14.1平方根（第2课时）教案 2025-2026学年冀教版八年级数学上册

该教案聚焦算术平方根的概念、性质及求法，以“正方形画布边长”实际问题导入，从已学平方根过渡，引导学生关注正数正平方根，搭建从生活到数学抽象的学习支架。 此资料注重核心素养培养，情境导入用生活实例发展数学眼光，探究活动通过填表归纳、对比辨析培养推理意识，例2联系草坪篱笆问题强化应用意识。分层练习与小组合作提升参与度，助力教师把握学情，高效落实教学目标。

第十四章 实数 14.1平方根 第2课时   一、教材分析 本节课是冀教版八年级数学上册第十四章第一节第2课时的内容，在“数与代数”领域占据关键位置.通过对这一内容的学习，学生能了解算术平方根的概念，学会用符号表示，掌握其性质，还能渗透化归思想，为后续学习平方根、立方根以及实数等知识奠定坚实基础，是连接数学知识体系与生活应用的重要桥梁. 在学生初步认识算术平方根概念后，教材设置了一系列求不同数算术平方根的习题，从简单的整数、分数到较复杂的正数，逐步引导学生掌握利用平方运算求算术平方根的方法，让学生在练习中深化对概念的理解，促进学生对知识的全面理解和吸收   二、学习目标 1.了解数的算术平方根的概念，并会求一个非负数的算术平方根. 2.知道表示非负数a的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性. 3.探究的化简，并能简单运用. 4.让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的，激发学生的学习兴趣．   三、教学重难点 重点：了解数的算术平方根的概念，并会求一个非负数的算术平方根;知道表示非负数a的算术平方根，并理解算术平方根的双重非负性. 难点：探究的化简，并能简单运用.   四、教学过程 · 情境导入 学校要举行美术作品比赛，小美想裁出一块面积为9 的正方形画布，临摹自己的最喜欢的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 虽然3和-3的平方均等于9，但正方形画布的边长应取3dm.在实际生活中我们更关注正数的正的平方根.它会是什么样的一个数呢？ 我们一起来探究吧！ 师生活动：教师通过实际问题，引发学生思考. 设计意图：通过身边的实际问题引导学生思考，激发学生的探究欲望，同时，让学生感受到即将学习的新课在解决实际问题中的应用价值，提高了学生的学习兴趣和应用意识. · 探究新知 活动一：探究算术平方根的定义 填表： 正方形的面积 1 9 16 36 正方形的边长 1 3 4 6 已知正方形的面积求边长，本质上就是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.那么这个正数与这个正数的平方是什么关系呢？ 师生活动：教师提出问题，学生独立思考，并认真填表. 师引导学生归纳算术平方根的概念：一个正数的两个平方根互为相反数. 我们把一个正数a的正的平方根叫做a的算术平方根. 并指出：当求得一个正数的算术平方根后，它的负的平方根可相应求得. 例如，9的算术平方根为3，它的负的平方根就是－3，即 =3，−=−3. 的算术平方根为，它的负的平方根就是−，即 = ，− = − . 0的平方根只有一个，就是0，我们也说0的算术平方根为0， 即：＝0. 设计意图：给学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根概念，使学生的自主性和合作性得到很好的发展. 师生活动：教师继续提出问题：平方根与算术平方根有什么区别和联系？ 学生小组交流，尝试归纳. 区别： (1)概念不同：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根；非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根. (2)表示方法不同：正数a的平方根表示为±；正数a的算术平方根表示为. (3)个数及取值不同：一个正数的算术平方根只有一个，是正数；一个正数的平方根有两个，一正一负且互为相反数. 联系： (1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，一个数的算术平方根是一个数的平方根中的一个. (2)存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有. (3)0的平方根、算术平方根都是0. (4)求算术平方根、平方根都可看成是平方的逆运算. 设计意图：学生通过讨论、交流，得出平方根与算术平方根有的区别和联系，加深对概念的了解，同时培养学生的团队合作意识与归纳总结能力. 活动二：探究算术平方根的性质 思考：一个正数的算术平方根有几个？它是正数还是负数？ 答：一个正数的算术平方根有1个，它是正数. 思考：0的算术平方有几个？ 答：0的算术平方根有一个，是0. 思考：-1有算术平方根吗？负数有算术平方根? 答：-1没有算术平方根；负数没有算术平方根. 师生活动：通过教师提问学生作答的形式，引导学生得出算术平方根的性质. 算术平方根的性质： 一个正数的算术平方根是一个正数. 0的算术平方根是0. 负数没有算术平方根. 教师进一步指出：由此我们知道：≥0，其中，a≥0 ，即算术平方根具有双重非负性. 设计意图：通过问答的形式，让学生探究算术平方根的性质，培养学生的逻辑思维能力与归纳总结能力. 活动三：探究算术平方根的求法 做一做：求下列各数的算术平方根. (1)144； (2)0.01； (3)； (4)； (5). 解：(1)因为=144，所以 =12 . (2)因为=0.01，所以 =0.1. (3)因为，所以. (4) =13 . (5)因为=，所以 =16. 师生活动：师生共同完成计算. 师强调：对于(1)(2)(3),不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.对于(4)(5) 由平方根的意义，易知：当a>0时，=a；当a<0时，=−a； 即=|a|=. 设计意图：通过计算让学生掌握算术平方根的求法，同时探究的化简，突破本节课的难点. · 应用新知 例1 计算下列各式： (1)； (2) −； (3) ±； (4) −. 解： 师生活动：选派4名同学板演，教师按照小组评价机制进行打分. 师强调：注意符号的一致性. 师小结： (1)计算时必须弄清以下符号的意义： ±(a≥0)表示非负数a的平方根，(a≥0)表示非负数a的算术平方根；把非负数a开平方，求它的平方根可用±表示． (2)求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用. 设计意图：通过例1让学生熟练掌握算术平方根以及平方根的求法，清楚±、、-的意义. 例2. 某小区有一块长方形草坪.为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来.已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是900 m²，求所需要篱笆的总长度? 解：设这块长方形草坪的宽为xm,则长为4xm.由题意得 因为长方形草坪的面积是900 m²，所以 4x∙x=900，即=225. 所以x=±=±=±15. x=-15不合题意，舍去. 所以x=15，2×(15+4×15)=150(m) 答：所需篱笆的长度为150m. 师生活动：学生认真思考+1，举手作答+2. 设计意图：通过例2，让学生体会所学知识紧密联系生活实际，增强学生学习数学的积极性. 例3. 已知＋5，求x＋y的值． 分析：只有非负数才有算术平方根，由此我们可以得知x－8≥0且8－x≥0，而同时满足这两个条件的x的取值只有x＝8，进而求出y的值，x＋y的值即可知． 解：由题意可得x－8≥0且8－x≥0，即x≥8且x≤8 . ∴x＝8 . 当x＝8时，y＝5. ∴x＋y＝8＋5＝13 . 师生活动：学生思考后，小组讨论，各组选派小组代表作答.认真思考+1；合作交流+2；举手作答+2. 师小结：在一个条件式子中同时含有类似与−的式子，即条件式子中被开方数互为相反数，只有它们都等于0时，这两个式子才都有意义． 设计意图：进一步明确被开方数在什么情况下有意义，什么情况下无意义，理解算术平方根的双重非负性. · 课堂练习 1.求下列各式的值： (1)； (2) ； (3) ±； (4) −； (5)； (6)−. 解：(1)==16. (2)==. (3)±=±=±. (4)−=−=−0.4. (5)==50. (6)−=−=−0.07. 2.求下列各数的算术平方根： (1)； (2)0.0001； (3)900； (4)； (5)； (6). 解：(1)因为=，所以； (2)因为=0.0001，所以=0.01； (3)因为=900，所以=30； (4)因为=，所以； (5)因为=，所以； (6)因为=4，因为=4，所以=2. 3.求下列各式中x的值： (1)=64； (2)=； (3)=1.21. 解：(1)因为＝64，所以x=±8； (2)因为，所以x=±； (3)因为＝1.21，所以x=±1.1. 4.已知x，y都是有理数，且，求4x+y的算术平方根. 解：只有非负数才有算术平方根，由此我们可以得知， x-5≥0且5-x≥0，解得x=5 . 所以y=16．因此4x+y=4×5+16=36 . 因为=36，所以4x+y的算术平方根是6. 5.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 解：设每块地板砖的边长为x m.由题意得： 240=60，∴=. ∴x===0.5. 答：每块地板砖的边长是0.5 m. 6.一个数的算术平方根为2x-4,平方根为±(x-1)，求这个数. 解：由于不能确定(x-1)和-(x-1)的正负，∴分所以两种情况 ①2x-4=x-1，解得x=3，2x-4=2. 这个数==4. ②2x-4=-(x-1)，解得x=，2x-4=−＜0. 由于算术平方根不能为负，因此这种情况不成立. 综上所述，这个数为4. 师生活动：学生限时训练、独立完成，教师巡回，及时把握学生对知识的掌握情况. 设计意图：通过练习，学以致用，及时获知学生对所学知识的掌握程度，调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高. · 总结归纳 这节课你学到了哪些知识？说说你的体会. 设计意图：通过学生对本节课所学内容的归纳、总结，把零碎的知识点和认知过程形成了一个完整的知识体系. 学科网（北京）股份有限公司 $