14.3实数（第2课时）教学设计 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦实数的概念、分类、与数轴的一一对应关系及性质。通过复习无理数、实数定义和有理数分类导入，搭建旧知到新知的学习支架，梳理前后知识脉络。 以几何直观和类比推理为亮点，借助面积正方形、硬币滚动等活动让学生直观理解实数与数轴一一对应（数学眼光），类比有理数自主探究实数分类与性质（数学思维），例题练习巩固应用（数学语言）。助力教师突破难点，提升学生学习兴趣与核心素养。

第十四章 实数 14.3实数 第2课时   一、教材分析 本节课是冀教版八年级数学第十四章“实数”的重要内容.实数是“数与代数”领域的关键部分，它在有理数的基础上，将数系进行了扩充 .在中学数学学习中，后续的二次根式、一元二次方程以及函数等知识的学习，都离不开实数的相关概念和运算，所以这部分内容起着承上启下的重要作用，为学生进一步学习数学知识奠定了必要的基础. 教材在开展本课时教学活动时，首先以数轴为工具，直观地展示实数与数轴上的点一一对应的关系.通过让学生思考如何在数轴上表示无理数等无理数，帮助学生理解这一抽象概念.在实数分类部分，教材鼓励学生自主探究，引导学生根据有理数和无理数的特点，对实数进行分类，从而培养学生的归纳总结能力.通过与有理数的相关性质的类比，如相反数、绝对值、倒数等，引导学生类比思考实数的性质，让学生体会类比的数学思想.   二、学习目标 1.认识无理数存在的普遍性，知道实数与数轴上的点是一一对应的. 2.理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义. 3.能够根据实数的定义对实数进行分类. 4.通过在数轴上画出表示等无理数的点,理解实数和数轴上的点一一对应,体会数形结合的思想. 5.引导学生积极参与教学活动，产生探求新知的欲望，增强学习数学的兴趣.   三、教学重难点 重点：认识无理数存在的普遍性，知道实数与数轴上的点是一一对应的；能够根据实数的定义对实数进行分类. 难点：理解实数的倒数、相反数、绝对值的意义   四、教学过程 · 复习回顾 思考：什么是无理数？什么是实数？ 答：我们把无限不循环小数叫作无理数.把有理数和无理数统称为实数. 思考2：你还记得有理数的分类吗？ 答： 整数 正有理数 有理数 ；有理数 0 . 分数 负有理数 思考：分类的基本原则是什么？ 答：分类的基本原则：不重不漏. 师生活动：教师通过提问的形式，带领学生对所学知识进行回顾. 设计意图：回顾旧知，为本节课的教学做好铺垫. · 探究新知 活动一：探究实数与数轴的关系 我们知道，任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.例如：在数轴上分别标出有理数0，−和3.6所对应的点. 师生活动：教师引导学生根据“任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示”，完成教师展示的题目.教师继续提出问题： 思考： 学生带着问题，继续下面的探究活动. 1.如图所示，将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴正方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B. 思考：线段OA，OB的长分别是多少？ 答：图中小正方形的边长是，所以线段OA的长为；同理，线段OB的长为 . 思考：点A，B在数轴上对应的数分别是哪两个数? 答：与点A对应的数是；与点B对应的数是. 思考：如果将面积分别为2和3的两个正方形放置在数轴上，使得正方形的一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴负方向上，其另一个顶点分别为数轴上的点A′和点B′.则点A′和点B′在数轴上对应的数分别是哪两个数？ 答：点A′在数轴上对应的数是−； 点B′在数轴上对应的数是−. 2.如图所示，设一枚5角硬币的直径为1个单位长度，将这枚硬币放置在平面内一条数轴上，使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬币沿数轴的正方向无滑动滚动一周，这时点P转到数轴上点P′的位置. 思考：线段OP′的长是多少？ 答：线段OP′的长等于 . 思考：在数轴上与点P′对应的数是哪个数？ 答：与点P′对应的数是. 思考：在图中所示的数轴上，按负方向取点Q′，使OQ′=OP′，则点Q′对应的数是多少呢？ 答：点Q′对应的数是-. 和-也可以在数轴上表示出来. 师生活动：教师借助多媒体，通过一系列问题串引导学生探究，学生认真思考合作交流后，积极作答.教师进一步指出：事实上，每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的点表示的数是有理数或无理数.同时给出实数与数轴上的点的关系： 实数和数轴上的点是一一对应的，这样的对应是通过数的大小和点到原点的距离实现的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 教师对“一一对应”进行解读，帮助学生理解实数与数轴上的点的关系. (1)每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； (2)数轴上的每一个点都表示一个实数． 设计意图：通过数形结合,让学生体会无理数也可以用数轴上的点表示,同时利用类比的思想,让学生体会知识的迁移过程. 活动二：探究实数的分类 实数是由有理数和无理数组成的，类比有理数的分类，我们可对实数作如下分类： 有理数、无理数都有正数和负数之分，请将实数按正实数和负实数另行分类. 师生活动：教师提出问题，学生类比有理数的分类方法小组讨论后作答，教师补充完善. 设计意图：学生类比有理数的分类方法,小组讨论，让学生总结出实数的分类方法,提高学生的分类归纳能力和团体合作意识. 活动三：探究实数的倒数、相反数及绝对值 下列各组实数与所对应的数轴上的点如图所示： (1)4，-4； (2)，-； (3)，-. 思考：这些点到原点的距离分别是多少? 答：4，-4到原点的距离均为4；，-到原点的距离均为；，-到原点的距离均为. 思考：类比有理数的绝对值的定义，谈谈实数的绝对值的意义. 答：一个实数的绝对值是该实数到原点的距离. 师生活动：教师提出问题，学生类比有理数的定义作答.教师给出绝对值、相反数与倒数的定义. 在数轴上，表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值.实数a的绝对值记为|a|. 对于符号不同而绝对值相等的两个实数，我们称其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数.a的相反数可以表示为-a. 如果两个实数的积为1，则这两个实数互为倒数. 例如，表示−的点到原点的距离是，我们就说-的绝对值是，记作|-|=；与−，两个数符号不同，绝对值相等，我们就说-是的相反数，或是−的相反数，即与-互为相反数；，我们就说与互为倒数. 师指出：任意一个实数都有绝对值、相反数和倒数(0没有倒数)，它们和有理数的绝对值、相反数和倒数的意义是一样的. 师强调： 注意：(1)实数a的相反数为－a，若a，b互为相反数，则a＋b＝0；0的相反数是0. (2)非零实数a的倒数为，若a，b互为倒数，则ab＝1； (3)一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.即：|a|=. 设计意图：类比有理数和实数,明确两者之间的区别和联系.让学生明确有理数的一些运算对于实数同样成立. · 应用新知 例1 把下列各数填入相应的括号内. . (1)有理数：（ ）； (2)无理数：（ ）； (3)正实数：（ ）； (4)负实数：（ ）. 解：(1)有理数集合：（ ）； (2)无理数集合：（ ）； (3)正实数集合：（）； (4)负实数集合：（）. 师生活动：教师引导学生利用实数的分类完成例1，学生认真思考+1，举手作答+2. 师强调： 不是带根号的都是无理数. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握实数的分类，清楚不是带根号的都是无理数. 例2. (1)分别写出的相反数； (2)指出分别是什么数的相反数； (3)求的绝对值； (4)已知一个数的绝对值是，求这个数. 解：(1)因为−(−)=，－(－3.14) =3.14－， 所以，− ，－3.14的相反数分别为 ， 3.14－. (2)因为−()=，-(1-)=， 所以−， 分别是，-1的相反数. (3) 因为==-4， 所以||=|−4|=4. (4)因为||=，|-|=， 所以绝对值为的数是或-. 师生活动：选派4名学生进行板演，教师巡回指导，并利用小组评价机制进行加分. 师小结：求一个实数的绝对值时，应先判断它的正负，再根据绝对值的性质求出结果. 设计意图：通过板演，及时发现学生在计算时出现的问题进行纠正，让学生明确实数和有理数的绝对值、相反数和倒数的意义是一样的,突破本节课的难点. 例3.判断下列说法正确与否.如果不正确，请举例说明. (1)所有有理数都可用数轴上的点来表示. (2)数轴上所有的点表示的数都是有理数. (3)数轴上所有的点表示的数都是实数. 解：(1)所有有理数都可用数轴上的点来表示，说法正确； (2)数轴上的所有点表示的数不都是有理数，因为数轴上的点和实数一一对应，实数包括有理数和无理数，如数轴上表示数的点表示的数是无理数，故说法错误； (3)因为数轴上的点和实数一一对应，所以数轴上的所有点表示的数都是实数，说法正确. 师生活动：学生认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 设计意图：通过本题让学生掌握实数与数轴上的点的一一对应关系，巩固所学知识. · 课堂练习 1.把下列各数分别填入相应的圈内： . 正实数 负实数 有理数 无理数 解： 2.请完成下列表格： 原数 3.14 绝对值 相反数 解： 原数 3.14 绝对值 3.14 相反数 - -3.14 3.下列说法正确的是(　　) A．正实数和负实数统称实数 B．正数、零和负数统称有理数 C．带根号的数和分数统称实数 D．无理数和有理数统称实数. 解：A.0也是实数，故不符合题意； B.正数、0和负数统称为实数，故不符合题意； C.无理数、整数和分数统称实数，故错误； D.无理数和有理数统称实数，正确； 故选：D. 4.两个实数在数轴上的对应点和原点的距离相等，则这两个数 ( ) A.一定相等 B.一定不相等 C.相等或互为相反数 D.以上都不对 解：两个实数在数轴上的对应点和原点的距离相等， 则这两个实数的绝对值相等. 所以，这两个实数相等或互为相反数. 故选：C. 5.求下列各数的相反数、倒数和绝对值： (1)； (2)； (3). 解：(1)的相反数是-，倒数是，绝对值是； (2)=-2，相反数是2，倒数是，绝对值是2； (3)=7，相反数是-7，倒数是，绝对值是7. 6.已知实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值为.求代数式(a+b+cd)x+-+l的值. 解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0. ∵c，d互为倒数，∴cd=1. ∵x的绝对值为，∴x=或-. 当x=时，原式==； 当x=-时，原式==−. ∴所求代数式的值为或-. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系 学科网（北京）股份有限公司 $