专题03 等腰三角形 6大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

专题03 等腰三角形 6大高频考点概览 考点01 等腰三角形的概念 考点02 利用等边对等角求角度 考点03 等腰三角形性质与判定 考点04 等边三角形性质与判定 考点05 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 考点06 含30角的直角三角形 地 城 考点01 等腰三角形的概念 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（   ） A． B． C．或 D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是 ． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形的顶角为，底角的度数为 °． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）在等腰中，，若是顶角，则 ． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为 ． 7．（24-25八年级上·江苏·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的周长为，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是 ． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ． 地 城 考点02 利用等边对等角求角度 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，，，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，的内部作射线，过点分别作于点，于点，，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点，在上，点在上，且，若，则 °． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是 ． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为、，连接、、，若，则 ． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，是边的垂直平分线，与分别交于点D、点E，将沿翻折得到，若，则的度数为 度． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数是 ． 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数为 ． 地 城 考点03 等腰三角形的性质与判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，垂足为点D，那么 ，的度数是 ． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点D，E分别为边，上的动点，，，当取最小值时，写出与满足的关系式 ． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在三角形中，已知，为边上的一点，且，，则等于 ． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，且的长为m，的长为n，则的周长为 （用含的代数式表示）． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在锐角三角形纸片中，，将底边沿着过点的折痕折叠，使点落在腰上的点，这时三角形是等腰三角形，则 ． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，两条互相垂直的直线交于点O，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．若，，则 ，的面积为 ． 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．则下列结论①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号） 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图①所示，在中，高相交于点F，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，当时，求证：． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知线段a，b，按下列要求用直尺和圆规作直角三角形．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作，使，，． (2)作，使，，． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 地 城 考点04 等边三角形的性质与判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，，等边的顶点A在直线上，与的两边、相交．若，则的度数为 度． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为 ． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，点在上，点在延长线上，且，过作于点，连接交于点，若，则的长是 ． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，以，为底边，在外作等腰和等腰，使，点是边上的中点，连接并延长到，使，连接，． (1)求证：； (2)①小明发现：若，，则______°； ②小华发现：去掉条件“”，利用条件“”，也可以求出的度数．请根据小华的发现，求出的度数； (3)连接，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 地 城 考点05 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 ． 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，是斜边上的中线，与关于直线对称．连接，若，则 ． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，两条互相垂直的直线交于点O，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．若，，则 ，的面积为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，已知线段m，n．用两种不同的方法：求作，使，，边上的中线长为n．要求： (1)尺规作图； (2)保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，于F，于E，点M为的中点， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 地 城 考点06 含30°角的直角三角形 一、选择题 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，交于点，则的长是（    ） A．3 B． C．4 D． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，OP平分， ，，于点D，，则的面积是 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是 ． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则 ． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，P是边上一个动点，由点A向点C运动，速度为，Q是边延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动，连接，交于点D，设点P运动的时间为t（s）． 【问题】（1）填空：_________cm； （2）当时，求t的值； 【探究】如图②，过点P作，垂足为E，在点P，点Q运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 试卷第1页，共3页 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等腰三角形 6大高频考点概览 考点01 等腰三角形的概念 考点02 利用等边对等角求角度 考点03 等腰三角形性质与判定 考点04 等边三角形性质与判定 考点05 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 考点06 含30角的直角三角形 地 城 考点01 等腰三角形的概念 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两个底角相等，进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是：． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如果等腰三角形两边长是和，那么它的周长是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行验证是解题的关键． 分腰长为和两种情况，再利用三角形的三边关系进行判定，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵ ∴不满足三角形的三边关系，不能围成三角形； 当腰长为时，则三角形的三边长分别为、、， ∵，满足三角形的三边关系 ∴此时它的周长是． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时， ∴它的底角度数； 当等腰三角形的底角为时， ∴它的顶角度数； 综上所述：它的顶角是或， 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）等腰三角形的顶角为，底角的度数为 °． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义及性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴底角为， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏连云港·期末）在等腰中，，若是顶角，则 ． 【答案】80 【知识点】等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形性质解答即可． 【详解】解：∵等腰中，，是顶角， ∴， 故答案为：80． 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形底角的度数为：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏·期末）已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 【答案】22 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及三边关系，分类讨论，再结合三角形三边关系，最后得出周长，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9， ∴当腰长为4，底边长为9时，则，不符合三角形三边关系，故舍去； ∴当腰长为9，底边长为4时，则，符合三角形三边关系， ∴周长是． 故答案为：22． 8．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）等腰三角形的周长为，，则的长为 ． 【答案】或或 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形性质和三角形三边关系，根据题干可以分为三种情况：①当为底边时、②当为底边时、③当为底边时，根据以上三种情况讨论边的取值即可解题． 【详解】解：等腰三角形的周长为，， 分以下三种情况： ①当为底边时， ()， 此时三边长为别为、、，满足三角形三边关系； ②当为底边时， ， ()， 此时三边长为别为、、，满足三角形三边关系； ③当为底边时， ， ()， 此时三边长为别为、、，满足三角形三边关系； 故答案为或或． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）已知等腰三角形的一边长为8，一个内角为60°，则它的周长是 ． 【答案】24 【知识点】等边三角形的判定和性质、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，根据题意可证明该三角形是等边三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵一个等腰三角形的一个内角为， ∴该等腰三角形是等边三角形， 又∵其一边长为， ∴它的周长是， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）等腰三角形的两边长分别为6和2，则该三角形的周长为 ． 【答案】14 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，分情况讨论是解题关键．分当腰长为6和当腰长为2两种情况讨论，结合三角形三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意， ①当腰长为6时，周长； ②当腰长为2时，三角形三边分别为6，2，2，不能组成三角形； 故答案为：14． 地 城 考点02 利用等边对等角求角度 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，，，．当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形的性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据全等三角形的性质得出，则，根据直角三角形两锐角互余，求得，根据平行线的性质得出，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形两个底角相等，进行计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是：． 故选：C． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，的内部作射线，过点分别作于点，于点，，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 先根据等边等角得出，再根据三角形内角和定理即可求出的度数，最后根据四边形的内角和即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形的内角和是， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到， 由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，点是边的中点， ∴， ∴， 由题意可知，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点，在上，点在上，且，若，则 °． 【答案】25 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质得到，从而可得答案，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）已知等腰三角形的一个角等于，则它的顶角是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的底角为时；然后分别进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时， ∴它的底角度数； 当等腰三角形的底角为时， ∴它的顶角度数； 综上所述：它的顶角是或， 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为、，连接、、，若，则 ． 【答案】/42度 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据三角形的内角和定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可解答． 【详解】解：， ， 的垂直平分线与的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，中，，是边的垂直平分线，与分别交于点D、点E，将沿翻折得到，若，则的度数为 度． 【答案】26 【知识点】两直线平行内错角相等、线段垂直平分线的性质、等边对等角、折叠问题 【分析】由平行线的性质可得，设，则，由翻折的性质可得，可得，求得，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质解决即可． 【详解】解：，， ， 设，则， 将沿翻折得到， ， ， ， ， ， 是边的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：26 【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质，熟练掌握翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质是解题的关键． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若，则的度数是 ． 【答案】/36度 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，以及等边对等角等知识点，由题意得：，推出，，即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 10．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，得到，最后根据三角形外角的性质定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 地 城 考点03 等腰三角形的性质与判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得，得，由翻折的性质可得，推出，根据，由三角形外角性质得，得，得． 【详解】解：∵在中，，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握翻折的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，是解题关键． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点D为线段上一动点（不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E，下列结论中正确的个数是（　　） ①； ②若点D在线段的垂直平分线上，则； ③若点D为中点，则； ④若为等腰三角形，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，注意多种情况讨论. 根据三角形外角的性质得，再结合，可解答①；先求出，再设，可得，，接下来根据线段垂直平分线的性质得，进而得，最后根据“等角对等边”解答②；根据等腰三角形的性质得，可得，再根据三角形内角和定理判断③即可；分两种情况：当时，设，则，，根据等腰三角形的性质得，再根据三角形内角和定理求出，可得答案；当时，可得，进而求出，最后根据可得答案. 【详解】解：①∵， ∴， 又∵， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴. ∵点D在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故结论②正确； ③∵点D为中点，，如图1所示： ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 故结论③正确； ④∵， ∴当为等腰三角形时，有以下两种情况： （ⅰ）当时，如图2所示： 设， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由结论①正确得； （ⅱ）当时，如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：当为等腰三角形，则或． 故结论④不正确， ∴正确的结论是①②③，共3个． 故选：C． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，垂足为点D，那么 ，的度数是 ． 【答案】 3 /32度 【知识点】三角形内角和定理的应用、三线合一 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得，从而解决问题． 本题主要考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形三线合一的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：3，． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，点D，E分别为边，上的动点，，，当取最小值时，写出与满足的关系式 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、三角形的外角的定义及性质、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了利用轴对称解决最短路径问题、垂线段的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 如图：作点E关于的对称点，又，则点E的轨迹为以为腰、为高的等腰三角形的另一边上，连接，进而说明当时最小，连接交于则关于的对称点在上，再根据直角三角形的性质说明，再根据轴对称的性质得到，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：如图：作点E关于的对称点，连接， ∵， ∴点E的轨迹为以为腰、为高的等腰三角形的另一边上， ∴，， ∴， 由垂直线段最短可知：当时，最小，即最小， 如图：连接交于，则关于的对称点在上， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于的对称点， ∴， ∴， ∴当取最小值时，写出与满足的关系式． 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】28 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形得到性质是解题的关键． 由等腰三角形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，再求的周长即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∴， ∵E为 的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：28． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在三角形中，已知，为边上的一点，且，，则等于 ． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角的性质．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形外角的性质得到，于是得到，在中利用三角形内角和定理可求出． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分，，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据条件证明，利用全等三角形的性质逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵恰好平分， ， ， ∴为等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，故②正确，符合题意， 在和中， ， ∴，故①正确，符合题意； ③由上知为等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴，该③正确，符合题意； ④由上知为等腰三角形，， ，, ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意， 所以，正确的结论为：①②③④， 故答案为：①②③④． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点N，且的长为m，的长为n，则的周长为 （用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边是解答本题的关键．由垂直平分线的性质可得，进而得到，再说明，由等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：的垂直平分线交于点，， ， ， ∴， ， ， ， ∵的长为n， ∴的周长是． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在锐角三角形纸片中，，将底边沿着过点的折痕折叠，使点落在腰上的点，这时三角形是等腰三角形，则 ． 【答案】/36度 【知识点】三角形折叠中的角度问题、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，等腰三角形的判定和性质，关键是由折叠的性质推出． 由等腰三角形的性质得到，由折叠性质得到，判定，推出，由三角形的外角性质推出，由三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， 是锐角三角形， 是锐角， ∵将底边沿着过B点的折痕折叠，使点落在腰上的点， ∴， 是锐角， 是钝角， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，两条互相垂直的直线交于点O，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．若，，则 ，的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】在中，由勾股定理得，在是直角三角形，由勾股定理即可得出的值；过点作直线于点，连接并延长交直线于点F，设，，则，，证明和全等得，，则，再证明和全等得，，则，是等腰直角三角形，进而得，，在中，由勾股定理得，则，由此可得的面积． 【详解】解：依题意得：是等腰直角三角形，且，，， 由勾股定理得：， ， 即， 直线直线， 是直角三角形， 由勾股定理得：， ， 过点C作直线于点，连接并延长交直线于点，如图所示： ， 设，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 直线，直线， ∴， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰斜边上的中线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 11．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．则下列结论①；②；③；④；其中正确的有 ．（填序号）    【答案】①②④ 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】由，，可证，于是，可证，所以，，进一步求证，于是，，．可知①，②正确；先求出，然后用反证法可判断③；根据，即可得出④正确． 【详解】解：中，， ∴ ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴，． ∵，，， ∴ 又，， ∴． ∴，． ∴．故①，②正确； ∵中，，H是边的中点， ∴． 若，则， ∴，这与矛盾，故③不正确； ∵，， ∴故选项④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等角对等边，等腰三角形三线合一；灵活运用全等三角形求证线段相等、角相等是解题的关键． 三、解答题 12．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，，垂足为，，垂足为，、交于点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线合一证明 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，关键是推出，属于中考常考题型． （1）根据证出即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，再根据，推出即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ，且， ， 在和中， ， ． （2）证明：∵， ， 又由（1）知， ∴， ． 13．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图①所示，在中，高相交于点F，且． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图②，延长到点G，过点G作的垂线交的延长线于点H，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题是三角形的综合题，主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． （1）证和全等即可证明； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段的数量关系． 【详解】（1）证明：∵的高交于点F，如图所示： ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； （3）证明：在上截取，连接，如图2所示： ∵是的高，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 由（2）可知：，即， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 即． 14．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①设直线l与交于点M，根据平行线的性质及轴对称的性质即可得证；②当时，最小，利用等边三角形的性质及勾股定理即可解答； （2）延长至点G，使得，连接，证明，，利 用线段垂直平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：①设直线l与交于点M，如图： ∵，， ∴， ∵点E与点C关于直线l对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②解：∵是等边三角形 ∴ 当时，最小， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长至点G，使得，连接， ∵F是中点， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点E与点C关于直线l对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵且F是中点， ∵． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定， 掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 15．（24-25八年级上·江苏南京·期末）已知线段a，b，按下列要求用直尺和圆规作直角三角形．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)作，使，，． (2)作，使，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）作，在射线上截取线段，使得，以B为圆心，a为半径作弧交于点C，即为所求； （2）作，在的反向延长线上截取线段，使得，E为圆心，a为半径作弧交于点F，过点F作于点D，即为所求； 【详解】（1）解：如图，即为所求； ； （2）解：如图，即为所求． ． 16．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． （1）连接，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可证明结论； （2）证明是等边三角形即可求得结论． 【详解】（1）证明：连接， 分别是边上的高， ， ，为直角三角形， 是的中点， ， 是等腰三角形； （2）解：， 且， 为等边三角形， ． 地 城 考点04 等边三角形的性质与判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ，， ， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，过边长为6的等边的边上一点P，作于E，Q为延长线上一点，当时，连交边于D，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；能够正确的构建出等边三角形是解答此题的关键．过P作的平行线，交于M；则也是等边三角形，在等边中，是上的高，根据等边三角形三线合一的性质知；易证得，则；此时发现的长正好是的一半，由此得解． 【详解】解：过P作，交于M； 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 是等边三角形， ∴， 又， ， ； 又， ∴， 在和中， ； ； 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）如图，，等边的顶点A在直线上，与的两边、相交．若，则的度数为 度． 【答案】102 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．过点作，利用平行线的性质和求出，结合等边的性质求出，最后利用平行线的性质即可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作， ， ， 又， ， 等边， ， ， ，， ， ， 的度数为102度． 故答案为：102． 4．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，且，则的长为 ． 【答案】12 【知识点】角平分线的有关计算、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，关键是由含30度角的直角三角形的性质得到，． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形，平分， ，， ， ， ． 故答案为：12． 5．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）如图，是等边三角形，点在上，点在延长线上，且，过作于点，连接交于点，若，则的长是 ． 【答案】2 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，过点N作，交延长线于点G，证明，得到，再证明，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点N作，交延长线于点G， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 6．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 又∵， ． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①设直线l与交于点M，根据平行线的性质及轴对称的性质即可得证；②当时，最小，利用等边三角形的性质及勾股定理即可解答； （2）延长至点G，使得，连接，证明，，利 用线段垂直平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：①设直线l与交于点M，如图： ∵，， ∴， ∵点E与点C关于直线l对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②解：∵是等边三角形 ∴ 当时，最小， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长至点G，使得，连接， ∵F是中点， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点E与点C关于直线l对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵且F是中点， ∵． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定， 掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，、分别是、边上的高，F是的中点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，及直角三角形斜边上的中线的性质的综合运用．灵活运用直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键． （1）连接，由直角三角形斜边上的中线的性质可得，即可证明结论； （2）证明是等边三角形即可求得结论． 【详解】（1）证明：连接， 分别是边上的高， ， ，为直角三角形， 是的中点， ， 是等腰三角形； （2）解：， 且， 为等边三角形， ． 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，以，为底边，在外作等腰和等腰，使，点是边上的中点，连接并延长到，使，连接，． (1)求证：； (2)①小明发现：若，，则______°； ②小华发现：去掉条件“”，利用条件“”，也可以求出的度数．请根据小华的发现，求出的度数； (3)连接，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①，② (3)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据证明，即可得到结论； （2）①由题意得到，设，，根据题意得到，由得到，根据计算即可得到答案； ②由题得，设，，得到，由得到，计算即可得到答案； （3）连接，先证明，得到，，再证明是等边三角形，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵点D为BC边上的中点， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：①，， ， 设，， 根据题意得，， ，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， 故答案为：； ② ， 设，， 根据题意得，， ，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ； （3）解： 理由如下：连接FG ∵ ∴， ， ， ∴ ∵，， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵，， ∴是等边三角形 又∵， ∴， ∴ 设等边三角形边长为a，则， ∴ ∴ ∴， 即 地 城 考点05 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 一、选择题 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 由直角三角形两锐角互余和斜边上中线的性质得，，即可得到，由折叠的性质得，则，由三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】解：∵在中，，，是斜边上的中线， ，， ， ∵将沿翻折，使点B落在点F处，线段与相交于点E， ， ， ． 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，D是的中点，把沿着翻折得到，连接，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半、折叠问题 【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质得，得，由翻折的性质可得，推出，根据，由三角形外角性质得，得，得． 【详解】解：∵在中，，，D是的中点， ∴， ∴， ∴， 由折叠知，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形翻折．熟练掌握翻折的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，是解题关键． 二、填空题 3．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，点在边上，且，过点作，交的延长线于点，点为的中点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、根据等角对等边求边长、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，由得，，则有，再由直角三角形性质可得，故有，又，从而有，再通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）一个直角三角形斜边上的中线为5，斜边上的高为4，则此三角形的面积为 ． 【答案】20 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的面积计算方法，熟练应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解答本题的关键． 根据直角三角形的性质可得出斜边的长，进而可根据三角形的面积公式求出此三角形的面积． 【详解】解：∵一个直角三角形斜边上的中线为5， ∴该三角形斜边长为， ∵斜边上的高为4， 该三角形面积为 故答案为：20 6．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，是斜边上的中线，与关于直线对称．连接，若，则 ． 【答案】70 【知识点】等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，证明，求出，推出，推出可得结论． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵与关于直线对称， . ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70． 7．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，平分，交于点D，E为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】28 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，灵活运用等腰三角形得到性质是解题的关键． 由等腰三角形的性质推出，，由直角三角形斜边中线的性质得到，再求的周长即可． 【详解】解：∵在中，，平分， ∴， ∴， ∵E为 的中点， ∴， ∴的周长． 故答案为：28． 8．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，两条互相垂直的直线交于点O，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．若，，则 ，的面积为 ． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】在中，由勾股定理得，在是直角三角形，由勾股定理即可得出的值；过点作直线于点，连接并延长交直线于点F，设，，则，，证明和全等得，，则，再证明和全等得，，则，是等腰直角三角形，进而得，，在中，由勾股定理得，则，由此可得的面积． 【详解】解：依题意得：是等腰直角三角形，且，，， 由勾股定理得：， ， 即， 直线直线， 是直角三角形， 由勾股定理得：， ， 过点C作直线于点，连接并延长交直线于点，如图所示： ， 设，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 直线，直线， ∴， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 是等腰斜边上的中线， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 即， ， ， ， 故答案为：；． 【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，已知线段m，n．用两种不同的方法：求作，使，，边上的中线长为n．要求： (1)尺规作图； (2)保留作图痕迹，写出必要的文字说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、尺规作图——作三角形、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 方法1，先在直线l上取点B，过B点作，再在直线l上截取，然后分别以A和B点为圆心，n为半径画弧交于D，连接并延长交于点，则满足条件． 方法2，先在直线l上取点A，再在直线l上截取，然后分别以A和D点为圆心，分别m和n为半径画弧，两弧交于B，连接和，则满足条件． 【详解】（1）解：方法1，如图，为所作． 方法1，如图，为所作． （2）解：方法1，∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴符合题意； 方法1，∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴符合题意； 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，于F，于E，点M为的中点， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可； （2）根据等腰三角形两底角相等求出，，然后根据平角等于列式计算即可求出． 【详解】（1）证明：，，为的中点， ，， ， （2），， ， ， ，， ， ， ． 地 城 考点06 含30°角的直角三角形 一、选择题 1．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，交于点，则的长是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握含直角三角形的性质及等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 先证明，，再证明，得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴； 故选A． 二、填空题 2．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）如图，OP平分， ，，于点D，，则的面积是 ． 【答案】9 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键； 过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：9． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，，，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，当为锐角三角形时，t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当时，当时，根据三角形内角和定理并结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：当时，如图： ， ∵， ∴， ∴； 当时，如图： ， ∵， ∴， ∴； ∵动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线运动，设点P的运动时间为t秒，为锐角三角形时， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是的中点，交于，点在上，，，，则 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，含度角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．根据含度角的直角三角形的性质得出，过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：， ，， ， 过作于， 点是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： ． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）在等腰中，，，点，分别是边，上的动点，与关于直线对称，点的对称点为．若且，，则的面积 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，以及“直角三角形中30度的角所对的直角边等于斜边的一半” ，作出辅助线且能证明是等边三角形是解题的关键．作于D点，由轴对称的性质可得，由等腰直角三角形的性质可得，由此得．再证是等边三角形，则可得，进而得，由此得．根据三角形的面积公式，再结合即可求出的面积． 【详解】解：如图，作于D点， ∵与关于直线对称， ． 又， ． 中，， ， ． 又， 是等边三角形， ， ， ， 又∵， ． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）【情境】某校数学兴趣小组尝试自制数学学具进行自主合作探究．图①是一块边长为的等边三角形学具，P是边上一个动点，由点A向点C运动，速度为，Q是边延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由点B向延长线方向运动，连接，交于点D，设点P运动的时间为t（s）． 【问题】（1）填空：_________cm； （2）当时，求t的值； 【探究】如图②，过点P作，垂足为E，在点P，点Q运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长度；若变化，请说明理由． 【答案】（1）24；（2）4；【探究】不变；6 【知识点】全等三角形综合问题、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查的是三角形综合题，等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形的判定是解答此题的关键． （1）由线段和差关系可求解； （2）由直角三角形的性质可列方程，即可求t的值； （3）连接，，由全等三角形的性质可证，由题意可证四边形是平行四边形，可得． 【详解】（1）解：∵是边长为12的等边三角形， ∴， 设， 则，， ∴， ∴， 故答案为：24． （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴； （3）解：线段的长度不改变， 过点Q作交延长线于点F，连接，， ∵，， ∵点P、Q速度相同， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 7．（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，，，点是边上一动点，过点作，点与点关于直线对称，连接，． (1)如图①，连接，若，， ①求证是等边三角形； ②线段的最小值为__________． (2)如图②，取中点，连接，．求证． 【答案】(1)①见解析；② (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）①设直线l与交于点M，根据平行线的性质及轴对称的性质即可得证；②当时，最小，利用等边三角形的性质及勾股定理即可解答； （2）延长至点G，使得，连接，证明，，利 用线段垂直平分线的判定定理即可得证． 【详解】（1）证明：①设直线l与交于点M，如图： ∵，， ∴， ∵点E与点C关于直线l对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②解：∵是等边三角形 ∴ 当时，最小， 在中，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：延长至点G，使得，连接， ∵F是中点， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，点E与点C关于直线l对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵且F是中点， ∵． 【点睛】本题考查几何变换的综合应用，主要考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定， 掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 8．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在等边中，，、相交于点． (1)求证； (2)过点作，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用等边三角形的性质可得，，由可得出，最后利用全等三角形判定定理即可证明； （2）利用全等三角形的性质可得，，利用三角形的外角的性质得出，利用含角直角三角形的性质可得，最后利用线段的和差关系即可求出的长． 【详解】（1）证明：等边， ，， ， ，即， 在和中， ， ． （2）解：由（1）得，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为7． 试卷第1页，共3页 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $