【金版学案】2017版高考一轮总复习数学（理科）（课件+练习）：第五章　数　列 （8份打包）

第三节　等比数列 【最新考纲】　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．定义的符号表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)． (2)等比中项：如果ɑ、G、b成等比数列，那么G叫做ɑ与b的等比中项．那么，即G2＝ɑb．＝ 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：ɑn＝ɑ1qn－1． (2)前n项和公式： Sn＝.[来源:学科网ZXXK] 3．等比数列的性质 (1)对任意的正整数m、n、p、q，若m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm·ɑn＝ɑp·ɑq＝ɑ. (2)通项公式的推广：ɑn＝ɑmqn－m(m，n∈N*)． (3)公比不为－1的等比数列{ɑn}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn；当公比为－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定构成等比数列． (4)若数列{ɑn}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λɑn}，(λ≠0)仍是等比数列．}，{ɑn·bn}，，{ɑ 1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足ɑn＋1＝qɑn(n∈N*，q为常数)的数列{ɑn}为等比数列．(　　) (2)G为ɑ，b的等比中项⇔G2＝ɑb.(　　) (3)如果{ɑn}为等比数列，bn＝ɑ2n－1＋ɑ2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)数列{ɑn}的通项公式是ɑn＝ɑn，则其前n项和为Sn＝.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．对任意等比数列{ɑn}，下列说法一定正确的是(　　) A．ɑ1，ɑ3，ɑ9成等比数列　　B．ɑ2，ɑ3，ɑ6成等比数列 C．ɑ2，ɑ4，ɑ8成等比数列 D．ɑ3，ɑ6，ɑ9成等比数列 解析：根据等比数列的性质，若m＋n＝2k(m，n，k∈N＋)，则ɑm，ɑk，ɑn成等比数列． 答案：D 3．已知等比数列{ɑn}中，ɑ2＋ɑ3＝1，ɑ4＋ɑ5＝2，则ɑ6＋ɑ7等于(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析：因为ɑ2＋ɑ3，ɑ4＋ɑ5，ɑ6＋ɑ7成等比数列，ɑ2＋ɑ3＝1，ɑ4＋ɑ5＝2， 所以(ɑ4＋ɑ5)2＝(ɑ2＋ɑ3)(ɑ6＋ɑ7)，解得ɑ6＋ɑ7＝4. 答案：C 4．(2015·广东卷)若三个正数ɑ，b，c成等比数列，其中ɑ＝5＋2，则b＝________．，c＝5－2 解析：∵ɑ，b，c成等比数列， ∴b2＝ɑ·c＝(5＋2)＝1.)(5－2 又b＞0，∴b＝1. 答案：1 5．(2015·课标全国Ⅰ卷)在数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑn＋1＝2ɑn，Sn为{ɑn}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________． 解析：∵ɑ1＝2，ɑn＋1＝2ɑn， ∴数列{ɑn}是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6. 答案：6 一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和公式．[来源:学,科,网] 两个防范 1．由ɑn＋1＝qɑn(q≠0)，并不能断言{ɑn}为等比数列，还要验证ɑ1≠0. 2．应用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情况致误． 三种方法 等比数列的三种判定方法 1．定义：＝q(q是不为零的常数，n∈N*)⇔{ɑn}是等比数列． 2．通项公式：ɑn＝cqn－1(c、q均是不为零的常数，n∈N*)⇔{ɑn}是等比数列．[来源:学_科_网Z_X_X_K] 3．等比中项法：ɑ＝ɑn·ɑn＋2(ɑn·ɑn＋1·ɑn＋2≠0，n∈N*)⇔{ɑn}是等比数列． 一、选择题 1．(经典再现)设首项为1，公比为的等比数列{ɑn}的前n项和为Sn，则(　　) A．Sn＝2ɑn－1　　　　　B．Sn＝3ɑn－2 C．Sn＝4－3ɑn D．Sn＝3－2ɑn 解析：在等比数列{ɑn}中， Sn＝＝3－2ɑn.＝ 答案：D 2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{ɑn}满足ɑ1＝3，ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝21，则ɑ3＋ɑ5＋ɑ7＝(　　) A．21　　　　B．42　　　　C．63　　　　D．84 解析：∵ɑ1＝3，ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21. ∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)． ∴ɑ3＋ɑ5＋ɑ7＝q2(ɑ1＋ɑ3＋ɑ5)＝2×21＝42.故选B. 答案：B 3．已知等比数列{ɑn}的公比为正数，且ɑ3ɑ9＝2ɑ，ɑ2＝2，则ɑ1＝(