专题02 线段的垂直平分线与角平分线 2大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学上学期

专题02 线段的垂直平分线与角平分线 2大高频考点概览 考点01 线段垂直平分线的性质与判定 考点02 角平分线的性质与判定 地 城 考点01 线段垂直平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，中垂线的性质，根据角平分线的性质，中垂线的性质，得到，再根据线段的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵，垂直平分，平分， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，P是的中点，交于点Q，的周长是，则的长为 ． 【答案】/4厘米 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，然后利用三角形的周长解答即可． 本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵P是的中点，, ∴是的垂直平分线， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点 (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． （1）先证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （3）先根据全等三角形的性质可得，，再根据线段和差、等量代换即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：由（1）已证：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线． （3）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴． ∵，， ∴． 故答案为：8． 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作已知线段的垂直平分线 【分析】本题考查作图一基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的定义、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键 （1）根据角平分线的作图方法、线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）由角平分线的定义可得 ，由线段垂直平分线的性质可得，则． 【详解】（1）解：如图，射线和直线即为所求： （2）解：连接， ∵为的角平分线∶ ∴， ∵直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．由“”可证，故①正确；由等腰直角三角形的性质和外角的性质可得，故②正确；由等腰三角形的性质可得是的中垂线，可得，由全等三角形的性质可得，由勾股定理可得；故③正确；分别求出的面积，可得，故④错误；根据，结合对顶角，根据等角对等边证得，设，则，可判断⑤． 【详解】解：由题意得：， ， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ，， ， ， ，故②正确； 如图，连接， ，，， 是的中垂线， ， ， ，， ， ， ；故③正确； ， 设，， ， ， ， ， ， 过点作于，在中，， ， ， ，故④错误； 如图，， ，为等腰三角形， ，， ，， ， ， 设，则， ， ，故⑤正确， 故选：． 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键．如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)当时，；当时， (3) 【知识点】列代数式、线段垂直平分线的性质、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理、线段垂直平分线的性质、列代数式等知识，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理求解即可得； （2）分两种情况：①和②，先求出的长，再利用三角形的面积公式求解即可得； （3）分两种情况：①和②，先求出的长，从而可得的长，再根据线段垂直平分线的性质可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：由题意可知，动点从点出发沿运动到终点所需时间为秒，动点从点出发沿运动到点所需时间为秒， ①当时，， 则的面积； ②当时，， 则的面积； 综上，当时，；当时，． （3）解：如图，连接， ①当时，，， ∴， ∵线段的垂直平分线为直线， ∴， 在中，，即， 解得，符合题设， 此时； ②当时，，， 同理可得：， 在中，，即， 解得（不符合题设，舍去）， 综上，的长为． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)在中，； (2)见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、写出一个命题的已知、求证及证明过程 【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【详解】（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，是的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，则的面积为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．5 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，根据是的角平分线，，，可得到， 由，代入即可得到答案． 【详解】解：由题可画图如下： ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则 ． 【答案】6 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 过点D作于F，设，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点D作于F，设， ∵是的角平分线，， ∴， ∵的面积是，， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：6． 地 城 考点02 角平分线的性质与判定 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，于的面积是，则 cm． 【答案】6 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作，如图所示，由角平分线的性质得到，由等面积法列方程求解即可得到答案，熟记角平分线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于F，如图所示： 是的角平分线，于， ， 的面积是，，， ∴， ∴ 解得， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，是的角平分线．若，则的面积是 ． 【答案】7 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形的面积的计算．作辅助线是解本题的关键．过点D作于H，由角平分线的性质推出，由三角形面积公式即可求出的面积． 【详解】解：过点D作于H， ， ， 是的角平分线， ， ， 的面积， 故答案为：7． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为 ． 【答案】10 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】此题考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，过点D作于点H，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形的面积公式计算． 【详解】解：过点D作于点H， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴ ， 故答案为：10． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，平分，，的面积S，，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质．过点作，交于点，利用角平分线的性质得出，根据即可求解． 【详解】解：过点作，交于点， ∵，平分， ∴， 又∵的面积S，， ∴．即 ∴ 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，、是的两个外角． (1)用无刻度直尺和圆规分别作和的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作图的方法，作图即可； （2）作，，，根据角平分线的性质，推出，即可得证． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）作，，， 由（1）知，∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴点O在的角平分线上， ∴平分． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知：如图，线段和射线有公共端点． (1)尺规作图：在射线取一点，使是以为底边的等腰三角形，连接，过作射线，使平分；（保留作图痕迹） (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、角平分线的有关计算 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，再作的角平分线即可； （2）由由（）作图可得，是等腰三角形，，平分，得再根据三角形的外角性质即可得解。 【详解】（1）解：如图所示． （2）由（1）作图可得，是等腰三角形，，平分， ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查作图线段垂直平分线，作图平行线，等腰三角形的性质，三角形的外角性质的性质．掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 17．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，为锐角三角形，在所在直线的右上方找一点D，使，且．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、作角平分线(尺规作图)、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】先分别以点A、C为圆满心，大于为半径画弧，两弧相交于点M、N，过这两点作直线，再延长至P，以为边，点A为顶点在直线右侧作，边与前直线相交于D，则点D即为所求作． 【详解】解：如图所示，点D即为所求； 由作图可知：是线段AC的垂直平分线，， ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查尺规作图-作已知线段的垂直平分线、作一角等于已知角，平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握尺规基本作图、平行线的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图1，红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往．现将公园北侧小东门路与西侧红梅路看成两条线段，天宁宝塔与文笔塔看成两个点，如图2.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等，请在图2中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P(保留作图痕迹，不要求写作法）． 【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．作的角平分线，作线段的垂直平分线，交于点P，点P即为所求． 【详解】解：如图，点P即为所求． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）点在的平分线上，，分别是两边上的动点，连接，．若，则与之间的关系是（  ） A．互余 B．相等 C．互补 D．相等或互补 【答案】D 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，先证明，然后分点在线段延长线上、点在线段延长线上时，点在线段上、点在线段上时，点在线段延长线上、点在线段上时，点在线段上、点在线段延长线上时四种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论思是解题的关键． 【详解】解：作于点，于点，则， ∵点在的平分线上， ∴， 在和中， ， ∴， 如图，点在线段延长线上、点在线段延长线上时， ∵， ∴，即； 如图，点在线段上、点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴； 如图，点在线段延长线上、点在线段上时， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 如图，点在线段上、点在线段延长线上时， ∵， ∴，即， ∵， ∴； 综上可知：与之间的关系是相等或互补， 故选：． 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，点在的内部，过点分别作于点，于点，，连接，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了角平分线的判定及定义，直角三角形的性质，四边形的内角和，由，，，得，点在平分线上，则，再通过四边形的内角和可得，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，点在平分线上， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 试卷第1页，共3页 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 线段的垂直平分线与角平分线 2大高频考点概览 考点01 线段垂直平分线的性质与判定 考点02 角平分线的性质与判定 地 城 考点01 线段垂直平分线的性质与判定 1．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，垂直平分，平分，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．10 D．12 2．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，，P是的中点，交于点Q，的周长是，则的长为 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点为外一动点，连接并延长至点，连接交于点．过点作的垂线于点，，已知．过作于点，于点 (1)求证： (2)证明：为的平分线． (3)若，，则 ．（直接写出答案） 4．（24-25八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，． (1)作的角平分线，边的垂直平分线，与相交于点P．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求的度数（写出推理过程）． 5．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在直角中，，点D是边上一动点，以为直角边，B为直角顶点作等腰直角，交于点F，连接，点B作于点P，交于点下面结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④当时，；⑤当时，． A．2 B．3 C．4 D．5 6．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示） 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，．动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿向点运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回．点，运动速度均为每秒1个单位长度，当点到达点时停止运动，点也同时停止．连接，设运动时间为秒． (1)判断的形状，并说明理由； (2)记的面积为，请用含有的代数式来表示； (3)伴随着，两点的运动，线段的垂直平分线为直线．当直线经过点时，求的长． 8．（23-24八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 9．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）如图，在中，是的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，则的面积为（   ） A．3 B．2 C．2.5 D．5 10．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，是的角平分线，于E，的面积是，，，则 ． 地 城 考点02 角平分线的性质与判定 11．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，是的角平分线，于的面积是，则 cm． 12．（24-25八年级上·江苏常州·期末）如图，是的角平分线．若，则的面积是 ． 13．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，是的角平分线，，．过点作，垂足为，若，则的面积为 ． 14．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，平分，，的面积S，，如果，那么 ． 15．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，、是的两个外角． (1)用无刻度直尺和圆规分别作和的平分线，两线交于点O；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求证：平分． 16．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）已知：如图，线段和射线有公共端点． (1)尺规作图：在射线取一点，使是以为底边的等腰三角形，连接，过作射线，使平分；（保留作图痕迹） (2)若，求的度数． 17．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）如图，为锐角三角形，在所在直线的右上方找一点D，使，且．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 18．（23-24八年级上·江苏常州·期末）如图1，红梅公园是常州市最大的国家级重点公园，因园内著名古建筑——红梅阁而得名园中天宁宝塔与文笔塔遥相呼应，园内八景吸引无数游客前往．现将公园北侧小东门路与西侧红梅路看成两条线段，天宁宝塔与文笔塔看成两个点，如图2.已知红梅阁到这两条路的距离近似相等，且到这两座塔的距离也近似相等，请在图2中用直尺和圆规找到红梅阁的位置，标注为点 P(保留作图痕迹，不要求写作法）． 19．（24-25八年级上·江苏南京·期末）点在的平分线上，，分别是两边上的动点，连接，．若，则与之间的关系是（  ） A．互余 B．相等 C．互补 D．相等或互补 20．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，点在的内部，过点分别作于点，于点，，连接，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $