7.2.1 任意角的三角函数（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦任意角的三角函数定义、定义域及各象限符号这一核心要点，从初中锐角三角函数的直角三角形定义切入，通过坐标系中点的坐标与角度关系的探究，借助单位圆将概念推广到任意角，搭建从具体到抽象的学习支架。 资料以问题链驱动概念建构，通过“初中定义—坐标系表示—单位圆简化—任意角推广”的逻辑链条，发展数学抽象与直观想象素养，例题分题型整合方法归纳，课堂反馈及时检验学习效果。这种设计既帮助学生深化概念理解与解题能力，又为教师提供清晰的教学路径，提升课堂效率。

第7章 三角函数 7.2 三角函数概念 7.2.1 任意角的三角函数（第1课时） ▍教学目标 1. 通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域，理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号． 2. 能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题． 数学抽象：通过三角函数定义的学习，从中体会三角函数同一般函数一样，具有一般函数的抽象美，发展学生的数学抽象素养． 直观想象：借助几何中的相似形和圆理解三角函数的定义及判断任意角三角函数在各象限的符号． ▍情境设置 [教师引导] 用与用坐标均可表示圆周上点，这两种表示有什么内在联系？确切地说，用怎样的数学模型刻画与之间的关系？ ▍概念的探究与建构 【问题1】 在前面的学习中，我们是如何研究角的？ [学生活动] 建立直角坐标系，将角的顶点放在坐标原点，始边为轴的非负半轴，在坐标系中画出角． 【问题2】 在初中，我们是如何研究锐角三角函数的？ [教师引导] 初中所学的锐角三角函数是借助于直角三角形来研究的，如图1，画出直角三角形，设角为直角，写出锐角的正弦、余弦、正切． [学生活动] 在中，，，． 图1 图2 图3 图4 【问题3】 在直角坐标系中，如图2，如何用角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数？ [学生活动] 过点P作轴的垂线，垂直为，得到，，，，根据锐角三角函数的定义可得，，． 【思考1】 对于锐角，当点在角的终边上运动时，的正弦、余弦、正切值会改变吗？ [学生活动] 如图4，在角的终边上另取一点，过点作轴的垂线，垂直为，根据三角形的相似性可得对于确定的角，比值，，不会随点在的终边上的位置改变而改变． 【思考2】 既然比值与点在角的终边上的位置无关，那么能否在终边上取适当的点，将表达式简化？ [学生活动] 对于确定的角，比值，，与点在的终边上的位置无关，因此将点取在角的终边与单位圆的交点处，即，得到，，． 【问题4】 对于锐角，与终边和单位圆的交点的横坐标，纵坐标，以及有什么对应关系？ [教师引导] 角可以用角度制度量，也可以用弧度制度量，在弧度制下，是一个实数，这样角的集合（实数集）与实数集之间建立了一一对应的关系． [学生活动] 对于任意的一个实数，都有唯一的横坐标（纵坐标）与之对应，符合函数的定义． 【思考3】 与锐角终边相同的角，上述对应关系是否依然成立？ [学生活动] 与锐角终边相同的角对应关系没有改变，依然成立． 【问题5】 当角终边在第二、三、四象限时，，，是否依然成立？ [学生活动] 当角终边在第二、三、四象限时，类比第一象限角的三角函数的定义，依然成立． 形成知识 任意角的三角函数定义： 一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是，则．此时，点是角的终边与半径为的圆的交点．根据相似三角形知识可知，比值，，与的终边上的点的位置无关．我们规定： (1) 比值叫作的正弦，记作，即； (2) 比值叫作的余弦，记作，即； (3) 比值（）叫作的正切，记作，即． 【思考4】 这种比值形式能进一步简化吗？ [学生活动] 令，，，． 【思考5】 对于每一个确定的角，都分别由唯一确定的比值，，与之对应，因此这三个对应法则都是以角为自变量的函数，分别叫作正弦函数、余弦函数和正切函数，那么它们的定义域是什么？ 形成知识 三个三角函数的定义域： 三角函数 定义域 【问题6】 能否确定正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号？若的终边落在坐标轴上呢？ [学生活动] 通过三角函数的定义可知，三角函数值在各个象限的符号与终边上的点的坐标有关． 形成知识 三角函数值在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ▍知识的运用与升华 题型一：利用定义求解角的正弦、余弦、正切值 【例题1】 已知角的终边经过点，求的正弦、余弦、正切值． [解析] 因为，， 所以， 从而 ，，． 【变式】 已知角的终边在直线上，求的正弦、余弦、正切值． [解析] 在直线上任取点，则， 当时，，，， 当时，，，． 方法归纳 运用任意角的三角函数的定义来求三角函数值时，先要判断终边的可能位置，然后在终边上任意取一点，也可取一特殊点，求出该点到原点的距离，再由定义来进一步求解．若有参数，还要注意对参数进行分类讨论． 题型二：利用单位圆求解角的正弦、余弦、正切值 【例题2】 (1) 当时，求，，的值； (2) 当时，求，，的值． [解析] (1) 当时， 设的终边与单位圆的交点的坐标为（，）． 根据直角三角形中锐角的对边是斜边的一半，可知． 又由勾股定理得，解得， 所以点的坐标为． 因此，，． (2) 当时，设的终边与单位圆的交点为，根据点的坐标与(1)中点关于轴对称可知，点的坐标为． 因此，，． 方法归纳 由于，，的值与的终边上的点的位置无关，为了方便，可以选择终边上的特殊点来计算，，的值，例如选择的终边与单位圆的交点． 题型三：利用定义判定正弦、余弦、正切值的符号 【例题3】 确定下列正弦、余弦、正切值的符号： (1) ； (2) ； (3) ． [解析] (1) 因为是第二象限角，所以． (2) 因为，即是第三象限角，所以． (3) 因为，即是第四象限角，所以． 方法归纳 判断三角函数值在各象限符号的攻略： (1) 基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； (2) 关键：准确记忆三角函数值在各象限的符号； (3) 注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误． ▍课堂反馈 1. 已知角终边过点，则的值为（ ） A. B. C. D. [解析] 由三角函数的定义． [答案] B 2. 若，则点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 [解析] 因为，所以，，所以点位于第二象限． [答案] B 3. 函数的值可能为（ ） A. B. C. D. [解析] 当角的终边落在第一象限时，，，，得； 当角的终边落在第二象限时，，，，得； 当角的终边落在第三象限时，，，，得； 当角的终边落在第四象限时，，，，得． [答案] BD 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，若是角终边上的一点，且，求的值． [解析] 因为，所以， 解得，又因为角为第四象限角，所以． ▍课堂总结 【问题7】 通过本节课的学习和研究，你有哪些收获或启示？ [学生活动] 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结． 知识框图 1. 知识与技能层面： (1) 三角函数的概念； (2) 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号． 2. 思想与方法层面：运用了定义法、公式法、数形结合法解题．体现的数学思想、化归的思想及数形结合的思想． 学科网（北京）股份有限公司 $