专题11 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题11 线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴专练 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 一、解题方法总结（2点） 1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。 2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x），结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注已知长度和未知量，快速理清线段间的数量关系，减少逻辑混乱。 2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每类解的合理性。 例1．（25-26七年级上·辽宁·期中）已知线段，点在直线上，且，当为线段的中点，则 ． 【答案】2.5或5.5 【分析】本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键． 分类讨论：点在线段上，点在线段的延长线上两种情况讨论，根据线段中点的定义和线段的和差计算的长度． 【详解】解：当点在线段上时，，为的中点， 故，； 当点在线段的延长线上时，，为的中点， 故，． 故答案为：2.5或5.5． 【变式1-1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，点是线段的一个三等分点，点为线段的中点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的中点和三等分点的性质，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键． 分点靠近点和靠近点两种情况，利用线段中点和三等分点的性质求解的长度． 【详解】解：情况一：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 情况二：当点靠近点时， ∵点为线段的中点，， ∴． 又∵点是线段的一个三等分点， ∴． 故答案为：9或18． 【变式1-2】（25-26七年级上·全国·期末）如图，有一根木棒放置在数轴上，它的两端C，D分别落在点A，B上，将木棒在数轴上水平移动，当的中点移动到点B时，点D 所对应的数为，当的四等分点（不含中点）移动到点A 时，点 C 所对应的数为，则木棒的长度为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查了数轴上的点坐标、线段的中点与四等分点的性质，以及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上点的位置关系与线段分割比例，以及通过建立方程求解几何问题是解题的关键．根据木棒移动时中点或四等分点与特定点重合的条件，设木棒长度为，利用长度建立方程，分两种情况讨论求解． 【详解】 解：如解图，设， 由题意可知，， 如解图①，当的左四等分点移动到点A时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴； 如解图②，当的右四等分点移动到点A 时，此时， ∵点对应的数为，点对应的数为， ∴，解得， ∴． 综上所述，木棒的长度为4或． 【变式1-3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段练习）长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从到12）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 【答案】2或4或6 【分析】本题考查了数轴、线段的和差、一元一次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键．设三条线段的长分别是，，，根据题意列出方程，求出，得到三条线段的长分别是4，4，8，再分3种情况讨论：①；②；③，画出示意图，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵这三条线段的长度之比为， ∴设三条线段的长分别是，，， 由题意得，， 解得， ∴三条线段的长分别是4，4，8， ①当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ②当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ③当时， 则折痕处对应的点所表示的数是； ∴综上所述，折痕处对应的点所表示的数可能是2或4或6． 故答案为：2或4或6． 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 一、解题方法总结（2点） 1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧）”两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。 2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x，针对每类情况列方程计算，确保逻辑清晰。 二、解题技巧总结（2点） 1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注已知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的数量关系，降低思考难度。 2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合理性。 例2．（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）水平直线上顺次三点、、，以点为顶点在直线上方作，、分别平分和，则的度数是 ． 【答案】120°或60° 【分析】本题考查了角的和与差，解决本题的关键是根据的位置分两种情况考虑，情况一、当在左边时，根据求解即可；情况二、当在右边时，根据求解即可． 【详解】解：如下图所示， ，， ， 、分别平分和， ，， ， ； 如下图所示， ，， ， 、分别平分和， ，， ， ； 综上所述，的度数是或. 故答案为：或. 【变式2-1】（24-25七年级上·湖南永州·阶段练习）如图，已知为从顶点出发的射线，，且，射线平分．平面内有射线和射线，射线平分．若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算及角平分线，根据且，可得，根据角的和差关系可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，然后分在的内部和外部两种情况解答即可． 【详解】解：∵且， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， 当在的内部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 当在的外部时，如图， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：或． 【变式2-2】（24-25七年级下·广东江门·期中）如图1，点、、依次在直线上．现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度转动，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度转动．直线保持不动，如图2．设转动时间为秒．转动过程中，当时，t的值为 ． 【答案】10或26/26或10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算等知识， 分两种情况讨论：①当在左侧时②当在右侧时，分别求解，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，， ①如图，当在左侧时，此时， ∴， 解得：， ②如图，当在右侧时，此时 ∴， 解得：． 综上所述，当时，或26． 故答案为：10或26． 【变式2-3】（24-25七年级上·全国·单元测试）某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，平角的定义，角度的和差关系，解题的关键是理解题意，掌握角度的规律探索，注意运用分类讨论的思想进行分析． 根据题意，由旋转的性质和角度的变化规律，可对射线进行讨论分析：①未反弹；②反弹后落在之间；③反弹后落在之间；④反弹后落在之间；分别求出每一种情况的答案，并结合实际情况，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 一、解题方法总结（2点） 1. 整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、差、倍、分关系，直接代入整体计算。 2. 从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律，推导出一般情况下线段和差的表达式。 二、解题技巧总结（2点） 1. 整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提高解题效率。 2. 特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低思维难度。 例3．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）研究数学问题常常是从特殊走向一般．如图，点A、D、C、E、B在同一直线上，D是的中点，E是的中点．如果，那么是多少呢？ (1)若，点C是的中点，求的长；（请用几何符号语言规范地表达） (2)若点C是线段上任意一点，那么如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达） 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查了线段中点、线段的和差，掌握线段中点的定义以及线段和差关系是解题的关键． （1）根据线段中点的定义依次求出，，，的长度，然后根据线段的和差关系求解即可； （2）类似（1）求解即可． 【详解】（1）解：是的中点，， ， 是的中点， ， 是的中点， ， ； （2）解：是的中点， ， 是的中点， ， ． 【变式3-1】（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）追本溯源：题（1）来自课本中的尝试·思考，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）在直线上顺次取三点，使得，．如果是线段的中点，那么线段和的长度分别是多少？ 方法应用 （2）①已知是线段上一点，，，是的中点，则___________； ②如图，是线段上一点，是的中点，是的中点，，求的长． 【答案】（1），；（2）2；（3） 【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差． （1）根据线段的和差得出，再求出，即可得解； （2）①先求出线段的长，再根据线段中点计算即可得解； ②由线段的中点可得，再由线段的和差计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴； （2）①∵，， ∴， ∵是的中点， ∴； 故答案为：2； ②∵是的中点，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式3-2】（23-24七年级上·河南南阳·阶段练习）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣： 如图1，点C在线段上，M、N分别是、的中点．若，，求的长． （1）根据题意，小明求得__________； （2）小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究． 设，点C是线段上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答． ①如图1，M、N分别是、的中点，求的长． ②如图2，M、N分别是，的一个三等分点，且，，则_______． 【答案】（1）6；（2）①；② 【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算： （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，则； （2）①根据线段中点的定义得到，则；②先求出，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴， 故答案为；6； （2）①∵M、N分别是、的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）综合与探究： 问题情境：已知：，分别是线段，的中点． 初步探究：（1）如图（1），点在线段上，且，，求线段的长． 问题解决：（2）若为线段上任意一点，且，，求出线段的长（用含有，的代数式表示）． 类比应用：（3）若点在线段的延长线上，且，，请你画出图形，并直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）． 拓展延伸：（4）已知：如图（2），为线段的中点，为线段的中点，为线段上任意一点，为线段的中点，，，请你直接写出线段的长（用含有，的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3），图见解析；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键．在不同的情况下，灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性，同时灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点． （1）根据点、分别是、的中点，先求出、的长度，再利用即可求出的长度； （2）当为线段上一点，且、分别是、的中点，可表示线段、的长度，再利用，则存在； （3）点在的延长线上时，根据、分别是、中点，即可求出的长度； （4）根据，，得，根据中点的性质得，所以． 【详解】解：，点是的中点， ， ，点是的中点， ， ， 线段的长度为； ， 点，分别是线段，的中点． ，， ； 当点在线段的延长线时，如图： 得：； 为线段的中点，为线段的中点，， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴， 即． 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 一、解题方法总结（2点） 1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=α），避开单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到一般情况，提炼通用解题模型。 二、解题技巧总结（2点） 1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破解题瓶颈。 2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到一般情况，降低思维难度。 例3．（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点叠放在一起． 【计算与观察】 (1)若，则___________；若，则___________； 【猜想与证明】 (2)猜想与的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若，求的度数． 【答案】(1)， (2)与互补，见解析 (3) 【分析】本题主要考查了余角和补角、角的和差定义等知识点，灵活运用所学知识解决问题成为解题的关键． （1）根据角的和差定义计算即可； （2）利用角的和差定义计算即可； （3）利用（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ， ． ，， ， ． 故答案为：，． （2）解：与互补．理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴与互补． （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴，解得． 【变式4-1】（24-25七年级上·广东河源·期末）【问题背景】 直线相交于点在的逆时针方向），的平分线在直线上． (1)【数学理解】 如图1，平分． ①若，求的度数； ②若，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． (2)【构建联系】 如图2，平分，若，求的度数（用含的代数式表示）． (3)【总结应用】 若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①先根据平角定义求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用对顶角相等得到，另一方面利用余角的定义求出，最后利用角的和差求解即可；②同①思路一致； （2）先利用平角和余角分别求出和，再利用角平分线的定义求出，最后利用角的和差求解即可； （3）从种情况，①当在外时，②当在内时，分别由（1）（2）结论求解即可． 【详解】（1）解：①， ， 平分， ， ， ， ， ； ②， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：，， ，， 平分， ， ； （3）解：①当在外时，如图1， 设， 由（1）知； ∵， ∴， ∴， ∴； ②当在内时，如图2， 由（2）可知， ， ，， ． 综上，的度数为或． 【变式4-2】（24-25七年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线上一点O为端点作射线，，，，使平分，平分，若，求的度数．    特例探究： （1）从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当时，则的度数为______；（直接写出答案，不写过程） （2）受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺角的顶点放在点O处，即当时，请你在图3中求的度数； 数学思考： （3）请你在图1中，求的度数）（用含有的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （2）求得，利用角平分线的定义得，据此求解即可； （3）求得，利用角平分线的定义得求解即可． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ； 故答案为：； （2）因为，所以， 因为平分，ON平分， 所以，， 所以 ； （3）因为，所以， 因为平分，平分， 所以，， 所以 ． 【点睛】本题考查角度计算，涉及角平分线的定义，解题的关键是根据题意得到． 【变式4-3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）同一平面内，将三角板的直角顶点落在直线上，三角板可绕点顺时针旋转，射线平分，设（）． 【特例感知】 （）时，的度数为 ； （）时，的度数为 ； （）如图，时，的度数为 ．（用含的代数式表示）； 【深入探究】 （）如图，时，与之间有怎样的数量关系． 解∶因为，所以， 因为平分，所以∠， 请根据提示，接着完成探究过程∶ ． 【结论应用】 （）如图，同一平面内，将三角板的一条直角边放在直线上，将三角板绕直角顶点以每秒的速度逆时针旋转秒（），平分，平分，当旋转时间为多少秒时，． 【答案】（）；（）；（）；（），补充见解析；（） 【分析】（）平角定义得，进而由角平分线的定义得，再由平角定义得，最后根据角的和差关系即可求解； （）由角的和差可得，进而由角平分线的定义得，最后根据平角定义即可求解； （）同理（）解答即可求解； （）根据题意完成解答过程即可； （）由题意得，进而由特例感知可得，又由角平分线的定义得，即得，最后根据列出方程即可求解； 本题考查了角平分线的定义，角的和差，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （）因为， 所以， 因为平分， 所以∠， 因为， 所以， 所以； （）由题意得，， 又由特例感知可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知线段，点是直线上一点，，则线段的长为（  ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，熟练掌握分情况讨论点的位置是解题的关键．分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别计算线段的长度． 【详解】解：当点在线段上时， ∵ ，， ∴ ； 当点在线段的延长线上时， ∵ ，， ∴ ． 综上，线段的长为或． 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）已知，平分，过点作射线，使得，则度数是（    ）． A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差关系．分两种情况考虑：①射线在内；②射线在内，再根据角的和差求解．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【详解】解：∵，平分，， ∴， ①当射线在内时，如图， ； ②当射线在内时，如图， ； ∴度数是或． 故选：B． 3．（24-25七年级上·河北·期末）若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了两点间的距离，结合题意分情况求解是解题的关键．分靠近和靠近两种情况，结合线段中点定义求解即可． 【详解】解：点是线段中点， ， 点、点是线段上的三等分点， 分靠近和靠近两种情况， 当靠近时，如图，， ， ， ， 当靠近时，如图，，则， ， ， ， 故的长为或． 故选：D ． 4．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“平衡线”若，且射线是的“平衡线”，则的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的计算、一元一次方程的应用等知识点，理解“平衡线”的定义以及分类讨论思想是解题的关键． 根据“平衡线”的定义，分、、三种情况，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：根据“平衡线”的定义，可分三种情况讨论： ①当时，即，解得：； ②当时， ， ，解得：； ③当时， ， ，解得：； 综上，的度数为或或． 故选：D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·辽宁本溪·期中）已知线段，，若A，B，C在同一条直线上，点D是线段的中点，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查与线段中点有关的计算．解题的关键是正确地画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解． 根据点A、B、C的相对位置，分两种情况讨论：点B在线段上或点A在线段上． 【详解】解：∵点D是线段的中点，， ∴， ①当点B在线段上时， ， 点D在线段上， ∴； ②当点A在线段上时， ， 点D在线段上，且， ∵， ∴点A在线段上， ∴， 故答案为：或． 6．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知一条射线，若从点再引两条射线，使，，则的度数为 ． 【答案】108°或12° 【分析】此题考查了角的计算，解题关键：要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 若从点再引两条射线和，首先弄清有两种情况，即或，这样就可根据已知条件求出的度数． 【详解】解：有两种情况： 第一种情况：如图①所示：； 第二种情况：如图②所示：或； 故答案为：或． 7．（2025七年级上·全国·专题练习）定义：在直线l上的三点A，B，C，若满足，则称点C是点A关于点B的“半距点”．如图，若M，N，P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的“半距点”，，则____ ． 【答案】或 【分析】本题考查线段的和差，熟练找出已知条件中线段的和差关系是解题的关键． 对点P在线段之间和在的反向延长线上时的情况，分别画出示意图，再据此进行计算即可． 【详解】解：由题知， 当点P在线段之间时，如图所示， 点P是点M关于点N的“半距点”， 当点P在的反向延长线上时，如图所示， 因为点P是点M关于点N的“半距点”， 综上所述，或 ． 故答案为：或． 8．（2025七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键． 方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决． 【详解】解：由， ， 则， ∵此方程有无数多个解， ∴，， 解得：，， ∴； 分两种情况： ①在内部， 如图： ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴； ②在外部， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为： 或． 三、解答题 9．（24-25七年级上·河南南阳·期末）学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯．下面是张老师在“线段”主题下设计的问题，请你解答． 如图所示，点是线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点 【尝试求解】 （1）当，时，求线段的长度； 【类比探究】 （2）当，时，求线段的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了线段和差的计算以及线段中点的性质，数形结合是解题的关键； （1）根据线段的中点求出和长，根据即可求出答案； （2）根据线段的中点求出和长，即可求出答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∵，点是线段的中点． ∴ ∴ （2）∵，， ∴ ∵点是线段的中点， ∴ ∵，点是线段的中点． ∴ ∴ 10．（24-25七年级上·山东济南·期末）（1）特例探究：如图1，，，射线平分，平分，求的度数； （2）延伸拓展：如图2，，（α，β为锐角，），射线平分，平分．求的度数； （3）迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，已知点C是直线上一点，线段，，点M，N分别为，的中点，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、几何图中角度的计算、与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （2）先计算得出，再由角平分线的定义可得，，最后再由计算即可得解； （3）分两种情况：当点在点的左边时；当点在点的右边时；根据线段的和差以及与线段中点有关的计算方法计算即可得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵射线平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图，当点在点的左边时， ， ∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 如图，当点在点的右边时， ， ∵线段，， ∴， ∵点M，N分别为，的中点， ∴，， ∴； 综上所述，的长为． 11．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，点D是的中点，．(注：把一条线段分成相等的两条线段的点，叫作这条线段的中点) (1)若， ①点D表示的数为 ； ②如图2，线段（E在F的左侧，），线段从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动（点F不与B点重合），点M是的中点，N是的中点，在运动过程中，的长度始终为1，求a的值； (2)若，若，试求线段的长． 【答案】(1)①；②4； (2)3 【分析】本题主要考查了数轴的简单应用，线段中点的定义，利用点在数轴上对应的数字表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）①利用数轴上的点对应的数字和线段中点的定义解答即可；②分别表示出点E，F对应的数字，再利用中点的定义得到点M，N对应的数字，利用列出方程，解方程即可得出结论； （2）设点C对应的数字为c，点D对应的是为d，利用m，n和中点的定义求得点D对应的数字，进而得到的值，利用已知条件列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：①， ． ， ， ∴点C对应的数字为4， ∵点D是的中点， ， 设点D表示的数为x， ， ． ∴点D表示的数为． 故答案为：； ②设运动的时间为t秒， 则点E对应的数字为，点F对应的数字为， ∵点M是的中点，N是的中点， ∴点M对应的数字为，点N对应的数字为， ， ∴． 解得：或， ， ； （2）解：设点C对应的数字为c，点D对应的数为d， ∵点A、B表示的数分别为m、n，点C在点B的右侧，， ． ∵点D是的中点， ， ， ， ， ∴， 解得：． ． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 13．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究． 【问题提出】 ①已知点在线段上，取的中点，的中点，，则是________________． ②小明在研究完之后，发现对于角的问题同样适用，如图，已知，平分，平分，则的度数为____________________． 【变式提升】 ①如图，已知点在线段上，点在点的左边，取的中点，的中点，，则的长为______________（用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，则的度数为_____________________． 【拓展延伸】 ①小明继续探究，如图，已知点在线段上，点在点的右边，取的中点，的中点，，求的长（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） ②如图，已知，平分，平分，求的度数（写出求解推导的过程，用含的代数式表达） 【答案】[问题提出]①6；②；[变式提升]①；②；[拓展延伸]①；② 【分析】本题考查了两点间的距离，角的计算，解题的关键是∶ [问题提出]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [变式提升]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解； [拓展延伸]①根据线段中点的定义得出，，则可求出，即可求解； ②根据角平分线的定义得出，，则可求出，即可求解． 【详解】解：[问题提出]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：6； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； [变式提升]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴， 故答案为：； [拓展延伸]①∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴， 又， ∴； ②∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11线段与角计算问题中涉及数学思想方法的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 压轴专练 典例详解 类型一、分类讨论思想在线段的计算中的应用 、 解题方法总结(2点) 1.定范围，分情况：先明确线段上的动点、分点等关键元素的位置范围，再按“在线段上”“在线段延长 线（正向/反向）上”两类核心情况拆分，避免漏解。 2.设变量，列等式：设未知线段长度为未知数（如x),结合线段和差、中点性质等条件列方程，每类情 况单独求解，最后验证结果是否符合所设范围。 二、解题技巧总结(2点) 1.画图辅助，直观分析：每类情况对应绘制简易线段图，标注己知长度和未知量，快速理清线段间的数 量关系，减少逻辑混乱。 2.检验结果，排除矛盾：求解后对照图形和题意，排除长度为负、位置与假设冲突的错误答案，确保每 类解的合理性。 例1.(25-26七年级上辽宁.期中)已知线段AB=4cm,点C在直线AB上，且BC=3cm,当P为线段BC 的中点，则AP= cm 【变式1-1】(24-25七年级上黑龙江哈尔滨·开学考试)已知，点C是线段AB的一个三等分点，点D为线 段BC的中点，若CD=3,则AB= 【变式1-2】(25-26七年级上全国期末)如图，有一根木棒CD放置在数轴上，它的两端C,D分别落在 点A,B上，将木棒在数轴上水平移动，当CD的中点移动到点B时，点D所对应的数为-2，当CD的四 等分点（不含中点）移动到点A时，点C所对应的数为-9，则木棒CD的长度为 D 0 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】(25-26七年级上河南郑州阶段练习)长方形纸片上有一数轴，剪下16个单位长度（从-4到 12)的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）.若这 三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是 折痕 剪断处 类型二、分类讨论思想在角的计算中的应用 “、 解题方法总结(2点) 1.按位置分类，明确范围：根据角的平分线、射线等关键元素的位置，分“在角内部”“在角外部（两侧） 两类情况讨论，避免遗漏隐藏位置。 2.用性质列方程，逐类求解：借助角的和差、角平分线定义等性质，设未知角度为x,针对每类情况列方 程计算，确保逻辑清晰。 二、解题技巧总结(2点) 1.画图标注，简化关系：每类情况绘制角的示意图，标注己知角、未知角及关键线，直观梳理角度间的 数量关系，降低思考难度。 2.验证结果，排除错误：求解后对照图形和题意，排除角度为负、位置与假设矛盾的答案，保证解的合 理性。 例2.(24-25八年级下·辽宁铁岭阶段练习)水平直线上顺次三点A、0、B,以0点为顶点在直线上方作 ∠C0D=60°，OM、ON分别平分∠AOC和∠BOD,则∠MON的度数是 【变式2-1】(24-25七年级上湖南永州阶段练习)如图，己知0C为从∠A0B顶点出发的射线， ∠AOB=5∠BOC,且∠AOB=120°，射线OM平分∠AOC.平面内有射线0D和射线ON,射线ON平分 ∠BOD.若∠M0N=18°，则∠A0D=」 M 【变式2-2】(24-25七年级下·广东江门期中)如图1，点A、0、B依次在直线MN上.现将射线OA绕点 O沿顺时针方向以每秒4°的速度转动，同时射线OB绕点O沿逆时针方向以每秒6°的速度转动.直线MN保 持不动，如图2.设转动时间为t秒0≤1≤30.转动过程中，当∠A0B=80°时，t的值为」 2/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M A 0 B N M 图1 图2 【变式2-3】(24-25七年级上全国·单元测试)某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O, A在直线MN上，第一步，OA,绕点O顺时针旋转度(0°<<30)至OA,;第二步，OA,绕点O顺时针旋 转2a度至OA,；第三步，OA,绕点O顺时针旋转3α度至OA,,以此类推，在旋转过程中若碰到直线MN则 立即绕点O反方向旋转.当∠A,0A,=35°时，则a等于度. 类型三、整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题 一、解题方法总结(2点) 1,整体思想：化零为整：将待求线段和差视为整体，不单独求各线段长度，利用已知条件中线段的和、 差、倍、分关系，直接代入整体计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊值（如中点、等分点）或特殊位置，计算具体结果，再分析规律， 推导出一般情况下线段和差的表达式。 二、解题技巧总结(2点) 1.整体代换，简化运算：用字母表示整体线段，通过等式变形实现整体代换，避免复杂的分步计算，提 高解题效率。 2.特例切入，突破难点：遇复杂线段和差问题，先找特殊情况入手，总结方法后迁移到一般情况，降低 思维难度。 例3.(24-25七年级上·江苏扬州期末)研究数学问题常常是从特殊走向一般.如图，点A、D、C、E、B 在同一直线上，D是AC的中点，E是CB的中点.如果AB=a,那么DE是多少呢？ A D (I)若AB=20,点C是AB的中点，求DE的长；（请用几何符号语言规范地表达）》 (2)若点C是线段AB上任意一点，那么DE如何用含a的代数式表示？（请用几何符号语言规范地表达） 【变式3-1】(24-25七年级上陕西咸阳阶段练习)追本溯源：题(1)来自课本中的尝试思考，请你完成 解答，提炼方法并完成题(2). 3/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)在直线1上顺次取A,B,C三点，使得AB=4cm,BC=3cm·如果O是线段AC的中点，那么线段AC和 OB的长度分别是多少？ 方法应用 (2)①己知C是线段AB上一点，AB=7cm,BC=3cm,M是AC的中点，则MC= cm; ②如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，AB=I2cm,求MN的长 AM C B 【变式3-2】(23-24七年级上·河南南阳·阶段练习)小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了 探究的兴趣： 如图1，点C在线段AB上，M、N分别是AC、BC的中点.若AB=12,AC=8,求MN的长 A M C N B 图1 (1)根据题意，小明求得MN= (2)小明在求解(1)的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开 始深入探究： 设AB=a,点C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合），小明提出了如下两个问题，请你帮助小明解答， ①如图1，M、N分别是AC、BC的中点，求MN的长. ②如图2，M、N分别是AC,BC的一个三等分点，且AM=;AC,BN=BC,则MN= 3 A M C N B 图2 【变式3-3】(24-25七年级上全国期末)综合与探究： 问题情境：己知：M,N分别是线段AC,BC的中点 A M C N B A D C E M B (1) (2) 初步探究：(1)如图(1)，点C在线段AB上，且AC=9,BC=6,求线段MN的长， 问题解决：(2)若C为线段AB上任意一点，且AC=a,CB=b,求出线段MN的长（用含有a,b的代数 式表示). 类比应用：(3)若点C在线段AB的延长线上，且AC=a,CB=b,请你画出图形，并直接写出线段MN的 长（用含有a,b的代数式表示）. 4/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 拓展延伸：(4)已知：如图(2)，C为线段AB的中点，D为线段AC的中点，E为线段BC上任意一点， M为线段EB的中点，DM=m,CE=n,请你直接写出线段AB的长（用含有m,的代数式表示）， 类型四、整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题 “、 解题方法总结(2点) 1.整体思想：合并求解：将关联角的和或差视为一个整体，用字母表示（如设∠AOB+∠COD=a),避开 单独求每个角，结合角的性质直接列等式计算。 2.从特殊到一般：归纳规律：先取特殊条件（如角平分线、直角）简化运算，得出具体结果，再推广到 般情况，提炼通用解题模型。 二、解题技巧总结(2点) 1.聚焦不变角，简化运算：识别题目中度数不变的角组合，优先作为整体代入，减少未知量，快速突破 解题瓶颈。 2.分步推导，迁移方法：先解决特殊场景下的角和差，梳理思路后，逐步去除特殊条件，将方法迁移到 般情况，降低思维难度。 例3.（2024七年级上·全国·专题练习)学习情境实践探究 【从特殊到一般思想】如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起 B 【计算与观察】 (I)若∠DCE=45°，则∠ACB= 若∠ACB=130°，则∠DCE= 【猜想与证明】 (2)猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由； 【拓展与运用】 (3)若∠DCE:∠ACB=4:5,求∠DCE的度数 【变式4-1】(24-25七年级上·广东河源·期末)【问题背景】 直线EF,CD相交于点O,∠AOB=90(OB在OA的逆时针90°方向)，∠A0F的平分线在直线CD上. 5/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (1)【数学理解】 如图1,0C平分∠A0F. ①若LA0E=50°，求∠BOD的度数； ②若∠AOE=a,请直接写出∠BOD的度数（用含a的代数式表示）. (2)【构建联系】 如图2，OD平分∠AOF,若∠AOE=B,求∠BOD的度数（用含B的代数式表示). (3)【总结应用】 若∠BOD=20°，请直接写出∠DOE的度数 【变式4-2】(24-25七年级上山西吕梁期末)综合与探究 问题情境： 数学活动课上，老师以直线AB上一点O为端点作射线0C,OD,OM,ON,使OM平分∠AOC,ON平 分∠BOD,若LCOD=a,求∠MOC+∠D0N的度数. 图1 图2 图3 特例探究： (1)从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图2，“兴趣小组”将一个三角尺的直角顶点放在点O处，即当 LC0D=90°时，则LM0C+∠D0N的度数为；直接写出答案，不写过程) (2)受“兴趣小组”的启发，“智慧小组”将三角尺60°角的顶点放在点O处，即当∠C0D=60°时，请你在图 3中求∠MOC+∠DON的度数； 数学思考： 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)请你在图1中，求LM0C+∠D0N的度数)（用含有a的式子表示）. 【变式4-3】(24-25七年级上·江苏盐城期末)同一平面内，将三角板C0D的直角顶点0落在直线AB上， 三角板可绕点0顺时针旋转，射线OE平分∠B0C,设∠A0C=a(0°<a<180°). 图 图3 备用图 【特例感知】 (1)∠A0C=80°时，∠D0E的度数为_： (2)∠D0E=35°时，∠A0C的度数为_： (3)如图1,0°<a<90°时，∠D0E的度数为_·（用含a的代数式表示）； 【深入探究】 (4)如图2,90°<M<180°时，∠A0C与∠D0E之间有怎样的数量关系. 解：因为∠A0C=a,所以∠B0C=180°-a, 因为OE平分∠B0C,所以∠C0E=180°-a, 请根据提示，接着完成探究过程：-， 【结论应用】 (5)如图3，同一平面内，将三角板FOG的一条直角边0F放在直线AB上，将三角板FOG绕直角顶点O 以每秒3°的速度逆时针旋转t秒(0<1<60)，OH平分∠A0F,OK平分∠F0G,当旋转时间t为多少秒时， ∠HOK=∠FOG. 3 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)已知线段AB=10cm,点C是直线AB上一点，BC=3cm, 则线段AC的长为() A.7cm B.13cm C.5cm D.7cm或13cm 2.(24-25七年级上浙江杭州·期末)已知∠A0B=110°，0C平分∠A0B,过点0作射线0D,使得 ∠C0D=30°，则∠A0D度数是(). A.90° B.85°或25° C.90°或20° D.90°或30° 3.(24-25七年级上·河北期末)若点C是线段AB中点，点D、点E是线段CB上的三等分点，且EB=4cm ,则AB的长为() A.12cm B.18cm C.24cm D.12或24cm 4.(24-25七年级上，甘肃兰州期末)如图，射线0C在∠A0B的内部，图中共有3个角：∠A0B,∠A0C 和∠BOC,若其中一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线0C是∠AOB的平衡线”若 ∠A0B=72°，且射线0C是∠AOB的平衡线”，则∠A0C的度数为() B A.24° B.24°或36° C.36°或48° D.24°或36°或48° 二、填空题 5.(25-26七年级上·辽宁本溪·期中)己知线段AB=3cm,BC=7cm,若A,B,C在同一条直线上，点D 是线段BC的中点，则线段AD的长为一 6.(25-26七年级上全国·课后作业)已知一条射线AB,若从点A再引两条射线AC,AD,使∠BAC=48°， ∠CAD=60°，则∠BAD的度数为· 7.(2025七年级上·全国.专题练习)定义：在直线1上的三点A,B,C,若满足CB=2CA,则称点C是点 A关于点B的“半距点”.如图，若M,N,P三点在同一直线m上，且点P是点M关于点N的半距点， 8/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 MN=10cm,则PM= cm m M N 8.(2025七年级上·安徽芜湖·竞赛)己知LA0B=25°，过点0作射线OC,OM平分∠C0A, B0C=-m,且 ∠AOCn m,n使关于x的方程2mx-1=6x-3n有无数多个解，则∠B0M= 三、解答题 9.(24-25七年级上河南南阳·期末)学习几何图形时，张老师善于通过“由特殊到一般”的教学方法引导学 生探究几何图形的变化规律，帮助学生形成发展的数学思维习惯，下面是张老师在“线段”主题下设计的问题， 请你解答. 如图所示，点C是线段AB上的一点，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点 A DC E B 【尝试求解】 (1)当AC=10,BC=8时，求线段DE的长度； 【类比探究】 (2)当AC=m,BC=n(m>n时，求线段DE的长度. 10.(24-25七年级上山东济南期末)(1)特例探究：如图1，∠A0B=90°，∠A0C=30°，射线0M平分 ∠B0C,ON平分∠AOC,求∠MON的度数； (2)延伸拓展：如图2，∠AOB=a,∠AOC=B(a,B为锐角，a>B),射线OM平分∠B0C,ON平分 ∠AOC.求∠MON的度数： (3)迁移应用：其实线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，己知点C是直线AB上一点，线段AB=m ,BC=nm>n),点M,N分别为AC,BC的中点，求MN的长. B B 图1 图2 11.(25-26七年级上·四川达州阶段练习)数轴上有A、B、C三点，如图1，点A、B表示的数分别为m、 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 nm<n),点C在点B的右侧，点D是AC的中点，AC-AB=2,(注：把一条线段分成相等的两条线段的 点，叫作这条线段的中点) A D B C A E F B C 图1 图2 (1)若m=-8,n=2, ①点D表示的数为-； ②如图2，线段EF=a(E在F的左侧，a>0),线段EF从A点出发，以1个单位每秒的速度向B点运动 (点F不与B点重合)，点M是EC的中点，N是BF的中点，在EF运动过程中，MN的长度始终为1，求 a的值； (2)若n-m>2,若AD+3BD=4,试求线段AB的长 12.(24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习)新定义：若两个角的和为120°，则称这两个角互为满分角”；例 如∠1=65°，∠2=55°，则∠1与∠2互为“满分角”. D 图1 备用图 图2 备用图 【阅读理解】 (1)如图1，如果∠A0B=50°，射线OD在射线OA上方，∠BOD与∠AOB互为满分角”，则∠A0D= 【初步应用】 (2)若0C,OE为∠AOB内部的两条射线，射线OE平分角∠AOB,若∠BOC与∠AOB互为“满分角”， 且满足∠C0E=15°，求∠BOC的值 【解决问题】 (3)如图2，己知LA0B=100°，射线OM从OA出发，以每秒12°的速度绕0点顺时针旋转，同时，射线 ON从OB出发，以每秒8°的速度绕O点逆时针旋转，设运动的时间为t秒. ①作LB0M的平分线OP,当0<1<5时，∠MOP与∠MON互为满分角”，求运动时间t的值. ②若5<1<12.5，当t= ,时，由OM、ON、OB三条射线形成的角互为满分角” 13.(24-25六年级下·山东淄博·阶段练习)小明同学在学习了线段的中点和角的角平分线后，发现两者在方 法应用方面有相似之处，于是小明进行了下面的探索研究. 10/12