14.3实数（第1课时）教案 2025-2026学年冀教版数学八年级上册

该教案聚焦“实数”中无理数和实数概念，通过直角三角形拼接正方形的实际问题导入，引导学生探究边长x=√2，对比有理数（有限或无限循环小数），引出无限不循环小数即无理数，构建实数体系，衔接有理数与后续学习。 特色在于情境导入结合几何直观，培养数学眼光，探究中通过有理数与无理数的对比推理发展数学思维，例题与数值转换器等练习提升数学语言应用意识。助力学生理解数系扩充，教师易实施，高效突破重难点。

第十四章 实数 14.3实数 第1课时 一、教材分析 本节课是冀教版八年级数学第十四章“实数”第三节第1课时.这部分内容是在学生学习了有理数的基础上进行的,是数系的一次重要扩充,为后续学习二次根式、一元二次方程、函数等内容奠定基础,在初中数学知识体系中起着承上启下的关键作用. 教材从实际问题出发,通过图形拼接的问题来引入实数.先让学生回顾有理数,把有理数写成小数形式,发现有理数都可化为有限小数或无限循环小数,再给出像这类无限不循环小数的例子,引出无理数概念,进而将数的范围从有理数扩充到实数.教材这样开展活动,符合学生认知规律,从具体到抽象,引导学生逐步构建实数体系. 二、学习目标 1.准确理解无理数和实数的概念,会判断一个数是有理数还是无理数. 2.经历从有理数扩充到实数的过程,体会类比和分类讨论的数学思想,提升学生的逻辑思维能力. 3.让学生感受数学知识的发展和扩充过程,体会数学与生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣. 三、教学重难点 重点:准确理解无理数和实数的概念,会判断一个数是有理数还是无理数;掌握实数的分类,能按定义和正负性对实数进行分类. 难点:经历从有理数扩充到实数的过程,体会类比和分类讨论的数学思想,提升学生的逻辑思维能力. 四、教学过程 情境导入 如图(1),在纸上画一个两条直角边都是2cm的直角三角形ABC.然后剪下这个直角三角形,再沿斜边上的高CD剪开,拼成如图(2)所示的正方形,那么这个正方形的边长是多少呢? 思考1:这个三角形的面积和拼成的正方形的面积是不是相等?面积是多少? 思考2:如果设正方形的边长为xcm,那么x与这个正方形的面积有怎样的关系? 答:1.这个三角形的面积和拼成的正方形的面积相等. 因为, 所以. 2.依题意,=2.因为正方形的边长是正数,所以x是2的算术平方根,即x=. 是一个怎样的数呢? 我们一起来探究吧! 师生活动:教师通过实际问题,引发学生思考. 设计意图:通过实际问题引导学生思考,激发学生的探究欲望. 探究新知 活动一:探究无理数的定义 思考:是整数吗?-3,-2,-1,0,1,2,3的平方等于2吗?你认为有平方后等于的整数吗? 答:-3,-2,-1,0,1,2,3的平方不等于2;没有平方后等于2的整数,所以不是整数. 思考: 答:,没有平方后等于2的分数,所以不是分数. 师生活动:教师引导学生小组讨论,使学生意识到平方后等于2的数既不是整数,也不是分数,所以不是以前熟悉的有理数. 回顾:我们以前学的有理数包括哪些数呢? 答:有理数包括整数和分数. 思考:既不是整数,又不是分数,它是怎样的一个数呢? 借助计算机可以得到 =1.414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569… 它是一个无限不循环小数. 师生活动:教师借助计算机进行展示,学生观察,说出自己的看法.教师进一步指出,我们早就认识的圆周率 ,它也是一个无限不循环小数: =3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 1… 设计意图:对无理数有个初步的认识,和都是无限不循环小数,让学生了解它们不是以前学过的有理数,渗透知识的形成过程. 做一做:请把分数 写成小数的形式. . 师生活动:教师展示题目,学生独立思考,将所给分数写成小数的形式.教师再次提出问题:任何一个分数都能写成小数的形式吗?学生经过讨论作答:任何一个分数都能写成小数的形式. 做一做:请把有限小数或无限循环小数写成分数的形式. , , . 师生活动:教师展示题目,学生独立思考,对于无限循环小数写成分数的形式,需要教师进行引导讲解.之后教师再次提出问题:任何一个有限小数或无限循环小数都能写成分数的形式吗?学生经过讨论作答:任何一个有限小数或无限循环小数都能写成分数的形式. 师小结:事实上,任意一个有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式,任意一个有限小数或无限循环小数总可以写成有理数的形式,而是无限不循环小数,所以不是有理数. 教师给出无理数定义:我们把无限不循环小数叫作无理数. 师生共同归纳: 常见的无理数的形式: (1)圆周率及一些含有的数,如 5; (2)开不尽方的数,如; (3)有一定的规律,但无限不循环的小数,如 0.101 001 000 1… 师小结:判断一个数是否为无理数,从这三方面入手即可. 设计意图:通过具体运算,对无理数有进一步的了解,明确无理数都是无限不循环小数,同时掌握判断一个数是否为无理数的方法,突出本节课的重点. 活动二:探究实数的概念 类比有理数的分类,我们知道无理数包括正无理数和负无理数. 如等,都是正无理数;等,都是负无理数. 师生活动:教师直接给出实数的概念:我们把有理数和无理数统称为实数. 设计意图:让学生明确实数是怎样范围的数,加深对无理数、实数概念的理解. 应用新知 例1 判断下列数哪些是有理数?哪些是无理数? . 解:有理数: ; 无理数:. 师生活动:教师引导学生利用无理数的定义进行判断,学生认真思考+1,举手作答+2. 师小结: 判断一个数是不是无理数,就看这个数是否含、含开不尽方的数、含有规律但无限不循环的小数即可. 设计意图:通过例1让学生熟练掌握无理数的定义,清楚判断一个数是不是无理数的方法. 例2. 判断下列说法是否正确.若正确,请说明理由;若不正确,请举例说明. (1)已知两个实数a,b,则a+b>a. (2)两个无理数的和一定是无理数. 解:(1)不正确,如b=0时,a+b=a,不满足a+b>a; (2)不正确,如和−均为无理数,但它们的和为0,是有理数. 师生活动:学生思考后举手作答,教师提醒学生注意:两个无理数的和(或差)不一定是无理数. 设计意图:通过例2,进一步让学生熟悉无理数的定义,突出本节课的重点. 例3.已知一个小正方体的棱长是5cm,一个大正方体的体积是小正方体体积的2倍,求大正方体的棱长. 解:设大正方体的棱长为xcm, 则. 即=250. 所以x=. 答:大正方体的棱长为cm. 师生活动:学生思考后,小组讨论,各组选派小组代表作答.认真思考+1;合作交流+2;举手作答+2. 设计意图:本题是无理数的应用,让学生体会数学与生活的紧密联系,激发学生学习数学的兴趣. 课堂练习 1.判断下列说法正确与否,如果不正确,请举反例说明. (1)无限小数都是无理数. (2)无限小数都是有理数. (3)带根号的数都是无理数. (4)实数都是有理数. (5)实数都是无理数. 解:(1)不正确,如 是有理数; (2)不正确,如是无理数; (3)不正确,如是有理数; (4)不正确,如是无理数; (5)不正确,如1是有理数. 2.下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数? , 2.121 121 112 111 12…(每两个2之间依次多一个 1). 解:有理数: ; 无理数:2.121 121 112 111 12…(每两个2之间依次多一个 1). 3.已知长方体的体积是1 620,它的长、宽、高的比是5∶4∶3,问该长方体的长、宽、高是无理数吗?为什么? 解:该长方体的长、宽、高不是无理数.理由如下: 设长方体的长、宽、高分别是5k、4k、3k. 根据题意得5k 4k 3k=1 620,=27,k=3. 所以5k=15,4k=12,3k=9. 所以该长方体的长、宽、高均为有理数,不是无理数. 4.已知实数x,y满足关系式. (1)求x,y的值; (2)判断是有理数还是无理数. 解:(1)由题意,得x-2=0,=0, 解得x=2,y= 1. (2)当x=2,y=1时,=,是无理数; 当x=2,y=-1时,==2,是有理数. 5.下图为4 4的网格,每个小正方形的顶点叫做格点,且每个小正方形的边长为1. (1)求图(a)中正方形ABCD的面积与边长. (2)依照图(a)的作法,在图(b)的网格中作一个正方形,使它同时满足下列两个要求: ①所作的正方形的顶点必须都在格点上; ②所作的正方形的边长为. 解:(1)正方形ABCD的边长为, 所以面积为=10. (2)为直角边长为2,2的直角三角形的斜边,因此,所作的正方形如图所示. 6.下图是一个数值转换器,原理如图所示. (1)当输入的x的值为81时,求输出的y的值. (2)是否存在输入x的值后,始终输不出y的值?如果存在,请直接写出所有满足要求的x的值;如果不存在,请说明理由. 解:(1)由题意,当输入的x的值为81时,取81的算术平方根为9, ∵9是有理数,∴再取其算术平方根为3, ∵3是有理数,∴再取其算术平方根为, ∵是无理数,∴输出y的值为. (2)由题意,存在x=0或x =1,输入x后,始终输不出y的值. 师生活动:学生限时训练、独立完成,教师巡回,及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图:通过练习,学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握程度,调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高. 总结归纳 这节课你学到了哪些知识?说说你的体会. 设计意图:通过学生对本节课所学内容的归纳、总结,把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网(北京)股份有限公司 $