【金版学案】2017版高考一轮总复习数学（理科）（课件+练习）：第七章　立体几何 （16份打包）

第六节　空间向量及其运算 【最新考纲】　1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直． 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．两个向量的数量积 (1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　) (2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　) (4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设相等的向量是(　　)＝c，则下列向量中与＝b，＝a， A．－b＋ca＋ B.b＋ca＋ C．－b－ca－ D．－b＋ca－ 解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则， ＋＝＋＝ ＝b.a－)＝－c－＋(＋ 答案：C 3．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　　) A．－2　　　B．－　　　D．2 　　　C. 解析：由题意a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0， 又a2＝14，a·b＝7，∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案：D 4．(2014·广东卷)已知向量a＝(1，0，－1)，则下面向量中与向量a成60°夹角的是(　　) A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) C．(0，－1，1) D．(－1，0，1) 解析：对于选项B，设b＝(1，－1，0)． a·b＝(1，0，－1)·(1，－1，0)＝1，且|a|＝|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝，[来源:学*科*网]＝＝ ∴向量a与向量(1，－1，0)的夹角为60°. 答案：B 5．有下列命题： ①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面； ②点O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；，， ③已知向量a，b，c是空间的一个基底，则向量a＋b，a－b，c也是空间的一个基底． ④若P，M，A，B共面，则. ＋y＝x 则其中正确的命题序号是________．[来源:学科网] 解析：显然①②正确． 对于③若a＋b，a－b，c不是空间的一个基底，则c＝x(a＋b)＋y(a－b)＝a(x＋y)＋b(x－y) ∴c与a，b共面，与向量a，b，c是空间的一个基底矛盾，因此③正确． ④中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则不正确．＋y＝x 答案：①②③ 一种意识——基底意识 用向量解决立体几何问题应树立“基底”意识． 两种方法——基向量法和坐标法 用向量解决立体几何问题时，可用基向量的运算求解，适于建系的可用坐标运算求解． 三个注意点——利用向量解决立体几何问题应注意的问题 1．注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误； 2．注意向量夹角与两直线夹角的区别； 3．注意向量共线与两直线平行与重合的区别． 一、选择题 1．在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直　　　　　　　B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 解析：由题意得，＝(1，1，－1)， ＝(－3，－3，3)， ∴共线， 与，∴＝－3 又没有公共点．∴AB∥CD.与 答案：B 2．空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么(　　) A.·<· B.·＝· C.·>·