2024-2025学年高一下学期数学湘教版必修第二册综合测试卷

湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数的虚部为（   ） A． B．8 C． D． 2．在边长为1的正方形中，若，，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 3．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 4．已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 5．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 6．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在正三棱柱中，，.则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．给出下列四个命题错误的是（   ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 10．如图，在正方体中，是上底面内一动点，则（   ） A．的面积为定值 B．三棱锥的体积为定值 C．满足的点有且只有一个 D．的取值范围为 11．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（   ） A．若不存在，则a的取值范围为 B．若存在唯一三角形ABC，则a的取值范围为 C．若存在两个符合条件的，则a的取值范围为 D．若为锐角三角形，则a的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且，则的值为 ． 13．已知是事件的对立事件，，，，则 ． 14．在三角形ABC中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 16．（15分）在三角形ABC中，角所对的边分别为.已知. (1)求边的大小； (2)求的值. 17．（15分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)根据频率分布直方图估计中位数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 18．（17分）在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且．设是底面圆周上的动点．    (1)求圆柱的表面积； (2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 19．（17分）在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $null湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1.已知复数z=7-9i 的虚部为() 1+i A.-8i B.8 C.-8 D.8i 【答案】C 【分析】根据复数除法运算化简复数得z=-1-8,然后根据虚部概念求解即可 【详解12=7-91-7-900-D-2,16-1-8,所以其虚部为-8 1+i(1+i)1-i)2 故选：C 2.在边长为1的正方形ABCD中，若AB=a,BC=b,AC=c,则a-万+c=() A.0 B.1 C.2 D.2√2 【答案】C 【分析】由平面向量的加减运算及模运算求解， 【详解】a-b+d=AB-Bc+ACAB+AC+CBB+AB卡2B卡2. 故选：C 3.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5b,BC=-2a+85,CD=3a-36,则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即 可求解 【详解】对于A,因为AB=a+5b,BC=-2a+85,则AC=AB+BC=-a+135, 若AB=AC,则a+5b=(-a+13b),又a,b为不共线的非零向量， 则1s-a 5=132'无解，则AB,4C不共线，所以4B,C三点不共线，故A错误， 对于B,因为AB=a+5b,BC=-2a+85,CD=3ā-36，则BD=BC+CD=a+b, 所以AB=BD,则A,B,D三点共线，故B正确， 对于C,BC=-2a+85,CD=3a-36,若BC=CD,则-2a+85=3a-3b, 又ā，b为不共线的非零向量，所以。 食2无解，所以CCD不供线，则8，C,0三点不共线，所以c错 误， 对于D,由选项A知AC=-a+135,又CD=3a-3b,若AC=tCD,则-a+136=t(3a-35), 又ā，五为不共线的非零向量，所以 13=3'无解，所以AC,cD不共线，则4，C,D三点不共线，所以D错 -1=3t 误， 故选：B 4.已知直角△ABC中，∠C=90°，BC=2,D为边AB的中点，P是边AC上的动点，则PD+2PB的最 小值为() A.5 B.4 C.3 D.3√2 【答案】A 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，再根据向量的模长公式求解最小值即可 【详解】因为∠C=90°，所以以C为原点， CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， B C A 则B(0,2),设A(a,0)(a>0),P(x,0)0≤x≤a), 则2号D,得到而+丽-（合x+2(-x2)-号3x列 所历+7丽-3八+25当很当号3=0：即x名时（30 所以PD+2P 径)+25s=5 故选：A 5.己知VABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=1,A=135°，则 b+c sin B+sinC 的值为(). A.2 B. c.2 D.2W2 4 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得 【详解】由正弦定理可得b a 导sin B sin C sin A sinl35。V2, 则b=V反sin8、c=V2sinC,则 b+c √2sinB+v2sinC-√2 sin B+sinC sin B+sin C 故选：C 6.已知c0s+ 则cos2a+5 的值为() 3 20V6 1 A. D. 20W6 B. 49 49 49 49 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式，把条件中的两个角合并成一个角，然后找到待求的式子中的角与条件中的角的 关系，再利用三角恒等变换联系起来，即得答案」 【详解】由cosa+3 ,元， sina+sina= 1 2 2 sina+ eosa > 所以 omus dom 2√620W6 7 49 故选：D 7.如图，在正三棱柱ABC-AB,C中，AB=1,A4=√2.则直线AC与平面ABBA所成角的大小为() B C A.90° B.60° C.45° D.30 【答案】D 【分析】取AB的中点D,连接CD、AD,即可证明CD⊥平面ABB,A,从而得到∠CAD为直线AC,与 平面ABBA所成角，再由锐角三角函数计算可得 【详解】取AB,的中点D,连接CD、AD,如图 B D 人C 因为三棱柱ABC-AB,C1是正三棱柱，所以△A,B,C1为等边三角形，所以CD⊥AB, 又AA⊥平面AB,C,C,DC平面ABC1,所以CD⊥AA, 又AB,⌒AA=A,AB,AAC平面ABBA,所以CD⊥平面ABB,A 所以∠CAD为直线AC与平面ABB,A所成角 因为CD⊥平面ABB,A,ADc平面ABB,A,所以CD⊥AD, 所以sin∠CAD= CD 1 AC=2,所以∠CAD=30°， 即直线AC1与平面ABBA所成角的大小为30°. 故选：D 8.连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第 二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则() A.P(A)= B.A与C相互独立C.A与C对立 D.B与C互斥 36 【答案】B 【分析】先罗列所有可能结果，由古典概型依次计算P(A)、P(C)、P(AC),结合独立事件定义、对立和 互斥事件定义即可逐项判断各选项」 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(61),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个不同结果， 对于A,事件A为第一次的点数是2，包含6种情况，则P④=6？A错灵 对于B,事件C为两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则P(C)= 2 事件AC,即(2,2)，(2,4)，(2,6)包含3个结果，则P4C)= 12 则有P(AC)=P(A)P(C),事件A、C相互独立，B正确 对于C,事件A、C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误： 对于D,事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误： 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，有选错的得0分. 9.给出下列四个命题错误的是() A.设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 100 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 50 【答案】ABC 【分析】根据频率和概率的区别与联系，逐一分析选项即可。 【详解】对A,次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，故A错误： 对B, 51是频率不是概率，B错误： 1001 对C,当试验次数逐渐增加时，随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率，但频率不一定等于概率，C错误； 对D,随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数，D正确. 故选：ABC 10.如图，在正方体ABCD-ABCD中，P是上底面AB,CD内一动点，则() D P. A D B A.△PCD的面积为定值 B.三棱锥P-ABC的体积为定值 C.满足PA⊥PC的点P有且只有一个D.tan∠APC的取值范围为[V2,2W2 【答案】BD 【分析】根据三角形的面积、锥体体积公式、线线垂直、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】点P到CD的距离不确定，但CD的长是定值，所以△PCD的面积不是定值，A错误。 点P到底面ABCD的距离等于棱长，是定值，VABC的面积是定值， 所以三棱锥P-ABC的体积是定值，B正确。 D 满足PA⊥PC的点P的轨迹是以AC为直径的球面， P A 设正方体的边长为2，则AC=2√2，以AC为直径的球的半径为√2<2， 所以这个球面与上底面AB,CD没有公共点，C错误. 当点P与点A重合时，tan∠APC=√2， 当点P与点D重合时，tan∠APC=5, 当点P为正方形AB,CD的中心时，设AC∩BD=Q,，AC⌒BD=P, 连接PQ,由于PA=PC,Q是AC的中点，所以PQ平分∠APC, 2tan <APC 2xv3 tan APC-4-Y5,则tan∠APC=, 2 2 22b 2-P2 -tan2∠APc 21- 2 根据正方体的对称性，可知tn∠APC的取值范围为[√2,2√2]，D正确 故选：BD 11.在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=元，ccosA+acosC=b,则下列说法 4 4 正确的是() A.若VABC不存在，则a的取值范围为(0,2√2) B.若存在唯一三角形ABC,则a的取值范围为[4，+∞) C.若存在两个符合条件的VABC,则a的取值范围为(2√2,4) D.若VABC为锐角三角形，则a的取值范围为(4,4W2) 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出b,再利用正弦定理逐项分析判断 【详解】在VABC中，由ccosA+acosC=b及正弦定理， 得}bsin B=sinC cosA+-sin AcosC=sin(A+C)=simB,而sinB>0,则b=4, 4 由正弦定理得sinB= bsinA 22 a a 对于A,由VABC不存在，得25>1，解得0<a<22,A正确： a 对于B,当a=25时，mB=-1,B-分VABC唯-，B误： 对于C,存在两个符合条件的三角形ABC,则2W5<1且b>a,解得2√5<a<4,C正确： 对于D,当4<a<45时，a>6,则B<A-年C-B>于，VBC为能角三角形，D错误 4 2 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知aeQ,且ma写》5cou}则a2a司 的值为 3 12 【答案】-3v2 50 【分们】胆，来特m口引号5号倍可小得oa引手进水网 ma+-cm2+由m}2a+ , 利用两角差的余弦公式即 可求解 【详解】因为m。-司引+5coa-号所以o写moa5cu号 所以ne+9ca=号所以-》因为a=:所以a+背〔 又a+号点则u-任小所a引a+胃 3-5 元 所ysin2a+，=2sia+3cosa+ 3 +31 3 0-1= 3 251 24√2_31W2 25 2 25×2 50 故答案为： 31w2 50 13.己知B是事件B的对立事件，P(A=0.3,P(B)=0.4,P(AUB)=0.5,则P(AB)= 【答案】0.1 【分析】根据概率的性质P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)得出以P(AB)=0.2,再结合 P(AB)+P(AB)=P(A)计算求解 【详解】因为P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.4-P(AB)=0.5,所以P(AB)=0.2. 又P(AB)+P(AB)=P(A),所以P(AB)=0.3-0.2=0.1. 故答案为：0.1 14.在三角形ABC中，CA=CB=√，AB=4,点M为VABC所在平面内一点且AM.BC=0,则M.CM 的最小值为 【路】号-08 【分析】以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，写出各个点 坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题 【详解】在VABC中，由余弦定理cosC=4C+BC-AB-5+5-16.3 2ACxCB 2xV5x√5=5故C为钝角： 又AM.BC=0,故M点在VABC底边BC的高线上， 则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示： B 又cos∠4C0:-coc-},则sm4c0-号 故01=4cxm4C0-5号5，oc-Aces∠4C0-535 5 5 故AM.CM=m 当且仅当m= 25时取得等号： 4 也即AM.CM的最小值为- 4 故答案为：一 四、解答题：本题共5小题，共7分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)已知平面向量a,6,|a卡2，|b1=√3，且b.(a-b)=0. (1)求a与6的夹角日的值： (2)当b-取得最小值时，求实数1的值并求此时的最小值. 【答案】()日= (2②)最小值为 ,此时2=3 6 【分析】(1)根据题设条件得到.五=3，然后利用数量积的定义求夹角： (2)根据平面向量的运算律可得b-ā )+?,然后结合二次函数求解即可 44 【详解】1)由6-a-列=0,1i5,可得a-6=万-3，又1a非2，所以cos日=a-6 35 a-b12x52 又0≤0≤，所以0=若 (2)因为a.b=b2=3,|a=2, 所以16-ā62+(2m2-2a.万=42-61+3= 景店 所以6-a的最小值为 ,此时元=4 2 16.(15分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=2sinB,sinA=2sinC,cosB= 3 4 (1)求边c的大小： (2求cos2B-的值 6 【答案】(1)c=1: (23+3V7 16 【分析】(1)利用正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，逐步推导边℃的大小 (2)先由cosB求出sinB,再利用二倍角公式求cos2B和sin2B,最后利用两角差的余弦公式计算 【详解】(1)由己知bsin A=2sinB及 a b sinA sinB' 即asin B=bsinA, 所以ab=2b,则a=2, 又a sinA sinc'sin 4=2sinc, 所以c=asinc_=asinC_2 2sin C2 1,故c的大小为1 sin A (2)在VABC中，snB=h-coB=164 9√7 sin 28-2sin BcosB2x 448 cos 2B=cos2B-sin2B= 971 16168 2}。 29co2+咖28sg月5,3V上53y5 68282-16 故cos2B- 6 的值为+3V万 16 17.(15分)近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾 三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷， 500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组： 「20,30)，[30,40)，…[80,901，并整理得到如下频率分布直方图： A频率 组距 0.04------ 0.02 0.01 02030405060708090分数 (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率： (2)根据频率分布直方图估计中位数： (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的 环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5 名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率 【答案】(1)0.8 (2)72.5 } 【分析】(1)根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为(0.02+0.04+0.02)×10=0.8 (2)根据(70,80]，[80,90]上的频率可求中位数 (3)利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率 【详解】(1)根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为 (0.02+0.04+0.02)×10=0.8, 所以样本中分数高于60的概率为0.8. 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.8. (2)由频率分布直方图可得：「70,80)上的频率为0.04×10=0.4， 而[80,90]上的频率为0.02×10=0.2，故此两组的频率和为0.6， 设中位数为x,则x∈(70,80)且(80-x)×0.04+0.2=0.5, 故x=72.5即中位数为72.5 (3)设3名男生分别为4，a42,4,2名女生分别为b,b,则从这5名同学中选取2人的结果为： 湘教版高中数学必修第二册综合测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数的虚部为（   ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数除法运算化简复数得，然后根据虚部概念求解即可. 【详解】，所以其虚部为. 故选：C 2．在边长为1的正方形中，若，，，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】由平面向量的加减运算及模运算求解． 【详解】． 故选：C 3．已知为不共线的非零向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】将点共线转化成向量共线，结合条件，利用两向量共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，，则， 若，则，又为不共线的非零向量， 则，无解，则不共线，所以三点不共线，故A错误， 对于B，因为，，，则， 所以，则三点共线，故B正确， 对于C，，，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以C错误， 对于D，由选项A知，又，若，则， 又为不共线的非零向量，所以，无解，所以不共线，则三点不共线，所以D错误， 故选：B. 4．已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，再根据向量的模长公式求解最小值即可. 【详解】因为，所以以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    则，设，， 则，得到， 所以，当且仅当，即时，， 所以. 故选：. 5．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助正弦定理计算即可得. 【详解】由正弦定理可得， 则、，则. 故选：C. 6．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式，把条件中的两个角合并成一个角，然后找到待求的式子中的角与条件中的角的关系，再利用三角恒等变换联系起来，即得答案. 【详解】由， ，又，所以，， 所以. 故选：D. 7．如图，在正三棱柱中，，.则直线与平面所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，连接、，即可证明平面，从而得到为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、，如图： 因为三棱柱是正三棱柱，所以为等边三角形，所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 所以为直线与平面所成角. 又，， 因为平面，平面，所以， 所以，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 故选：D 8．连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，设事件A为“第一次的点数是2”，事件B为“第二次的点数小于4”，事件C为“两次的点数之和为偶数”，则（    ） A． B．A与C相互独立 C．A与C对立 D．B与C互斥 【答案】B 【分析】先罗列所有可能结果，由古典概型依次计算、、，结合独立事件定义、对立和互斥事件定义即可逐项判断各选项. 【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数， 有，， ，， ，，共36个不同结果， 对于A，事件A为“第一次的点数是2”，包含6种情况，则，A错误； 对于B，事件C为“两次的点数之和为偶数”，包含18个结果，则， 事件AC，即包含3个结果，则， 则有，事件A、C相互独立，B正确. 对于C，事件A、C可以同时发生，故不互斥，于是更不对立，C错误； 对于D，事件C、B可以同时发生，不互斥，D错误； 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分. 9．给出下列四个命题错误的是（   ） A．设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品 B．做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是 C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是 【答案】ABC 【分析】根据频率和概率的区别与联系，逐一分析选项即可. 【详解】对A，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的，故A错误； 对B，是频率不是概率，B错误； 对C，当试验次数逐渐增加时，随机事件发生的频率会逐渐趋近于概率，但频率不一定等于概率，C错误； 对D，随机事件发生的频率等于发生的频数除以试验次数，D正确. 故选：ABC 10．如图，在正方体中，是上底面内一动点，则（   ） A．的面积为定值 B．三棱锥的体积为定值 C．满足的点有且只有一个 D．的取值范围为 【答案】BD 【分析】根据三角形的面积、锥体体积公式、线线垂直、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】点P到CD的距离不确定，但CD的长是定值，所以的面积不是定值，A错误. 点P到底面的距离等于棱长，是定值，的面积是定值， 所以三棱锥的体积是定值，B正确. 满足的点P的轨迹是以AC为直径的球面， 设正方体的边长为，则，以为直径的球的半径为， 所以这个球面与上底面没有公共点，C错误. 当点P与点重合时，， 当点P与点重合时，， 当点P为正方形的中心时，设，， 连接，由于，是的中点，所以平分， ，则， 根据正方体的对称性，可知的取值范围为，D正确. 故选：BD 11．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则下列说法正确的是（   ） A．若不存在，则a的取值范围为 B．若存在唯一三角形ABC，则a的取值范围为 C．若存在两个符合条件的，则a的取值范围为 D．若为锐角三角形，则a的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦求出，再利用正弦定理逐项分析判断. 【详解】在中，由及正弦定理， 得，而，则， 由正弦定理得， 对于A，由不存在，得，解得，A正确； 对于B，当时，，，唯一，B错误； 对于C，存在两个符合条件的三角形ABC，则且，解得，C正确； 对于D，当时，，则，，为钝角三角形，D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】由已知，求得，得，可得，进而求得，，由，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以，因为，所以， 又，则，所以， 所以，， 所以 . 故答案为：. 13．已知是事件的对立事件，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据概率的性质得出以，再结合计算求解. 【详解】因为，所以． 又，所以． 故答案为：. 14．在三角形ABC中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 4、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知平面向量，，，，且． (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值并求此时的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为，此时 【分析】（1）根据题设条件得到，然后利用数量积的定义求夹角； （2）根据平面向量的运算律可得，然后结合二次函数求解即可 . 【详解】（1）由，，可得，又，所以， 又，所以. （2）因为，， 所以， 所以的最小值为，此时． 16．（15分）在三角形ABC中，角所对的边分别为.已知. (1)求边的大小； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，逐步推导边的大小. （2）先由求出，再利用二倍角公式求和，最后利用两角差的余弦公式计算. 【详解】（1）由已知及，即， 所以，则， 又，， 所以，故的大小为. （2）在中，， ， ， ， 故的值为. 17．（15分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，可回收垃圾和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，某中学设计了一份调查问卷，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率； (2)根据频率分布直方图估计中位数； (3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，已知样本中分数小于40的5名学生中，男生3人，女生2人，求抽取的2人中男女同学各1人的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为. （2）根据上的频率可求中位数. （3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为 ， 所以样本中分数高于的概率为． 故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于的概率估计为． （2）由频率分布直方图可得：上的频率为， 而上的频率为，故此两组的频率和为， 设中位数为，则且， 故即中位数为. （3）设3名男生分别为，2名女生分别为，则从这5名同学中选取2人的结果为： 共10种情况. 其中2人中男女同学各1人包含结果为： ，共6种. 设事件抽取的2人中男女同学各1人，则 所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是. 18．（17分）在如图所示的圆柱中，是底面直径，是圆柱的母线，且．设是底面圆周上的动点．    (1)求圆柱的表面积； (2)当二面角的大小为时，求点到平面的距离． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用圆柱的表面积公式可求得结果； （2）分析可知，二面角的平面角为，求出的长，再利用等体积法求解即可. 【详解】（1）由题意可知，圆柱的底面半径为1，高为2， 则该圆柱的表面积为． （2）因为平面平面，则， 因为是底面直径，是底面圆周上的动点， 由题意可知，与、不重合， 所以，，因为，、平面， 所以，平面，因为平面，则， 所以二面角的平面角为，即， 因为平面，平面，则， 所以，，则， 由，设点到平面的距离为， 则，解得． 因此，点到平面的距离为． 19．（17分）在平行四边形中，，，分别是线段的中点，且 (1)求； (2)若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）法一：根据已知得、，结合已知向量的线性关系，即可得；法二：连接，通过已知条件构建合适的直角坐标系，标注相关点坐标并确定相关向量的坐标，由向量线性关系的坐标运算列方程求参数值，即可得； （2）法一：设，根据已知得、，再应用向量数量积的运算律及定义得到关于的表达式，即可求最值；法二：设，应用坐标法表示出相关向量，再由向量数量积的坐标运算得到关于的表达式，即可求最值. 【详解】（1）法一：因为四边形是平行四边形，是线段的中点， 所以， 因为是线段的中点， 所以， 又，所以，则； 法二：连接，由， 所以，所以， 如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系， 在平行四边形中，， 所以， 因为分别是线段的中点，所以， 所以，又， 所以，即，解得； （2）法一：因为为线段上的动点，设， 所以， ， 在平行四边形中，， 所以， ， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为； 法二：因为为线段上的动点，可设，则， 所以，即， 又，所以， 所以， 令，则， 当时，取到最小值，即的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $