专题13 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题13 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 类型二、几何图形中动角求定值问题 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴专练 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 一、核心解题方法（分两点） 1.方向分类法：明确旋转中心与旋转角，按“顺时针旋转”和“逆时针旋转”分类，分别画出对应图形，梳理边、角关系。 2.落点分类法：根据旋转后关键点的落点位置（如在原图形内部/外部、线段上/延长线）分类，结合图形性质列等式求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.固定不变量：旋转中对应边相等、对应角相等，以此为突破口，搭建已知与未知的联系，简化计算。 2.标注临界位置：先确定旋转的临界情况（如关键点与某线段端点重合），再推导其他可能，避免漏解。 例1．（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南信阳·开学考试）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．    【答案】或/30或15 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，角的有关计算，解题的关键是确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系． 设转动秒，与的夹角是，进行分情况画图 ，列方程即可得到结论． 【详解】设秒后，与的夹角是， 如图，     ， ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 如图，    ∴，， ∵， ∴，即有， 解得：， 综上可知：或，与的夹角是， 故答案为：或． 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 【答案】或或4 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是分情况讨论一条射线是另外两条射线夹角的角平分线．依据题意，根据，，．分四种情况说明一条射线是另外两条射线夹角的角平分线． 【详解】解：设经过的时间为x秒， ∵，，． 在旋转过程中，，， ， 分别令，， 可得，． 可见当时，三条射线停止运动． ①如图，当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得， 此时，不合题意； ②当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得； ③当为、夹角的角平分线时， ∴． ， 解得； ④当为、夹角的角平分线时， ． ， 解得； 答：经过秒、秒、4秒时，其中一条射线是另两条射线夹角的平分线． 故答案为：或或4． 类型二、几何图形中动角求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数表示法：设基准角为α，用含α的式子表示动角及相关角，结合角的和差、角平分线等性质化简，消去α得定值。 2.方程建模法：设运动时间为t，用“速度×t”表示动角变化量，列角的数量关系等式，化简后证明结果与t无关。 二、关键解题技巧（分两点） 1.紧抓“不变关系”：锁定固定角（如平角、直角）和角的倍数/和差关系，以此为桥梁推导定值。 2.画图标注动态：分阶段画出动角不同位置，标注已知角与动角，直观梳理数量关系，避免思维混乱。 例2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的大小是定值为 【分析】本题考查了角的和差运算，角平分线的定义，解题的关键是掌握各角间的数量关系． （1）由题意可求出，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义可得：，，最后根据，即可判断． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线，， ， ， 故答案为：，； （2）的大小是定值， 设，则， 是的平分线，， ， 是的平分线，， ， ， 的大小是定值为． 【变式2-1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）先求出，再根据角的和差关系即可求解； （）由角平分线的定义可得，进而根据角的和差关系即可求解； （）根据的取值范围，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∵， ∴； （2）解：当恰好平分时，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以20度秒的速度顺时针旋转至结束，绕着O点从开始以10度秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着O点从开始以20度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 【答案】(1) (2)或或 (3)是；当时，定值为；当时，定值为 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出的度数，再根据角的倍差求出的度数，最后根据角的和差即可； （2）分3种情况讨论：当在内部时；当与重合时；当与重合时；分别求解即可； （3）因本题中的角均为大于且小于的角，因而需分与在一条直线上、与在一条直线上、与在一条直线上三个临界位置，从而求出此时的取值范围，并求出各范围内和的度数，即可得出答案． 【详解】（1）解：，平分， ， ，， ，， ； （2）解：当在内部时， ， ， ； 当与重合时， ， ； 当与重合时， ， ； 综上所述，当时，或或； （3）解：在某时间段内是定值，理由如下： 射线从开始转动至结束时，转动时间为：（秒）， 由题意，分与在一条直线上（）、与在一条直线上（）、与在一条直线上（）三个临界位置， ①当时，如图1所示， 此时，， 则，为定值； ②当时，如图2所示， 此时，， 则，不为定值； ③当时，如图3所示， 此时，， 则，为定值； ④当时，如图4所示， 此时，， 则，不为定值； 综上可知，①当时，；②当时，． 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 代数表达法：设基准角或运动时间为变量（如α、t），用变量表示所有相关角，结合角的和差、角平分线性质列关系式，化简推导数量关系。 2. 特殊值验证法：取动角不同位置的特殊值（如t=0、t=1），计算各角大小，猜想数量关系（相等、倍数、和差定值），再严谨证明。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 锁定“不变量”：抓住固定角（平角、直角）、角的固定比例等不变量，作为推导关系的核心依据。 2. 动态画图辅助：分阶段画出动角不同位置的图形，标注角的数量关系，直观梳理逻辑，避免漏解或错判。 例3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算、余角、补角的定义，解题的关键是熟练掌握余角、补角的定义． （1）根据题意得，结合，得，再把数值代入进行计算，求出答案即可； （2），故，则，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵ ∴， 则； 故答案为：． （2）解：，理由如下： 依题意，设 根据题意得：， ∴， 则 即． 【变式3-1】（24-25六年级下·山东东营·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 【答案】(1)； (2)；当在的内部时，，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平角、余角的定义，角度和差，角平分线的定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用平角、余角的定义可求解； （）由平角定义得，又恰好平分，，然后通过余角定义即可求解； 由题意得，通过，，得出，从而求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 当在的内部时，，理由如下： 由题意得， ∵，， ∴， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3)①，理由见详解 ② 【分析】本题考查了动角问题，角平分线的有关计算，角的和差； （1）由角的和差得，即可求解； （2）由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； （3）①由角的和差得，，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解； ②由角的和差得，由角平分线的定义结合角的和差得，即可求解． 能熟练利用角平分线及角的和差进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下： ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； （3）解：①， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ； ②如图， ， ， ， ， 射线平分，射线平分， ， ， ， ． 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1.变量建模法：设运动时间为t，用“角速度×t”表示动角变化量，结合角的和差、角平分线等性质，列关于t的一元一次方程求解。 2.分类讨论法：按动角旋转方向（顺时针/逆时针）、与定角的位置关系（重合前/后、内部/外部）分类，每类列方程计算，避免漏解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.标注“基准角”：确定固定不变的角（如平角、直角）作为基准，明确动角与基准角的数量关联，简化列式。 2.画图定临界：先画出动角与定角重合、垂直等临界位置，确定t的取值范围，再推导其他情况，验证解的合理性。 例4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)的度数是 (2)的值是秒 (3)存在，的值是秒或秒 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程． （1）当时，，，即得； （2）根据题意，当第二次达到时，可得，即可解得答案； （3）分两种情况：当射线与射线第一次夹角为时，可得，当射线与射线第二次夹角为时，可得，即可解得答案． 【详解】（1）解：当时，，， ， 答：的度数是； （2）根据题意，当第二次达到时， ， 解得， 答：当第二次达到时，的值是秒； （3）存在这样的，使得射线与射线的夹角为，理由如下： 当射线与射线第一次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得； 当射线与射线第二次夹角为时，两条射线共旋转， ， 解得， 综上所述，的值是秒或秒． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)85 (2)①；②存在，或 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角平分线的定义、角度的和差、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想，是解此题的关键． （1）根据三角尺绕量角器中心点P以每秒的速度顺时针旋转，进行计算； （2）①由旋转知，，由角平分线的定义可得，再由列方程求解； ②分两种情况，当在左侧时，当在右侧时，分别进行计算可得到答案． 【详解】（1）当时，绕点P顺时针旋转了， 又， 边经过的量角器刻度线对应的度数为． （2）①如图1所示： 由旋转知，， 平分，， ， 又， ， ， 解得， 当时，边平分． ②当或时，，理由如下： 由旋转知，， 当在左侧时，如图2， ， ， ， 若，则， 解得． 当在右侧时，如图3， ， ， ， 若，则， 解得． 综上可知，当或时，． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义（如“角的衍生概念”“特殊角关系”），将其转化为角的和差、倍数、角平分线等已知几何语言，搭建解题桥梁。 2.变量建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动角及相关角，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.特殊值验证定义：取t=0、t=1等特殊值代入新定义，快速理解本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：按动角旋转方向（顺/逆时针）、与定角的位置关系（内部/外部）分类，确保覆盖所有可能情况。 例5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】本题考查角平分线，余角与补角，掌握角平分线的定义，余角与补角的定义，理解“好线”的定义是正确解答的关键． （1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可； （2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可； （3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用表示，进而答案即可． 【详解】（1）解：①如图，当在内部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当在外部时， ∵射线是的“割补线”， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，的度数为或； （2）解：若恰好平分， ∴， ∴； （3）解：或，理由如下： ①如图，， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴； ②如图，， ∵， ∴， ∴ ， ， ∴， 综上所述或． 【变式5-1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【答案】（1）；（2）为或；（3）当运动时间t为2秒或4秒或10秒或秒时，由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角” 【分析】本题考查新定义的角度关系，一元一次方程的应用，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）分情况讨论与的位置关系，画出图象，求解即可． （3）分情况讨论与的位置关系，画出图象，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】解：（1）∵与互为“百度角”， ∴， ， ， ； （2）如图，当在上方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 同理，当在下方时，    ∵平分角， ∴， 根据题意得， ， 综上所述，为或； （3）①如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，，， 当和互为“百度角”时， ， 秒； 当和互为“百度角”时， ， 秒． ②如图    根据题意得，运动的时间为t秒时， ，， ， 当和互为“百度角”时， ， 秒． 当和互为“百度角”时， ， 秒． 综上所述，三条射线形成的角互为“百度角”时，t为2秒或4秒或10秒或秒． 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）【阅读新知】 如图①，射线在内，图中共有三个角、和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的倍，则称射线是的“巧线”． 【理解运用】 （1）的角平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） 【拓展提升】 如图②，一副三角板（分别含，，和，，）如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒． （2）求为何值时，射线是的“巧线”？ （3）若三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻，使三条射线、、中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）是；（2）的值为或或；（3）的值是或或或或或． 【分析】本题主要考查了角的相关概念以及角的动态变化问题，熟练掌握角的和差关系以及“巧线”的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义，角平分线将角分成两个相等的角，再结合“巧线”的定义进行判断． （2）先求出的度数，再分情况讨论射线是的“巧线”时的情况，根据角度关系列出方程求解． （3）分析三条射线、、中其中一条是另外两条组成角的“巧线”的各种情况，根据旋转速度和时间表示出相应角度，再根据“巧线”定义列方程求解． 【详解】解：（1）∵角平分线将角分成两个相等的角，即是角平分线所分成的任意一角的倍， ∴的角平分线是这个角的“巧线”， 故答案为：是； （2）∵ 当时， 此时旋转的角度为 ∵旋转速度为每秒 ∴ 当时， 此时旋转的角度为 当时， 此时旋转的角度为 故的值为或或 （3）∵将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了． ∴三角板绕点旋转的速度实际为， ∵， ∴， 分三种情况： ①在内部，是的巧线， ，， ， ， ． 时，， ． ②在内部，是的巧线， ，， ，，， ，，， ，，； ③在内部，是的巧线， ，， ，，（舍去）， ，，（舍去）， ，，； 综上，的值是或或或或或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是直线上一点，射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，设旋转时间为秒．当时，的值可能为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，：当“追上”前：；当“追上”后：；据此即可求解； 【详解】解：当“追上”前：； 则， 解得：； 当“追上”后：； 则， 解得：； 故选：C 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角，一元一次方程的应用．根据射线旋转的方向和旋转的速度计算出旋转的角度，再根据两条射线形成的夹角的度数列方程求解即可． 【详解】解：当秒时， 顺时针旋转， 逆时针旋转， 此时，故A选项错误，不符合题意； ∵， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 两射线的旋转时间为秒或秒或秒时，故B选项错误，不符合题意； ∵， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 整个运动过程中，存在的情况，故C选项错误，不符合题意； 当秒时，， ， ， 恰好平分，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 三、解答题 5．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）设，则，根据得出，进而得出，根据绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值； （2）设，分两种情况，求出则，由平分，得出，即可求解； 【详解】（1）解：设，则， ，则， 解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒）， 故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设， ， ， 平分， ， ， ， 即； 当时，在的外部（时，重合）， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 综上所述：或． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 【答案】(1) (2)①或 ②15 【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题关键． （1）设的度数为，根据题意列出方程得出，然后利用角平分线计算即可； （2）①根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：情况一：如图1，当在右侧时，情况二：如图2，当射线在左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平分线作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：设的度数为． 由题意得， 解得． 所以． 因为平分，平分． 所以，． 所以 ． （2）①因为平分．平分， 所以，． 分类讨论，情况一：如图1，当在右侧时， ． 情况二：如图2，当射线在左侧时， ． 综上所述，的度数为或． ②如图3．因为起始位置时，，所以在的右侧． 因为在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒． 所以． 因为射线平分． 所以． 因为． 所以． 因为射线平分． 所以． 又因为， 所以． 解得． 答：的值为15． 8．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 【答案】(1)； (2)，是一个定值，理由见解析； (3)的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出，即可； （3）设，分在内部和在外部，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 射线分别是和的角平分线， ， ； （2）解：，是一个定值，理由如下： 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 故是一个定值，且． （3）解：或． 设，分两种情况： ①如图1，当在内部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图2，当在外部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 9．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 10．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． 11．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 类型二、几何图形中动角求定值问题 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴专练 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 一、核心解题方法（分两点） 1.方向分类法：明确旋转中心与旋转角，按“顺时针旋转”和“逆时针旋转”分类，分别画出对应图形，梳理边、角关系。 2.落点分类法：根据旋转后关键点的落点位置（如在原图形内部/外部、线段上/延长线）分类，结合图形性质列等式求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.固定不变量：旋转中对应边相等、对应角相等，以此为突破口，搭建已知与未知的联系，简化计算。 2.标注临界位置：先确定旋转的临界情况（如关键点与某线段端点重合），再推导其他可能，避免漏解。 例1．（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【变式1-1】（24-25七年级下·河南信阳·开学考试）如图，已知，射线 绕点 从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转； 同时，射线 绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，并且当 与成角时，与同时停止旋转．则在旋转的过程中，经过 秒，与的夹角是．    【变式1-2】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，若，，，射线绕点O以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线重合时，三条射线同时停止运动．则经过 秒后，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 类型二、几何图形中动角求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数表示法：设基准角为α，用含α的式子表示动角及相关角，结合角的和差、角平分线等性质化简，消去α得定值。 2.方程建模法：设运动时间为t，用“速度×t”表示动角变化量，列角的数量关系等式，化简后证明结果与t无关。 二、关键解题技巧（分两点） 1.紧抓“不变关系”：锁定固定角（如平角、直角）和角的倍数/和差关系，以此为桥梁推导定值。 2.画图标注动态：分阶段画出动角不同位置，标注已知角与动角，直观梳理数量关系，避免思维混乱。 例2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，直角，锐角，是的平分线，是的平分线． (1)当时， ， ； (2)当的大小发生改变时，的大小是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【变式2-1】（24-25七年级上·吉林白城·期末）如图所示，以直线上的一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一块直角三角板（）的直角顶点放在点处，且直角三角板在直线的上方．设． (1)当时，求的大小； (2)当恰好平分时，求的值； (3)当时，嘉嘉认为与的差为定值，淇淇认为与的和为定值，老师说，两人的说法都正确，但是需要对分别附加条件．请你补充完整下面的信息： 当时，__________； 当时，__________． 【变式2-2】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知，为内部的一条射线，． (1)如图1，若平分，为内部的一条射线，，求的度数； (2)如图2，若射线绕着O点从开始以20度秒的速度顺时针旋转至结束，绕着O点从开始以10度秒的速度逆时针旋转至结束，运动时间为秒，当时，求的值； (3)若射线绕着O点从开始以20度秒的速度逆时针旋转至结束，在旋转过程中，平分，试问在某时间段内是否为定值，若不是，请说明理由；若是，直接写出这个定值并写出所在的时间段．（本题中的角均为大于且小于的角） 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 代数表达法：设基准角或运动时间为变量（如α、t），用变量表示所有相关角，结合角的和差、角平分线性质列关系式，化简推导数量关系。 2. 特殊值验证法：取动角不同位置的特殊值（如t=0、t=1），计算各角大小，猜想数量关系（相等、倍数、和差定值），再严谨证明。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 锁定“不变量”：抓住固定角（平角、直角）、角的固定比例等不变量，作为推导关系的核心依据。 2. 动态画图辅助：分阶段画出动角不同位置的图形，标注角的数量关系，直观梳理逻辑，避免漏解或错判。 例3．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）如图所示，将一副三角板的直角顶点摆放． (1)如果，则 ； (2)如果始终在内部，当的度数发生变化时，请猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（24-25六年级下·山东东营·期末）以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即． (1)如图，若直角三角板的一边放在射线上，则___________； (2)如图，将直角三角板绕点顺时针转动到某个位置， 若恰好平分，则___________； 若在内部，请通过计算写出与有怎样的数量关系． 【变式3-2】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）已知直角三角板（，）和直角三角板（，，），如图1摆放，点O、A、C在一条直线上，将直角三角板绕点O逆时针方向转动，变化摆放如图2、3、4、5位置． (1)当平分时，______； (2)如图4，当时，作射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图5，①当时，保持射线平分，射线平分，则与存在怎样的数量关系？请说明理由； ②当时，保持射线平分，射线平分，请直接写出与的数量关系． 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1.变量建模法：设运动时间为t，用“角速度×t”表示动角变化量，结合角的和差、角平分线等性质，列关于t的一元一次方程求解。 2.分类讨论法：按动角旋转方向（顺时针/逆时针）、与定角的位置关系（重合前/后、内部/外部）分类，每类列方程计算，避免漏解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.标注“基准角”：确定固定不变的角（如平角、直角）作为基准，明确动角与基准角的数量关联，简化列式。 2.画图定临界：先画出动角与定角重合、垂直等临界位置，确定t的取值范围，再推导其他情况，验证解的合理性。 例4．（24-25七年级上·江苏·期末）如图1，点、、依次在直线上，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，直线保持不动，如图，设旋转时间为的值在到之间，单位：秒． (1)当时，求的度数； (2)在运动过程中，当第二次达到时，求的值； (3)在旋转过程中是否存在这样的，使得射线与射线的夹角为？如果存在，请直接写出的值；如果不存在，请说明理由． 【变式4-1】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）一副三角尺（分别含和）按如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合，将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角尺的运动时间为s． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数是_____度； (2)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻使，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义（如“角的衍生概念”“特殊角关系”），将其转化为角的和差、倍数、角平分线等已知几何语言，搭建解题桥梁。 2.变量建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动角及相关角，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.特殊值验证定义：取t=0、t=1等特殊值代入新定义，快速理解本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：按动角旋转方向（顺/逆时针）、与定角的位置关系（内部/外部）分类，确保覆盖所有可能情况。 例5．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）定义：从一个钝角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将这个钝角分得的两个角中有一个角与钝角互为补角，则称该射线为此钝角的“割补线”．如图，点O在直线上，在直线的上方，且，钝角的“割补线”记为． (1)若，求的度数； (2)若恰好平分，求的度数； (3)若是的平分线，是的平分线，求出与的数量关系． 【变式5-1】（24-25七年级下·四川遂宁·期末）新定义：若两个角的和为，我们则称这两个角互为“百度角”；例如，，则与互为“百度角”．（本题中所研究的角都是大于而小于的角．） 【阅读理解】 （1）如图1，如果，与互为“百度角”，则 ． 【初步应用】 （2）射线平分角，为内部的一条射线，且满足，若与互为“百度角”，求的值； 【解决问题】 （3）如图2，已知，射线从出发，以每秒的速度绕O点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒．当为何值时由三条射线形成的角中有两个角互为“百度角”？ 【变式5-2】（24-25七年级下·陕西西安·开学考试）【阅读新知】 如图①，射线在内，图中共有三个角、和，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的倍，则称射线是的“巧线”． 【理解运用】 （1）的角平分线______这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”） 【拓展提升】 如图②，一副三角板（分别含，，和，，）如图所示摆放在量角器上，边与量角器刻度线重合，边与量角器刻度线重合（，），将三角板绕量角器中心点以每秒的速度顺时针方向旋转，当边与刻度线重合时停止运动，设三角板的运动时间为秒． （2）求为何值时，射线是的“巧线”？ （3）若三角板按照原来方向旋转的同时，三角板也绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，此时三角板绕点旋转的速度比原来每秒快了．当三角板停止旋转时，三角板也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻，使三条射线、、中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出的值．若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是直线上一点，射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，设旋转时间为秒．当时，的值可能为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 二、填空题 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 三、解答题 5．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 6．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 8．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 9．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 10．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 11．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $