【金版学案】2017版高考一轮总复习数学（理科）（课件+练习）：第三章　三角函数、解三角形 （14份打包）

第三章　三角函数、解三角形 第七节　正弦定理、余弦定理的应用举例 * 　 (2014·四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于(　　) A．240(－1)m　　　　　　B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 解析：如下图，作AD⊥BC，垂足为D. 由题意，得DC＝60×tan 60°＝60(m)， DB＝60×tan 15°＝60×tan(45°－30°) ＝60×＝60×＝(120－60)(m)． 所以BC＝DC－DB＝60－(120－60)＝120－120＝120(－1)(m)． 答案：C 应用解三角形知识解决实际问题需要下列三步： 1．根据题意，画出示意图，并标出条件； 2．将所求问题归结到一个或几个三角形中(如本例借助方位角构建三角形)，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； 3．检验解出的结果是否符合实际意义，得出正确答案． 　(2016·广东佛山一模)如下图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到：CD＝2，CE＝2，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________．(cos 48.19°取) 解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝2，在△BCE中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝3，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10， ∴AB＝，即A、B两点之间的距离为. 答案： (2014·课标全国Ⅰ卷)如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 命题立意：本题考查三角形中的测量问题及正弦定理的应用，同时考查识图能力、运用正弦定理求解的运算能力． 解析：根据图示，AC＝100 m. 在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. 由正弦定理得＝⇒AM＝100 m. 在△AMN中，＝sin 60°， ∴MN＝100×＝150(m)． 答案：150 【真题探源】　真题与《人教A版·必修5》第14页例5，都是求山的高度且难度相同，只是变换了题目背景，变更了数据，这是高考命题经常采用的方法，如2015年湖北卷第13题就是由课本例5变更数据而成． 《人教A版·必修5》P14例5. 如下图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5 km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD(精确到1 m)． 　如下图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一基线AB，AB＝20 m，在点A处测得点P的仰角∠OAP＝30°，在点B处测得点P的仰角为∠OBP＝45°，又测得∠AOB＝60°，求旗杆的高度h.(精确到0.1 m) 解：在Rt△POA中，∠OAP＝30°，PO＝h. ∴tan 30°＝，则OA＝h. 在Rt△POB中，OB＝OP＝h. 在△AOB中，AB＝20，∠AOB＝60°， 由余弦定理，AB2＝OB2＋OA2－2·OA·OBcos 60°， ∴400＝3h2＋h2－2h2×＝h2(4－)． ∴h2＝＝(4＋)，则h≈13.3(m)． 因此旗杆的高度约为13.3 m. 　 在海岸A处，发现北偏东45°方向、距离A处(－1)海里的B处有一艘走私船；在A处北偏西75°方向、距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多长时间？ 　解：设缉私船t小时后在D处追上走私船，则有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°. 利用余弦定理可得BC＝. 由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝×＝，∴∠ABC＝45°，因此BC与正北方向垂直． 于是∠CBD＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD＝＝＝， ∴∠BCD＝30°，又＝， 即＝，得t＝.所以当缉私船沿东偏北30°的方向能最快追上走私船，最少要花小时． 1．本题求解的关键是理解方位角、方向角的概念，分析题意，分清已知与所求，再根