专题12 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 类型二、角中单条角平分线的计算问题 类型三、角中双条角平分线的计算问题 类型四、角中多条角平分线的计算问题 类型五、与余角、补角有关的计算问题 压轴专练 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2：∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1 ∠AOB-∠2. 例1.(24-25七年级下·湖南湘西开学考试)若∠A0B=90°，∠B0C-30°，则∠A0C的度数是 【变式1-1】(24-25七年级上辽宁盘锦期末)己知LA0B=90°，LA0B:LA0C=3:2,则∠B0C的度数 为 【变式1-2】(2024七年级上全国·专题练习)以∠A0B的顶点0为端点引射线0C,使 LA0C:LB0C=5:4.若∠AOB=15°，求∠A0C的度数. 【变式1-3】(24-25六年级下·山东泰安阶段练习)如图，己知∠A0B=120°，射线0C是∠A0B内部的一 条射线，且∠AOC:∠B0C=1:2. 1/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A (1)求∠A0C的度数： (2)若过点0作射线0D,使∠A0D=?∠A0B,求∠C0D的度数. 类型二、角中单条角平分线的计算问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是∠AOB 的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC青∠AOB. y C 2 B 例2.(24-25七年级上·全国期末)如图，已知∠A0B=120°，0C是∠A0B内的一条射线，且 ∠AOC:∠BOC=1:2. O y (1)求∠A0C的度数： ②过点0作射线0D,者∠40D=408,求∠c0D的度数， 【变式2-1】(23-24七年级上广东期末)己知：如图，0是直线AB上的一点，∠C0D=90°，OE平分 ∠BOC. E D 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠A0C=30°，求LC0E的度数： (②)若∠A0C=a,求∠D0E的度数（用含a的代数式表示）. 【变式2-2】(24-25七年级上全国期末)已知O是直线AB上一点，∠C0D是直角，OE平分∠B0C. H ① ② (1)如图①所示，若∠A0C=60°，则∠D0E的度数为 ;若∠AOC=a,则∠D0E的度数为 (用 含a的式子表示)： (2)将图①中的∠D0C绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究∠DOE和LAOC度数之间的关系，并说明理由. 【变式2-3】(24-25七年级上江苏苏州期末)点0为直线AB上一点，在直线AB上方作射线0C,使 ∠B0C=50°，直角三角板DOE的直角顶点放在O处.将直角三角板DOE绕点0转动，在转动过程中，直 角边OE始终保持在直线AB上或上方， B 0 图1 图2 备用图 (I)如图1，若三角板D0E的直角边OE在射线OA上，则∠C0D=°； (2)绕点0转动三角板D0E, ①如图2，当OE恰好平分∠AOC时，试说明OD平分∠B0C; ②在转动过程中，试探究∠COE与∠BOD之间的数量关系，并给出证明. 类型三、角中双条角平分线的计算问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），己知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 3/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 1)双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC; 结论：∠D0E=)∠4OC 证明：，OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC, ∠D0B+∠B0E-408+0c-A0C 1 2 .∠DOE=5∠AOC。 2)双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，己知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC; 结论：2D0E=40c 证明：，'OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC, ∴∠DOB=∠AOB,∠BOE=1∠BOC, ∴.∠BOE-∠DOB= L∠B0C- AOB=∠A0c, 2 ∴.∠DOE= 2<A0c。 例3.(24-25七年级下·贵州贵阳·期中)如图，已知直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,OF平分 ∠C0B,∠A0D:∠D0E=4:1. D B F (1)试说明：0E10F; 4/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)求LA0F的度数. 【变式3-1】(24-25七年级上·河南洛阳期末)如图所示，∠A0B=90°，0M是∠A0C的平分线，ON是 ∠BOC的平分线. M B (1)求∠MON的度数； (2)如果LA0B=100°，那么∠MON等于多少？ (3)如果∠AOB=a,那么∠MON等于多少呢？ 【变式3-2】(23-24七年级上·福建漳州期末)点O为直线MW上一点，在直线MN同侧作射线OA、OB, 使得∠A0B=90°. M 0 图1 图2 备用图 (1)如图1，过点O作射线0C,若0C平分∠MOB,且∠A0C=20°，求∠B0N的度数； (2)如图2，过点O作射线0C、0D,若0C平分∠AOM,0D平分∠A0B,且∠C0D=78°，求∠B0N的 度数： (3)过点O作射线0C,当OA恰好为∠C0M的平分线时，另作射线0D,使得0D平分∠A0B,当 ∠COD=a时，求∠BON的度数（用含的代数式表示）. 【变式3-3】(24-25七年级上全国期末)在∠A0B内部作射线0C,0D,0A在OB的右侧，且 ∠A0B=2∠C0D. D 图1 图2 (1)如图1，若∠AOB=140°，OE平分∠AOD,OF平分∠B0C,则LE0F=-; (2)如图2，OE平分∠BOD，,探究∠AOD与∠C0E之间的数量关系，并证明； 5/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)设∠COD=m°，OC在0D的左侧，过点O作射线OE,使0C为LB0E的平分线，再作∠COD的平分线 OF,若LCOE=2LEOF，画出相应的图形并求出∠B0E的度数.（用含m的式子表示） 类型四、角中多条角平分线的计算问题 Az As M Bs B2 B B 条件：如图，∠AOB=,OA、OB分别是∠AOM和∠MOB的平分线，OA、OB2分别是∠A,OM和 ∠MOB,的平分线，OA、OB,分别是∠AOM和∠MOB2的平分线，，OAn,OBn分别是∠An-OM和 ∠M0B.的平分线：结论：AOB,-是 证明：∠AOB=a,OAOB,分别是∠AOM和∠MOB的平分线， 40M-40M,∠oM-B0w. ∠40a-1oN+B0n-=408=a, :OA2、OB2分别是∠A,OM和∠MOB,的平分线， ∠4oM=号40M,∠B,oM=<BoM. ∠408，-A0w+∠a0w)-40a-408=号 23, :OA、OB,分别是∠A,OM和∠MOB2的平分线， ∠AoM-AoM,∠BoM-BoM, 408uA0w+8on)=片40a=408-宁408 23，, 由此规律特：∠AO8,号。 例4.(24-25七年级下·重庆开学考试)如图1，已知LA0B=120°，∠C0D=60°，0M在∠A0C内，ON 车∠B0D肉，∠A0M-兮40C,∠B0N-写B0D.(本题中所有角均大于0P且小于等于I80°) 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B B(C) M M N O D D 图1 图2 (I)LC0D从图1中的位置绕点0逆时针旋转到0C与OB重合时，如图2，则∠MON=; (2)LC0D从图2中的位置绕点0顺时针旋转n°(0<n<180且n≠60a,其中a为正整数)，直接写出所有使 ∠M0N=2∠B0C的n值. 【变式4-1】(24-25七年级上江西上饶期末)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成1：2的两个角的射 线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条.例如：如图①，若∠B0C=2∠A0C,则0C是 ∠AOB的一条三分线. B A 图① 图② (1)已知：如图①，0C是∠A0B的一条三分线，且LB0C>LA0C,若LA0B=60°，求∠A0C的度数； (2)已知：∠A0B=90°，如图②，若OC,OD是∠A0B的两条三分线，求∠C0D的度数. 【变式4-2】(24-25七年级上·四川成都期末)若同一平面内三条射线0A、0B、0C有公共端点，且满足 LA0C)∠B0C时，我们称0C是(04,0B)的“新风尚线”，但0C不是(0B,0A)的“新风尚线页 果∠A0C=B0C或者∠B0C=∠10C,我们称0C是01和08的r新风尚线： G M 0 B 图(1) 图(2) (1)如图(1)，己知LG0N=120°，∠M0N=60°，0E、0F是∠M0N的三等分线，则射线_是(0M,0N) 的“新风尚线”； (2)如图(2)，若∠A0B=30°，0C是(0A,0B)的“新风尚线”，求∠B0C. 7/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、与余角、补角有关的计算问题 1.记住定义，用好公式 两个角加起来等于90°，它们互为余角。 两个角加起来等于180°，它们互为补角。 遇到”一个角的余角”或”补角”时，直接用90°或180°减去这个角即可。 2.善用方程，解决复杂问题 当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。 通常设“这个角”为x°，然后根据题意列出方程。 例如：”一个角的补角比它的余角大多少度？” 列出算式：(180-x)-(90-x)=90,轻松求解。 3.利用性质，简化计算 记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。 例如：如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3。 这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。 例5.(24-25七年级上吉林期末)已知一个角的余角比这个角小18°，求这个角的补角. 【变式5-1】(24-25七年级上湖南常德期末)如图，已知点0是直线AB上一点，∠B0C=100°， ∠C0D=90°，0M平分∠A0C. C M B D (①)求∠MOD的度数： (2)若∠C0P与LC0M互余，求LCOP的度数. 7.(24-25七年级上·云南昆明·期末)如图，在∠A0B的内部作射线0C,使∠A0C与∠A0B互补，将射 线OA,0C同时绕点O分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA,0C分别记 为0M,ON,设旋转时间为t秒，己知t<30,∠AOB=114° 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B -M (1)LA0C=°； (2)在旋转的过程中，当∠C0M与∠BON互余时，求t的值. 8.(24-25七年级上湖南长沙期末)如图，∠A0C与∠B0C互为补角，∠B0C与∠BOD互为余角. O B D (1)若∠B0D=2025',求∠B0C的大小： (2)若∠B0C=4∠B0D. ①求∠BOD的度数； ②如果OE平分∠AOC,求∠B0E的度数. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下河南阶段练习)已知∠1=130°，∠2与∠1互补，则∠2的余角为() A.50° B.40° C.30° D.20 2.(24-25七年级上河南商丘期末)如图，将一副三角板如图放置，LC0D=25°，则∠A0B的度数为() B A.125° B.135 C.145° D.155 3.(24-25七年级下·河南安阳·阶段练习)已知在平面内，∠A0C=50°，∠B0C=30°，0D平分∠B0C,则 ∠AOD的度数为() 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.35 B.40° C.35°或40 D.35°或65° 4.(24-25七年级下·河南郑州期中)如图，点0是直线MN上一点，OB平分∠AOM,∠AOC=90°，则以 下结论：0∠M0C与∠40N互为余角：②∠C0M-∠408，®∠A0N=2∠B0C:@若40N:52, 则∠A0B=64°.其中正确的是（) B 0 N A.①④ B.③④ C.①③④ D.①②③④ 523-24七年级上浙江台州期末)已知0C是∠A0B的平分线，∠B0D=∠C0D,0E平分∠C0D,设 ∠A0B=a,则∠BOE=() 6a或a 。 C.1 1 D. 6 6.(24-25七年级上·全国·期末)如图，己知∠A0B=90°，∠C0D在∠A0B内部且∠C0D=45°.下列说法： ①如果∠A0C=∠B0D,则图中有两对互余的角；②如果作OE平分∠BOC,则∠A0C=2∠D0E;③如 果作OM平分∠AOC,ON在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON;④如果在∠AOB外部分别 作∠AOC,∠BOD的余角∠A0P,LB0Q,则∠AOP+∠BOQ=3∠COD.其中正确的个数是() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 7.(25-26七年级上·全国课后作业)如图，若射线0C,0D把∠A0B三等分，则∠C0D=∠A0B ,∠A0D=∠ 10/15 专题12 角的和与差及角平分线问题的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、角的和与差的计算问题 类型二、角中单条角平分线的计算问题 类型三、角中双条角平分线的计算问题 类型四、角中多条角平分线的计算问题 类型五、与余角、补角有关的计算问题 压轴专练 类型一、角的和与差的计算问题 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 例1．（24-25七年级下·湖南湘西·开学考试）若，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和与差．分两种情况：若在的内部；若在的外部，解答即可． 【详解】解：若在的内部， ∵ ∴； 若在的外部， ∵ ∴； 综上所述，的度数是或． 故答案为：或 【变式1-1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角的和差，解题的关键是采用分类讨论的数学思想． 先根据比值求出的度数，再分情况求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 【变式1-2】（2024七年级上·全国·专题练习）以的顶点为端点引射线，使．若，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算．属于基础题，解题的关键是分两种情况进行讨论． 分射线在的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况：①如图1，当射线在的内部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴； ②如图2，当射线在的外部时， ∵， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上：或． 【变式1-3】（24-25六年级下·山东泰安·阶段练习）如图，已知，射线是内部的一条射线，且．    (1)求的度数； (2)若过点作射线，使，求的度数． 【答案】(1)； (2)的度数为或． 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）利用角的和的关系，设未知数求解的度数． （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：设， 又，即 ； （2）解：， 情况一：当射线在内部时，如图，   ， 情况二：当射线在外部时，如图，   ， 综上，的度数为或． 类型二、角中单条角平分线的计算问题 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 例2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，是内的一条射线，且． (1)求的度数； (2)过点O作射线，若，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了角的和差关系以及分类讨论思想，熟练掌握角的和差运算，根据射线的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）根据，，即可求解； （2）根据已知条件求出的度数，再分射线在内部和外部两种情况，结合的度数，求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2） 解：∵， ∴， 当在内时， ， 当在外时， ． ∴的度数为或． 【变式2-1】（23-24七年级上·广东·期末）已知：如图，O是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图中角度的计算等知识． （1）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数； （2）利用平角减求出，再利用角平分线定义求出的度数，再由减去就是的度数． 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵平分， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式2-2】（24-25七年级上·全国·期末）已知O是直线上一点，是直角，平分． (1)如图①所示，若，则的度数为________；若，则的度数为______（用含a的式子表示）； (2)将图①中的绕点O顺时针旋转至②的位置，试探究和度数之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由：见解答过程 【分析】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键． （1）首先求得的度数，然后根据角平分线的定义求得的度数，再根据即可求解；解法与（1）相同，把（1）中的改成a即可； （2）把的度数作为已知量，求得的度数，然后根据角的平分线的定义求得的度数，再根据求得，即可解决． 【详解】（1）解：∵， ， 又 ∵平分， ， 又 ∵， ； 若，同理； 故答案为：；； （2）解：，理由如下： ，平分， ， ∴ ． 【变式2-3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）点为直线上一点，在直线上方作射线，使，直角三角板的直角顶点放在处．将直角三角板绕点转动，在转动过程中，直角边始终保持在直线上或上方． (1)如图，若三角板的直角边在射线上，则______； (2)绕点转动三角板， ①如图，当恰好平分时，试说明平分； ②在转动过程中，试探究与之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②当在上方时，；当在下方且在上方时，；当在下方且在下方时，，证明见解析 【分析】（）根据平角的定义解答即可； （）①设，可得，即得，，即得到，即可求证；②分三种情况：当在上方时；当在下方且在上方时；当在下方且在下方时，分别画出图形，利用角的和差关系解答即可求证； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：①设， ∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； ②当在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在上方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在下方且在下方时，． 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型三、角中双条角平分线的计算问题 共顶点的三条射线组成的三个角中（两角共一边），已知任意两个角的平分线，求角平分线夹角。 图1 图2 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC， ∴，， ∴， ∴。 例3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）如图，已知直线，相交于点，平分，平分，． (1)试说明：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）由条件可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）由条件可知， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南洛阳·期末）如图所示，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，那么等于多少？ (3)如果，那么等于多少呢？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据，，求出结果即可； （3）根据，，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ，， ， ∵， ． （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴； （3）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴． 【变式3-2】（23-24七年级上·福建漳州·期末）点O为直线上一点，在直线同侧作射线、，使得． (1)如图1，过点O作射线，若平分，且，求的度数； (2)如图2，过点O作射线、，若平分，平分，且，求的度数； (3)过点O作射线，当恰好为的平分线时，另作射线，使得平分，当时，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，几何图形中角度的计算． （1）先求出的度数，再根据角平分线得到，平角的定义，求出的度数，即可； （2）根据角平分线平分角推出，再根据平角的定义，求出的度数，即可； （3）分当在右侧和在左侧，两种情况进行讨论求解即可． 正确的识图，找准角度之间的关系，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ； （2）解：平分，平分， ，， ， ． ， ． （3）解：①如图，当在右侧时， 平分，， ． 为的平分线， ， ． ②如图，当在左侧时， 平分， ， ， 为的平分线， ， 的度数为或． 【变式3-3】（24-25七年级上·全国·期末）在内部作射线在的右侧，且． (1)如图1，若平分平分，则 ； (2)如图2平分，探究与之间的数量关系，并证明； (3)设在的左侧，过点O作射线，使为的平分线，再作的平分线，若，画出相应的图形并求出的度数．（用含m的式子表示） 【答案】(1)105° (2) (3)画图见解析， 【分析】本题考查了角的平分线的性质、角的和差运算及几何探究问题，解题的关键是通过设未知数表示相关角的度数，结合角平分线定义和已知条件建立等量关系求解． （1）由的度数得的度数，设和的度数，结合角的和差得两角之和；利用角平分线性质表示相关角，进而通过和差计算的度数． （2）设和的度数，再设和的度数，由角的和差得关系；结合角平分线定义表示，通过和差推出与的数量关系并证明． （3）设的度数，结合角平分线定义表示和的度数；分的两种位置情况，根据建立方程，求解得的度数． 【详解】（1）解：∵，且， ∴． 设， ∵、、、顺时针顺次排列， ∴，即， ∴． ∵平分平分， ． 故答案为：． （2）解：，证明如下： 设，则． 设， ∵， ∴，即． ∵平分，且， ． ∵， ． 又， ∴， ， ∴，即． （3）解：∵为的平分线， ∴设，则． ∵为的平分线，， ． 分两种情况： ①当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ②当在与之间时，， ∵， ∴，解得， ∴． ∵， ∴此时点A、E、D三点重合，不符合题意． 综上，． 类型四、角中多条角平分线的计算问题 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：∵分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ， 、分别是和的平分线， ， ，…， 由此规律得：。 例4．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 【变式4-1】（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 【变式4-2】（24-25七年级上·四川成都·期末）若同一平面内三条射线有公共端点，且满足时，我们称是（）的“新风尚线”，但不是（）的“新风尚线”．如果或者，我们称是和的“新风尚线”． (1)如图（1），已知，是的三等分线，则射线 是（）的“新风尚线”； (2)如图（2），若，是（）的“新风尚线”，求． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据角之间的关系得到，则，再由三等分线的定义得到，则，据此可得结论； （2）分当在内部时，当在外部时，两种情况根据“新风尚线”的定义讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的三等分线， ∴， ∴， ∴射线是（）的“新风尚线”； （2）解：如图所示，当在内部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 如图所示，当在外部时， ∵是（）的“新风尚线”， ∴， ∴ 综上所述，的度数为或． 类型五、与余角、补角有关的计算问题 1.记住定义，用好公式 - 两个角加起来等于 90°，它们互为余角。 - 两个角加起来等于 180°，它们互为补角。 - 遇到"一个角的余角"或"补角"时，直接用 90° 或 180° 减去这个角即可。 2.善用方程，解决复杂问题 - 当问题涉及多个角的关系时，设未知数是最佳策略。 - 通常设"这个角"为 x°，然后根据题意列出方程。 - 例如："一个角的补角比它的余角大多少度？" - 列出算式： (180 - x) - (90 - x) = 90 ，轻松求解。 3.利用性质，简化计算 - 记住一个重要性质：等角或同角的余角相等，补角也相等。 - 例如：如果∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90°，那么∠2 = ∠3。 - 这个性质能帮你绕开复杂计算，直接得出角相等的结论。 例5．（24-25七年级上·吉林·期末）已知一个角的余角比这个角小，求这个角的补角． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，一元一次方程的应用，理解余角和补角的概念是解题关键．设这个角的度数为，根据题意列方程，求出，再求补角即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 则， 解得：， 则这个角的补角为． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖南常德·期末）如图，已知点是直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角、平角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义求出，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，在的内部作射线，使与互补，将射线，同时绕点O分别以每秒，每秒的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线，分别记为，，设旋转时间为t秒，已知． (1)______°； (2)在旋转的过程中，当与互余时，求t的值． 【答案】(1) (2)当与互余时，t的值是秒或秒 【分析】本题考查了补角的定义，角的和差，一元一次方程的应用及分类讨论的数学思想．熟记补角的定义是解（1）的关键，分类讨论是解（2）的关键． （1）利用互补的定义列式计算； （2）分两种情况：利用，列方程解出即可． 【详解】（1）解：∵与互补， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时，射线在内部，射线在内部， 由题意得， 解得：； 当时，射线在外部，射线在外部， 由题意得， 解得：． 综上所述，当与互余时，的值为或． 8．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如图，与互为补角，与互为余角． (1)若，求的大小； (2)若． ①求的度数； ②如果平分，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角与补角等知识，解题的关键是： （1）根据余角的定义求解即可； （2）①根据余角的定义求解即可；②先根据补角的定义求出的度数，然后根据角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：因为与互余，， 所以； （2）解：①因为与互为余角，所以. 因为，所以，即.       ②由①       因为与互为补角，所以. 所以. 因为平分，所以.       所以. 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南·阶段练习）已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角与补角，解题的关键是熟记概念，余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 根据与互补求出，再计算的余角即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， ∴的余角为． 故选：B． 2．（24-25七年级上·河南商丘·期末）如图，将一副三角板如图放置，，则的度数为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角板中的余角和补角的计算，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 依据题意，由，从而，进而可得解． 【详解】解：， ，即， ， 故选：． 3．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）已知在平面内，，，平分，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了角的计算，根据题意可得此题要分两种情况，一种是在内部，另一种是在外部． 【详解】解：①射线在的外部，如图， ∵平分， ∴， ∴； ②射线在的内部，如图， ∵平分， ∴， ∴． 综上，的度数为或． 故选：D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，点是直线上一点，平分，则以下结论：①与互为余角；②；③；④若，则．其中正确的是（　　） A．①④ B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，理解题意，弄清各角之间的关系是解题关键． 由余角得定义即可判断①；设，则，那么，则，即可判断②③；由于则 ，进而得到，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∴与互为余角，故①正确； 设， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故③正确，②错误； ∵，即， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的有①③④， 故选：C． 5．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知或． 故选：A． 6．（24-25七年级上·全国·期末）如图，已知，在内部且下列说法：①如果，则图中有两对互余的角；②如果作平分，则；③如果作平分，在内部，且，则平分；④如果在外部分别作，的余角，，则．其中正确的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线定义以及角的计算，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．首先求出，再根据互余的角的定义即可判断①正确；设，根据角平分线定义以及角的和差定义求出，即可判断②正确；设，则，根据角平分线的定义得到，求得，得到不一定等于，故③错误；设，根据角的和差定义可得，，即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ①∵， ∴， ∴， ∴， ∴图中有4对互余的角，故①错误； ②设，则， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴不一定等于， 即不是的平分线，故③错误； ④设，则， ∴， ∵， ∴，故④正确． 故选：B． 二、填空题 7．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，若射线，把三等分，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，与角平分线有关的计算，先理解射线，把三等分，则则，再根据角度的运算，即可得出． 【详解】解：∵射线，把三等分， ∴ ∴， 则 故， 故答案为：，． 8．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 【详解】解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图，桌面上平放着一把长方形直尺和它上方的一块三角板，小明将三角板的直角顶点C紧靠直尺的边缘，若分别作出与的平分线与．则 ． 【答案】225 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据平角的定义结合角平分线的定义得到，再根据角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∵与分别是与的平分线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：225． 10．（24-25七年级上·江西南昌·期末）如图，已知，是的三等分线，射线在内部，且，则的大小等于 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的和差计算，理解图示，掌握角的三等分线的定义，角和差计算方法是解题的关键． 根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】解：∵，是的三等分线， ∴每一份是， 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 如图所示，， ∴， ∴； 故答案为：或或 ． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图所示，已知，，，且．①图中小于平角的角共有6个；②图中所有小于平角的角之和为；③当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于；④若，，当绕点旋转一周，平分，平分，则始终等于．其中正确的结论 （填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查了角的定义以及角的分类，角平分线的定义，角度和差的计算，根据题意画出图形，分类讨论，逐项分析判断，即可求解．分类讨论是解题的关键．根据角的定义，数出角的个数，即可判断①，根据图形结合已知将①中的6个角相加，即可判断②，分四种情况分别画出图形，根据角平分线的定义结合图形即可判断③，分三种情况讨论，分别画出图形，即可判断④，即可求解． 【详解】解：图中小于平角的角有：，共有6个，故①正确； ②图中所有小于平角的角之和为 ，故②正确； ③当绕点旋转一周， 如图所示，当在内部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在外部时 ∵平分，平分， ∴， ∴ 当在内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴， ∴ 综上所述，始终等于，故③正确； ④若，，当绕点旋转一周， 如图所示，当在的内部，在外部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ 如图所示，当在的外部，在内部时， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 如图所示，当、在的外部， ∵平分，平分， ∴ ∴ ； 始终等于或，故④不正确． 故答案为：①②③． 12．（2023七年级上·全国·专题练习）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫做这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则OB是的一条三分线．    （1）如图1，若，则 ； （2）如图2，若，，是的两条三分线，且． ①则 ； ②若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为 ． 【答案】 /度 /度 或 【分析】本题属于新定义类型的问题，主要考查了角的计算，解决问题的关键是掌握角的三分线的定义，解题时注意分类思想的运用，分类时不能重复，也不能遗漏． （1）根据三分线的定义计算即可； （2）①根据三分线的定义计算即可；②根据三分线的定义可得，由旋转得，然后分两种情况：当是的三分线，且时；当是的三分线，且时，分别求出和的值即可． 【详解】解：（1）解：∵， ∴, 故答案为：； （2）①∵，是的两条三分线，， ∴， 故答案为：； ②∵，，是的两条三分线， ∴， 由旋转得：， 分两种情况： 当是的三分线，且时，可得， ∴， ∴，即； 当是的三分线，且时，可得， ∴，即； 故答案为：或． 三、解答题 13．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图，平分，点D在射线的反向延长线上，． (1)若，求的度数； (2)与有什么数量关系，为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的定义，余角的性质，角的和差运算． （1）先求解，结合，可得． （2）先证明，可得，结合角平分线的性质与余角的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴． （2）解：．理由如下： 由题意可知，， ∵，即， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，点在直线上，，，平分． (1)求的度数； (2)求的度数； (3)是否平分？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)平分；理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键； ()由角平分线的定义，得到的度数； ()根据角的运算，求出的度数，进而求出的度数； ()由角分线的定义证明即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分． ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴； （3）∵平分； 理由：∵，， ∴， 又∵， ∴平分． 15．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，将文具盒中的一副三角板的直角顶点重合． (1)若，求的度数； (2)写出以C为顶点的所有相等的角； (3)请找出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)与互补，理由见解析 【分析】本题题主要考查了旋转的性质和互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠． （1）根据同角的余角相等作答即可； （2）由图直接回答即可； （3）由可得结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ； （2）解：以C为顶点的所有相等的角有；； （3）解：与互补，理由如下： ∵， ∴与互补； 16．（25-26七年级上·全国·单元测试）已知：O是直线上的一点，是直角，平分． (1)如图1．若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含a的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力，求解过程类似． （1）求出，求出根据角平分线求出，代入求出即可． （2）类似（1）的解题过程可得出结论； （3）先根据角平分线的定义得出，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴．即：． （3）解：． 理由如下：因为，平分， 所以． 所以． 17．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点E，A，B在同一条直线上，和分别平分和． (1)回答以下问题： ①的余角 度，的补角 度， 度； ②求的度数． (2)三角形保持不动，将三角形在平面内摆放至图2的位置，和分别平分和，若，求的度数． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算： （1）①根据余角，补角的定义，结合三角板的特点即可得出结果；根据角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案；②根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结果； （2）求出，根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结果． 【详解】（1）解：①∵，， ∴，， ∵点E，A，B在同一条直线上， ∴； 故答案为：； ②在题图1中．∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． （2）解：∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴． ∴． 18．（24-25六年级下·山东烟台·期末）生活中的折纸活动蕴含着丰富的数学知识，让我们一起体会一下其中的奥秘． 【折一折】如图1，将画有的纸片折叠，使边都落在角平分线上，展开得折痕，． （1）若，则___________°； 【变一变】将画有的纸片折叠，使边落在的位置，使边落在的位置上，展开后分别得折痕，如图2或者图3． （2）在图2中，若，，求的度数； （3）在图3中，若，，请用含的代数式表示直接写出的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查翻折的性质，角的计算，解题的关键是掌握角的和差倍分的计算． （1）由折叠可得：，，即可得； （2）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解； （3）先求出，由折叠可得：，，故，从而由求解即可． 【详解】解：（1）如图： 由折叠可得：，， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：29； （2）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）如图： ∵，， ∴， 由折叠可得：，， ∴， ∴， ∴的度数为． 19．（24-25七年级下·广东深圳·开学考试）如图①，，为外的一个锐角，且．      (1)若平分，平分（如图②），求的度数； (2)射线从处绕着点O在外旋转，平分，平分， （ⅰ）如图③，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． （ⅱ）如图④，当射线绕着点O逆时针旋转，则的度数为___________． (3)如图⑤，射线从处以/分的速度绕点O开始逆时针旋转，同时射线从处以相同的速度绕点O逆时针也旋转，平分，平分，请直接写出多少分钟时，的度数是？[注：本题所涉及的角都是小于的角] 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） (3)3或25分钟 【分析】本题考查了角度计算、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和角的和差即可求解； （2）（ⅰ）根据角平分线的定义和角的和差即可求解；（ⅱ）根据角平分线的定义和角的和差即可求解； （3）设x分钟时，的度数是，依题意得，根据射线的位置分2种情况讨论，根据角平分线的定义和角的和差关系列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：（ⅰ）∵射线绕着点O逆时针旋转， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （ⅱ）∵射线绕着点O逆时针旋转， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （3）解：设x分钟时，的度数是， 依题意有：， ∵平分，平分， ∴，， ①延长到，若射线在内部旋转，如图，     ， 即：， 解得：； ②若射线在外部旋转，如图，   ， 即：， 解得：； 综上，3或25分钟时，的度数是． 20．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)或 (2)是三等分线，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． ()根据“外邻余线”的定义得，考虑到的不同位置分两种情况讨论即可求解； ()根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； ()由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的“外邻余线”， ∴， 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，得， ∴． 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，解得， 综上的度数为或． （2）解：是三等分线，理由如下： ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴是的三等分线； （3）解：∵点在同一条直线上，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， ∴， ∴． 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $