7.2.3 三角函数的诱导公式（题型专练）数学苏教版必修第一册

7.2.3 三角函数的诱导公式 题型一 诱导公式一的应用 1．（24-25高一下·福建·期中）（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型二 诱导公式二、三、四的应用 1．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）在中，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知在△中，，则 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 5．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知角的终边经过点，则 . 题型三 诱导公式一、二、三、四的应用 1．（24-25高一下·江西九江·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东广州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习） ． 4．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为 ． 题型四 诱导公式五、六的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 4．（24-25高一下·湖北恩施·期末）中，为的外心，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C．5 D．10 题型五 诱导公式的综合应用 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为 . 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，写出满足的一组的值： ． 3.（2025高一·全国·专题练习）求值：． 题型一 三角函数定义与诱导公式的应用 1．（24-25高一下·全国·周测）已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 2．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法正确的有（    ） A．是第四象限角 B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ．若角与角始边相同，终边关于直线对称，则 ． 4.（25-26高一上·全国·单元测试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，记，将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，记． (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求的值． 题型二 诱导公式及新定义问题 1．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设是一个任意角，如图所示，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为与原点的距离为，则的正割函数定义为，余割函数定义为．    (1)证明：； (2)若为第二象限角且，求的值． 题型三 三角恒等式的证明 1．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 3．（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 4．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 题型四 三角函数式的化简、求值 1．（24-25高一下·全国·周测）化简 . 【答案】 【分析】应用诱导公式计算化简求值. 【详解】 . 故答案为： 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）化简 . 3．（24-25高一上·全国·周测）若为第二象限角，且，则 ． 4．（2025高一·全国·专题练习）求值：（）． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知，求值：（）． 1．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）在中，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 4．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则 ． 5．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第三象限角，求的值. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 7．（24-25高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是一个三角形的两个内角，，是方程的两根． (1)求角和的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.3 三角函数的诱导公式 题型一 诱导公式一的应用 1．（24-25高一下·福建·期中）（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式计算可得. 【详解】. 故选：C 2．（24-25高一下·山东日照·阶段练习）点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用诱导公式判断，的正负，再判断的所在象限即可. 【详解】由诱导公式得， ， ， 且， 则，， 得到，即， 则，故， 得到点位于第二象限，故B正确. 故选：B. 题型二 诱导公式二、三、四的应用 1．（24-25高一下·贵州黔西·期末）已知，且是第一象限角，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得，结合诱导公式逐一验算各个选项即可求解. 【详解】已知，且是第一象限角，则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．（24-25高一下·吉林长春·期末）在中，若，则为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】结合角的范围，由正弦函数的性质可得． 【详解】中，， 若，则或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形， 故选：C． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知在△中，，则 ． 【答案】 【分析】已知求出，然后利用余弦函数的诱导公式进行求解. 【详解】因为在△中，，所以， 所以，又， 所以，所以． 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】5 【分析】利用诱导公式得到. 【详解】． 故答案为：5 5．（24-25高一下·辽宁辽阳·期末）已知角的终边经过点，则 . 【答案】/ 【分析】先根据任意角的三角函数的定义求出，再根据诱导公式求. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 所以. 故答案为： 题型三 诱导公式一、二、三、四的应用 1．（24-25高一下·江西九江·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．（24-25高一下·广东广州·期中）的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式将角度转换成锐角再计算即可. 【详解】. 故选：A 3．（2025高一·全国·专题练习） ． 【答案】1 【分析】利用诱导公式化简，结合特殊角的三角函数值计算出答案. 【详解】 . 故答案为：1 4．（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】由已知利用诱导公式和同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由，得， 根据诱导公式，化简. 故答案为：5. 题型四 诱导公式五、六的应用 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为，利用诱导公式求解. 【详解】因为， 则． 故选：C 2．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知函数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数的诱导公式对所求式子进行化简求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：B． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知角的终边上有一点，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角函数的定义先求，再利用诱导公式化简即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 4．（24-25高一下·湖北恩施·期末）中，为的外心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆心角、圆周角、三角形内角的关系求出的关系，然后利用诱导公式求出结果. 【详解】， ， 故选：C． 5．（24-25高一下·云南曲靖·期末）已知，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【分析】利用同角三角函数的商数关系与诱导公式计算即可. 【详解】由题意得，即， 由正切函数诱导公式可得，由， 解得，故. 故选：C. 题型五 诱导公式的综合应用 1．（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知，且，则的值为 . 【答案】 【分析】由诱导公式计算可得. 【详解】，所以， 因为，所以 所以， 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，写出满足的一组的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由及诱导公式可得，从而得到或，任取的值即可. 【详解】因为，所以（诱导公式五的逆用）， 所以或（两个角的正弦值相等，则两个角的终边相同或关于轴对称）， 取，则或． 故答案为: （答案不唯一）. 3.（2025高一·全国·专题练习）求值：． 【答案】1 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简求值 【详解】因为， ， ， ，． 所以原式． 题型一 三角函数定义与诱导公式的应用 1．（24-25高一下·全国·周测）已知的终边上有一点，则的值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据三角函数的定义求出，再利用诱导公式化简求值. 【详解】因为的终边上有一点，所以，， 所以， 故选：C. 2．（多选）（2025高一上·全国·专题练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，且，则下列说法正确的有（    ） A．是第四象限角 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数比较大小对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，因为，所以， 又， 所以点在第四象限，所以是第四象限角,故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，解得（正值舍去）．故C不正确； 对于D，由C的分析知，.故D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合．若点在角终边上，且，则 ．若角与角始边相同，终边关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】第一空：由诱导公式三角函数的定义求解；第二空：进行求解． 【详解】因为，所以， 由点在角终边上，所以，即， 所以． 因为角与角始边相同，它们的终边关于直线对称， 所以，即， 所以，因为， 所以． 故答案为：； 4.（25-26高一上·全国·单元测试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第四象限内的点．若，则的值为 ；若，则的值为 ． 【答案】 【分析】若，根据三角函数定义先求得，再利用诱导公式和弦化切求解；若，利用平方关系化简求值. 【详解】由角的终边与单位圆交于第四象限内的点， 知， 由，得，则， 再由诱导公式可得 ． 因为 ，所以， 又是第四象限角， 所以，即， 则． 故答案为：； 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知单位圆与轴正半轴交于点，点在单位圆上，其中点在第一象限，记，将角的终边逆时针旋转后与单位圆交于点，记． (1)若，求点的坐标； (2)若点的坐标为，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）应用三角函数定义，求角的余弦与正弦值，可得单位圆与终边交点的坐标； （2）先由点在单位圆上求得点的坐标为，再利用三角函数定义与诱导公式求解. 【详解】（1）因为，所以，所以点的坐标为． 由题意，，所以，所以点的坐标为． （2）由点在单位圆上，得，又点位于第一象限，所以， 所以点的坐标为，所以， 所以，所以． 题型二 诱导公式及新定义问题 1．（2025·北京东城·二模）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先验证充分性，由已知可得或，即可知之间的关系；再验证必要性，根据之间的关系，结合诱导公式即可判断. 【详解】充分性：因为，所以或， 当时，或，， 当时， 或，， 可得或，所以充分性不成立， 必要性：若， 当为偶数时，设，则， 则，满足， 当为奇数时，设，则， 则，满足， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】法一:由得，从而，所以，由即可计算求解. 法二:由所在终边刚好将单位圆均分成24份，利用对称性，计算即可. 【详解】法一:，由 得， 由三角函数定义知， 所以， 因为，所以， 所以， ， 所以． 法二:由题意，可以得到所在终边刚好将单位圆均分成24份， 的终边关于原点对称，即， 所以，又， 故． 故选：B. 3．（多选）（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）定义：角和都是任意角，若，则称与“广义互余”．已知，满足下列条件的角中，可能与角广义互余的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】由条件结合诱导公式化简可得，根据“广义互余”的定义结合诱导公式同角关系判断各选项即可. 【详解】对于选项A，若角和广义互余，则，即， 则，故A错误； 对于选项B，若角和广义互余，则， 解得，则，故B错误； 对于选项C，若角和广义互余，则，故C正确； 对于选项D，若角和广义互余，则， 即满足的角可能与角广义互余，故D正确． 故选：CD． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设是一个任意角，如图所示，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为与原点的距离为，则的正割函数定义为，余割函数定义为．    (1)证明：； (2)若为第二象限角且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可知，，代入不等式左边结合同角三角函数平方关系和基本不等式证得不等式； （2）由题意知，根据平方关系和诱导公式计算得到结果； 【详解】（1）因为，所以，， ， 当且仅当时，等号成立． （2）由题意知，且为第二象限角， 所以， 所以 ． 题型三 三角恒等式的证明 1．（多选）（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知下列等式的左右两边都有意义，则下列等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A、B，由同角三角函数的基本关系进行化简证明即可，对于C、D，由诱导公式进行化简证明即可. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：ABC. 2．（24-25高一上·上海·课堂例题）证明：． 【答案】证明见解析 【分析】利用诱导公式化简即可. 【详解】左边右边， 所以． 3．（20-21高一·全国·课后作业）求证：当或3时，. 【答案】证明见解析 【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可. 【详解】当时，左边=； 当时，左边=； 综上，或有原等式恒成立. 4．（21-22高一上·全国·课后作业）（1）求证：； （2）设，求证. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论. 【详解】（1）左边=  =右边，所以原等式成立. （2）方法1：左边=  ===右边，所以原等式成立. 方法2：由，得， 所以，等式左边= ===右边，等式成立. 题型四 三角函数式的化简、求值 1．（24-25高一下·全国·周测）化简 . 【答案】 【分析】应用诱导公式计算化简求值. 【详解】 . 故答案为： 2．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）化简 . 【答案】 【分析】根据诱导公式化简即可. 【详解】 . 故答案为： 3．（24-25高一上·全国·周测）若为第二象限角，且，则 ． 【答案】 【分析】利用正切函数的诱导公式求出，然后利用正弦函数的诱导公式及同角三角函数的平方关系对所给式子进行化简，最后再根据角的范围确定三角函数的正负对式子进一步化简求值. 【详解】由，知， 原式 ， 因为为第二象限角，所以，且， 所以原式. 故答案为： 4．（2025高一·全国·专题练习）求值：（）． 【答案】当为奇数时，答案为；当为偶数时，答案为 【分析】当分别为偶数、奇数时，原式化简后的式子不同，讨论的奇偶性，再利用诱导公式化简后求值． 【详解】当为奇数时， 原式； 当为偶数时， 原式． 5．（2025高一·全国·专题练习）已知，求值：（）． 【答案】 【分析】利用诱导公式化简，代入求值即可. 【详解】由得， 所以．（）． 1．（24-25高一下·上海·开学考试）已知角和的终边关于轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数恒等式的证明——诱导公式 【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断． 【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，， 对于A，由，故A错误； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确， 对于D，由，故D错误， 故选：C． 2．（多选）（25-26高一上·全国·单元测试）在中，下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由同角三角函数的基本关系及诱导公式进行求解． 【详解】对于A项，，正确； 对于B项，，错误； 对于C项，，正确； 对于D项，因为， 所以，不一定等于1．故错误． 故选：AC 3．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】首先确定终边对应的角，再结合三角函数的定义，以及诱导公式，即可求解. 【详解】由题意，点所在终边为角，，，， 顺时针旋转后终边对应的角为，且， 则，， 所以，，所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·上海徐汇·阶段练习）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则 ． 【答案】/ 【分析】任取一个数字串，根据数字黑洞定义，依次得到新的数字串，反复出现的数字即为a的值，再结合诱导公式即可得解. 【详解】由数字串的任意性，不妨取数字串， 经过第一步后可得到数字串，经第二步后得到数字串， 再变为，再变为，... 故数字黑洞为，即， 所以． 故答案为： 5．（24-25高一下·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，角的终边经过点，其中. (1)求的值； (2)若为第三象限角，求的值. 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】（1）分，两种情况，根据三角函数的定义即可求解. （2）由已知可得，结合同角的正余弦的平方关系求得，利用诱导公式化简求值即可. 【详解】（1）因为在直角坐标系中，角的终边经过点， 所以. 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述：当时，；当时，. （2）若为第三象限角，则，所以， 所以 . 6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去掉根号，化简得到； （2）在（1）基础上，得到，所以； （3）计算出，根据诱导公式得到，，得到答案. 【详解】（1）式子中有根号，先考虑去根号， ． （2）由，可得， 所以． （3）当时，， 所以，所以， 于是， ， 所以． 7．（24-25高一下·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点，且. (1)求实数及相应的值； (2)当时，化简并求值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由三角函数的定义建立方程，求得解，分情况求得函数值，可得答案； （2）由题意求得正弦值与余弦值，利用诱导公式与同角三角函数关系式，可得答案. 【详解】（1）根据三角函数的定义得，解得或， 当时，，， 当时，. （2）由可知，此时，， 原式. 8．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是一个三角形的两个内角，，是方程的两根． (1)求角和的值； (2)求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据根与系数的关系进行求解； （2）由诱导公式求解； （3）由同角三角函数的基本关系求解． 【详解】（1）因为是方程的两根， 所以（根据根与系数的关系可得），又， 所以，解得（舍去）或，所以或， 将分别代入中易知当时不成立，故． 方法一  ，将代入方程， 得，解得． 方法二  因为是方程的两根， 所以由根与系数的关系得，解得． （2）， 由（1）知，，所以． （3），即， 则，则，解得或， 因为，所以， 故，所以 9．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)= (2) (3) 【分析】（1）根据同角关系式去掉根号，化简即得； （2）在（1）基础上，得到，所以； （3）计算出，根据诱导公式得到，，得到答案． 【详解】（1）． （2）由，可得， 所以． （3）当时，所以， 所以，所以， 于是， ， 所以． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$