专题12 线段上的动点探究问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题12 线段上的动点探究问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上含动点求线段长问题 类型二、线段上含动点求定值问题 类型三、线段上含动点求时间问题 类型四、线段上含动点的新定义型问题 压轴专练 类型一、线段上含动点求线段长问题 一、核心解题方法（分两点） 1.坐标法：设线段所在直线为数轴，定线段端点坐标，用字母（如t）表示动点坐标，根据“数轴上两点距离=坐标差绝对值”列关系式，代入条件求解。 2.分类讨论法：根据动点运动方向（向左/向右）、与定端点的位置关系（在线段上/延长线）分类，避免漏解，每类单独列等式计算。 二、关键解题技巧（分两点） 1.抓“不变量”与“变量”：固定线段长度、动点速度为不变量，用变量t表示运动时间，推导动点位置，建立长度与t的关联。 2.画动态示意图：分阶段画出动点不同位置的图形，标注已知与未知线段，直观梳理数量关系，减少思维混乱。 例1．（24-25七年级上·广西河池·期末）如图，已知线段，点C为线段上的一个动点，点D，E分别是和的中点． (1)求的长（用含a的式子来表示）； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段中点的意义，线段的和差计算，熟练运用相关的性质认真计算是解题的关键． （1）根据线段中点的意义得到，，再由线段和差得到，即，即可求解； （2）由（1）可知，而，则，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵点D是的中点 ∴， ∵点E是的中点， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解： 由（1）可知， 而， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，，C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当C为线段的中点时，求的长． (2)若E为线段的中点，当E时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25七年级上·陕西安康·期末）如图，，是数轴上的两点，对应的数分别是，，原点是线段上的一点．已知，且．为数轴上的一个动点，其对应的数为． (1)求点，对应的数，的值； (2)若，求点对应的数的值． 【答案】(1) (2)或7 【分析】本题考查了线段的和差、数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据线段的和差可得，，再根据数轴的性质即可得； （2）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在点的右侧时，先利用数轴的性质求出，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则结合数轴可知，． （2）解：①如图1，当点在线段上时， 则，， ∵， ∴， 解得； ②如图2，当点在点的右侧时， 则，， ∵， ∴， 解得， 综上，点对应的数的值为或7． 【变式1-3】如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 类型二、线段上含动点求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数建模法：设数轴定端点坐标，用含t（运动时间）的式子表示动点坐标，根据距离公式列线段长度表达式，化简后消去t，证明结果为常数。 2.中点性质法：若涉及中点，利用“中点坐标=两端点坐标和的一半”推导线段关系，结合线段和差，直接得出定值结论。 二、关键解题技巧（分两点） 1.聚焦“消参”核心：化简表达式时，重点消去变量t，若结果与t无关，即为定值，避免陷入复杂计算。 2.特殊值验证法：取动点不同时刻的位置（如t=0、t=1），计算目标线段长，初步判断定值，再严谨推导，提高效率。 例2．（24-25七年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，线段，动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，点为的中点，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示的长______． (2)当点在射线上运动时，出发多少秒后？ (3)当点在线段的延长线上运动时，点为的中点，有下列两个结论：①的长度不变；②的值不变．请判断哪个结论是正确的，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)当点在射线上运动时，出发秒后 (3)①结论正确，见解析 【分析】（1）先表示出，再根据点的位置分别表示出的长即可； （2）根据题意得，根据点的位置分两种情况讨论，分别列方程求解即可； （3）当点在线段的延长线上运动时，根据线段中点，得到，，再计算线段的和差即可． 【详解】（1）解：设点运动的时间为秒，则， 当点在线段上时，， 当点在的延长线上时，， 综上可知，的长为或． 故答案为：或； （2）解：，点为的中点， ， ①当点在线段上时，此时，， ， ， ； ②当点在的延长线上时，此时，， ，此方程无解； 即当点在射线上运动时，出发秒后； （3）解：当点在线段的延长线上运动时， ，， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， 的长度不变，①结论正确； ，， ， 的值是变的，②结论错误． 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知数轴上的点对应的数为，是数轴上的一点，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点对应的数是_____，点对应的数是_____用含的式子表示； (2)动点从点与点同时出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间点可以追上点？ (3)是的中点，是的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若有变化，请说明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出的长． 【答案】(1)， (2)运动5秒，点可以追上点 (3)点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为，图见解析 【分析】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、线段的中点等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质即可得点表示的数和点对应的数； （2）根据点运动距离减去点运动距离等于的长，建立方程，解方程即可得； （3）分两种情况：①当点在点之间运动时，则，②当点在点左侧运动时，则，先根据线段中点可得，再线段的和差求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：点表示的数是， 点对应的数是， 故答案为：，． （2）解：由题意得：， 解得， 答：运动5秒，点可以追上点． （3）解：线段的长度不发生变化，画图求解如下： ①如图，当点在点之间运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； ②如图，当点在点左侧运动时，则，    ∵是的中点，是的中点， ∴， ∴； 综上，点在运动过程中，线段的长度不发生变化，的长为． 【变式2-2】（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 类型三、线段上含动点求时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 距离等式法：设运动时间为t，用“速度×时间”表示动点移动距离，结合线段和差或中点关系，列关于t的一元一次方程求解。 2. 坐标方程法：建立数轴，用含t的式子表示动点坐标，根据“两点距离=坐标差绝对值”列方程，解方程得t的值。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 明确运动细节：标注动点速度、方向及线段初始长度，避免因方向混淆导致列错方程。 2. 分类讨论避漏解：根据动点相遇、在线段上/延长线等不同位置情况分类，每类列方程求解，验证结果合理性。 例3．（24-25七年级上·湖北·阶段练习）如图，点C是线段上的一点，线段，，点D为线段的中点． (1)直接写出线段和的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线向右运动，动点从点B出发，以每秒4个单位的速度沿直线向左运动，当点到达点时立即掉头沿直线向右运动，当点再次回到点B时，动点，同时停止运动．设运动时间为秒． ①当为何值时，点与点重合？ ②若点，分别为线段，的中点，，求的值． 【答案】(1)， (2)①4或；②2或10 【分析】本题考查了线段中点的定义、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据线段的和差以及线段中点的定义即可求解； （2）①由题意得，点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒，分2种情况讨论：当、时，分别表示出、的长，结合点与点重合，列出方程求出的值，即可解答；②分2种情况讨论：当、时，利用线段中点的定义表示出、的长，结合，列出方程求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵点D为线段的中点， ∴， ∴， ∴综上所述，，； （2）解：①点到达点所需时间为秒，点再次回到点B所需时间为秒， 依题意得，当时，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； 当时，，， 则， ∵点与点重合， ∴，即， 解得：； ∴当为4或时，点与点重合； ②当时，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：或（舍去）， ∴； 当，，， ∵点，分别为线段，的中点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：（舍去）或， ∴； ∴综上所述，时，的值为2或10． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知、、是数轴上三点，点表示的数为，，．动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点的运动时间为秒． (1)点表示的数是__________，点表示的数是__________； (2)若点为线段的中点，点为线段的中点，则线段的长度为__________； (3)①求当为何值时，． ②请直接写出当，相遇时的值为__________，此时，在数轴上表示的数为__________． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②， 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质以及线段和差的计算； （1）根据点所表示的数，以及、的长度，即可写出点、表示的数； （2）根据线段中点的性质得出，进而即可求解； （3）①根据题意表示出点表示的数为：，根据列方程即可得到答案； ②依题意，点表示的数为，根据当，相遇时，点表示的数相同，列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点表示的数为，，，点在点的左侧，点在店的右侧， ∴点表示的数是，点表示的数是； 故答案为：，． （2）解：∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴ ∴ （3）解：①点的运动时间为秒， 依题意，点表示的数为：， ∵ ∴， 解得：或； 故答案为：或． ②依题意，点表示的数为 当，相遇时 解得： 此时 故答案为：，． 【变式3-2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，为原点，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，且满足． (1)________，_________； (2)若点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为（秒）． ①当点运动到线段上，且时，求的值； ②先取的中点，当点在线段上时，再取的中点，试探究的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请用含的代数式表示． ③若点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止．当时，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②是，定值；③的值为或或或或 【分析】（1）根据非负数的性质即可求出、的值； （2）①先表示出运动秒后点对应的数为，再根据两点间的距离公式得出，，利用建立方程，求解即可； ②根据中点坐标公式分别表示出点、点表示的数，再计算即可； ③分三种情况：相遇前；相遇后；点返回到，；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ， 故答案为：；； （2）①由（1）知：点表示的数为，点表示的数为， ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动秒后点对应的数为， ∵点运动到线段上， ∴，， 当时，有， 解得：， ∴的值为； ②当点在线段上时， ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴的中点表示的数是，，， 又∵的中点表示的数是，+ ∴， ∴， 即的值是定值，定值为； ③∵点从点出发，同时，另一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动，到达点后立即原速返回向右匀速运动，点运动到点停止， ∴运动秒后，点对应的数为， 当时，点在线段上向左运动，点对应的数为， 当时，点在线段上向右运动，点对应的数为， 当相遇前时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向左运动时，， 解得：； 当相遇后且点在线段上向右运动时，， 解得：或（舍去）； 点返回到，， 当点在点的左边时，； 当点在点的右边时，； 综上所述，当时，的值为或或或或． 类型四、线段上含动点的新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义，将“自定义概念”（如“中点衍生概念”“距离新规则”）转化为线段和差、坐标关系等已知数学语言，建立解题桥梁。 2.方程建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动点位置，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.举例验证定义：取特殊值（如t=0）代入新定义，快速理解其本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：根据动点运动方向、与定线段的位置关系分类，结合新定义列方程，确保覆盖所有可能情况。 例4．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是 (2)①或或 ②或或 【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案； （2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、的值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：①， ，， 解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或， 答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【变式4-1】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图①，点M在线段上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“二倍点”． (1)一条线段的中点 这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若，点N是线段的二倍点，则 ；（用含a的代数式表示） (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速移动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移动，设移动的时间为，求当t为何值时，点Q恰好是线段的二倍点． 【答案】(1)是 (2)或或 (3)为或时，点恰好是线段的二倍点 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. （1）利用中点及“二倍点”的定义，即可得出一条线段的中点是这条线段的“二倍点”； （2）设，则，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，可求出点到达点及点与点相遇所需时间，当时，表示，，的长，根据点是线段的二倍点，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论. 【详解】（1）解：根据题意得：一条线段的中点是这条线段的“二倍点”， 故答案为：是； （2）解：设，则， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或； （3）解：(秒)，(秒)， 当时，，，， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 答：当为或时，点恰好是线段的二倍点． 【变式4-2】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作， 【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ． 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时． 问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】 问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 【答案】（1）3（2）①②（3）当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，线段中的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论的数学思想． （1）根据新定义，确定线段的长度，然后求点表示的数即可； （2）①利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； ②利用线段的中点性质和线段的和差表示数量关系即可； （3）采用分类讨论的思想，根据动点的运动轨迹，结合新定义下的线段长度关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）， 根据题意得，， ∴表示的数是； （2）①点C在线段上时， 如图所示， ∵线段，的中点分别为点M，N， ∴， 又， ∴； ②点C在线段的延长线上时，当时，， 如图所示，此时，点是线段的中点，即点与点重合， ∵点为线段的中点， ∴， ∴； （3）点运动到终点所需时间为秒，点运动到终点所需时间是秒，设运动时间为秒，讨论如下： ①如图所示，当时，根据题意得， ， 解得； ②如图所示，当时，根据题意得， 解得； ③如图所示，当时，根据题意得， 解得（舍去）； ④如图所示，当点到达点折返回来后，时，根据题意得， 解得； 综上，当运动时间为或或秒时，点C是点P与点Q的衍生点． 一、单选题 1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，线段，O是线段上的中点，P、Q是线段上的动点，点P沿以的速度运动，点Q沿以的速度运动．若P、Q点同时运动，当时，运动时间为（     ）． A．、或 B．、或 C．、、或 D．、、或 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题、一元一次方程的应用，学会根据两点间的距离列出方程是解题的关键．设运动时间为，分别表示出和的长，再结合列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：线段，O是线段上的中点， ， 设运动时间为，则， ， ， 点P沿以的速度运动， 分两种情况讨论： ①当点P沿运动时，点P到达点需要时间， 当时，， ， ， ， 或， 解得：或， ②当点P沿运动时，此时，， ， ， ， ， 或， 解得：或， 综上所述，当时，运动时间为、、或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）定义：如图1，点在射线上，图中共有三条线段，和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“美点”．如图，已知，动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，当点到达点时，运动停止．设点的运动时间为，当点恰好是线段的“美点”时，最大值与最小值的差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何新定义，一元一次方程的应用，线段的和差计算，根据题意，分别表示出，根据新定义可得或或，进而列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：动点，分别从点，同时出发沿相向运动，速度分别为，，设点的运动时间为， ∴，， 当时，相遇，即， 解得： 当时，， 当时，， ∴， 由新定义可知或或， 当时，则， 解得或（舍去） 当时，则， 解得； 当时，则， 解得或， ∴的最大值为，最小值为， ∴， 故选：D． 3．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（   ） ①运动后，； ②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化； ③当时，运动时间为． A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查两点间的距离，动点问题，线段的和差问题，根据题意，分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可． 【详解】解：运动后，， ∵为的中点，为的中点， ∴， ∴，故①正确； 设运动秒，则， ∵为的中点，为的中点， ， ∴， ， ∴的值不变，故②错误； ， ， 解得：，故③正确； 故选：D． 二、填空题 4．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）已知线段，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒的速度沿向左运动，设运动时间为t秒．在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段的长 ． 【答案】或 【分析】本题考查两点间的距离，t秒后点P的路程是，点Q的路程是，再根据两点运动的方向和的长可得答案． 【详解】解：∵t秒后点P的路程是，点Q的路程是，， ∴在P与Q相遇前，； 在P与Q相遇后，． 故答案为：或． 5．（24-25七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合． 【答案】3或6 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 利用时间路程速度，可求出点，到达终点所需时间，设点的运动时间为 ，分及两种情况考虑，当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值；当时，，，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值． 【详解】解：，，． 设点的运动时间为 ， 当时，，， 根据题意得：， 解得：； 当时，，， 根据题意得：， 解得：． 综上所述，当点出发或时，，两点重合． 故答案为：3或6． 6．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，线段，动点从出发，以的速度沿运动，为的中点，为的中点． ①运动后，；②的值随着运动时间的改变而改变；③的值不变；④当时，运动时间为．   以上说法正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了线段的中点定义，线段的和差倍问题，一元一次方程的应用，根据题意分别用代数式表示出的长，根据线段之间和差倍关系逐一判断即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：运动后，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，故①错误； 设运动，则，， ∵为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴的值随着运动时间的改变而改变，故②正确； ∵，， ∴， ∴的值不变，故③正确； ∵，， 当时，则， 解得，故④正确； 综上，说法正确的是②③④， 故答案为：②③④． 三、解答题 7．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，线段，动点从点出发，以每秒2个单位的速度向点运动，为的中点，为的中点． (1)点出发_____秒后，． (2)在点的运动过程中，有如下两个结论：①的长度不变；②的长度不变．请选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)7 (2)选①的长度不变，；选②的长度不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度． （1）根据题意分析，列出方程，解方程，求出t的值即可． （2）选①，由中点定义得，， 然后根据即可求解； 选②，，由中点定义得，进而可求出． 【详解】（1）解：设出发x秒后， ，，， 由题意得，， 解得：； 故答案为：7； （2）解：选①，的长度不变． 点为线段的中点，点为线段的中点， ，， 或选②，的长度不变． 点为线段的中点， ． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，已知数轴上点表示的数为8，点表示的数为．动点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)线段的长为 单位长度，点P运动t秒后表示的数为 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为的中点，N为的中点．点P在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】(1)， (2)或 (3)不变，线段的长度为 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程，数轴上线段中点的表示方法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）利用两点间的距离公式求得线段的长，然后结合路程速度时间求得点表示的数； （2）先用含有的式子表示点和点表示的数，然后根据、相距4个单位列出方程，再解方程求得的取值； （3）先利用中点公式求得点和点表示的数，再计算的线段长度． 【详解】（1）解：， 点运动的路程为个单位长度， 点运动秒后表示的数为：， 故答案为：，； （2）由题意得，点运动秒后表示的数为， 点与点相距4个单位， ， 解得：或， 点运动8秒或12秒时与点相距4个单位长度； （3）线段的长度不发生变化，理由如下， 为的中点，点表示的数为8，点表示的数为， 点表示的数为， 为的中点，点表示的数为，点表示的数为， 点表示的数为， ， 线段的长度为10． 9．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点C为线段的中点，．动点P从点B出发，在线段上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C，接着以每秒1个单位的速度运动到点A，最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B：同时，动点Q从点C出发，也在线段上匀速运动，先以每秒1个单位的速度从点C运动到点A，接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B．设点P的运动时间为t（s）． (1)当点P与点C第二次重合时，求的长； (2)当时，求证：； (3)当点P、点Q相遇时，求t的值； (4)当时，直接写出t的值． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)当点P、Q相遇时，t的值为或8； (4)当时，t的值为1或或． 【分析】（1）分别求出和的长，即可求出； （2）当时，点P在线段上，点Q在线段上，求出即可； （3）分段讨论，当时，当时，当时，当时，分别列方程求解即可； （4）分情况，利用列方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵点C为线段的中点，． ∴ 点P从点B运动到点C时间为秒，从点C运动到点A时间为秒，从点A运动到点C时间为秒， ∴点P与点C第二次重合时时间为秒， 点Q从点C运动到点A时间为秒，则点Q运动秒时， ∵， ∴； （2）证明：当时，点P在线段上，点Q在线段上， 此时，， ∴ （3）解：当点P、Q相遇时， ①当时，点P在上，点Q在上，此时点P、Q不能相遇； ②当时，点P、Q都在线段上，当点P、Q相遇时，，方程无解； ③当时，点P从点C向点A运动，点Q从点A向点C运动， 此时， 当点P、Q相遇时，解得； ④当时，点P、Q均从点A向点B运动，此时，， 当点P、Q相遇时，，解得； 综上，当点P、Q相遇时，t的值为或8； （4）解：当时，，解得； 当时，，解得（舍）． 当时，， ∴，解得； 当时，，， ∴，解得； 当时，，， ∴，方程无解； 综上，当时，t的值为1或或． 【点睛】本题考查在动点问题的背景下考查线段的和差运算，线段中点的性质，一元一次方程的应用等知识，关键是理清点的运动状态，找到临界点． 10．（2024七年级下·全国·竞赛）已知数轴上有三点A，B，C，它们对应的数分别a，b，c，且，点C对应的数是20，． (1)若，求a，b的值； (2)在（1）的条件下，动点P，Q分别从A，C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动，点P，R，Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段的中点，N为线段的中点，R，Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足？ (3)在（1）的条件下，O为原点，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为的中点，M为的中点，在点P，Q运动的过程中，的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)2.5秒 (3)值不变；是定值10；理由见解析 【分析】（1）根据，得出，利用点对应的数是20，即可得出a，b的值； （2）设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足，表示出，，然后列方程求解即可； （3）设运动的时间为t，则，，表示出，然后根据中点的性质得到，，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：如图，∵， ∴， ∵C点对应的数为20， ∴点A对应的数为：，点B对应的数为：， ∴，； （2）解：如图2，根据（1）可得， 设在三点出发后x秒时，Q在R右边时，恰好满足， ∵，， ∴当时，， 解得：， ∴在三点出发后2.5秒时恰好满足； （3）解：的值不变．理由如下： 如图3，设运动的时间为t，则，， 由（1）可得，点C表示20， ∴，，， ∴， ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴， ∴． 即的值不发生变化，是定值10． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，根据已知得出各线段之间的关系等量是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 11．（24-25七年级上·河北唐山·期末）如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，其中b是最大的负整数，a，c满足，请回答下列问题： (1)_____， _______， _____． (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为______． (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒 ① t为何值，点Q追上点P？ ②是否存在t值，使得？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；4； (2)3 (3)①3；②存在t值为或，使得． 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质： （1）根据非负数的性质，即可求解； （2）求得中点对应的数，即可求解； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为，当点Q追上点P时，，求解即可； ②根据运动方向和运动速度分别表示出t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为，然后分两种情况，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵b是最大的负整数， ∴， 故答案为：；；4； （2）解：由题意可得，中点对应的数为， ∵点B表示的数为， ∴点B与表示3的点重合； 故答案为：3； （3）①点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点Q追上点P时， ， 解得， ∴t为3时，点Q追上点P； ②解：存在， 根据题意得：t秒后，点P对应的数为，点Q对应的数为， 当点B，Q重合时，，此时， 当点Q在点B的右侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 当点Q在点B的左侧时，此时， ∵， ∴， 解得：； 存在t值为或，使得． 12．（24-25七年级上·河南郑州·期中）如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“奇点”． 【新知理解】 （1）线段的中点________这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 （2）若点和点在数轴上表示的数分别是和，点是线段的“奇点”，求点在数轴上表示的数． 【应用拓展】 （3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当点是线段的“奇点”时，直接写出运动时间的所有可能值． 【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或 【分析】本题考查新定义，数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用， （1）根据“奇点”的定义即可求解； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，，根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； （3）根据“奇点”的定义，分情况讨论，当或或，分别计算即可； 解题的关键是理解题意，利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】解：（1）设点为线段的中点， ∴， ∵点在线段上， ∴中点是线段的“奇点”， 故答案为：是； （2）设点在数轴上表示的数为， ∵点和点在数轴上表示的数分别是和， ∴，， ∵点是线段的“奇点”， ∴点在线段上，且或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 综上所述，点在数轴上表示的数为或或； （3）秒后，，，， ∵点是线段的“奇点”， ∴或或， 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； 当时，得：， 解得：； ∴当为或或时，点是线段的“奇点”． 13．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点M是线段上任意一点，图中共有三条线段和，若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段的“友好点”． (1)若，点M是线段上靠近点A的“友好点”，求的长； (2)如图②，若，点M是线段的“友好点”，点N是线段的中点，则__________； (3)如图③，已知，动点P从点A出发，以速度沿向点B匀速移动，点从点B出发，以的速度沿向点A匀速移动，点同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止．设移动的时间为t，请求出t为何值时， 三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“友好点”． 【答案】(1)； (2)或； (3)或4或或． 【分析】本题主要考查了线段中点和三等分点有关的计算，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解． （1）根据题目中所给的“友好点”的定义，进行求值即可． （2）根据“友好点”的定义可得或可求出的长，再由中点的定义可得的长，再求出的长即可得出结果． （3）由题意可知，A不可能是“友好点”，故此题分两大类情况，P或Q点是“友好点”，再分别当P点是“友好点”时，和Q点是“友好点”时，根据“友好点”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）点M是线段上靠近点A的“友好点” 根据“友好点”的定义可得，， ， ， 解得， ． （2）由题意可知，点N是线段的中点， 不是线段的中点， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ， 当点是靠近点的三等分点时， 有， ， ， ， ， ． （3）由题意可知，A点不可能是“三等分点”， 故P或Q点是“三等分点”． ， t秒后，，， 当P点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得， 当Q点是“三等分点”时，， 当时， 有， 解得 当时， 有， 解得 综上所述：或4或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12线段上的动点探究问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、线段上含动点求线段长问题 类型二、线段上含动点求定值问题 类型三、线段上含动点求时间问题 类型四、线段上含动点的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、线段上含动点求线段长问题 、 核心解题方法（分两点） 1.坐标法：设线段所在直线为数轴，定线段端点坐标，用字母（如）表示动点坐标，根据“数轴上两点 距离=坐标差绝对值”列关系式，代入条件求解。 2.分类讨论法：根据动点运动方向（向左/向右）、与定端点的位置关系（在线段上/延长线）分类，避免 漏解，每类单独列等式计算。 二、关键解题技巧（分两点） 1.抓“不变量”与“变量”：固定线段长度、动点速度为不变量，用变量t表示运动时间，推导动点位置， 建立长度与t的关联。 2.画动态示意图：分阶段画出动点不同位置的图形，标注已知与未知线段，直观梳理数量关系，减少思 维混乱。 例1.(24-25七年级上·广西河池期末)如图，已知线段AB=acm,点C为线段AB上的一个动点，点D, E分别是AC和BC的中点. AD七EB (I)求DE的长（用含a的式子来表示）： (2)若AB=12cm,AD=2,求CE的长， 【变式1-1】(24-25七年级上湖北武汉阶段练习)如图，AB=12,C为线段AB上一动点，点D在线段 CB上且满足CD:DB=1:2. A C D B 1/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)当C为线段AB的中点时，求CD的长 (2)若E为线段AD的中点，当DE=2CE时，求AC的长. 【变式1-2】(24-25七年级上陕西安康期末)如图，A,B是数轴上的两点，对应的数分别是a,b,原 点O是线段AB上的一点.己知AB=6,且OB=2OA.M为数轴上的一个动点，其对应的数为x. A 0 0 (1)求点A,B对应的数a,b的值： (2)若MA=3MB,求点M对应的数x的值 【变式1-3】如图，P是线段AB上一点，AB=18cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BA向 左运动，到达点A处即停止运动， A C P D B (1)若点C,D的速度分别是1cms,2cms. ①若2cm<AP<14cm,当动点C,D运动了2s时，求AC+PD的值； ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB; (2)若动点C,D的速度分别是1cm/s,3cms,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长度. 类型二、线段上含动点求定值问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.代数建模法：设数轴定端点坐标，用含t(运动时间)的式子表示动点坐标，根据距离公式列线段长度 表达式，化简后消去，证明结果为常数。 2.中点性质法：若涉及中点，利用“中点坐标=两端点坐标和的一半”推导线段关系，结合线段和差，直 接得出定值结论。 二、关键解题技巧（分两点） 1.聚焦“消参”核心：化简表达式时，重点消去变量，若结果与t无关，即为定值，避免陷入复杂计算 2.特殊值验证法：取动点不同时刻的位置（如0、1），计算目标线段长，初步判断定值，再严谨推导， 提高效率。 例2.(24-25七年级上·黑龙江双鸭山期末)如图，线段AB=24,动点P从点A出发，以每秒2个单位长 度的速度沿射线AB运动，点M为AP的中点，设点P运动的时间为t秒. A M P B A MB N P (1)用含t的代数式表示PB的长 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)当点P在射线AB上运动时，出发多少秒后PB=2AM? (3)当点P在线段AB的延长线上运动时，点N为BP的中点，有下列两个结论：①MN的长度不变；② MA+PN的值不变.请判断哪个结论是正确的，并说明理由 【变式2-1】(24-25七年级上·安徽安庆期末)如图，己知数轴上的点A对应的数为6，B是数轴上的一点， 且AB=10,动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒 (1>0). 01 6 (①)数轴上点B对应的数是 点P对应的数是 (用含t的式子表示)： (2)动点Q从点B与点P同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，试问：运动多少时间 点P可以追上点？？ (3)M是AP的中点，N是PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若有变化，请说 明理由；若没有变化，请你画出图形，并求出MN的长。 【变式2-2】(23-24七年级上·河南南阳期末)如图，己知线段AB=16,C、D是线段AB上的两个动点（点 C在点D的左侧，且都不与端点A、B重合)，CD=2,E为BC的中点. A E B 图1 E B 图2 B 备用图 (1)如图1，当AC=4时，求DE的长； (2)如图2，F为AD的中点. ①点C、D在线段AB上移动过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅 以图2为例求出EF的长； ②当CF=0.5时，请直接写出线段DE的长. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、线段上含动点求时间问题 一、 核心解题方法（分两点） 1.距离等式法：设运动时间为，用“速度×时间”表示动点移动距离，结合线段和差或中点关系，列关 于t的一元一次方程求解。 2.坐标方程法：建立数轴，用含t的式子表示动点坐标，根据“两点距离=坐标差绝对值”列方程，解方 程得t的值。 二、关键解题技巧（分两点） 1.明确运动细节：标注动点速度、方向及线段初始长度，避免因方向混淆导致列错方程。 2.分类讨论避漏解：根据动点相遇、在线段上/延长线等不同位置情况分类，每类列方程求解，验证结果 合理性。 例3.(2425七年级上湖北阶段练习)如图，点C是线段AB上的一点，线段AC=8,BC=3AC,点D 为线段AB的中点. A C D CD 备用图 (1I)直接写出线段AB和CD的长； (2)若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿直线AB向右运动，动点Q从点B出发，以每秒4个单 位的速度沿直线BA向左运动，当点Q到达点A时立即掉头沿直线AB向右运动，当点Q再次回到点B时， 动点P,Q同时停止运动.设运动时间为t秒. ①当为何值时，点P与点Q重合？ ②若点M,N分别为线段AP,AQ的中点，MN=5,求t的值. 【变式3-1】(24-25七年级上河南南阳·阶段练习)如图，己知A、B、C是数轴上三点，点B表示的数为 5,AB=10,BC=4.动点P从点C出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时动点Q从 点A出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设点P的运动时间为(1>0)秒， A (I)点A表示的数是 点C表示的数是 (②)若点O为线段AB的中点，点D为线段BC的中点，则线段OD的长度为 (3)①求当t为何值时，BP=1. ②请直接写出当P,Q相遇时t的值为 ,此时P,Q在数轴上表示的数为 【变式3-2】(24-25七年级上·江苏无锡阶段练习)如图，0为原点，在数轴上点A表示的数为a,点B表 示的数为b,且a,b满足a+2+(3a+b)2=0. 4/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 O B 备用图 (1)a= b= (2)若点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动的时间为t(秒). ①当点P运动到线段OB上，且PO=2PB时，求t的值； ②先取OB的中点E,当点P在线段OE上时，再取4P的中点F,试探究4BOP的值是否为定值？若是， EF 求出该定值；若不是，请用含t的代数式表示 ③若点P从点A出发，同时，另一动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，到达点O 后立即原速返回向右匀速运动，点Q运动到点B停止.当PQ=1时，求t的值. 类型四、线段上含动点的新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义，将“自定义概念”（如“中点衍生概念”“距离新规则”）转化为线段和差、 坐标关系等已知数学语言，建立解题桥梁。 2.方程建模法：设运动时间为t,用含t的式子表示动点位置，结合转化后的定义条件，列一元一次方程 或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.举例验证定义：取特殊值（如0）代入新定义，快速理解其本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：根据动点运动方向、与定线段的位置关系分类，结合新定义列方程，确保覆盖所有可 能情况。 例4.(24-25七年级上湖南湘潭·期末)如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB,AC和BC, 若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“巧点”. A B B a b 图1 图2 (1)一条线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b,且a、b满足关系式a+40+b-20=0. ①若C是线段AB的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB向终点B匀速移动.点Q从点B出发，以每秒3cm的速度 沿BA向终点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时 间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段AP的巧点”. 【变式4-1】(24-25七年级上江苏无锡·阶段练习)如图①，点M在线段AB上，图中共有三条线段AB, 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AM和BM,若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线段AB的“二倍点”. M B D ① ② B ③ (1)一条线段的中点_这条线段的“二倍点”（填“是”或“不是”）； (2)如图②，若CD=6a,点N是线段CD的二倍点，则CN=_;(用含a的代数式表示) (3)如图③，己知AB=20cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动，点Q从点B出 发，以1cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，点P,Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也停止移 动，设移动的时间为s,求当为何值时，点Q恰好是线段AP的二倍点 【变式4-2】(24-25七年级上·辽宁盘锦·期末)点C是直线AB上一动点，当CA=2CB时，我们称点C是点 A与点B的衍生点，记作CA&B), A B 【定义理解】 问题(1)若点C在线段AB上时，A表示-3，B表示6时，则C(A&B)表示的数是_ 【深入研究】 当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段AC,BC的中点M,N,发现线段CM、CN、AB之间存在 着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段AB上时；② 点C在线段AB的延长线上时. 问题(2)请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段CM,CN,AB之间满足的数量关系，并说 明理由； 【拓展提升】 问题(3)若点C在线段AB上，线段AB=20cm,BC=8cm,动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P 以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以3cm/s的速度沿BA向左运动，到达A点后立即返回，终 点是B.当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生 点. 6/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上全国期末)如图，线段AB=20cm,O是线段AB上的中点，P、Q是线段AB上的动点， 点P沿A→B→A以4cms的速度运动，点Q沿B→A以2cm/s的速度运动.若P、Q点同时运动，当 OP=OQ时，运动时间为(). P Q A O B 4,0s、10s或 B.0s、5s或0 c.0s、 10.20 39、3s或10s 5 D.0s583s或0 39 2.(24-25七年级上河北邯郸期中)定义：如图1，点C在射线AB上，图中共有三条线段AB,AC和BC, 若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“美点”.如图2，已知 AB=24cm,动点P,Q分别从点A,B同时出发沿AB相向运动，速度分别为2cm/s,1cm/s,当点P到 达点B时，运动停止.设点P的运动时间为s,当点P恰好是线段AQ的“美点时，t最大值与最小值的差 为() B O B 图1 图2 c.9 00 3.(24-25七年级上陕西西安·期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cm/s的速度向点B运 动，M为AP的中点，N为BP的中点.以下说法正确的是() ①运动4s后，MN=12cm; ②在点P运动过程中，2BM-BP值随着点P位置的变化而变化； ③当AN=6PM时，运动时间为2.4s. A M P NB A.①② B.②③ C.①②③ D.①③ 7/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 4.(23-24七年级上·江苏南京·阶段练习)已知线段AB=24cm,动点P从点A出发，以每秒6cm的速度沿 AB向右运动，同时，动点Q从点B出发，以每秒4Cm的速度沿BA向左运动，设运动时间为t秒(0<1<4). 在整个运动过程中，请你用t的式子表示线段PQ的长= 2 A B 5.(24-25七年级下·河南南阳·期中)已知线段AB=12cm,动点P从点A出发，以3cm/s的速度沿 A→B→A运动，同时动点Q从点B出发，以1cms的速度沿B→A运动，其中一点到达终点时，另一点 也停止运动.当点P出发s时，P,Q两点重合. 6.(24-25七年级上·江苏淮安·期末)如图，线段AB=24cm,动点P从A出发，以2cms的速度沿AB运动， M为AP的中点，N为BP的中点. ①运动4s后，PB=2AM;②PM+MN的值随着运动时间的改变而改变；③2BM-BP的值不变；④当 AN=6PM时，运动时间为2.4s. 以上说法正确的是 AM P B 三、解答题 7.(24-25七年级上河南南阳·期末)如图，线段AB=28,动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度向点 B运动，M为AP的中点，N为BP的中点. 分材中NB (I)点P出发 秒后，PB=2AM· (②)在点P的运动过程中，有如下两个结论：①MW的长度不变；②2BM-BP的长度不变.请选择一个正确 的结论，并求出其值。 8.(24-25七年级下·湖北武汉·开学考试)如图，已知数轴上点A表示的数为8，点B表示的数为-12.动点 P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为(t>0)秒. -12 (I)线段AB的长为_单位长度，点P运动t秒后表示的数为_（用含t的代数式表示）； 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运 动多少秒时与点Q相距4个单位长度？ (3)若M为AP的中点，N为PB的中点.点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请 说明理由；若不变，请求出线段MN的长。 9.(24-25七年级下·吉林长春阶段练习)如图，点C为线段AB的中点，AB=8.动点P从点B出发，在 线段AB上匀速运动，先以每秒2个单位的速度从点B运动到点C,接着以每秒1个单位的速度运动到点A, 最后以每秒4个单位的速度从点A回到点B:同时，动点Q从点C出发，也在线段AB上匀速运动，先以 每秒1个单位的速度从点C运动到点A,接着以每秒2个单位的速度从点A回到点B.设点P的运动时间 为t(s). A B (1)当点P与点C第二次重合时，求PQ的长； (2)当2≤1≤4时，求证：PQ=2; (3)当点P、点Q相遇时，求t的值： (4)当CP=2CQ时，直接写出t的值， 10.(2024七年级下.全国竞赛)已知数轴上有三点A,B,C,它们对应的数分别a,b,c,且c-b=b-a ,点C对应的数是20，c>b>a. A B 6 (I)若BC=30,求a,b的值； (2)在(1)的条件下，动点P,Q分别从A,C两点同时出发向左运动，同时动点R从点B出发向右运动， 点P,R,Q的速度分别为8个单位长度/秒、4个单位长度/秒、2个单位长度/秒，M为线段PR的中点，N 为线段RQ的中点，R,Q相遇后三点同时停止运动，则在三点出发后多少秒时，恰好满足MR=4RN? (3)在(1)的条件下，O为原点，动点P,Q分别从点A,C同时出发，点P向左运动，点Q向右运动，点 P的运动速度为8个单位长度/秒，点Q的运动速度为4个单位长度/秒，N为OP的中点，M为BQ的中点， 在点P,Q运动的过程中，PQ-2MN的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由 11.(24-25七年级上河北唐山期末)如图，在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c,其中 b是最大的负整数，a,c满足a+2+(c-4)=0,请回答下列问题： AB C 9/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)a= ,b= ,C= (②)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，此时点B与表示某数的点重合，则此数为 (3)有一动点P从点A开始以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点C开始以 每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t秒 ①t为何值，点Q追上点P? ②是否存在t值，使得PB=2QB？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由。 12.(24-25七年级上·河南郑州期中)如图①，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC,若 其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“奇点”. B 图① 【新知理解】 (1)线段的中点 这条线段的“奇点”；（填“是”或“不是”） 【问题解决】 (2)若点A和点B在数轴上表示的数分别是-10和14，点C是线段AB的“奇点”，求点C在数轴上表示的数. 【应用拓展】 (3)如图②，已知AB=24cm,动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；点Q从点B出 发，以1cms的速度沿BA向点A匀速移动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移 动的时间为s,当点P是线段AQ的“奇点”时，直接写出运动时间t的所有可能值. A B 图② 13.(24-25七年级上江苏泰州阶段练习)如图①，点M是线段AB上任意一点，图中共有三条线段 AB、AM和BM,若其中的两条较短线段中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点M是线 段AB的“友好点”. M D 图① 图② A 图③ B (1I)若AB=12cm,点M是线段AB上靠近点A的友好点”，求BM的长； (2)如图②，若CD=24cm,点M是线段CD的“友好点”，点N是线段CD的中点，则MN+MC= cm; 10/11