专题01 一元二次方程 4大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 一元二次方程的解法 考点03 一元二次方程的根与系数关系 考点04 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，解题关键是熟知一元二次方程的一般形式：，其中是二次项，是一次项，为常数项．先移项将一元二次方程化为一般式，再找出常数项即可． 【详解】解： ∴ ∴ 常数项是 故选：D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般式：，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、2二元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、将整理为，是一元三次方程，不符合题意； D、是分式方程，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程， ，是一元二次方程，故选项A符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； ，不是一元二次方程，故选项B不符合题意； 故选A． 5．（24-25九年级上·江苏·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了方程根的定义即使方程左右两边相等的未知数的值，转化求解是解题的关键．将代入，再求解即可． 【详解】解：由题意得，将代入， 得， 解得：， 故选：A． 6．（24-25九年级上·江苏·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，解题关键是熟练掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A、，方程有2个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，未知数最高次为3，故不是一元二次方程，不符合题意， 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）一元二次方程0的二次项系数为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程中，项的系数为，的系数为，常数项为． 【详解】解：一元二次方程0的二次项系数为． 故选：A． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知是方程的一个解，则实数c的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】A 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，将代入原方程即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，，求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了根据一元二次方程的解求参数．一元二次方程的一个根是，把代入一元二次方程中，可得关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：一元二次方程的一个根是， ， 解得： 故答案为： ． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得到关于m的方程解题即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 故答案为：． 地 城 考点02 一元二次方程的解法 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【详解】解：， ， ，即， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解答即可求解，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， 故选：． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、配方法的应用 【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ， ，， ∴当时，， 解得：， ， 故选：B． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，因式分解法进行解方程，每个因式为0进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一元二次方程， ∴或， 解得或， 故选：B 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的解法，先将方程左边因式分解，再求解即可，掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴或， 解得：，， 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程没有实数根，得到判别式小于，即可求解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 故选：C． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，由一元二次方程有实数根可得，解不等式即可. 【详解】∵， 解得：， 故选：D． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解为（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查解一元二次方程，先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得，， 故选：C． 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．无解 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法即可求解． 【详解】解： ∴， ∴或 解得：，， 故选：C． 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握当一元二次方程根的判别式小于零时，该方程没有实数根是解答本题的关键． 先把方程化成一般式，然后再运用根的判别式，列不等式求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程没有实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．令，则所求的方程可转化为方程，从而可得，，将代入计算即可得． 【详解】解：令， 则方程可转化为方程， ∵一元二次方程的两根分别为，1， ∴方程的两根分别为，1， ∴，， 即，， ∴，， 即方程的两根分别为，， 故选：D． 二、解答题 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）先把方程右边的部分移到左边，然后提取公因式分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，解方程即可； （2）先把常数项移到等号右边，然后利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：， 整理得， 配方得，即， 开方得， ∴，． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程－公式法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， ∴，． 15．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解方程：． 【答案】，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法． 移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：移项得：， ， ，， ， 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∴，． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）把常数移到右边，再利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解： ∴ ∴， 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解： ∴ ∴； ∴ （2）解：∵， ∴； ∴． 20．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用直接开方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 21．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程—因式分解法以及一元二次方程—配方法，解题的关键是掌握提公因式法分解因式以及配方法． （1）提公因式法因式分解解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：． （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系解答即可．本题考查一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于，解题的关键是理解熟记以上知识点． 【详解】解：由题意可知： A. ，两根之和为；故不符合题意； B. ，两根之和为；故符合题意； C. ，两根之和为；故不符合题意； D. ，两根之和为；故不符合题意． 故选：B 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：因为方程的两根分别是， 所以． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程的两根之和为（   ） A． B．0 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数并能正确应用． 利用一元二次方程根与系数直接得出两根之和． 【详解】对于一元二次方程，两根有， 在方程中，， 所以两根之和， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解． 【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，， 由韦达定理可知，， ∴． 故选：D． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得解． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， 故选：D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，两根之和等于、两根之积等于．根据一元二次方程根和系数的关系即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程得两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）关于的方程的两根为、，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握整体代入的思想解决问题．由方程的两根为、，可得，利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：∵的方程的两根为、， ∴， ∴ ． 故答案为： 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于的方程的两根分别是2，3， 所以， 则． 故答案为：6． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】0 【知识点】由一元二次方程的解求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；由一元二次方程的解可得，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，()是方程的两个实数根， ，， ， ， 故答案为：0． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）设是方程的两个实数根．若，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数关系，根据，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）一元二次方程的两根之和为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．直接根据根与系数的关系作答即可． 【详解】解：由根与系数的关系可知：, 故答案为： 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知m，n是方程的两根，则的值为 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查根与系数关系，判断出，，利用整体代入的思想求解． 【详解】解：，n是方程的两根， ，， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个以和4为根的一元二次方程 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查一元二次方程，熟练运用根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设的两根分别是和4， ， ， 一元二次方程为：， 故答案为：． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若其中一个根是另一个根的2倍，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根据与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可知，求出解集即可； 对于（2），根据两根之和可知求出根，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设一元二次方程得两个根为， 根据题意，得，， 可知． ∵， ∴， 解得． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 【答案】(1) (2)2 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得； （2）解：设方程的两根为，， 根据根与系数的关系，得， ∴， 即方程的另一个实数根为2． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式，列出不等式，求出的取值范围． （2）根据根与系数的关系，列出计算出a的值，并结合（1）中a的范围，求解出结果． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得， 故的取值范围是； （2）解：方程的两根为， ， 又， ， 则， 解得或， 又， ． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、是方程的两根，且，求m的值． 【答案】(1)时方程有两个实数根 (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式大于等于0列式求解即可； （2）由根与系数的关系得，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， ∴时方程有两个实数根； （2）解：∵、是方程的两根， ∴，． ∵，    ∴， ∴，， ∵， ∴． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式即可解决问题． （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【详解】（1）证明：，，， ． ， 该方程总有两个实数根． （2）解：令方程的两根为，， 则，， 由得，， 即， 解得， ， ． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)是 (2)5 (3)或 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，代入可求出的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，且，然后分两种情况：①和②，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， 或， ， ∵，且， ∴一元二次方程是“限根方程”， 故答案为：是． （2）解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，即， 整理得：， ∴， 解得或， ①当时，方程为， 由（1）可知，这个方程是“限根方程”， ∴符合题意； ②当时，方程为， 解得， ∵，， ∴方程不是“限根方程”， ∴不符合题意，舍去， 综上，的值为5． （3）解：， ， 解得或， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴这个方程有两个不相等的负实数根， ∴方程根的判别式，，且， 解得，且， ①当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设； ②当时，则， ∵关于的一元二次方程是“限根方程”， ∴， 解得，符合题设， 综上，的取值范围为或． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据题意可得，据此求解即可； （2）由根与系数的关系得到，据此可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴； （2）解：∵的两个实数根、，满足， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根是，求它的另一个根． 【答案】(1)方程有两个不相等的实数根，理由见解析； (2)它的另一个根为． 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）设关于x的一元二次方程的两个根为，，其中，由，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 由得， ， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：设关于的一元二次方程的两个根为，，其中， ∴， ∴，解得， ∴它的另一个根为． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)0 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． （1）根据根判别式或解方程即可证明； （2）根据根与系数的关系或解方程即可求出答案． 【详解】（1）证明：法1，∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴不论为何值，方程总有实数根． 法2，原方程可化为， 即， ∴，， ∴不论为何值，方程总有实数根． （2）解：法1：∵由方程的两个根，得，，． ∴， ∴． 法2：∵解方程， 得，． ∴． 地 城 考点04 一元二次方程的实际应用 一、解答题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 【答案】(1)， (2)每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）设每份礼盒售价下降x元时，根据题意得到方程，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元， 平均每天可卖出礼盒份； （2）解：设每份礼盒售价下降x元， 根据题意可得：， 解得：（负值舍去） 故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 【答案】该商店销售了这种商品100或200件 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设该商品售价增加了元，根据“售价每增加1元时，销售量将减少10件”列方程求解即可． 【详解】解：设该商品售价增加了元， 列方程得：， 解得：，， 当时，； 当时，； 答：该商店销售了这种商品100或200件． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 【答案】每束鲜花应降价元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价每束下降元，则每天可售出束，根据每天能获得元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设售价每束下降元，则每天可售出束， 根据题意：， 整理得：， 解得：或， 尽量减少库存， ， 答：每束鲜花应降价元． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件． (1)当售价为75元时，该商店销售这批服装获得的利润为_______元； (2)如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是多少元？ 【答案】(1)12500 (2)70或80 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． （1）根据售价为75元，则销售量为500件，然后根据利润每件的利润乘以销售量计算即可． （2）设这批服装每件售价是x元，则销售量为件，根据获利12000元为等量关系列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：当售价为75元时，则销售量为：（件） 则该商店销售这批服装获得的利润为：（元） （2）解：设这批服装每件售价是x元，则销售量为：件， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是70元或80元． 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)宽为5米，长为米 (3)不能，理由见解析 【知识点】列代数式、根据判别式判断一元二次方程根的情况、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由题意列出代数式即可． （2）根据花圃的面积刚好为平方米，结合题意可列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． （3）设花圃的一边长为米，则，根据花圃的面积为平方米，列出一元二次方程，然后由根的判别式，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵长方形花圃的宽长为米， ∴另一边的长为米， 故答案为：； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， ∵墙的最大可用长度为米， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：此时花圃的长与宽边分别为米和5米； （3）解：建成花圃的面积不可能为平方米，理由如下： 设花圃的一边长为米， 则， 根据题意可得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴建成花圃的面积不可能为平方米． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图1，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，窗宽度的倍为平褶皱，窗宽度的倍为波浪褶皱．如图2，小莉房间的窗户呈长方形，其宽度比高度少，她打算订做一幅与窗户高度相同的窗帘，已知某种窗帘布料的价格为元，用波浪褶皱的方式制作窗帘所产生的费用比用平褶皱的方式多元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 【答案】小莉房间窗户的宽度为，则高度为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．设小莉房间窗户的宽度为，则高度为．根据“以波浪褶皱的方式制作该种窗帘比以平褶皱的方式费用多元”列出方程，求解即可． 【详解】解：设小莉房间窗户的宽度为，则高度为． 根据题意，得， 解得 （舍去），． 所以，． 答：小莉房间窗户的宽度为，则高度为． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 【答案】平均每次降价的百分率是 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了分式方程的应用，设平均每次降价的百分率是，根据某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得：（舍去）： 答：平均每次降价的百分率是． 10．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，某小区内有一块长、宽的矩形空地，物业打算在空地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路，余下部分铺上草坪．若草坪的面积为，求道路的宽度． 【答案】道路的宽度为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设道路的宽为，则草坪的长为，宽为，根据草坪的面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设道路的宽度为． 由题意得． 整理得 解得∶，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 【答案】(1)截去的小正方形的边长； (2)． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据长方形的面积公式列一元二次方程求出边长． 设正方形的边长为，根据长方体盒子的底面积为，列一元二次方程求解，要把不符合题意的解舍去； 设左侧阴影正方形的边长为，根据盒子的底面积为为，列一元二次方程求出阴影正方形的边长，再求出盒子底面的长和宽，从而可以求出右侧阴影长方形的长，根据长方形的面积公式求出边角料的面积． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 答：裁去的正方形的边长为； （2）解：设左侧阴影正方形的边长为， 根据题意可得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，(舍去)， 盒子的底面宽为，长为， 右侧阴影长方形的长为， 裁剪下来的边角料面积为， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 【答案】(1)2米 (2)不能，理由见解析 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设人行通道的宽度为米，根据图形中的面积关系建立方程，解方程求出的值，再根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案； （2）设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于，先求出每块运动区域的宽与长，再建立分式方程，解方程求出的值，然后根据人行通道的宽度不能超过3米即可得出答案． 【详解】（1）解：设人行通道的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：人行通道的宽度为2米． （2）解：设当人行通道的宽度为米时，每块运动区域的宽与长之比等于， 则每块运动区域的两条边长分别为，， ∵， ∴， ∴每块运动区域的长为，宽为， 则， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 因为人行通道的宽度不能超过3米，且， 所以不能改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 【答案】(1)这两年粮食产量的平均增长率约为； (2)预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及近似数，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两年粮食产量的平均增长率为，根据年和年我国粮食产量，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）根据题意列式计算，再比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两年粮食产量的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这两年粮食产量的平均增长率约为； （2）解：（万亿斤）， ， 答：预测年我国粮食产量能突破万亿斤． 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 【答案】新方阵增加了2列 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设新方阵增加了列．根据新方阵增加的行数和增加的列数相同，再建立方程求解即可． 【详解】解：设新方阵增加了列． 根据题意，得． 整理，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去），． 答：新方阵增加了2列． 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． (1)______米（用含的代数式表示），______米； (2)求的长． 【答案】(1)，25 (2)米 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式，解题的关键是： （1）根据线段的和差即可得出米，根据计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，可得米； （2）根据胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，列方程即可求得DF的长． 【详解】（1）解：∵计划从矩形种植区域开垦出两个正方形区域用于种植青菜，，米． ∴米，米，， ∴米，（米）， 故答案为：，25； （2）解：由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴米． 试卷第1页，共3页 1 / 43 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 4大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 一元二次方程的解法 考点03 一元二次方程的根与系数关系 考点04 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的概念 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）将一元二次方程化为的形式，其常数项是（   ） A．15 B． C．14 D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化为一般形式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏·期末）若是关于的方程的一个根，则的值为（   ） A．2 B． C．6 D． 6．（24-25九年级上·江苏·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）一元二次方程0的二次项系数为（  ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知是方程的一个解，则实数c的值为（   ） A． B． C．2 D．6 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）若是关于的一元二次方程，则的取值范围是 ． 10．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 11．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 12．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 地 城 考点02 一元二次方程的解法 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（   ） A． B． C．， D．， 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）一元二次方程的两个实数根分别为（   ） A．1，2 B．， C．，2 D．， 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C． D．无解 6．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为(　　) A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）一元二次方程的解为（ ） A． B． C．， D．， 10．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的解为（   ） A． B． C．， D．无解 11．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 二、解答题 13．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2) 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 15．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解方程：． 16．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）解方程： (1)； (2)． 17．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1)； (2)． 18．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 19．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）解方程： (1) (2) 20．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）解下列方程： (1)； (2)． 21．（24-25九年级上·江苏南京·期末）解方程： (1)； (2)． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数关系 一、选择题 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）下列一元二次方程中，两根之和是6的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南通·期末）设方程的两根分别是，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）一元二次方程的两根之和为（   ） A． B．0 C．3 D．4 4．（24-25九年级上·江苏·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．5 D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一元二次方程有两个实数根，则 ． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若a，b是一元二次方程的两个实数根，则 ． 8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）关于的方程的两根为、，则的值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）若关于的方程的两根分别是2，3，则的值为 ． 10．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 11．（24-25九年级上·江苏南京·期末）设是方程的两个实数根．若，则 ． 12．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）一元二次方程的两根之和为 ． 13．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知m，n是方程的两根，则的值为 ． 14．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）写出一个以和4为根的一元二次方程 ． 三、解答题 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若其中一个根是另一个根的2倍，求的值． 16．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求该方程的另一个实数根． 17．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求a的取值范围； (2)若方程的两根为，，且，求a的值． 18．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有两个实数根； (2)若、是方程的两根，且，求m的值． 19．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若，且该方程的两个实数根的平方和为10，求k的值． 20．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因，，所以一元二次方程为“限根方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程_______“限根方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根、满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，求m的取值范围． 21．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． (2)若方程的两个实数根、满足，求实数值． 22．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）关于的一元二次方程． (1)判断方程根的情况，并说明理由； (2)若方程有一个根是，求它的另一个根． 23．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有实数根； (2)设方程的两个根分别为，，求的值． 地 城 考点04 一元二次方程的实际应用 一、解答题 1．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份． (1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）； (2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？ 2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店经销的某种商品，每件成本40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；当售价每增加1元时，销售量将减少10件．若该商店销售这种商品盈利2000元，求该商店销售了这种商品多少件？ 3．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）某花店购进一批鲜花，进价为每束元．根据市场调研：当售价为每束元时，每天可售出束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价元，每天就能多售出束．若店主希望每天的利润达到元，又能尽量减少库存，则每束鲜花应降价多少元？ 4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高5元，销售量将减少100件． (1)当售价为75元时，该商店销售这批服装获得的利润为_______元； (2)如果商店销售这批服装想获利12000元，那么这批服装每件售价是多少元？ 5．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图，用长为25米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长为 米； (2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽； (3)建成花圃的面积能为平方米吗？请说明理由． 6．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如图1，窗帘的褶皱是指按照窗户的实际宽度将窗帘布料以一定比例加宽的做法，窗宽度的倍为平褶皱，窗宽度的倍为波浪褶皱．如图2，小莉房间的窗户呈长方形，其宽度比高度少，她打算订做一幅与窗户高度相同的窗帘，已知某种窗帘布料的价格为元，用波浪褶皱的方式制作窗帘所产生的费用比用平褶皱的方式多元，求小莉房间窗户的宽度与高度． 7．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 8．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 9．（24-25九年级上·江苏南京·期末）我国通过药品集中采购，大大减轻了百姓的医药负担．某种药品经过两次降价，药价从每盒200元下调至72元，平均每次降价的百分率是多少？ 10．（24-25九年级上·江苏常州·期末）如图，某小区内有一块长、宽的矩形空地，物业打算在空地内铺设两条同样宽度的鹅卵石道路，余下部分铺上草坪．若草坪的面积为，求道路的宽度． 11．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）有一块长，宽的矩形铁皮． (1)如图，如果在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长． (2)由于需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理利用材料，某学生设计了如图的裁剪方案，阴影部分为裁剪下来的边角料，其中左侧的两个阴影部分为正方形，若想折出底面积为的有盖盒子，则裁剪下来的边角料面积为__________． 12．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）今年秋学期起，新吴区全面实行课间15分钟，各校充分利用走廊、平台、小广场、转角等“金角银边”，打造更多适合学生的运动空间．某校有一块长为21米、宽为10米的矩形小广场，计划在其中打造两块相同的运动区域，两块运动区域之间及周边留有宽度相等的人行通道，且人行通道的宽度不能超过3米． (1)如果两块运动区域的面积之和为，求人行通道的宽度； (2)能否改变人行通道的宽度，使得每块运动区域的宽与长之比等于，请说明理由． 13．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）年我国经济回暖向好，粮食产量约为万亿斤，中国碗装了更多中国粮根据国家统计局网站信息可知年我国粮食产量约为万亿斤．（参考数据：，） (1)求这两年粮食产量的平均增长率；（结果精确到） (2)以这两年的粮食产量平均增长率，预测年我国粮食产量能否突破万亿斤？ 14．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在某校运动会入场式的彩排中，国旗护卫队的20名学生排成了4行5列的矩形方阵，为了表演的需要，又增加了22名学生，与之前的学生一起排成一个新的矩形方阵．与原方阵相比，新方阵增加的行数和增加的列数相同．求新方阵增加了多少列？ 15．（24-25九年级上·江苏南京·期末）矩形种植区域如图所示，米，米．现计划从中开垦出两个正方形区域用于种植青菜，其余区域种植胡萝卜，已知，胡萝卜种植区域的面积是原矩形区域面积的一半，设米． (1)______米（用含的代数式表示），______米； (2)求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $