精品解析：天津市经济技术开发区第一中学2025--2026学年上学期数学试卷

天津市经济技术开发区第一中学 2025～2026学年上学期数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：B． 2. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此， ∵⊙O的半径为6，圆心O到直线l的距离为5， ∴6＞5，即：d＜r． ∴直线l与⊙O的位置关系是相交．故选C． 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系可得出x1•x2＝﹣5，此题得解． 【详解】解：是一元一次方程的两根， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 【答案】C 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质． 5. 如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　） A. 40° B. 45° C. 60° D. 80° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵弧长，∴圆心角．故选A． 6. 已知函数与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】分函数为一次函数和二次函数时分类讨论即可. 【详解】解：当函数为一次函数时，，即， 此时一次函数与x轴必有交点； 当函数为二次函数时，根据题意得，且， 解得且； 综上所述，， 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象与系数的关系，对于二次函数，抛物线与x轴交点个数由△决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 7. 在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点(﹣3，y1)，(1，y2)，(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( ) A. ＜＜ B. ＜＝ C. ＜＜ D. ＜＜ 【答案】A 【解析】 【分析】由已知确定函数的对称轴为x＝2，三点到对称轴的距离分别为5，1，2，即可求解. 【详解】解：y＝x2﹣4x+m的对称轴为x＝2， (﹣3，y1)，(1，y2)，(4，y3)三点到对称轴的距离分别为5，1，2， ∴y1＞y3＞y2， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，理解开口向上的函数，点到对称轴的距离越大则对应的函数值越大是解题的关键. 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2． 【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA﹣AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠APC=30°， ∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=， ∴CD=2CH=2． 故选C． 【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键 9. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为（ ）． A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 【答案】B 【解析】 【分析】根据AB=AC，∠BAC=36°，可得∠ABC=72°，由AE=BE，∠ABE=∠CBE=36°，可得点H是三角形角平分线的交点，进而可以判断点H是△ABC的内心． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=36°， ∴∠ABC=∠ACB=(180°-36°)=72°， 由作法知AD是∠BAC的角平分线，EF是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA=36°， ∴∠EBC=72°-36°=36°， ∴∠ABE=∠CBE， ∴BE是∠ABC的角平分线， ∵BE、AD交于点H， ∴点H是三角形内角平分线的交点， ∴点H是△ABC的内心． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是区分三角形的内心与外心． 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 11. 如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过A作关于直线的对称点，连接，由轴对称的性质可知即为的最小值； 【详解】解：过A作关于直线的对称点，连接，， ∵关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 过O作于Q，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值． 故选：B． 【点睛】本题主要考查圆的性质、特殊三角函数，掌握相关知识并正确做出辅助线是解题的关键. 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，得到利润的相等关系是解决本题的关键，求得涨价后的最大利润以及降价后的最大利润后，经过比较才能得到最大利润，找准各个量之间的关系是正确解答此题的关键． 根据某商品现在的售价为60元，每星期可卖出300件；每降价1元，每星期可多卖出20件，可判断①；根据总利润单件利润销量可判断②；分别列出涨价与降价时对应的式子求出最大值作比较即可判断③． 【详解】解：①售价为每件60元，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期可多卖出20件，若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件；故①正确； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润元；故②正确； ③设每件降价元，每星期售出商品的利润为， 则． ， 时，售价为57.5元时利润最大，最大利润元， 设每件涨价元，涨价后的利润为元． ， 在涨价的情况下，每星期售出商品的最大利润是6250元， ， 综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，定价65元时利润最大，故③正确． 正确结论的个数是3个， 故选∶D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，在中，对称轴为，顶点坐标为．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故答案为：． 14. 等边三角形外接圆的半径长为2，则等边三角形边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质，等边三角形一边上的高线也是这边上中线．根据在中，的余弦值是角的邻边与斜边的比值，求出，再求出等边三角形的边长即可． 【详解】解：根据题意画出图形，得，， 过点O作于点D， ∴， 根据圆和等边三角形的对称性可知， 在中，， 由，得， ∴． 即该等边三角形的边长为． 故答案为：． 15. 函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为______（写成顶点式）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移“左加右减、上加下减”，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题关键．根据二次函数图象的平移规律即可得． 【详解】解：函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为，即为． 故答案为：． 16. 已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为__________． 【答案】 2或14 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理的综合应用，解题的关键是考虑两条平行弦相对于圆心的位置关系（同侧或异侧），避免漏解． 过圆心作平行弦中一条弦的垂线，由平行性质可知该垂线垂直于另一条弦；利用垂径定理求出两条弦的一半长度；结合勾股定理分别计算圆心到两条弦的距离；最后分同侧和异侧两种情况计算两弦的距离． 【详解】解：过作于，交CD于， ∵ ， ∴ ， 由垂径定理得，， 在中，， 在中，， 当AB与CD在圆心同侧时，距离为（图1）， 当AB与CD在圆心异侧时，距离为（图2）， 故答案为：或14． 17. 如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A=∠B=90°，CD=AB=4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，得到∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF=BF=AE=BG=2，由勾股定理列方程即可求出结果． 【详解】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A=∠B=90°，CD=AB=4． ∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO=∠AFO=∠OFB=∠BGO=90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF=BF=AE=BG=2，∴DE=3． ∵DM是⊙O的切线，∴DN=DE=3，MN=MG，∴CM=5﹣2﹣MN=3﹣MN．在Rt△DMC中，DM2=CD2+CM2，∴（3+NM）2=（3﹣NM）2+42，∴NM=，∴DM=3+=． 故答案为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于______； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的．_____________． 【答案】 ①. ②. 根据以点A和点B为顶点的90°的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心O；连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M，连接MN交CB于点K，连接KO并延长交于点P，连接AP，则AP即为的平分线． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、的圆周角所对的弦是直径、垂径定理、等弧所对的圆周角相等，熟记相关定理是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据的圆周角所对的弦为直径，找到两条直径的交点即为圆心O；根据垂径定理和弧、圆周角的关系即可作出的平分线 ． 【详解】解：（1）， ∴线段 的长度等于； （2）如图，分别以点A和点B为顶点构造和， ∵， ∴和都是的直径， ∴和的交点O是圆心 O ，即为所要求作的点， 如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点M，连接交于点K，连接并延长交于点P，连接， 通过证明三角形全等易得点M为小正方形一边的中点， ， 易证得， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴平分 ， ∴点P就是所要求作的点． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）抛物线的顶点为C，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、抛物线的对称性及三角形面积计算；解题的关键是利用抛物线对称轴求出点A坐标，选择合适的解析式形式代入已知点求解，再结合顶点坐标计算三角形面积． （1）根据抛物线对称轴和点，利用对称性求出点A坐标；设抛物线的两点式解析式，代入点求出系数，进而得到解析式． （2）将对称轴代入解析式求出顶点C的纵坐标，确定C点坐标；计算线段AB的长度，以AB为底、C点纵坐标的绝对值为高，用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 解：∵ 抛物线对称轴为，与x轴交于、， ∴ 点与关于对称，的横坐标为，即 设抛物线解析式为， ∵ 抛物线过， ∴ 代入得， 即，解得． ∴ 抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：∵ 顶点在对称轴上， ∴ 代入解析式得，即． ∵ ，， ∴ ，的高为点纵坐标的绝对值， ∴ ． 20. 已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，根据图象回答下列问题： （1）点A坐标为______，方程的解是______； （2）当x取何值时，？______； （3）若二次函数的图像与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 【答案】（1）；， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，包括函数解析式确定、与坐标轴交点、一元二次方程的解、函数值取值范围及函数与直线的交点问题；解题的关键是先通过已知点求出函数解析式，再结合二次函数的顶点特征、开口方向分析对应问题． （1）将点代入函数解析式求出的值；令解一元二次方程，所得根即为方程的解，也是点、的横坐标． （2）令求出对应的值，根据二次函数开口向上的性质，确定时的取值范围． （3）将二次函数化为顶点式，求出顶点纵坐标（函数最小值），结合开口方向确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵ 函数过点， ∴ 代入得，解得，函数解析式为， 令，则， 因式分解得，解得，． ∴ 点坐标为，方程的解为，． 故答案为：；，． 【小问2详解】 令，则 化简得，解得， ∵ 函数开口向上， ∴ 当或时，． 故答案为：或； 【小问3详解】 ∵ 开口向上，顶点纵坐标为（函数最小值） ∴ 当时，直线与抛物线有两个交点 故答案为：． 21. 在中，点A，点B，点P在圆上，． （1）如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； （2）如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由半径经过弦的中点．可得，则，，由，可得，根据，计算求解即可； （2）由题意得，由切线的性质可知，则，由，可得，则为等边三角形，，，由勾股定理求即可． 【小问1详解】 解：∵半径经过弦的中点． ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵切于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，， ∴， 由勾股定理得，， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，切线的性质，正切，等边三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 22. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且，若其中水面高3m，求筒车工作时： （1）水面AB的宽； （2）截面上有水部分的面积． 【答案】（1）的宽为 （2）有水部分的面积为 【解析】 【分析】本题考查了圆的垂径定理、扇形面积公式、三角形面积公式及特殊角的三角函数值的应用；解题的关键是通过水面高度建立方程求出圆的半径，再结合相关公式逐步求解． （1）设圆的半径为，利用垂径定理得且，结合表示出；在中，根据的三角函数关系建立方程求出，再计算的长度，进而得到的宽． （2）有水部分面积为弓形面积，等于扇形的面积减去的面积，分别代入扇形面积公式和三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：过点O作的垂线，垂足为点M，延长与弧相交于点N，则， 设（为半径）， ∵ ，， ∴ ，， 在中，∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得 ∵ ， ∴ ， ∴ 答：水面的宽为； 【小问2详解】 扇形的面积， 的面积， ∴ 有水部分的面积 答：截面上有水部分的面积为． 23. 某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． （1）用含x的代数式表示矩形的另一边的长． （2）当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】（1） （2）当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式及二次函数的实际应用（最值问题）；解题的关键是根据木栏总长、门的宽度列出的表达式，结合墙的长度确定自变量取值范围，再利用二次函数性质求面积最大值． （1）根据木栏总长米、两处门共2米宽，以及垂直于墙的木栏共3段及中间分隔栏），列出等式推导的表达式； （2）根据矩形面积公式列出二次函数，结合墙的最大长度确定x的取值范围，利用二次函数开口方向和对称轴求最大面积． 【小问1详解】 解：∵ 长为x米，中间用垂直于墙的木栏隔开，故垂直于墙的木栏共3段，每段长x米； 两处门各1米宽，木栏总长米， ∴ 木栏总长满足， 解得 即． 【小问2详解】 解：∵ 墙最大可用长度为12米，且， ∴ ， 解不等式，得； 解不等式，得， ∴ 的取值范围为． 矩形面积， ∵ 二次项系数，抛物线开口向下， 对称轴为． ∵ 对称轴在取值范围的左侧， ∴ 函数在上单调递减， ∴ 当时，面积最大， 最大面积（平方米）． 答：当时，矩形面积最大，最大面积为72平方米． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 【答案】（1） （2）①；②最大值为，H点坐标为 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的直角三角形性质及利用不等式求面积最值，解题的关键是熟练运用旋转性质构造全等三角形，结合几何图形边角关系及最值定理求解． （1）先根据等腰直角三角形性质得，由旋转性质知；作轴构造直角三角形，利用角的直角三角形边角关系求出和，结合象限符号得出坐标； （2）①先确定的边角性质，利用旋转性质证，得；构造等腰直角三角形和直角三角形，分别求出和，相加得长度； ②连接，由全等及四点共圆得出和均为直角三角形；利用不等式分别求两个直角三角形的最大面积，相加得总面积最大值，确定此时旋转角及H点坐标． 【小问1详解】 解：∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴在x轴负半轴，在y轴正半轴； ∵绕O逆时针旋转得， ∴（旋转性质：对应边相等）； 过作轴于点M，此时为直角三角形， 由旋转方向可知：在第三象限，故从x轴负方向逆时针转，与x轴负方向夹角为； 在中，， ∴（含角的直角三角形，对边为斜边一半）， ； ∵在第三象限，横坐标与纵坐标均为负， ∴的坐标为； 故答案为：. 【小问2详解】 ①解：连接， ∵为等腰直角三角形，O为原点，， ∴； 由旋转性质得：， ∴，即； 在和中，， ∴， 故，； 过点O作，垂足为N，， ∴是等腰直角三角形， ， 在中，， ∴； ②解：连接， 由①知， ∴， ∴四点共圆，四点共圆， ∴． 设的两条直角边为a与b，则， 由得，， 设的两条直角边为c与d， 则， 由得，， 当旋转角时，，和面积之和最大，此时H点坐标为， 最大值． ∴和面积之和最大值为，此时H点坐标为． 25. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，) 【解析】 【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论； （3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0）， ∴ 解得a＝－1，b＝5， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6． ∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋， ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）． （2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6， ∴C（0，6），∴OC＝6． ∵A（6，0）， ∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°． ∵PD平行于x轴，PE平行于y轴， ∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°， ∴∠PED＝45°， ∴∠PDE＝∠PED， ∴PD＝PE， ∴PD＋PE＝2PE， ∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值． 设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d， 把A（6，0），C（0，6）代入得 解得k＝－1，d＝6， ∴直线AC的解析式为y＝－x＋6． 设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6）， ∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9． ∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12， ∴P（3，12）． （3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF． ∵点F在线段MN的垂直平分线AC上， ∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC． ∵l∥y轴， ∴∠MFC＝∠OCA＝45°， ∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°， ∴NF∥x轴． 由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6， 当x＝时，y＝， ∴F（，）， ∴点N的纵坐标为． ∵点N在抛物线上， ∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝， ∴点N的坐标为（，）或（，）． 【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市经济技术开发区第一中学 2025～2026学年上学期数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分． 1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是 A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法判断 3. 若是一元二次方程的两根，则的值为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ） A. 50° B. 65° C. 115° D. 130° 5. 如果一个扇形的弧长是π，半径是6，那么此扇形的圆心角为（　　） A. 40° B. 45° C. 60° D. 80° 6. 已知函数与x轴有交点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 7. 在抛物线y＝x2﹣4x+m的图象上有三个点(﹣3，y1)，(1，y2)，(4，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为( ) A. ＜＜ B. ＜＝ C. ＜＜ D. ＜＜ 8. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　） A. B. 2 C. 2 D. 8 9. 如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹连接交于点，则点为（ ）． A. 的外心 B. 的内心 C. 的外心 D. 的内心 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（ ） A. 6 B. C. D. 12. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，有下列结论： ①若该商品每件降价x元，则预测每星期可卖出件； ②若该商品每件售价为61元，则预测售卖该商品每星期可得利润6090元； ③综合涨价与降价两种情况及现在的销售状况可知，当每件售价65元时，售卖该商品每星期获利最大． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 抛物线的顶点坐标是______． 14. 等边三角形外接圆的半径长为2，则等边三角形边长为______． 15. 函数的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度所得新函数的解析式为______（写成顶点式）． 16. 已知是的两条平行弦，，，的半径为，则弦与的距离为__________． 17. 如图，在矩形中，，，，，分别与相切于，，三点，过点作的切线交于点，切点为，则的长为________． 18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点． （1）线段的长度等于______； （2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的．_____________． 三、解答题：本题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点． （1）求拋物线的解析式； （2）抛物线的顶点为C，求． 20. 已知函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，根据图象回答下列问题： （1）点A坐标为______，方程的解是______； （2）当x取何值时，？______； （3）若二次函数的图像与直线有两个交点，则k的取值范围是______． 21. 在中，点A，点B，点P在圆上，． （1）如图①，P为弦所对的优弧上一点，半径经过弦的中点M，求和的大小； （2）如图②，P为弦所对的劣弧上一点，，过点B作的切线，与的延长线相交于点D，若，求的长． 22. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，且，若其中水面高3m，求筒车工作时： （1）水面AB的宽； （2）截面上有水部分的面积． 23. 某校规划出矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为米，设矩形的一边长为x米． （1）用含x的代数式表示矩形的另一边的长． （2）当x为何值时，矩形的面积最大？最大面积为多少平方米？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，和都为等腰直角三角形，且，，把绕点O逆时针旋转得，旋转角为． （1）如图2，当时，求点的坐标； （2）在绕点O逆时针旋转过程中： ①如图3，当点恰好落在线段上时，求的长； ②设线段与线段的交点为H，求出和面积之和的最大值，并求出此时H点的坐标．（直接写结果） 25. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标； （3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $