精品解析：黑龙江省绥化市望奎县五中联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度 初三数学期中考试卷 考生注意事项： 1．填写信息：答题前，请务必使用黑色签字笔在试卷的指定位置准确填写班级、姓名、桌号等信息． 2．规范作答：非选择题必须用黑色签字笔在对应题号的答题区域内作答，超出区域无效． 3．卷面整洁：保持试卷清洁、完整．书写须工整、清晰，严禁使用涂改液或修正带，修改时请划掉错误内容． 4．考场纪律： 严禁携带手机等电子设备．考试结束信号发出后，立即停止答题． 一、单选题（每题3分，共12题） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 这样的三角形不存在 3. 如图，在与中，点B，C，D在同一条直线上，，，，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框，E，F，G，H分别是四条边的中点，为了保证在施工过程中窗框不变形，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ） A. B，F之间 B. A，C之间 C. G，H之间 D. F，H之间 7. 如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（ ） A. 2a B. C. D. -2b 9. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 10. 图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，D，E分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 12. 如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，过点F作于点H，且，的周长是n．那么下列结论：①；②；③；④；⑤的面积．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（每题3分，共10题） 13. 一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 14. 如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 15. 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 16. 等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是________． 17. 两边长分别为和的等腰三角形的周长是_____________． 18. 一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕． 19. 在中，是的平分线，且，若，则的大小为______． 20. 如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为________． 21. 如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有________对全等三角形． 22. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分．一定成立的结论有___________. 三、解答题（54分，共5题） 23. 如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． （1）求证：； （2）若，，求的长． 24. 如图，有一平面图形、其中点在同一条直线上，； （1）求证：； （2）若，，求的度数． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 26. 如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 27. 【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：____________________________________ 求证：____________________________________ 证明：____________________________________ 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度 初三数学期中考试卷 考生注意事项： 1．填写信息：答题前，请务必使用黑色签字笔在试卷的指定位置准确填写班级、姓名、桌号等信息． 2．规范作答：非选择题必须用黑色签字笔在对应题号的答题区域内作答，超出区域无效． 3．卷面整洁：保持试卷清洁、完整．书写须工整、清晰，严禁使用涂改液或修正带，修改时请划掉错误内容． 4．考场纪律： 严禁携带手机等电子设备．考试结束信号发出后，立即停止答题． 一、单选题（每题3分，共12题） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 一个三角形三个内角的度数之比为，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 这样的三角形不存在 【答案】C 【解析】 【分析】若三角形三个内角的度数之比为，利用三角形的内角和定理：三角形的内角和为，可求出三个内角分别是，则这个三角形一定是钝角三角形． 【详解】解：由三角形三个内角的度数之比为，设三角分别为， 依题意得， 解得． ∴三个角的度数分别为， ∴这个三角形是钝角三角形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和定理：利用三角形的内角和为建立方程是解本题的关键． 3. 如图，在与中，点B，C，D在同一条直线上，，，，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是关键． 根据平行线的性质得到，运用角角边判定，得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 故选：C ． 4. 如图是某纸伞截面示意图，伞柄平分两条伞骨所成的角．若支杆需要更换，则所换长度应与哪一段长度相等（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，理解题意，熟练证明是解本题的关键．如图，连接，证明，而，，可得，从而可得结论． 【详解】解：如图，连接， ∵伞柄平分两条伞骨所成的角， ∴，而，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，，是的平分线，点D是上的一点，，若的面积为4，则的面积是（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质．利用等腰三角形的性质求得，推出，由，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，工人师傅做了一个长方形窗框，E，F，G，H分别是四条边的中点，为了保证在施工过程中窗框不变形，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（ ） A. B，F之间 B. A，C之间 C. G，H之间 D. F，H之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形稳定性的实际应用，熟记三角形的稳定性是解题的关键． 用木条固定长方形窗框，即是组成三角形，故可利用三角形的稳定性逐项判断是否组成三角形即可解答． 【详解】解：由题意可知，为了窗框稳固，需要在窗框上钉一根木条，根据三角形具有稳定性，这根木条钉在F、H两点之间时，不能构成三角形，所以不应该钉在F、H两点之间． 故选：D． 7. 如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 8. 已知的三边长分别是a、b、c，化简的结果是（ ） A. 2a B. C. D. -2b 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，化简绝对值，整式的加减，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系得出，，进而化简绝对值，即可求解． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，， ∴，， ∴ ， 故选：B. 9. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.若两条较短边的和小于或等于最长边，则不能构成三角形，据此分析即可. 【详解】A、，不满足三角形的三边关系，不符题意 B、，不满足三角形的三边关系，不符题意 C、，满足三角形的三边关系，符合题意 D、，不满足三角形的三边关系，不符题意 故选：C. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，熟记三角形的三边关系是解题关键. 10. 图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如图，在中，D，E分别是，上的点，将沿折叠，使点落在的内部点处．若，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质以及三角形的内角和定理，能够熟练运用内角和定理进行导角是解题关键．根据折叠可以得到对应的角是相等的，，，进而可以利用内角和以及和、相关的平角得出，由此即可解题． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵，， ∴， 又，， ∴， ∴， 故选：B． 12. 如图，在中，，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，过点F作于点H，且，的周长是n．那么下列结论：①；②；③；④；⑤的面积．其中正确的有（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．根据平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定证明，可判断①；根据平行线的性质，结合大角对大边可判断②③；根据三角形的内角和定理可判断④；根据角平分线的性质和三角形的面积公式可判断⑤，进而可得答案． 【详解】解：如图： ∵， ∴，， ∵与的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故①是正确的； ∵，， ∴，， ∴，故②是错误的； ∵， ∴． ∴，故③是错误的； ∵，， ∴， ∴，故④正确， ∵与的平分线交于点F，，， ∴点F到边的距离都等于m，又的周长是n， ∴的面积 ，故⑤正确． 故选：C 二、填空题（每题3分，共10题） 13. 一个汽车牌照在水中的倒影为，则该汽车牌照号码为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】解决本题的关键是找到相应的对称轴；难点是作出相应的对称图形．根据所求的牌照与看到的牌照关于水面成轴对称，作出相应图形即可求解． 【详解】解：作汽车牌照在水中的倒影关于水平方向的轴对称图形，如图所示： ∴该汽车牌照号码为． 故答案是：． 14. 如图，在△中，的垂直平分线分别与、交于点、，的垂直平分线分别与、交于点，，若，则的周长是_________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， 故答案为：18． 15. 如图，在等腰中，，其一腰上的高为h，M是底边上的任意一点，M到腰的距离分别为，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积．根据，结合三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵， ，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 等腰三角形的一个内角是 ，则它的底角是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的两底角相等，三角形内角和性质，分类讨论，是解题的关键． 分顶角为和底角为两种情况，结合三角形内角和定理可求得底角． 【详解】解：当顶角为时， 则底角为：； 当底角为时， 则底角为； 故答案为：或． 17. 两边长分别为和的等腰三角形的周长是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件；分腰长为和腰长为，两种情况根据构成三角形的条件和三角形周长公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形； 当腰长为时， 则该三角形的三边长为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴该等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为， 故答案为：． 18. 一张长方形的纸对折，如图所示可得到一条折痕（图中虚线），继续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，连续对折2次后，可以得3条折痕，那么对折4次可以得到______条折痕． 【答案】15 【解析】 【分析】根据对折次数得到分成的份数，再减去1即可得到折痕条数． 【详解】解：根据观察可以得到： 对折1次，一张纸分成两份，折痕为1条； 对折2次，一张纸分成=4份，折痕为4-1=3条； 对折3次，一张纸分成 =8份，折痕为8-1=7条； ∴对折4次，一张纸分成 =16份，折痕为16-1=15条 ． 故答案为15． 【点睛】本题考查折叠问题，掌握分成份数与折叠次数、折痕条数的关系是解题关键 ． 19. 在中，是的平分线，且，若，则的大小为______． 【答案】33° 【解析】 【分析】可在AB上截取AE＝AC，先根据SAS证明△AED≌△ACD，可得DE=DC，然后根据全等三角形的性质、题中条件可得BE＝ED，进而可得∠C＝∠AED＝2∠B，而由三角形的内角和易求得∠B+∠C的度数，进一步即可求出答案． 【详解】解：如图，在AB上截取AE＝AC， 在△AED和△ACD中， ∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△AED≌△ACD（SAS）， ∴DE=DC，∠C＝∠AED， ∵AB＝AC+CD，AB＝AE+EB， ∴CD＝BE， ∴BE＝ED， ∴∠EDB＝∠B， ∴∠C＝∠AED＝2∠B， 又∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝99°， ∴∠B＝33°． 故答案为：33°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键． 20. 如图，在中，是边的中线，E是边上的动点，F是边上的动点．若的面积为48，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，理解转化思想和掌握三角形的面积公式是解题的关键．先根据轴对称的性质和垂线段最短确定最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】解：过A作于F，交于E，连接， ∵是边的中线， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴的最小值即为线段的长， ∵的面积为：， 解得：， 则的最小值为， 故答案为：． 21. 如图，在中，，点D在上，且，点E是上任意一点，则图中有________对全等三角形． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 首先利用判定，根据全等三角形的性质可得，，再判定，最后证明即可． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴，， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴共3对全等三角形， 故答案为3． 22. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，，以下五个结论：①；②；③；④；⑤平分．一定成立的结论有___________. 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】①由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，可知①正确； ②由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，又由，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③根据②，可知③正确； ④根据，，可知，可知④错误； ⑤由，得到，由，得到，同理可得出，，求出，可知⑤正确． 【详解】解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在与中， ， ， ， ①正确， ， ， 又， ，即， 又， ， ， 又 ∴为等边三角形， ， ∴，②正确， ， ，③正确， ，， ， 即， ，， ，故④错误； ， ∴， ， ， ， 同理得出，， ， 平分，故⑤正确． 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键． 三、解答题（54分，共5题） 23. 如图，要测量池塘的长度，但点，之间不能直接测量，已知点，，，在同一条直线上，小明想了个办法先在的一边取了个点，连接，再在的另一边取了个点，使得，且，同时． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质． （1）先由平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）利用全等三角形的性质证明，再结合已知条件即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 答：的长是． 24. 如图，有一平面图形、其中点在同一条直线上，； （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明： ， 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，三角形的外角的定义及性质； （1）根据边边边判定三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质得到，再结合三角形的外角的定义及性质计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 25. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的；写出点，，的坐标； （2）在轴上找一点，使最小，并写出点的坐标． 【答案】（1） 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为； 即为所求， （2） 由网格可知点的坐标是． 【解析】 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称—最短路线问题、点的坐标． 分别作出点、、关于轴的对称点，，，连接点，，得到即为所求，根据关于轴对称的点的坐标的关系写出点，，的坐标； 根据将军饮马原理，连接交轴于点，此时最小，根据点、关于轴对称，所以，借助网格写出点的坐标． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接交轴于点，此时最小， 点、关于轴对称， ， ， 26. 如图，在四边形中，且，连接． （1）尺规作图：作的平分线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（）的基础上，若，请探究与有何数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 如图所示，线段即为所求； （2） ，理由如下： ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（）根据角平分线的作法作图即可； （）证明即可得结论； 本题考查了角平分线的作法，余角性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 【课本再现】如图是人教版八年级上册数学教材第50页的部分内容． 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 【定理证明】 （1）请根据教材中的分析，结合图1，写出角平分线的判定定理“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”完整的证明过程． 已知：____________________________________ 求证：____________________________________ 证明：____________________________________ 【定理应用】 （2）如图2，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【拓展提升】 （3）如图3，中，点在边上，平分，平分．若，，，，请直接写出的面积． 【答案】（1）已知：，，且． 求证：平分． 证明：在和中， ， ∴． ∴， ∴是的平分线． （2）证明：如图，过点作于， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴是的平分线． （3） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握角平分线的性质定理是银题的关键． （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于，先由角平分线的性质得到，从而可证得即可由（1）的结论可得出结论 （3）过点E作交延长线于F，作于G作，于H，设，则， 根据，即，求得：，即可由求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点E作交延长线于F，作于G作，于H，如图， 设， 由（1）得：， ∵，，， ∴， 即：，解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $