精品解析：上海市上海中学东校2025-2026学年高一上学期期中素质评估数学试题

上海中学东校2025学年度第一学期中期素质评估 高一数学 2025.11 （满分：110分 时间：90分钟） 一、填空题（每题3分，共42分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【详解】. 故答案为： 2. 不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式等价变形为，解此不等式即可. 【详解】不等式等价于，解得， 因此，不等式的解集是. 故答案为. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 4. 若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 【答案】2 【解析】 【分析】由题意可知：集合有两个元素，即方程有两个不相等的实数根，利用韦达定理运算求解. 【详解】由题意可知：集合有两个元素，设为，即， 则方程有两个不相等的实数根，则， 所以. 故答案为：2. 5. 已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】结合二次函数的图象与性质判断求解． 【详解】令函数，则其图象开口向上，顶点坐标为，对称轴是，若二次函数有两个零点，则必有一个零点小于0，即小于1， 要使另一个零点比1大，则需满足，解得，即时，二次方程有一个根比1大，另一个根比1小.所以满足题意的实数a的取值范围是. 故答案为：． 6. 关于的方程的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值不等式可得，结合等号成立条件分析求解即可. 【详解】因为， 当且仅当，即或， 所以由，可得或， 所以的方程的解集为. 故答案为：. 7. 已知，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意结合对数的运算性质可得到，解出，即可求得答案；另解：可利用对数的运算性质结合基本不等式求解. 【详解】由，整理得， 得，解得，所以. 另解：由题知，则， 利用基本不等式可得， 当且仅当时取等号，解得. 故答案为：4 8. 若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 【答案】4 【解析】 【分析】作出函数图象，结合图象分析交点个数，进而可得集合A. 【详解】分别作出函数、、和的图象，如图所示， 可知与、、的交点个数分别为1、1、2； 与、的交点个数分别为2、2； 与的交点个数为2； 可知集合或或或， 所以满足条件的不同集合有4个. 故答案为：4. 9. 设，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】把分子展开化为，再利用基本不等式求最值． 【详解】 ， 当且仅当，即或时成立， 故所求的最小值为． 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立． 10. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由三人各自的论述入手分别化简求解的范围，再按范围分类判断即可得. 【详解】由题意，. 若甲正确，则且，即，则； 若乙正确，则且，即，则； 若丙正确，则由二次函数的对称轴为，得，所以. 若，则乙丙两人论述错误，不满足题意； 若，则甲乙两人论述错误； 若，则乙丙两人论述正确，只有甲一人论述错误，满足题意. 综上所述，，即a的取值范围是. 故答案为：. 11. 已知为实数，用表示有限集合的元素个数， 则所有可能的值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】令，由时，，的零点一一对应求解. 【详解】解：令， 设，显然，则， 所以除外，的零点一一对应， 又存在，，，使得， 所以或， 则或， 故答案为：或 12. 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 13. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知在上单调递减，可得出，求得，根据已知条件得出，即可解得实数的值. 【详解】由可得，可得，即， 因为，故函数在上单调递减， 所以，，所以，， 因为有且只有一个满足题意，则，解得. 故答案为：. 14. 已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 【答案】1012 【解析】 【分析】根据给定条件，用表示出，得到，再由求出范围即可. 【详解】由，得，即， 整理得，而，则，， 因此，由，得， 又，，所以符合要求的集合的个数为. 故答案为：1012 二、单选题（每题3分，共12分） 15. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质及充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】当时，成立，故充分性满足， 当时，如，则，故必要性不满足， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 16. 下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 17. 数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）． A. 607 B. 608 C. 609 D. 610 【答案】B 【解析】 【分析】由题意求出的近似值，可将写成的形式，即可得到结果. 【详解】因为，则， 即，所以的位数为. 故选：B. 18. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据可分比集合定义，验证时成立，证明时不成立得到正整数的最大值为7. 【详解】取，，满足题意，此时； 若，若， 因为和，故， 因为，故， 此时考虑元素8：因为且，故； 因为且，故， 所以8无法划分，与矛盾， 当时，类似推导可得矛盾，例如：若，则， 进而，元素无法划分，矛盾； 故正整数n的最大值为7． 故选：B. 三、解答题（共56分） 19. 已知常数，集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合后，再利用交集的定义求解. （2）根据给定条件，利用集合包含关系分类求解． 【小问1详解】 当时，， 而，所以. 【小问2详解】 集合，由，得， 当时，，满足题意，则； 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 所以实数的取值范围是． 20. 已知幂函数的图象关于轴对称，且，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得在区间上为减函数，结合及函数图象对称性求出的值. （2）由（1）求出，再利用单调性及偶函数性质求解不等式. 【小问1详解】 由，得幂函数在区间上单调递减， 则，解得，又，则m的值为， 由的图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数， 所以. 【小问2详解】 由（1）得函数定义域为，其图象关于轴对称，且在上为单调递减， 不等式，则， 解得或，所以的取值范围是. 21. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 【答案】（1），3； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点的定义列出方程并求解即得. （2）根据不动点的定义，结合一元二次方程的判别式列式，再利用基本不等式求解. 【小问1详解】 设为函数的不动点，则，即， 解得或，所以所求不动点为，3. 【小问2详解】 由，二次函数恒有两个相异的不动点， 得，方程有两个不等实根， 则，，且， 由，得，则， 当且仅当，即时取等号，因此，且，即且， 所以实数的取值范围是. 22. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 【答案】（1）采用方案二；理由见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）列出两种方案的总费用的表达式，作差比较，即可求解； （2）根据题意，得到，利用换元法和基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：方案一的总费用为（元）； 方案二的总费用为（元）， 由， 因为，可得，所以， 即，所以，所以采用方案二，花费更少. 【小问2详解】 解：由（1）可知， 令，则， 所以，当时，即时，等号成立， 又因为，可得， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以差的最小值为，当且仅当时，等号成立， 所以两种方案花费的差值最小为24元. 23. 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”． 抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素． 应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记. （1）当时，岩，，求和的值； （2）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明：. （3）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由. 【答案】（1）， （2） 当时，对于A中的任意两个不同的元素，， 设，， ，. 对于任意的，，，2，3，4， 当时，有， 当时，有. 即， 所以， 又因为， 所以，，当且仅当时等号成立， 所以 ， 即，当且仅当时等号成立： （3），理由： 由（2）可证，对于任意的，， 若，则成立. 考虑设， ， 对于任意的，3，…，n， ， 所以， 假设满足条件的集合B中元素个数不少于， 则至少存在两个元素在某个集合中， 不妨设为，，则. 与假设矛盾，所以满足条件的集合B中元素个数不多于. 取； 对于，2，…，，取， 且；. 令， 则集合B满足条件，且元素个数为， 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合. 【解析】 【分析】（1）根据定义得到，； （2）设，，求出，，分析出，，证明出，当且仅当时等号成立； （3）在（2）的基础上，得到若，则成立，对集合进行分类，应用抽屉原理和反证法，得到满足条件的集合B中元素个数不多于，在取，对于，2，…，，取，且；，令，得到答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海中学东校2025学年度第一学期中期素质评估 高一数学 2025.11 （满分：110分 时间：90分钟） 一、填空题（每题3分，共42分） 1. 已知集合，，则______． 2. 不等式的解集是________. 3. 函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为________. 4. 若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和________. 5. 已知一元二次方程有一个根比1大，另一个根比1小，则实数a的取值范围是______. 6. 关于的方程的解集为______． 7. 已知，则__________. 8. 若，且函数与的图象有两个交点，则满足条件的不同集合有______个． 9. 设，则的最小值为______. 10. 已知二次函数，甲同学：的解集为；乙同学：的解集为；丙同学：此二次函数的对称轴在y轴左侧.在这三个同学的论述中，只有一个论述是错误的，则a的取值范围是________. 11. 已知为实数，用表示有限集合的元素个数， 则所有可能的值是_________. 12. 已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 13. 设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时，的取值的集合为________． 14. 已知集合，集合是集合的三元子集，即，中的元素满足，则符合要求的集合有______个． 二、单选题（每题3分，共12分） 15. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 下列结论中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 17. 数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”，试估计“梅森素数”的位数为（ ）． A. 607 B. 608 C. 609 D. 610 18. 在上海中学东校科技节中，李明同学定义了可分比集合：若集合满足对任意，都有，则称是可分比集合．若集合均为可分比集合，且（为正整数），则的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 三、解答题（共56分） 19. 已知常数，集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 20. 已知幂函数的图象关于轴对称，且，． （1）求； （2）若，求的取值范围． 21. 对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． （1）已知函数，求该函数的不动点； （2）若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 22. 某蛋糕店推出两款新品蛋糕，分别为薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕单价为x元，朱古力蜂果蛋糕单价为y元，现有两种购买方案： 方案一：薄脆百香果蛋糕购买数量为a个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为b个，花费记为; 方案二：薄脆百香果蛋糕购买数量为b个，朱古力蜂果蛋糕购买数量为a个，花费记为． （其中） （1）试问哪种购买方案花费更少？请说明理由； （2）若a，b，x，y同时满足关系，求这两种购买方案花费的差值S最小值（注：差值花费较大值-花费较小值）． 23. 桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”． 抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有个元素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素． 应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合.对于集合A中的任意元素和，记. （1）当时，岩，，求和的值； （2）当时，对于A中的任意两个不同的元素，，证明：. （3）给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素，，.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $