则 ， ， ， ， ， 在 中， ， 即 ， 解得或(舍去)， ； 故答案为：． 4.（22-23九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】将绕点逆时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则，可知、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、过作，交于，交圆于，过、分别作圆的切线，交于，连接交于，连接、，利用的直角三角形求得，由，与圆相切，可得（SSS），利用其性质证得，计算出，，由，知，可得四边形为平行四边形，则，由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号），即可求得的最大值． 【详解】解：将绕点顺时针旋转至，连接，可得是为等边三角形，则， ∵，， ∴、、、四点共圆，令其圆心为，连接、、 ∴，则， 过作，交于，交圆于，过、分别作圆得切线，交于，连接交于，连接、，    ∵，， ∴，， ∴，， ∵，与圆相切， ∴， ∴（SSS） ∴， ∴， ， ， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由三角形三边关系可知：（当、、在同一直线上时去等号） ∴的最大值为：． 故答案为：． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了四点共圆，垂径定理，切线长定理，解直角三角形，平行四边形的判定及三角形的三边关系，构造辅助线，利用圆的相关性质转化线段长度及角度，构造三角形三边关系是解决问题的关键，属于中考压轴题． 模型四 瓜豆原理（共3小题） 1．（24-25九年级上·江苏·阶段练习）如图，正方形中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最小距离和问题，正方形的性质，勾股定理．取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于，根据勾股定理求出，再结合四点共线时最小即可得解． 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连接、两线交于点，连接，，，过作于， ∵点是的中点， ∴， ∴点在以为圆心，半径为的圆上运动， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 当、、、四点共线时，的值最小，的最小值为， ∴的最小值为， 故选：A． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，边长为的正方形中，以为直径在正方形内作半圆，点是半圆上动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得线段，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，取的中点，连接，证明，即可证明，从而，得在以为圆心，为半径的半圆上运动，故当共线时，最小，此时，即可得最小为． 本题考查旋转的性质，正方形性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出的轨迹． 【详解】解：延长到，使，连接，取的中点，连接，如图： 四边形是正方形， ， 由旋转可得：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 在以为圆心，为半径的半圆上运动， 当共线时，最小， 如图： ， ， 最小为； 故答案为：． 3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）已知抛物线与轴交于，两点，点为抛物线的顶点，点为以为直径的上一动点，为的中点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，三角形的中位线和点与圆的位置关系，先求出点的坐标，计算出圆心的坐标，连接，取的中点，当点与点重合时，连接，得，则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，由勾股定理得，所以最小值为． 【详解】解：， 令，则， 解得，或， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴, ∴， 当时，， ∴， ∴, 连接，取的中点，则, 当点与点重合时，连接，如图， ∴是的中位线， ∴， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上运动，当三点共线时最小，即最小，如图， 由勾股定理得，， ∴的最小值为：， 故答案为：． 1．如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，D是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线解析式即可得出A点与B点坐标，结合题意进一步可以得出BC长为5，利用三角形中位线性质可知OE=BD，而BD最小值即为BC长减去圆的半径，据此进一步求解即可. 【详解】∵， ∴当时，， 解得：， ∴A点与B点坐标分别为：(，0)，(3，0)， 即：AO=BO=3， ∴O点为AB的中点，   又∵圆心C坐标为(0，4)， ∴OC=4， ∴BC长度=， ∵O点为AB的中点，E点为AD的中点， ∴OE为△ABD的中位线， 即：OE=BD， ∵D点是圆上的动点， 由图可知，BD最小值即为BC长减去圆的半径， ∴BD的最小值为4， ∴OE=BD=2， 即OE的最小值为2， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．如图，在菱形中，，，、的半径分别为2和1，点、、分别是边、和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】3 【分析】作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，利用菱形的性质以及圆的性质得出与重合时的最小值，进而求出即可． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接，延长交于点，连接，，   四边形是菱形，，， ，， 、是等边三角形 ， ∴， ， ， ， ，，在一条直线上， 由题意可得出：当与重合，点在上，在上时，最小， ∵，、的半径分别为2和1， ，， 的最小值是3． 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质以及圆的性质等相关知识，根据题意得出点位置是解题关键． 4．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为 ． 【答案】6 【分析】连接OP，由直角三角形的性质可知AB=2OP，则求AB的最小值即为求OP的最小值，当O、P、M三点共线时，OP长度最小. 【详解】解：连接OP，由于PA⊥PB，故由直角三角形的性质可知AB=2OP，则OP最短时，AB最短；由图可知，O、P、M三点共线时，OP长度最小，OP=OM-MP=，则AB的最小长度为6， 故答案为6. 【点睛】将求AB最短问题转化为求OP最短是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 35 / 35 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $