第1章 一元二次方程能力提升测试卷-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

第1章 一元二次方程能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 3．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负，据此列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 解得且． 故选：A． 4．方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，利用因式分解法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 故选：C． 5．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年累计三年共投入研发资金364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 6．如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据矩形鸡舍的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又墙长， ， 即的长为， 故选：D． 7．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系可以得到，，然后代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 8．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程，整理方程得，根据三角形三边的关系得到三角形第三边的长为，然后计算三角形的周长． 【详解】解：， 则， 则或， 所以，， 因为，所以舍去， 所以三角形第三边的长为， 所以三角形的周长， 故选：B． 9．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程． 【详解】解：由题意有， 故选：C． 10．把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键．将常数项移到方程的两边，两边都加上一次项系数的一半的平方配成完全平方公式后即可得出答案． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ ， 故选A． 11．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 12．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，通过一元二次方程的解的定义得到，，即可得到，，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵α，β是方程的两个根， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：C． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把代入已知方程，可以求得，然后整体代入所求的代数式求值即可． 【详解】解：把代入方程可得： ， 则 所以， 故答案为：. 14．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是能正确计算根的判别式，并注意本题易忽略二次项系数不为的情况． 因为一元二次方程有两个不等实数根，所以且，得关于的不等式，求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不等实数根， ∴且， ∴， ∴且． 故答案为：且． 15．某中学组织九年级学生进行篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛两场，若计划安排12场比赛，设共有个班参赛，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用比赛的总场数九年级班级数（九年级班级数），即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 16．如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第 秒时，的长为． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设第秒时，的长为，则，在中利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设第秒时，的长为． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，灵活选择方法是解题的关键． （1）整理后，运用直接开平方法求解即可； （2）整理后，运用直接开平方法求解即可； （3）运用直接开平方法求解即可； （4）整理后，运用直接开平方法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，； （3）解：， ∴， ∴或， 解得，； （4）解：， ∴， ∴或， 解得，． 18．（8分）已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数关系，一元二次方程，若方程有两个不同的实根，若方程无实根，若方程有两个相同的实根；方程两根之和为，两根之积为． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用根与系数关系，，结合，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，， 若方程有两个实数根则， ，即， 解得． （2）根据一元二次方程有两个实数根，， 由根与系数关系可知： ，， ，， ，即， ， ，即． 18．（8分）东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． （1）设每次降价的百分率为，为两次降价的百分率可列出方程，进而求解即可； （2）根据总盈利=每千克盈余×数量，列出一元二次方程，然后求出其解即可得到结果，结合“尽快减少库存”确定解的取舍． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，根据题意得： 解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元，由题意得： 整理得 解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． 20．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【答案】(1) (2)篱笆的长为10米； (3)矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． （1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形围栏面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【详解】（1）解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （3）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 21．（8分）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【答案】(1)经过或后、两点之间的距离是 (2)经过秒或秒的面积为． 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． （1）如图，过点P作于E，设x秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点P在上时；②当点P在边上；③当点P在边上时，根据面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作于． 设秒后，点和点的距离是． 根据题意得： ，即， ∴， ∴，； ∴经过或后、两点之间的距离是； （2）连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ∴，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时，， ， ∴， 解得（舍去）． 综上所述，经过秒或秒的面积为． 22．（8分）如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）． (2)当时，求的值． (3)连接，当时，求的值． (4)当点在边上，且时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)7 【分析】本题主要考查了动点问题、列代数式、勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，根据题意正确画出图形是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先画出图形，再求出，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （3）先题意画出图形可得：， ，再根据勾股定理列方程求得，再，然后根据图形以及三角形面积公式求解即可； （4）由点在边上可得，据此画出图形，再用x表示出，，然后根据列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，． ∴ 由题意可得：，则． 故答案为：，． （2）解：如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． （3）解：由题意可得：， ， ∵， ∴，解得：， 如图：当时，点P在上，点Q在上，， 所以的面积为． （4）解：如图：∵点在边上，， ∴，， ∵， ∴， ∴，整理得：，解得：或9（不合题意、舍去）， ∴的值为7． 23．（10分）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)直接写出不等式的解集是__________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系及解不等式组，读懂阅读材料中的方法并明确一元二次方程的根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）根据题意有理数乘法法则列不等式组求解即可得到答案； （2）根据材料，令，根据判别式转化为关于y的一元二次方程，解不等式即可得到代数式的取值范围； （3）根据材料，令根据判别式转化为关于y的不等式根据根与系数的关系，列出方程组，即可得到满足条件的a、b的值． 【详解】（1）解：∵ 或 解得：或 ∴不等式的解集是或； （2）解：，令 ∴． ∴． ∴． 令， ，． ∴或 （3）解：令 ， 当时，，且， 存在一个，使得， 当时，有解， ， ， 最小值为，最大值为， ，是方程的解， 或 ∴或 24．（10分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【答案】(1)3； (2)； (3)不存在，理由见解析； (4)1或3． 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t； （3）过Q作，交于M，，得出四边形是矩形，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出结论； （4）根据折叠的性质得出，，，，进而在中，，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：由已知可得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形为矩形时， ， 解得：， 故当时，四边形为矩形； 故答案为：3； （2）解：∵，， ∴， 即， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为菱形， 根据勾股定理得：，， ∴此时， 解得， 故当时，四边形为菱形； 故答案为：； （3）解：不存在某一时刻t使得；理由如下： 过Q作，交于M，如图所示： 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此方程无实数根， ∴不存在某一时刻t使得； （4）解：如图2， 根据折叠可知：，，，， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴， 即：， 解得：，， 即当t等于1或3时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 一元二次方程能力提升测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A．B． C． D． 2．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是 A．且 B．且 C． D． 4．方程的根是（ ） A． B． C．， D．， 5．随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 7．若，是方程的两个根，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程的根，求这个三角形的周长等于（   ） A．11 B．14 C．10 D．11或14 9．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（  ） A． B． C． D． 10．把方程化成的形式，则（   ） A．17 B．14 C．11 D．7 11．已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 12．已知α，β是方程的两个根，则代数式的值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若m是方程的一个根，则的值为 ． 14．如果关于x的一元二次方程有两个不等实数根，那么k的取值范围是 ． 15．某中学组织九年级学生进行篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛两场，若计划安排12场比赛，设共有个班参赛，则可列方程为 ． 16．如图，在矩形中，．点从点出发沿以的速度向点运动，同时点从点出发沿以的速度向点运动，点到达终点后，两点同时停止运动．第 秒时，的长为． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（12分）解方程： (1)． (2)． (3)． (4)． 18．（8分）已知关于的方程． (1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个实数根，，且，求的值． 18．（8分）东胜区“悠悠果业”经销一种进口水果，原价每千克75元，连续两次降价后每千克48元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价0.5元，日销售量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 20．（8分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米． (1)________米（用含的代数式表示）； (2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； (3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 21．（8分）如图，在矩形中，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． (1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？ (2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 22．（8分）如图，在矩形中，，．动点从点A出发，以的速度沿着折线向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿着向终点运动，连接，，设运动时间为，的面积为． (1)当点在边上时， ， （用含的式子表示）． (2)当时，求的值． (3)连接，当时，求的值． (4)当点在边上，且时，直接写出的值． 23．（10分）阅读材料：材料1：类比解一元二次方程，解一元二次不等式， 解：，可化为， 由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 （1）或（2）解不等式组（1），得，解不等式组（2），得， 故的解集为或，即一元二次不等式的解集为或． 材料2：对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，还可以用其他的方法：比如先令，然后移项可得：，再利用一元二次方程根的判别式来确定的取值范围，请仔细阅读下面的例子：例：求的取值范围： 解：令 即 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题． (1)直接写出不等式的解集是__________； (2)求出代数式的取值范围； (3)若关于的代数式（其中、为常数，且）的最小值为，最大值为4，请求出满足条件的、的值． 24．（10分）如图，在矩形中，，．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是．连接、、，设点P、Q运动的时间为． (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻t使得，如果存在，请求出t的值，如果不存在，请说明理由． (4)在运动过程中，沿着把翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点恰好落在边上． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$