专题15 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024七年级上册

专题15 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 类型二、几何图形中动角求定值问题 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴专练 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 一、核心解题方法（分两点） 1.方向分类法：明确旋转中心与旋转角，按“顺时针旋转”和“逆时针旋转”分类，分别画出对应图形，梳理边、角关系。 2.落点分类法：根据旋转后关键点的落点位置（如在原图形内部/外部、线段上/延长线）分类，结合图形性质列等式求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.固定不变量：旋转中对应边相等、对应角相等，以此为突破口，搭建已知与未知的联系，简化计算。 2.标注临界位置：先确定旋转的临界情况（如关键点与某线段端点重合），再推导其他可能，避免漏解。 例1．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【答案】6或24/24或6 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据直线恰好平分锐角，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 【详解】解：， ， 当直线恰好平分锐角时，如图： ， 此时，三角板旋转的角度为， ； 当在的内部时，如图： 三角板旋转的角度为， ； 的值为：6或24． 故答案为：6或24． 【变式1-1】在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角板中角度计算问题、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题及三角形内角和，根据题意画出图形，再根据角之间的关系结合三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：当时，，分以下两种情况： 如图1所示， ， ； 如图2所示， ， 综上所述，的度数为或 根据答案为：或． 【变式1-2】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ． 【答案】或或或 【知识点】几何图形中角度计算问题、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是角的和差运算．分四种情况分别画出图形，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴； 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴， ∴， 综上：为或或或． 故答案为：或或或． 类型二、几何图形中动角求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数表示法：设基准角为α，用含α的式子表示动角及相关角，结合角的和差、角平分线等性质化简，消去α得定值。 2.方程建模法：设运动时间为t，用“速度×t”表示动角变化量，列角的数量关系等式，化简后证明结果与t无关。 二、关键解题技巧（分两点） 1.紧抓“不变关系”：锁定固定角（如平角、直角）和角的倍数/和差关系，以此为桥梁推导定值。 2.画图标注动态：分阶段画出动角不同位置，标注已知角与动角，直观梳理数量关系，避免思维混乱。 例2．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义． （1）根据即可求解； （2）由可得到，根据角平分线的定义，可得，进而根据角的和差即可求解； （3）由，求得，，根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， 平分，平分， ， ， ； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ． 【变式2-1】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【变式2-2】【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 【答案】（1）；（2）不会变化，定值为；（3） 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先根据角平分线的定义求得和的度数，然后根据求解； （2）根据角平分线的定义得出：， ，然后代入求值即可； （3）根据，，求出，根据角平分线的定义求出，，根据角度间的关系，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）的值是定值；理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ， ∴． ∴的值是定值，定值为； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 代数表达法：设基准角或运动时间为变量（如α、t），用变量表示所有相关角，结合角的和差、角平分线性质列关系式，化简推导数量关系。 2. 特殊值验证法：取动角不同位置的特殊值（如t=0、t=1），计算各角大小，猜想数量关系（相等、倍数、和差定值），再严谨证明。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 锁定“不变量”：抓住固定角（平角、直角）、角的固定比例等不变量，作为推导关系的核心依据。 2. 动态画图辅助：分阶段画出动角不同位置的图形，标注角的数量关系，直观梳理逻辑，避免漏解或错判。 例3．已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先根据角之间的关系得到，再由角平分线的定义得到，则； （2）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式3-1】如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【答案】(1)是锐角，是直角，是钝角，是平角， (2) (3)，（答案不唯一） (4)90 【知识点】角的比较、角的分类、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查锐角、直角、钝角、平角的定义，角度之间的和差关系，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）根据锐角、直角、钝角、平角的定义，结合图形即可求解； （2）根据图形即可求解； （3）根据图形即可求解； （4）由题意可知，结合，即可得． 【详解】（1）解：由图可知，是锐角，是直角，是钝角，是平角， 则； （2）由图可知，； （3）由图可知，，（答案不唯一） （4）∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90． 【变式3-2】已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 【答案】(1) (2)不改变，，理由见解析 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】此题主要考查了角平分线的性质以及角的有关计算，解决问题的关键是根据角的和差关系进行计算． （1）利用角平分线和图形寻找出角之间的关系即可得到结论； （2）分两种情况，找出角之间的关系即可求出结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴； （2）解：①在内部时． 令，则，， ∴， ∴； ②的两边在射线的两侧时．令， 则，，， ∴， ∴． 综上可得，和的数量关系不改变，． 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1.变量建模法：设运动时间为t，用“角速度×t”表示动角变化量，结合角的和差、角平分线等性质，列关于t的一元一次方程求解。 2.分类讨论法：按动角旋转方向（顺时针/逆时针）、与定角的位置关系（重合前/后、内部/外部）分类，每类列方程计算，避免漏解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.标注“基准角”：确定固定不变的角（如平角、直角）作为基准，明确动角与基准角的数量关联，简化列式。 2.画图定临界：先画出动角与定角重合、垂直等临界位置，确定t的取值范围，再推导其他情况，验证解的合理性。 例4．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【答案】(1)t为21 (2)t为22.5秒或24.75秒 【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角板有关的角度计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线的定义可得，从而得到三角板旋转的角度，再结合三角板运动的速度即可解题； （2）根据出现的情况分类讨论，再根据将与的结果关联即可求解． 【详解】（1）解：如图1， 平分， ， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为21时，平分． （2）解：由题可知：当时会出现以下两种情况： ①如图2， 由图可得： ， 又，     ，， 旋转的角度为， （秒）， ②如图3， 由图可得： ， 又， ，， 旋转的角度为， （秒）， 答：当t为秒或秒时，． 【变式4-1】如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了解一元一次方程，角平分线的定义，几何图形中的角度计算； （1）根据角平分线的定义可得，根据题意得，进而根据补角的定义求得，根据，即可求解； （2）根据（1）的方法得出，将代入，解一元一次方程，即可求解； （3）根据（2）可得，将代入，解关于的一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵，为的角平分线， ∴， ∵从初始位置旋转秒， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由（2）可得， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式4-2】【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 【答案】(1)①；；②猜想，理由见解析 (2)①，理由见解析；②3或21 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】此题考查了三角板中角度的技术，解答本题的关键是仔细观察图形，根据图形得出各角之间的关系． （）①本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出，的度数；②根据前两个小问题的结论猜想与的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明； （）①根据（）解决思路确定与的大小并证明即可；②分点G在上方和下方两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：；； ②猜想，理由如下： ∵，， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴ ； ②如图所示，当点G在上方时， ∵， ∴， ∴由（3）①的结论可知，， ∴， ∴；    如图所示，当点G在下方时，则在的基础上再旋转180度时，， ∴； 综上所述，t的值为3或21．    类型五、几何图形中动角之新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义（如“角的衍生概念”“特殊角关系”），将其转化为角的和差、倍数、角平分线等已知几何语言，搭建解题桥梁。 2.变量建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动角及相关角，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.特殊值验证定义：取t=0、t=1等特殊值代入新定义，快速理解本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：按动角旋转方向（顺/逆时针）、与定角的位置关系（内部/外部）分类，确保覆盖所有可能情况。 例5．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【答案】（1）是；（2）20或30或40；（3），，； 【知识点】用代数式表示式、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查新定义下的角的计算，几何图形中的角度计算，理解题意，列出相应的式子求解，是解题关键． （1）根据“量尺金线”的定义进行判断即可； （2）根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论计算即可； （3）射线是的“量尺金线”，在的内部，在的外部，然后分三种情况求解即可． 【详解】解：（1）一个角的平分线中，大角是小角的2倍，满足“量尺金线”的定义， 故答案为：是； （2），射线是的“量尺金线”，根据“量尺金线”的定义分三种情况讨论： 当时，如图， ∵， ∴； 当时，如图， ∵ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上：当为，，时，射线是的“量尺金线”． （3）∵射线是的“量尺金线”， ∴在的内部， ∴在的外部； 分三种情况： ①如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ②如图，当时，如图所示： ∴， ∴； ③当时，如图所示： ∵， ∴， ∴； 综上：当t为或或时，射线是的“量尺金线”． 【变式5-1】【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【答案】（）是；（）或或；（）或或． 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】（）根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义即可求解； （）分三种情况，根据奇妙线定义得到方程求解即可； 本题考查了角平分线定义，角度和差，奇妙线的定义，理解“奇妙线”的定义是解题的关键． 【详解】（）解：根据角平分线的定义可知： 由平分， 得：， 则一个角的角平分线是这个角的“奇妙线”， 故答案为：是； （）当平分时， ∴， 当时， ∴， ， ∴， 则综上可知：的度数为或或； （）由题意得：如图， 则，，则， ∵射线是的“奇妙线”， ∴，即，解得：， ，即，解得：， ，即，解得：， 综上可知：或或． 【变式5-2】[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 【答案】(1)是；不是 (2)①t的值为或；②的度数为或 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了角的计算、角平分线的定义等知识点，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用“双倍和谐线”的定义结合图形进行判断即可； （2）①由题意得：，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程即可；②由题意得：，，，，利用分类讨论的思想方法分或两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴射线是射线，的“双倍和谐线”； ∵平分， ∴， ∴射线不是射线，的“双倍和谐线”． 故答案为：是；不是． （2）解：①由题意得：，． ∵射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时，则：，解得：； 如图所示：当时，则：，解得：； 综上，当射线是射线、的“双倍和谐线”时，t的值为或； ②由题意得：，，，， ∵当射线与射线重合时，运动停止， ∴此时， ∴，解得：． ∴当秒时，运动停止，此时， ∵射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”， ∴或， 如图所示：当时， 即：， 则：，解得：， ∴； 如图所示：当时，即：，则：，解得：， ∴； 综上，当射线位于射线左侧且射线是射线、的“双倍和谐线”时，的度数为或． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是直线上一点，射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，设旋转时间为秒．当时，的值可能为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，：当“追上”前：；当“追上”后：；据此即可求解； 【详解】解：当“追上”前：； 则， 解得：； 当“追上”后：； 则， 解得：； 故选：C 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角，一元一次方程的应用．根据射线旋转的方向和旋转的速度计算出旋转的角度，再根据两条射线形成的夹角的度数列方程求解即可． 【详解】解：当秒时， 顺时针旋转， 逆时针旋转， 此时，故A选项错误，不符合题意； ∵， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 两射线的旋转时间为秒或秒或秒时，故B选项错误，不符合题意； ∵， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 当时，有，， 则有， 即， 解得：， 整个运动过程中，存在的情况，故C选项错误，不符合题意； 当秒时，， ， ， 恰好平分，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 【答案】或 【分析】本题考查了钟面角和一元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值． 【详解】解：∵钟表一周为 ∴分针每分钟走，时针每分钟走， 依题意得， ①当时，，，，不存在相等的两个角， ②当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， ③当时，即：时，，， 此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：， 综上，当或时， 三个角中有两个角相等 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、角度的计算等知识与方法，正确地用代数式表示射线和射线各自转过的角度是解题的关键． （1）因为射线每秒旋转，射线每秒旋转，所以时，，，即可求得的度数； （2）分三种情况，一是、相遇前，二是、相遇后，第一次形成角，三是、相遇后，第二次形成角，分别列方程，求出相应的t值即可． 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 三、解答题 5．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 【答案】(1)120，150 (2)30 (3)或 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角互补，角的和差． （1）根据邻补角互补求出，，再由角的和差即可求出； （2）根据角平分线求出，再由角的和差即可求解； （3）分两种情况讨论：①当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，②当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，根据角的和差分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； 故答案为：120，150； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （3）解：分两种情况： 当三角板绕点O旋转至一边在的内部时，如图， 设的延长线为，则， ∵， ∴， ∵， ∴； 当三角板绕点O旋转至一边不在的内部时，如图： ∵，， ∴； 综上所述，与的关系为：或． 故答案为：或． 6．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)108，24 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）设，则，根据得出，进而得出，根据绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，进而得出的值； （2）设，分两种情况，求出则，由平分，得出，即可求解； 【详解】（1）解：设，则， ，则， 解得：， ， ∵绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转， （秒）， 故答案为： 108，24 ． （2）解：当在内部，如图所示， 设， ， ， 平分， ， ， ， 即； 当时，在的外部（时，重合）， ， ， ∵平分， ， ， ，即， 综上所述：或． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 【答案】(1) (2)①或 ②15 【分析】题目主要考查角平分线的计算，一元一次方程的应用，理解题意，结合图形，分情况分析是解题关键． （1）设的度数为，根据题意列出方程得出，然后利用角平分线计算即可； （2）①根据角平分线得出，，然后分两种情况分析：情况一：如图1，当在右侧时，情况二：如图2，当射线在左侧时，结合图形求解即可；②根据旋转及角平分线作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：设的度数为． 由题意得， 解得． 所以． 因为平分，平分． 所以，． 所以 ． （2）①因为平分．平分， 所以，． 分类讨论，情况一：如图1，当在右侧时， ． 情况二：如图2，当射线在左侧时， ． 综上所述，的度数为或． ②如图3．因为起始位置时，，所以在的右侧． 因为在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒． 所以． 因为射线平分． 所以． 因为． 所以． 因为射线平分． 所以． 又因为， 所以． 解得． 答：的值为15． 8．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 【答案】(1)； (2)，是一个定值，理由见解析； (3)的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出，即可； （3）设，分在内部和在外部，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 射线分别是和的角平分线， ， ； （2）解：，是一个定值，理由如下： 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 故是一个定值，且． （3）解：或． 设，分两种情况： ①如图1，当在内部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图2，当在外部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 9．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 【答案】(1)是 (2)或；27.2或或 【分析】本题考查了新定义，角的数量关系，角平分线的定义，一元一次方程的应用．理解“新生线”的定义是解题的关键． （1）根据“新生线”的定义及计算方法即可求解； （2）①射线在的内部，并且是的“新生线”，分类讨论，当时，当，根据角平分线即可求解； ②到的时间范围为，当追上的时间为，当追上的时间为，分类讨论：第一种情况，当在右侧时，即；第二种情况，当在左侧时，即；第三种情况，当在内部，且在左侧，即；第四种情况，当在内部，且在右侧，即，结合图形分析即可． 【详解】（1）解：∵，设，则， ∴， ∴， ∴是的， ∴是的新生线， 故答案为：是； （2）解：①射线在的内部，并且是的“新生线”， 当时，如图所示， ∵点、、在同一直线上，， ∴． ∴， ∴． ∵平分， ∴； 当时，如图所示， 同理，， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的大小为或； ②射线从出发绕点O以每秒的速度逆时针旋转，绕点O以每秒的速度逆时针旋转， ∴到的时间范围为：． ∵，， ∴， ∴当追上的时间为：， 解得：； 当追上的时间为：， 解得：． 第一种情况，当在右侧时，即，如图， ∴，，， ∵射线平分， ∴． ∵， 当时， ∴， 解得：； 当时， ， ∴， 解得：； 第二种情况，当在左侧时，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：； 第三种情况，当在内部，且在左侧，即，如图， 当时， ∵， ∴， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 第四种情况，当在内部，且在右侧，即，如图， 当时， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 解得：，不合题意，舍去； 当时， ∴， 解得：，不合题意，舍去． 综上可知t的值为27.2或或． 10．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． 11．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 【答案】(1)； (2) (3)①或；② 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解题意并找到各个量之间的关系求出角的度数， （1）根据角平分线的定义得到，于是得到，由于，，即可得到， （2）根据题意得，求得，即可得到结论； （3）①根据题意得，，求得，列方程即可得到结论；②根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：， ∵， ∴， ∵， ∴， （3）解：①∵，， ∴ ∴或， 解得：或， ② ∵，，，， ，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 【答案】； 或； ，或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系、一元一次方程的应用，解决本题的关键是把角的度数用含的代数式表示出来，再根据“满分角”的定义列出关于的一元一次方程，解方程求出的值即可． 根据“满分角”的定义，可知，又因为已知，即可求出的度数，再根据图中角之间的关系求出的度数即可； 设，则有，然后再分当射线在射线上方时，和射线在射线下方时，两种情况求解； 当时，射线与重合，当时，可知，，根据“满分角”的定义，列出关于的方程求解即可； 因为当秒时，射线与重合，当秒时射线与重合，当时，射线与重合，所以要分当时，和当时，两种情况讨论． 【详解】解：与互为“满分角”， ， ， ， ， ， 故答案为：； 解：如下图所示，设， 射线平分角， ， ， 当射线在射线上方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 如下图所示，当射线在射线下方时，， 与互为“满分角”， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或； 解：， 当时，射线与重合， 当时，，， 平分， ， 与互为“满分角”， ， , 解得：； 解：由可知当时，射线与重合， ， 当时，射线恰好与重合， ， 当时，射线旋转到的下方， 当时，射线与重合， 如下图所示，当时，，，， 、、三条射线形成的角互为“满分角”， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(负值，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 如下图所示，当时，，，， 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)； 当和互为“满分角”时， 则有， 解得：； 综上所述，当秒或秒或秒时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”， 故答案为：或或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15 几何图形中的动态旋转问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 类型二、几何图形中动角求定值问题 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 压轴专练 类型一、利用分类讨论思想解决几何图形中旋转多解问题 一、核心解题方法（分两点） 1.方向分类法：明确旋转中心与旋转角，按“顺时针旋转”和“逆时针旋转”分类，分别画出对应图形，梳理边、角关系。 2.落点分类法：根据旋转后关键点的落点位置（如在原图形内部/外部、线段上/延长线）分类，结合图形性质列等式求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.固定不变量：旋转中对应边相等、对应角相等，以此为突破口，搭建已知与未知的联系，简化计算。 2.标注临界位置：先确定旋转的临界情况（如关键点与某线段端点重合），再推导其他可能，避免漏解。 例1．如图①，点O在直线上，过O作射线，三角板的顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．若三角板绕点O按的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 时，直线恰好平分锐角（图②）． 【变式1-1】在同一平面内，将两副直角三角板的两个直角顶点重合，并摆成如图所示的形状．已知，，，若保持三角板不动，将三角板绕点A在平面内旋转．当时，的度数为 ． 【变式1-2】在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请你利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．试探索；保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请写出所有满足题意的的度数 ． 类型二、几何图形中动角求定值问题 一、核心解题方法（分两点） 1.代数表示法：设基准角为α，用含α的式子表示动角及相关角，结合角的和差、角平分线等性质化简，消去α得定值。 2.方程建模法：设运动时间为t，用“速度×t”表示动角变化量，列角的数量关系等式，化简后证明结果与t无关。 二、关键解题技巧（分两点） 1.紧抓“不变关系”：锁定固定角（如平角、直角）和角的倍数/和差关系，以此为桥梁推导定值。 2.画图标注动态：分阶段画出动角不同位置，标注已知角与动角，直观梳理数量关系，避免思维混乱。 例2．在一次数学实践探究活动中，小明和他的同伴们将一个直角三角尺按如图所示方式放置，发现了其中的奥秘． (1)如图①，三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．若，求度数． (2)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的同侧，如图②，若平分，平分，他们发现的度数为定值，请你求出这个定值． (3)绕点P旋转三角尺，使点A，B在直线的异侧，平分，平分，设，如图③，探究的度数． 【变式2-1】已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【变式2-2】【问题情境】已知，，，平分，平分． 【特例分析】（1）如图1，当、重合时，求的值； 【深入探究】（2）如图2，当、不重合，在的下方时，设， 的值是否会因为x的变化而变化? 若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由； 【问题解决】（3）在（2）的条件下，当时，求的度数. 类型三、几何图形中动角探究数量关系问题 一、核心解题方法（分两点） 1. 代数表达法：设基准角或运动时间为变量（如α、t），用变量表示所有相关角，结合角的和差、角平分线性质列关系式，化简推导数量关系。 2. 特殊值验证法：取动角不同位置的特殊值（如t=0、t=1），计算各角大小，猜想数量关系（相等、倍数、和差定值），再严谨证明。 二、关键解题技巧（分两点） 1. 锁定“不变量”：抓住固定角（平角、直角）、角的固定比例等不变量，作为推导关系的核心依据。 2. 动态画图辅助：分阶段画出动角不同位置的图形，标注角的数量关系，直观梳理逻辑，避免漏解或错判。 例3．已知，平分． (1)如图，若，则的度数是______；（直接写出答案） (2)将（1）中的条件“”改为“是锐角”，猜想与的关系，并说明理由． 【变式3-1】如图，，请你根据图形，求解下列问题： (1)在中，哪些角是锐角？哪些角是直角？哪些角是钝角？哪些角是平角？并用“”把它们连接起来； (2)是哪两个角的和？ (3)写出中某些角之间的两个等量关系； (4)如果，则的度数为_________． 【变式3-2】已知O为直线上一点，射线位于直线上方，在的左侧，，． (1)如图1，当平分时，求的度数； (2)点F在射线上，若射线绕点O逆时针旋转（且），．当在内部（图2）和的两边在射线的两侧（图3）时，和的数量关系是否改变，若改变，说明理由，若不变，求出其关系． 类型四、几何图形中动角求运动时间问题 一、核心解题方法（分两点） 1.变量建模法：设运动时间为t，用“角速度×t”表示动角变化量，结合角的和差、角平分线等性质，列关于t的一元一次方程求解。 2.分类讨论法：按动角旋转方向（顺时针/逆时针）、与定角的位置关系（重合前/后、内部/外部）分类，每类列方程计算，避免漏解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.标注“基准角”：确定固定不变的角（如平角、直角）作为基准，明确动角与基准角的数量关联，简化列式。 2.画图定临界：先画出动角与定角重合、垂直等临界位置，确定t的取值范围，再推导其他情况，验证解的合理性。 例4．在数学实验课中，学生进行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如图1所示摆放，边与在同一条直线上（点C与点E重合）．如图2，将三角板从图1的位置开始绕点C以每秒的速度顺时针旋转，当边与边重合时停止运动，设三角板的运动时间为t秒． (1)当t为何值时，平分？ (2)当t为何值时，？ 【变式4-1】如图，为线段上一点，，为的角平分线，定义与重合时为初始位置，将绕着点从初始位置开始，以秒的速度顺时针旋转，至与重合时终止． (1)当从初始位置旋转秒，求此时的度数； (2)当从初始位置旋转至时，求此时的值； (3)当从初始位置旋转至时，__________秒（用含有m的代数式直接表示）． 【变式4-2】【实践操作】三角尺中的数学    (1)如图1，将两块三角尺的直角顶点C叠放在一起，． ①若，则 ；若，则 ； ②猜想与的大小有何数量关系，并说明理由． (2)如图2，若是将两个同样的含锐角的直角三角尺叠放在一起，其中锐角的顶点A重合在一起，． ①探究与的大小有何数量关系，并说明理由； ②若一开始就将与完全重合（与重合），保持不动，将绕点A以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为t．在旋转的过程中，t为何值时． 类型五、几何图形中动角之新定义型问题 一、核心解题方法（分两点） 1.定义转化法：精读新定义（如“角的衍生概念”“特殊角关系”），将其转化为角的和差、倍数、角平分线等已知几何语言，搭建解题桥梁。 2.变量建模法：设运动时间为t，用含t的式子表示动角及相关角，结合转化后的定义条件，列一元一次方程或绝对值方程求解。 二、关键解题技巧（分两点） 1.特殊值验证定义：取t=0、t=1等特殊值代入新定义，快速理解本质，避免误解题意。 2.分类讨论位置：按动角旋转方向（顺/逆时针）、与定角的位置关系（内部/外部）分类，确保覆盖所有可能情况。 例5．【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”． 【问题感知】 （1）一个角的平分线________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”） 【问题初探】 （2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，则的度数为________； 【问题推广】 （3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点P按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．当t为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含x的式子表示出t即可） 【变式5-1】【问题初探】 在一个角的内部，从顶点画一条射线，得到三个角，若其中有一个角是另一个角的倍，则称这条射线是已知角的“奇妙线”． 例如：图中，则射线是的“奇妙线”． （1）一个角的角平分线______这个角的“奇妙线”；（填“是”或“不是”） 【类比分析】 （2）如图，若，在内部画一条射线，使是的“奇妙线”，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图，若，且射线绕点从位置开始以每秒的速度逆时针旋转，同时射线以每秒的速度也绕点逆时针旋转，当射线与射线重合时全部停止运动．设旋转时间为秒，请直接写出为何值时，射线是的“奇妙线”． 【变式5-2】[阅读理解]定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”，如图1，点P在直线l上，射线，，位于直线l同侧，若平分，则有，所以我们称射线是射线，的“双倍和谐线”． [迁移运用] (1)如图1，射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”；射线_____（选填“是”或“不是”）射线，的“双倍和谐线”； (2)如图2，点O在直线上，，，射线从出发，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线与射线重合时，运动停止． ①当射线是射线，的“双倍和谐线”时，求t的值； ②若在射线旋转的同时，绕点O以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分，当射线位于射线左侧且射线是射线，的“双倍和谐线”时，求的度数． 一、单选题 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是直线上一点，射线、分别从、同时出发，以每秒和每秒的速度绕点顺时针旋转，设旋转时间为秒．当时，的值可能为（   ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，点，，依次在直线上；如图，现将射线绕点沿顺时针方向以每秒的速度旋转，同时射线绕点沿逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转时间为秒（）．下列说法正确的是（   ） A．当值为秒时， B．当时，两射线的旋转时间一定为秒 C．整个运动过程中，不存在的情况 D．当值为秒时，射线恰好平分 二、填空题 3．（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为 （本题中所有角的度数均不超过 ）． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 三、解答题 5．（24-25七年级上·全国·期末）如图1，已知，点为直线上一点，在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为________，的度数为________； (2)如图2，当三角板绕点旋转至一边恰好平分时，求的度数； (3)在三角板绕点旋转一周的过程中，求与之间的数量关系． 6．（24-25七年级下·重庆石柱·开学考试）如图1，点在直线上，．已知，的两边分别与射线重合，现将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，设旋转的时间为秒．（题目中所指的角均大于且小于） (1)如图 2 所示，当时，若，且射线在内部，则___________，此时的值为___________； (2)当时，若平分，请探究与的数量关系，并说明理由． 7．（24-25七年级上·河北邢台·期末）已知补角的度数是度数的，，，都是内的射线． (1)如图10，若平分，平分，当绕点在内旋转时，求的度数． (2)若也是内的射线，且，平分，平分． ①当绕点在内旋转时，求的度数； ②若起始位置时，当在内绕着点以2度/秒的速度逆时针旋转秒时，．求的值． 8．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 9．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期末）定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线，与角的一条边组成的角是原来的角的 则这条射线叫原来角的“新生线”． (1)如图1，，射线　　的“新生线”（填“是”或“不是”）； (2)点M、O、N在同一直线上， ①在图2中， ，射线在的内部，并且是的“新生线”， 平分， 求的大小； ②如图3，，，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，运动时间为秒，若在射线旋转的同时，绕点以每秒的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线平分．当射线与射线重合时，运动都停止．当射线是的“新生线”时，直接写出t的值． 10．（24-25七年级上·湖南张家界·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 11．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）将一副直角三角板按如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转t秒． (1)如图2，当 秒时，平分，此时 ； (2)继续旋转三角板，如图3，使得、同时在直线的右侧，猜想与有怎样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含t）； (3)直线的位置不变，若在三角板开始顺时针旋转的同时，另一个三角板也绕点O以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至射线上时，两个三角板同时停止运动． ①当 秒时，； ②请直接写出在旋转过程中，与的数量关系（数量关系中不能含t）． 12．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）新定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“满分角”；例如，，则与互为“满分角”． 【阅读理解】 （1）如图，如果，射线在射线上方，与互为“满分角”，则________． 【初步应用】 （2）若，为内部的两条射线，射线平分角，若与互为“满分角”，且满足，求的值． 【解决问题】 （3）如图，已知，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，设运动的时间为秒． 作的平分线，当时，与互为“满分角”，求运动时间的值． 若，当________，时，由、、三条射线形成的角互为“满分角”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $