【金版学案】2017版高考一轮总复习数学（理科）（课件+练习）：选修4－1　几何证明选讲 （4份打包）

选修4－1　几何证明选讲 第二节　直线与圆的位置关系 (2014·课标全国Ⅰ卷)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB＝CE. (1)证明：∠D＝∠E； (2)设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB＝MC，证明：△ADE为等边三角形． 证明：(1)由题设知A，B，C，D四点共圆，所以∠D＝∠CBE. 由已知CB＝CE， ∴∠CBE＝∠E，故∠D＝∠E. (2)设BC的中点为N，连接MN，则由MB＝MC知MN⊥BC，故O在直线MN上． 又AD不是⊙O的直径，M为AD的中点， 故OM⊥AD，即MN⊥AD. 所以AD∥BC，故∠A＝∠CBE. 又∠CBE＝∠E，故∠A＝∠E. 由(1)知，∠D＝∠E，所以△ADE为等边三角形． 1．第(1)题利用圆内接四边形的性质，完成角之间的等量转化；第(2)问利用垂径定理，判定出AD∥BC，这是解题的关键． 2．判断四点共圆的步骤： (1)观察几何图形， 找到一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四边形的一对对角的和是否为180°或判断四边形一外角与其内对角是否相等；(3)下结论． (2015·湖南卷)如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明： (1)∠MEN＋∠NOM＝180°； (2)FE·FN＝FM·FO. 证明：(1)如图所示，因为点M，N分别是弦AB，CD的中点． 所以OM⊥AB，ON⊥CD. 则∠OME＝90°，∠ENO＝90° 因此∠OME＋∠ONE＝180°. 又四边形的内角和等于360°， 故∠MEN＋∠NOM＝180° (2)由(1)知，点O、M、E、N四点共圆． 由割线定理，得FE·FN＝FM·FO. 　 (2015·课标全国Ⅰ卷)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E. (1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线； (2)若OA＝CE，求∠ACB的大小． 解：(1)证明：连接AE，由已知得， AE⊥BC，AC⊥AB. 在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC， 故∠DEC＝∠DCE. 连接OE，则∠OBE＝∠OEB. 又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°， 故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线． (2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝2， BE＝. 由射影定理可得，AE2＝CE·BE， 所以x2＝，则x4＝12－x2 ∴x2＝3，x＝， 因此AE＝OA＝OE，所以∠ACB＝60°. 1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小． 2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦的(弧)两端作圆周角或弦切角． (2015·陕西卷)如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C. (1)证明：∠CBD＝∠DBA； (2)若AD＝3DC，BC＝，求⊙O的直径． (1)证明：因为DE为⊙O直径， 则∠BED＋∠EDB＝90°， 又BC⊥DE，所以∠CBD＋∠EDB＝90°， 从而∠CBD＝∠BED. 又AB切⊙O于点B，得∠DBA＝∠BED， 所以∠CBD＝∠DBA. (2)解　由(1)知BD平分∠CBA. 则＝＝3，又BC＝，从而AB＝3， 所以AC＝＝4，所以AD＝3， 由切割线定理得AB2＝AD·AE，即AE＝＝6， 故DE＝AE－AD＝3，即⊙O直径为3. 　 (2014·课标全国Ⅱ卷)如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 证明：(1)连接AB，AC，由题设知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. 因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAE. 从而＝.因此BE＝EC. (2)由切割线定理得PA2＝PB·PC. 因为PA＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. 解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 1．直接应用相交弦、切割线定理及其推论； 2．当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握。 如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，＝，DE交AB于点F. (1)证明：DF·EF＝OF·FP. (2)当AB＝2BP时，证明：O