【金版学案】2017版高考一轮总复习数学（理科）（课件+练习）：选修4－5　不等式选讲 （4份打包）

第二节　不等式的证明 【最新考纲】通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法． [来源:学*科*网] 1．基本不等式 定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b为正数，则，当且 仅当a＝b时，等号成立．≥ 定理3：如果a，b，c为正数，则，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．≥ 定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1，a2，…，an为n个正数，则，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．≥ 2．不等式证明的方法 (1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种． 名称 作差比较法 作商比较法 理论 依据 a>b⇔a－b>0[来源:学科网ZXXK] a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝0 b>0，>1⇒a>b b<0，>1⇒a<b (2)综合法与分析法 ①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． ②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论(　　) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论(　　) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．若a>b>1，x＝a＋，则x与y的大小关系是(　　)，y＝b＋ A．x>y　　　　　　　 B．x<y C．x≥y D．x≤y 解析：x－y＝a＋－ ＝a－b＋.＝ 由a>b>1得ab>1，a－b>0， 所以>0.即x－y>0，所以x>y. 答案：A 3．已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为________． 解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b. 答案：M≥N 4．已知a>0，b>0且ln(a＋b)＝0，则的最小值是________．＋ 解析：由题意得，a＋b＝1，a>0，b>0， ∴＋(a＋b)＝2＋＝＋ ≥2＋2 ＝4， 当且仅当a＝b＝时等号成立． 答案：4 一点注意 使用平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 三种方法 1．比较法：作差比较法主要判断差值与0的大小，作商比较法在于判定商值与1的大小(一般要求分母大于0)．[来源:Z&xx&k.Com] 2．分析法：B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)． (步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)． 3．综合法：A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)． (逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)． 1．(2014·江苏卷)已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 证明：因为x>0，y>0， 所以1＋x＋y2≥3 >0， >0，1＋x2＋y≥3 故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 ＝9xy.·3 3．(2016·长春模拟)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2； (2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc. 证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2. 因为a，b都是正数，所以a＋b>0. 又因为a≠b，所以(a－b)2>0. 于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 所以a3＋b3>a2b＋ab2. (2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.① 同理b2(a2＋c2)≥2ab2c.② c2(a2＋b2)≥2abc2.③ ①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2， 从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．[来源:Zxxk.Com] 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0， 因此≥abc. 4．(2014·课标全国Ⅰ卷)若a>0，b>0，且. ＝＋ (1)求a3＋b3的最小值； (2)是否存在