专题7.1 角与弧度（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第一册

专题7.1 角与弧度（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 任意角的概念】 3 【题型2 终边相同的角】 5 【题型3 根据图形写出角（范围）】 6 【题型4 象限角的判定】 9 【题型5 用弧度制表示角的集合】 13 【题型6 角度与弧度的换算】 15 【题型7 弧长公式与扇形面积公式的应用】 16 【题型8 扇形中的最值问题】 18 知识点1 任意角 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的表示 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α,β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. (4)角的终边的对称问题与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 α与β的终边关于直线y=x对称 α与β的终边关于直线y=-x对称 【题型1 任意角的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【答案】C 【解题思路】根据任意角的概念逐项判断. 【解答过程】A，角，是第一象限角，但不是锐角，A错误； B，角，角，则角和的终边相同，但，B错误； C，的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的两个角互为相反角，C正确； D，角的终边在第二象限，则角不是钝角，D错误. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】结合任意角的概念分析即可. 【解答过程】因为锐角，所以小于的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角，第二象限角，，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如，，但，故④不成立. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据任意角的概念计算可得； 【解答过程】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 【变式1-3】（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【解题思路】根据角的定义判断各个结论． 【解答过程】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错； ，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错． 正确个数是2， 故选：B． 【题型2 终边相同的角】 【例2】（25-26高一上·全国·单元测试）下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由终边相同的角求出最小正角和最大负角即可求解. 【解答过程】与终边相同的角可以表示为， 当时，为与终边相同的最小正角； 当时，为与终边相同的最大负角， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用终边相同的角的特征求解判断. 【解答过程】由角的终边相同，则，即， 所以的终边在轴的非负半轴上. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列角中与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据终边相同的角的表示判断即可. 【解答过程】与终边相同的角是，， 当时，，当时，． 结合选项可知只有与终边相同． 故选：B． 【变式2-3】（24-25高一上·重庆渝北·期中）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据终边相同的角定义判断即可. 【解答过程】一般来说，角度、弧度不能混用，故A，D错误， 与角终边相同的角的集合是，B错误，C正确， 故选：C. 【题型3 根据图形写出角（范围）】 【例3】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对按奇偶分类讨论可得． 【解答过程】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 【变式3-1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先写出在间阴影部分区域表示的角的范围，再写出终边落在阴影部分的区域内的任意角的集合. 【解答过程】在间阴影部分区域中两条边界所在的终边表示的角分别为和， 所以阴影部分的区域在间的范围是， 所以终边在阴影部分区域的角的集合为. 故选：C. 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角即可求解. 【解答过程】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角， 则得（1）； （2）. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【解题思路】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【解答过程】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 【题型4 象限角的判定】 【例4】（24-25高一上·江苏南通·期末）若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解题思路】根据终边相同的角，表示出，得到，即可判断出结果. 【解答过程】因为与角终边相同，所以，则， 所以是第三象限角； 故选：C. 【变式4-1】（24-25高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【解题思路】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【解答过程】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】D 【解题思路】由象限角的定义即可求解. 【解答过程】由题意是第二象限角， 所以不妨设， 所以， 由象限角的定义可知是第四象限角. 故选：D. 【变式4-3】（24-25高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 【答案】C 【解题思路】根据题意得出，求出的范围，据此可判断出角的终边的位置. 【解答过程】由于的终边在第三象限，则， 所以，， 因此，的终边可能在第一、二象限或轴非负半轴. 故选：C. 知识点2 弧度制 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 4．弧度制下角的终边的对称与垂直 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边关于y=x对称 x与β的终边关于y=-x对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 【题型5 用弧度制表示角的集合】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用弧度制表达出，进而表达出与角的终边相同的角的集合. 【解答过程】因为，且角度和弧度不能在一个集合中同时使用， 故与角的终边相同的角的集合为. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断. 【解答过程】A,B弧度角度混用，错误. 与角终边相同的角可以表示，则C错误． 弧度制下表示为，则D正确. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【答案】 【解题思路】根据象限角的定义结合弧度制分析求解. 【解答过程】终边落在射线OA上的角为，，即，， 终边落在射线OB上的角为，，即，， 故终边落在阴影部分内（含边界）的角θ的集合为． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏·课后作业）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【解题思路】首先找到对应边界的终边表示的角，再写成集合形式. 【解答过程】（1）边界对应射线所在终边的角分别为，， 所以终边在阴影部分的角的集合为. （2）边界对应射线所在终边的角分别为，， ，， 所以终边在阴影部分的角的集合为 . 【题型6 角度与弧度的换算】 【例6】（24-25高一下·江西·阶段练习）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据弧度和角度的转化关系可得正确的选项. 【解答过程】. 故选：C. 【变式6-1】（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）将化为弧度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用度与弧度的互化公式计算得解. 【解答过程】. 故选：A. 【变式6-2】（25-26高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的关系进行转化即可. 【解答过程】（1）． （2）． （3）． （4）． 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）把下列角度与弧度进行互化． (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)－40°. 【解题思路】（1）（2）（3）（4）利用弧度与角度的互化公式求解即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）； （4）. 【题型7 弧长公式与扇形面积公式的应用】 【例7】（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由扇形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】C 【解题思路】先根据扇形面积公式求出半径，再根据弧长公式求出弧长. 【解答过程】已知扇形圆心角，面积. 由扇形面积公式，可得，即，解得或（半径不能为负舍去），所以. 由弧长公式，已知，，可得弧长. 故选：C. 【变式7-2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（    ） A．128 B． C． D．192 【答案】D 【解题思路】由题意可求，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为，利用扇形的弧长公式可得，解得，利用扇形的面积公式即可求解. 【解答过程】因为的长为，的长为，，， 则， 如图，设扇环所在圆的圆心为，，的弧度数为， 则，解得， 则扇环的面积. 故选：D. 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解题思路】根据题意，由可得，再由扇形的面积公式即可得到结果. 【解答过程】设，由，得，即， 所以 故选：D. 【题型8 扇形中的最值问题】 【例8】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【解题思路】设扇形圆心角为，扇形半径为r，由题可得间关系，后用r表示S，即可得答案. 【解答过程】设扇形圆心角为，，扇形半径为，， 由题有， 则，当时取等号. 故选：D. 【变式8-1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合扇形的弧长公式可得，再结合扇形面积公式及二次函数性质可得最值. 【解答过程】由扇形弧长公式可得， 即， 又， 所以 ， 所以当时，最大为， 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【答案】(1) (2)，， 【解题思路】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【解答过程】（1）， . （2）由已知得，， 所以 ，， 所以当时，面积取得最大值， 此时 ，所以. 【变式8-3】（24-25高一下·山东·阶段练习）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)面积为，弧AB的长为 (2)， 【解题思路】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解. 【解答过程】（1）由题意知，设，所以 根据扇形弧长； 扇形面积； （2）由，即， 扇形的周长为当且仅当等号成立， 所以由知：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.1 角与弧度（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 任意角的概念】 3 【题型2 终边相同的角】 4 【题型3 根据图形写出角（范围）】 4 【题型4 象限角的判定】 6 【题型5 用弧度制表示角的集合】 9 【题型6 角度与弧度的换算】 10 【题型7 弧长公式与扇形面积公式的应用】 11 【题型8 扇形中的最值问题】 11 知识点1 任意角 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形. (2)角的表示 如图： ①始边：射线的起始位置OA； ②终边：射线的终止位置OB； ③顶点：射线的端点O； ④记法：图中的角可记为“角α”或“∠α”或“∠AOB”. (3)角的表示 在平面内，一条射线绕着它的端点旋转有两个相反的方向一顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定： 名称 定义 图形 正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角. 负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角. 零角 一条射线没有做任何旋转. 这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角. (4)角的相等 设角α由射线OA绕端点O旋转而成，角β由射线O'A'绕端点O'旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β. (5)角的加、减法 ①角的加法 设α,β是任意两个角.我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β. ②相反角的概念 我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α. ③角的减法 像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有α-β=α+(-β).这样，角的减法可以转化为角的加法. 2．象限角与终边相同的角 (1)终边相同的角 若角α,β终边相同，则它们的关系为：将角α的终边旋转(逆时针或顺时针)k(k∈Z)周即得角β. 一般地，我们有：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. (2)象限角、轴线角 ①象限角、轴线角的概念 在平面直角坐标系中，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限，称这个角为轴线角. ②象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 ③轴线角的集合表示 角的终边的位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 (3)区间角、区域角 区间角、区域角的定义：介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如.终边介于某两角终边之间的角的集合叫做区域角，显然区域角包含无数个区间角. (4)角的终边的对称问题与垂直问题 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，当两个角的终边具有对称关系或垂直关系时，对于的角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 α与β的终边关于直线y=x对称 α与β的终边关于直线y=-x对称 【题型1 任意角的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知角和角，则下列说法正确的是（    ） A．若角是第一象限角，则角是锐角 B．若角和角的终边相同，则 C．若角和角分别是角的终边绕端点按顺、逆时针方向旋转相同度数形成的角，则 D．若角的终边在第二象限，则角是钝角 【变式1-1】（24-25高一上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【题型2 终边相同的角】 【例2】（25-26高一上·全国·单元测试）下面与终边相同的角是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·全国·课后作业）若角的终边相同，则的终边在（    ） A．x轴的非负半轴上 B．轴的非正半轴上 C．轴的非负半轴上 D．轴的非正半轴上 【变式2-2】（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）下列角中与终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·重庆渝北·期中）与角终边相同的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据图形写出角（范围）】 【例3】（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一上·浙江·阶段练习）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一上·全国·课后作业）写出终边在下列各图所示阴影部分内（包含边界）的角的集合． 【变式3-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【题型4 象限角的判定】 【例4】（24-25高一上·江苏南通·期末）若与角终边相同，则是第（    ）象限角 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式4-1】（24-25高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【变式4-2】（24-25高一上·甘肃天水·期末）若是第二象限角，则是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式4-3】（24-25高一上·四川凉山·期末）的终边在第三象限，则的终边可能在（    ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限或轴非负半轴 D．第三、四象限或轴非正半轴 知识点2 弧度制 1．角度制、弧度制的概念 (1)角度制 角可以用度为单位来进行度量，1度的角等于周角的.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制. (2)弧度制的相关概念 ①1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角. ②弧度制：定义：以弧度作为单位来度量角的单位制. 记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度. (3)弧度数 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么.其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 2．角度与弧度的换算 (1)弧度与角度的换算公式 (2)特殊角的度数与弧度数的对应表 度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 105° 120° 135° 150° 165° 180° 弧度 0 π 度 195° 210° 225° 240° 255° 270° 285° 300° 315° 330° 345° 360° 弧度 2π (3)用弧度表示终边相同的角 用弧度表示与角α终边相同的角的一般形式为，这些角所组成的集合为 . 3．弧长公式、扇形面积公式 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为α. (1)弧长公式 由公式，可得. (2)扇形面积公式 . (3)弧长公式及扇形面积公式的两种表示 角度制 弧度制 弧长公式 l=αR 扇形面积公式 注意事项 R是扇形的半径，n 是圆心角的角度数. R是扇形的半径，α是圆心角的弧度数. 4．弧度制下角的终边的对称与垂直 角的终边是一条射线，在平面直角坐标系中，若两个角的终边关于某条直线（或点）对称，则这两个角就有一定的关系.一般地，我们有如下结论： 角α,β终边的位置关系 α,β的关系 α与β的终边关于x轴对称 α与β的终边关于y轴对称 α与β的终边关于原点对称 α与β的终边关于y=x对称 x与β的终边关于y=-x对称 α与β的终边在一条直线上 α与β的终边垂直 【题型5 用弧度制表示角的集合】 【例5】（2025高三·全国·专题练习）用弧度制表示与角的终边相同的角的集合为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·全国·随堂练习）与60°角终边相同的角可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一上·全国·课前预习）用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内（含边界）的角θ的集合． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏·课后作业）用弧度制写出终边在阴影部分的角的集合： (1)   (2)   【题型6 角度与弧度的换算】 【例6】（24-25高一下·江西·阶段练习）把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·浙江宁波·开学考试）将化为弧度是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高一上·全国·单元测试）将下列角度与弧度互化．（不必求近似值） (1)； (2)； (3)1.2； (4)． 【变式6-3】（24-25高一上·全国·课后作业）把下列角度与弧度进行互化． (1)72°； (2)－300°； (3)2； (4). 【题型7 弧长公式与扇形面积公式的应用】 【例7】（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知扇形的圆心角为，面积为25，则该扇形的弧长为（    ） A．5 B． C．10 D． 【变式7-2】（24-25高一上·山东青岛·阶段练习）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，，则扇环的面积为（    ） A．128 B． C． D．192 【变式7-3】（2025高三·全国·专题练习）如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【题型8 扇形中的最值问题】 【例8】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【变式8-1】（24-25高一上·江苏·阶段练习）体育老师为了方便学生练习掷铅球，在操场上画了一块扇环形区域（图中阴影部分），其中和均以为圆心，．若，，且（表示弧长），则这块扇环形区域的面积最大值为（   ）    A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【变式8-3】（24-25高一下·山东·阶段练习）如图，点A，B，C是圆上的点． (1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长； (2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $